Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetlusele ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Logaritmilised võrratused
Eelmistes tundides tutvusime logaritmiliste võrranditega ja nüüd teame, mis need on ja kuidas neid lahendada. Tänane tund on pühendatud õppimisele logaritmilised võrratused. Mis on need ebavõrdsused ja mis vahe on logaritmilise võrrandi ja ebavõrdsuse lahendamisel?
Logaritmilised võrratused on võrratused, mille muutuja on logaritmi märgi all või selle aluses.
Või võime ka öelda, et logaritmiline võrratus on ebavõrdsus, milles selle tundmatu väärtus, nagu logaritmilises võrrandis, ilmub logaritmi märgi alla.
Lihtsaimatel logaritmilistel võrratustel on järgmine kuju:
kus f(x) ja g(x) on mõned avaldised, mis sõltuvad x-ist.
Vaatame seda selle näite abil: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmiliste võrratuste lahendamine
Enne logaritmiliste võrratuste lahendamist tasub tähele panna, et lahendatuna sarnanevad need eksponentsiaalvõrratustega, nimelt:
Esiteks, liikudes logaritmidelt logaritmi märgi all olevatele avaldistele, peame võrdlema ka logaritmi alust ühega;
Teiseks, logaritmilise võrratuse lahendamisel muutujate muutumise abil peame lahendama võrratusi muutuse suhtes, kuni saame lihtsaima võrratuse.
Kuid teie ja mina oleme kaalunud logaritmilise ebavõrdsuse lahendamise sarnaseid aspekte. Nüüd pöörame tähelepanu üsna olulisele erinevusele. Me kõik teame, et logaritmilisel funktsioonil on piiratud määratluspiirkond, nii et logaritmidelt logaritmimärgi all olevatele avaldistele liikudes peame arvestama domeeniga. vastuvõetavad väärtused(ODZ).
See tähendab, et tuleb arvestada, et logaritmilise võrrandi lahendamisel saame teie ja mina kõigepealt leida võrrandi juured ja seejärel seda lahendust kontrollida. Kuid logaritmilise võrratuse lahendamine sel viisil ei toimi, kuna liikudes logaritmidelt logaritmimärgi all olevatele avaldistele, on vaja üles kirjutada ebavõrdsuse ODZ.
Lisaks tasub meeles pidada, et võrratuste teooria koosneb reaalarvudest, mis on positiivsed ja negatiivsed arvud, samuti number 0.
Näiteks kui arv "a" on positiivne, peate kasutama järgmist tähistust: a >0. Sel juhul on nii nende arvude summa kui ka korrutis positiivne.
Peamine põhimõte ebavõrdsuse lahendamisel on asendada see lihtsama võrratusega, kuid peamine on see, et see oleks samaväärne antud ebavõrdsusega. Edasi saime ka ebavõrdsuse ja asendasime selle jällegi lihtsama kujuga jne.
Lahendades ebavõrdsust muutujaga, peate leidma kõik selle lahendused. Kui kahel võrratusel on sama muutuja x, siis on sellised võrratused samaväärsed eeldusel, et nende lahendid langevad kokku.
Logaritmiliste võrratuste lahendamise ülesannete täitmisel tuleb meeles pidada, et kui a > 1, siis logaritmiline funktsioon suureneb ja kui 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritmiliste võrratuste lahendamise meetodid
Vaatame nüüd mõningaid meetodeid, mis toimuvad logaritmiliste võrratuste lahendamisel. Parema mõistmise ja assimilatsiooni huvides püüame neid konkreetsete näidete abil mõista.
Me kõik teame, et kõige lihtsamal logaritmilisel võrratusel on järgmine vorm:
Selles ebavõrdsuses on V üks järgmistest ebavõrdsuse märkidest:<,>, ≤ või ≥.
Kui antud logaritmi alus on suurem kui üks (a>1), tehes ülemineku logaritmidelt avaldistele logaritmi märgi all, siis selles versioonis säilib ebavõrdsuse märk ja ebavõrdsus on järgmise kujuga:
mis on samaväärne selle süsteemiga:
Juhul, kui logaritmi alus Üle nulli ja vähem kui üks (0 See on samaväärne selle süsteemiga: Vaatame veel näiteid alloleval pildil näidatud kõige lihtsamate logaritmiliste võrratuste lahendamisest: Harjutus. Proovime seda ebavõrdsust lahendada: Vastuvõetavate väärtuste vahemiku lahendamine. Nüüd proovime selle paremat külge korrutada: Vaatame, mida saame välja mõelda: Liigume nüüd sublogaritmiliste avaldiste teisendamise juurde. Tulenevalt asjaolust, et logaritmi alus on 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Ja sellest järeldub, et saadud intervall kuulub täielikult ODZ-le ja on sellise ebavõrdsuse lahendus. Siin on vastus, mille saime: Proovime nüüd analüüsida, mida vajame logaritmilise ebavõrdsuse edukaks lahendamiseks? Esiteks koondage kogu oma tähelepanu ja proovige mitte teha vigu, kui sooritate selles ebavõrdsuses antud teisendusi. Samuti tuleb meeles pidada, et selliste ebavõrduste lahendamisel tuleb vältida ebavõrdsuse laienemist ja kokkutõmbumist, mis võib viia kõrvaliste lahenduste kadumise või omandamiseni. Teiseks, logaritmiliste võrratuste lahendamisel peate õppima loogiliselt mõtlema ja mõistma erinevust selliste mõistete vahel nagu ebavõrdsuse süsteem ja ebavõrdsuse kogum, et saaksite hõlpsasti valida ebavõrdsuse lahendusi, juhindudes selle DL-st. Kolmandaks, sellise ebavõrdsuse edukaks lahendamiseks peab igaüks teist täiuslikult teadma elementaarfunktsioonide kõiki omadusi ja selgelt mõistma nende tähendust. Sellised funktsioonid hõlmavad mitte ainult logaritmilisi, vaid ka ratsionaalseid, võimsus-, trigonomeetrilisi jne, ühesõnaga kõiki neid, mida õppisite kooli algebra ajal. Nagu näete, pole pärast logaritmilise ebavõrdsuse teema uurimist nende ebavõrdsuse lahendamisel midagi rasket, eeldusel, et olete oma eesmärkide saavutamisel ettevaatlik ja visa. Et vältida probleeme ebavõrdsuse lahendamisel, peate võimalikult palju harjutama, lahendades erinevaid ülesandeid ja samal ajal meeles pidama selliste ebavõrdsuste lahendamise põhimeetodeid ja nende süsteeme. Kui sul ei õnnestu logaritmilisi võrratusi lahendada, peaksid oma vigu hoolikalt analüüsima, et mitte tulevikus nende juurde tagasi pöörduda. Teema paremaks mõistmiseks ja käsitletava materjali koondamiseks lahendage järgmised ebavõrdsused: Logaritmi definitsioon Lihtsaim viis selle matemaatiliseks kirjutamiseks on: Logaritmi definitsiooni saab kirjutada muul viisil: Pöörake tähelepanu piirangutele, mis on kehtestatud logaritmi alusel ( a) ja alaaritmilisele avaldisele ( x). Tulevikus muutuvad need tingimused OD jaoks olulisteks piiranguteks, mida tuleb arvestada mis tahes võrrandi lahendamisel logaritmidega. Niisiis, nüüd tuleb lisaks ODZ piiranguid viivatele standardtingimustele (avaldiste positiivsus paarisastmete juurte all, mittevõrdne nimetaja nulliga jne) arvesse võtta ka järgmisi tingimusi: Pange tähele, et ei logaritmi alus ega alaaritmiline avaldis ei saa olla võrdne nulliga. Pange tähele ka seda, et logaritmi väärtus ise võib võtta kõik võimalikud väärtused, s.t. Logaritm võib olla positiivne, negatiivne või null. Logaritmidel on palju erinevaid omadusi, mis tulenevad astmete omadustest ja logaritmi definitsioonist. Loetleme need. Niisiis, logaritmide omadused: Toote logaritm: Murru logaritm: Võttes astme välja logaritmi märgist: Pöörake eriti tähelepanelikult neid viimati loetletud omadusi, mille puhul moodulmärk ilmub pärast kraadi omandamist. Ärge unustage, et kui asetate paarisastme logaritmi märgist väljapoole, logaritmi alla või baasi, peate lahkuma mooduli märgist. Muud logaritmide kasulikud omadused: Viimast omadust kasutatakse väga sageli keerulistes logaritmilistes võrrandites ja võrratustes. Teda tuleks meeles pidada sama hästi kui kõiki teisi, kuigi sageli unustatakse. Lihtsamad logaritmilised võrrandid näevad välja järgmised: Ja nende lahendus on antud valemiga, mis tuleneb otseselt logaritmi definitsioonist: Teised lihtsaimad logaritmilised võrrandid on need, mida saab algebralisi teisendusi ning ülaltoodud valemeid ja logaritmide omadusi kasutades taandada järgmisele kujule: Selliste võrrandite lahendus, võttes arvesse ODZ-d, on järgmine: Mõned teised logaritmvõrrandid, mille aluseks on muutuja saab taandada kujule: Sellistes logaritmvõrrandites tuleneb ka lahenduse üldvorm otseselt logaritmi definitsioonist. Ainult sel juhul on DZ jaoks täiendavad piirangud, millega tuleb arvestada. Selle tulemusena peate logaritmilise võrrandi lahendamiseks muutujaga aluses lahendama järgmise süsteemi: Keerulisemate logaritmiliste võrrandite lahendamisel, mida ei saa taandada mõneks ülaltoodud võrrandiks, kasutatakse seda aktiivselt ka muutuv asendusmeetod. Nagu tavaliselt, peate selle meetodi kasutamisel meeles pidama, et pärast asendamise kasutuselevõttu peaks võrrand lihtsustama ega sisalda enam vana tundmatut. Samuti peate meeles pidama muutujate pöördasetamist. Mõnikord tuleb ka logaritmilisi võrrandeid lahendada graafiline meetod. See meetod seisneb selles, et ühel koordinaattasandil koostatakse võimalikult täpselt võrrandi vasakul ja paremal küljel olevate funktsioonide graafikud ning seejärel leitakse jooniselt nende lõikepunktide koordinaadid. Sel viisil saadud juuri tuleb kontrollida, asendades algse võrrandiga. See on sageli kasulik ka logaritmiliste võrrandite lahendamisel rühmitamise meetod. Selle meetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: selleks, et mitme teguri korrutis oleks võrdne nulliga, on vajalik, et vähemalt üks neist oleks võrdne nulliga, ja ülejäänud olid olemas. Kui tegurid on logaritmid või sulud koos logaritmidega, mitte ainult muutujatega sulud, nagu ratsionaalsetes võrrandites, võib esineda palju vigu. Kuna logaritmidel on nende olemasolu piirkonnas palju piiranguid. Otsustades logaritmiliste võrrandite süsteemid kõige sagedamini peate kasutama kas asendusmeetodit või muutuva asendusmeetodit. Kui selline võimalus on olemas, siis tuleb logaritmivõrrandisüsteemide lahendamisel püüda tagada, et süsteemi iga võrrand viidaks individuaalselt sellisele kujule, et oleks võimalik teha üleminek logaritmilisest võrrandist ratsionaalne. Lihtsamad logaritmilised võrratused lahendatakse ligikaudu samamoodi nagu sarnased võrrandid. Esiteks, kasutades algebralisi teisendusi ja logaritmide omadusi, tuleb püüda need viia kujule, kus võrratuse vasakul ja paremal küljel olevad logaritmid saavad olema samade alustega, s.t. saada vormi ebavõrdsus: Pärast seda peate liikuma ratsionaalsele ebavõrdsusele, võttes arvesse, et see üleminek tuleks läbi viia järgmiselt: kui logaritmi alus on suurem kui üks, siis ei pea ebavõrdsuse märki muutma ja kui logaritmi alus on väiksem kui üks, siis tuleb ebavõrdsuse märk muuta vastupidiseks (see tähendab "vähem" muutmist "rohkemaks" või vastupidi). Sel juhul ei ole vaja miinusmärke plussmärkideks muuta, minnes varem õpitud reeglitest mööda. Paneme matemaatiliselt kirja, mis me sellise ülemineku sooritamise tulemusena saame. Kui baas on suurem kui üks, saame: Kui logaritmi alus on väiksem kui üks, muudame ebavõrdsuse märki ja saame järgmise süsteemi: Nagu näeme, võetakse logaritmiliste võrratuste lahendamisel nagu tavaliselt arvesse ka ODZ (see on ülaltoodud süsteemides kolmas tingimus). Veelgi enam, sel juhul on võimalik mitte nõuda mõlema alaaritmilise avaldise positiivsust, vaid pigem ainult neist väiksema positiivsust. Otsustades logaritmilised võrratused, mille aluseks on muutuja logaritmi korral on vaja iseseisvalt kaaluda mõlemat võimalust (kui alus on väiksem kui üks ja suurem kui üks) ja kombineerida nende juhtumite lahendused hulka. Samas ei tohi unustada ka DL-i, st. selle kohta, et nii põhi- kui ka kõik alaaritmilised avaldised peavad olema positiivsed. Seega vormi ebavõrdsuse lahendamisel: Saame järgmise süsteemide komplekti: Keerulisemaid logaritmilisi võrratusi saab lahendada ka muutujate muutuste abil. Mõned teised logaritmilised võrratused (nt logaritmilised võrrandid) nõuavad võrratuse või võrrandi mõlema poole logaritmi võtmist samale alusele. Nii et sellise protseduuri läbiviimisel logaritmilise ebavõrdsusega on peensus. Pange tähele, et kui võtta logaritme ühest suuremasse baasi, siis ebavõrdsuse märk ei muutu, kuid kui alus on väiksem kui üks, siis ebavõrdsuse märk pööratakse ümber. Kui logaritmilist ebavõrdsust ei saa taandada ratsionaalseks ega lahendada asendamise teel, siis tuleb sel juhul kasutada üldistatud intervallide meetod, mis on järgmine: Et edukalt valmistuda CT-ks muuhulgas füüsikas ja matemaatikas, on vaja täita kolm kõige olulisemat tingimust: Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil end CT-s näidata suurepärane tulemus, maksimum, milleks olete võimeline. Kui arvate, et olete leidnud vea õppematerjalid, siis palun kirjuta sellest meili teel. Samuti saate veast teatada sotsiaalvõrgustik(). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on kahtlustatav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole. KASUTAMISE LOGARITMILINE EBAVÄRDSUS
Setšin Mihhail Aleksandrovitš Väike Teaduste Akadeemia Kasahstani Vabariigi üliõpilastele “Iskatel” MBOU "Sovetskaja 1. Keskkool", 11. klass, linn. Sovetski Sovetski rajoon Munitsipaaleelarvelise õppeasutuse “Sovetskaja 1. Keskkool” õpetaja Gunko Ljudmila Dmitrievna Sovetski rajoon Töö eesmärk: logaritmiliste võrratuste C3 lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastamine huvitavaid fakte logaritm Õppeaine:
3) Õppige lahendama spetsiifilisi logaritmilisi võrratusi C3 mittestandardsete meetoditega. Tulemused:
Sisu
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………….4
Peatükk 1. Probleemi ajalugu…………………………………………………………5
Peatükk 2. Logaritmiliste võrratuste kogum …………………………… 7
2.1. Samaväärsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod…………… 7 2.2. Ratsionaliseerimismeetod………………………………………………………………… 15 2.3. Mittestandardne asendus………………................................................ .............. 22 2.4. Ülesanded lõksudega………………………………………………………27 Järeldus………………………………………………………………………………… 30
Kirjandus……………………………………………………………………. 31
Sissejuhatus
Käin 11. klassis ja plaanin astuda ülikooli, kus põhiaineks on matemaatika. Seetõttu töötan ma palju C-osas esitatud probleemidega. Ülesandes C3 pean lahendama mittestandardse võrratuse või ebavõrdsuse süsteemi, mis on tavaliselt seotud logaritmidega. Eksamiks valmistudes seisin silmitsi C3-s pakutavate meetodite ja võtete nappuse probleemiga eksami logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Meetodid, mida uuritakse kooli õppekava sellel teemal ei anna alust C3 ülesannete lahendamiseks. Matemaatikaõpetaja soovitas mul tema juhendamisel iseseisvalt C3 ülesannetega tegeleda. Lisaks huvitas mind küsimus: kas me kohtame oma elus logaritme? Seda silmas pidades valiti teema: "Logaritmiline ebavõrdsus ühtsel riigieksamil"
Töö eesmärk: C3 probleemide lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastades huvitavaid fakte logaritmi kohta. Õppeaine:
1) Leidke vajalik teave selle kohta mittestandardsed meetodid lahendused logaritmilistele ebavõrdsustele. 2) Otsige lisateavet logaritmide kohta. 3) Õppige lahendama spetsiifilisi C3 ülesandeid mittestandardsete meetoditega. Tulemused:
Praktiline tähtsus seisneb C3 ülesannete lahendamise aparaadi laiendamises. See materjal saab kasutada mõnes tunnis, klubides ja matemaatika valikainetes. Projekti tooteks on kogumik “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”. Peatükk 1. Taust
Kogu 16. sajandi jooksul kasvas umbkaudsete arvutuste arv kiiresti, eelkõige astronoomias. Instrumentide täiustamine, planeetide liikumise uurimine ja muud tööd nõudsid kolossaalseid, mõnikord mitmeaastaseid arvutusi. Astronoomiat ähvardas tõeline oht uppuda täitmata arvutustesse. Raskusi tekkis teistes valdkondades, näiteks kindlustusäris oli vaja liitintressi tabeleid erinevaid tähendusi protsenti. Peamine raskus oli mitmekohaliste arvude, eriti trigonomeetriliste suuruste korrutamine ja jagamine. Logaritmide avastamine põhines progressioonide omadustel, mis olid hästi teada 16. sajandi lõpuks. Liikmetevahelisest sidemest geomeetriline progressioon q, q2, q3, ... ja aritmeetiline progressioon nende näitajad on 1, 2, 3,... Archimedes rääkis oma “Psalmitis”. Teiseks eelduseks oli astme mõiste laiendamine negatiivsetele ja murdeksponentidele. Paljud autorid on juhtinud tähelepanu sellele, et korrutamine, jagamine, astendamine ja juure eraldamine geomeetrilises progressioonis vastavad aritmeetikas – samas järjekorras – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Siin oli logaritmi kui eksponendi idee. Logaritmiõpetuse kujunemisloos on läbitud mitu etappi. 1. etapp
Logaritmid leiutas hiljemalt 1594. aastal iseseisvalt Šoti parun Napier (1550-1617) ja kümme aastat hiljem Šveitsi mehaanik Bürgi (1552-1632). Mõlemad soovisid pakkuda uut mugavat vahendit aritmeetilisteks arvutusteks, kuigi lähenesid sellele probleemile erinevalt. Napier väljendas kinemaatiliselt logaritmilist funktsiooni ja sisenes seeläbi funktsiooniteooria uude valdkonda. Bürgi jäi diskreetsete edasiminekute arvestamise aluseks. Kummagi logaritmi definitsioon ei sarnane aga tänapäevasele. Mõiste "logaritm" (logaritm) kuulub Napierile. See tekkis kreeka sõnade kombinatsioonist: logos - "suhe" ja ariqmo - "arv", mis tähendas "suhete arvu". Algselt kasutas Napier teistsugust terminit: numeri mākslīged - "kunstlikud numbrid", mitte numeri naturalts - "looduslikud numbrid". 1615. aastal tegi Napier vestluses Londoni Greshi kolledži matemaatikaprofessori Henry Briggsiga (1561–1631) ühe logaritmiks nulli ja kümnendi logaritmiks 100, mis on sama. asi, lihtsalt 1. Nii nad ilmusid kümnendlogaritmid ja trükiti esimesed logaritmitabelid. Hiljem täiendas Briggsi tabeleid Hollandi raamatumüüja ja matemaatikaentusiast Adrian Flaccus (1600-1667). Napier ja Briggs, kuigi nad jõudsid logaritmidele varem kui kõik teised, avaldasid oma tabelid teistest hiljem – 1620. aastal. Märke log ja Log võttis 1624. aastal kasutusele I. Kepler. Mõiste “looduslik logaritm” võttis kasutusele Mengoli 1659. aastal ja järgnes N. Mercator 1668. aastal ning Londoni õpetaja John Speidel avaldas “Uued logaritmid” nime all arvude naturaallogaritmide tabelid 1–1000. Esimesed logaritmitabelid ilmusid vene keeles 1703. aastal. Kuid kõigis logaritmilistes tabelites esines arvutusvigu. Esimesed vigadeta tabelid avaldati 1857. aastal Berliinis, neid töötles saksa matemaatik K. Bremiker (1804-1877). 2. etapp
Logaritmiteooria edasiarendamine on seotud analüütilise geomeetria ja lõpmatuarvulise arvutuse laiema rakendamisega. Selleks ajaks oli kindlaks tehtud seos võrdkülgse hüperbooli kvadratuuri ja naturaallogaritmi vahel. Selle perioodi logaritmide teooria on seotud mitmete matemaatikute nimedega. Saksa matemaatik, astronoom ja insener Nikolaus Mercator essees "Logaritmotehnika" (1668) annab seeria, mis annab ln(x+1) laienemise x astmed: See väljend vastab täpselt tema mõttekäigule, kuigi loomulikult ei kasutanud ta märke d, ..., vaid kohmakamat sümboolikat. Logaritmirea avastamisega muutus logaritmide arvutamise tehnika: neid hakati määrama lõpmatute seeriate abil. Tema loengutes" Elementaarne matemaatika kõrgemast vaatenurgast,” loeti aastatel 1907–1908, tegi F. Klein ettepaneku kasutada valemit logaritmiteooria konstrueerimise lähtepunktina. 3. etapp
Logaritmilise funktsiooni definitsioon pöördfunktsioonina eksponentsiaalne, logaritm eksponendina sellel alusel
ei sõnastatud kohe. Leonhard Euleri (1707-1783) essee "Sissejuhatus lõpmatute väikeste suuruste analüüsimisse" (1748) aitas edasi logaritmiliste funktsioonide teooria arendamine. Seega Logaritmide esmakordsest kasutuselevõtust on möödunud 134 aastat (arvestatakse aastast 1614), enne kui matemaatikud jõudsid definitsioonini logaritmi mõiste, mis on nüüd koolikursuse aluseks. Peatükk 2. Logaritmiliste võrratuste kogu
2.1. Ekvivalentsiirded ja üldistatud intervallide meetod. Samaväärsed üleminekud
Üldistatud intervallmeetod
See meetod kõige universaalsem peaaegu igat tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel. Lahendusskeem näeb välja selline: 1. Vii ebavõrdsus vormile, kus asub vasakpoolsel küljel olev funktsioon 2. Leidke funktsiooni domeen 3. Leia funktsiooni nullpunktid 4. Joonistage numbrireale funktsiooni definitsioonipiirkond ja nullid. 5. Määrata funktsiooni märgid 6. Valige intervallid, millest funktsioon kulub nõutavad väärtused ja kirjutage vastus üles. Näide 1.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit kus Nende väärtuste puhul on kõik logaritmiliste märkide all olevad avaldised positiivsed. Vastus:
Näide 2.
Lahendus:
1
tee
.
ADL määratakse ebavõrdsusega x> 3. Selliste jaoks logaritmide võtmine x baasis 10 saame Viimase ebavõrdsuse saaks lahendada laiendamisreeglite rakendamisega, s.o. tegurite võrdlemine nulliga. Sel juhul on aga lihtne määrata funktsiooni konstantse märgi intervalle seetõttu saab rakendada intervallmeetodit. Funktsioon f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ on pidev kell x> 3 ja kaob punktides x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Seega määrame funktsiooni konstantmärgi intervallid f(x):
Vastus: 2. meetod
.
Rakendagem intervallmeetodi ideid otse algsele ebavõrdsusele. Selleks tuletage meelde, et väljendid a b- a c ja ( a - 1)(b- 1) neil on üks märk. Siis meie ebavõrdsus juures x> 3 võrdub ebavõrdsusega või Viimane võrratus lahendatakse intervallmeetodil Vastus: Näide 3.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit Vastus: Näide 4.
Lahendus:
Alates 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 päriselt x, See Teise võrratuse lahendamiseks kasutame intervallmeetodit Esimeses ebavõrdsuses teeme asendus siis jõuame ebavõrdsuseni 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, mis rahuldavad ebavõrdsust -0,5< y < 1.
Kust, alates saame ebavõrdsuse mis viiakse läbi, kui x, mille jaoks 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Nüüd, võttes arvesse süsteemi teise ebavõrdsuse lahendust, saame lõpuks tulemuse Vastus:
Näide 5.
Lahendus:
Ebavõrdsus on samaväärne süsteemide kogumiga või Kasutame intervallmeetodit või Vastus:
Näide 6.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga Lase Siis y > 0,
ja esimene ebavõrdsus süsteem võtab vormi või lahtikäiv ruuttrinoom tegurite järgi, Intervallmeetodi rakendamine viimasele ebavõrdsusele, näeme, et selle lahendused vastavad tingimusele y> 0 on kõik y > 4.
Seega on algne ebavõrdsus samaväärne süsteemiga: Seega on ebavõrdsuse lahendused kõik 2.2. Ratsionaliseerimise meetod. Varem meetod ebavõrdsuse ratsionaliseerimist ei lahendatud, seda ei teatud. See on "uus kaasaegne" tõhus meetod eksponentsiaalse ja logaritmilise ebavõrdsuse lahendused" (tsitaat S.I. Kolesnikova raamatust) "Maagiline laud"
Teistes allikates
Kui a >1 ja b >1, siis log a b >0 ja (a -1)(b -1)>0; Kui a >1 ja 0 kui 0<a<1 и b
>1, siis logi a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kui 0<a<1 и 00 ja (a -1) (b -1)>0. Läbiviidud arutluskäik on lihtne, kuid lihtsustab oluliselt logaritmiliste võrratuste lahendamist. Näide 4.
log x (x 2–3)<0
Lahendus:
Näide 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x) Lahendus: Näide 6.
Selle ebavõrdsuse lahendamiseks kirjutame nimetaja asemel (x-1-1)(x-1) ja lugeja asemel korrutise (x-1)(x-3-9 + x). Näide 7.
Näide 8.
2.3. Mittestandardne asendus. Näide 1.
Näide 2.
Näide 3.
Näide 4.
Näide 5.
Näide 6.
Näide 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Teeme asenduseks y=3 x -1; siis see ebavõrdsus võtab kuju Log 4 log 0,25 Sest log 0,25 Teeme asenduseks t =log 4 y ja saame võrratuse t 2 -2t +≥0, mille lahendiks on intervallid - Seega, et leida y väärtusi, on meil kahe lihtsa ebavõrdsuse hulk Seetõttu on algne võrratus võrdne kahe eksponentsiaalse ebavõrdsuse hulgaga, Selle hulga esimese võrratuse lahendus on intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Näide 8.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga ODZ-d määratleva teise ebavõrdsuse lahendus on nende kogum x,
mille jaoks x > 0.
Esimese ebavõrdsuse lahendamiseks teeme asendus Siis saame ebavõrdsuse või Viimase võrratuse lahenduste hulk leitakse meetodiga intervallid: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saame või Palju neid x, mis rahuldavad viimase ebavõrdsuse kuulub ODZ-le ( x> 0), on seega süsteemi lahendus, ja siit ka algne ebavõrdsus. Vastus: 2.4. Ülesanded lõksudega. Näide 1.
Lahendus. Ebavõrdsuse ODZ on kõik x, mis vastavad tingimusele 0 Näide 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. Järeldus
C3-ülesannete lahendamiseks konkreetsete meetodite leidmine erinevatest õppeallikatest ei olnud lihtne. Tehtud töö käigus sain uurida mittestandardseid meetodeid keeruliste logaritmiliste võrratuste lahendamiseks. Need on: ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod, ratsionaliseerimise meetod ,
mittestandardne asendus ,
ülesanded lõksudega ODZ-l. Need meetodid ei sisaldu kooli õppekavas. Erinevaid meetodeid kasutades lahendasin 27 ühtse riigieksami C osas pakutud ebavõrdsust, nimelt C3. Need ebavõrdsused lahendustega meetodite abil moodustasid aluse kogumikule “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”, millest sai minu tegevuse projektitoode. Projekti alguses püstitatud hüpotees leidis kinnitust: C3 probleeme saab tõhusalt lahendada, kui tead neid meetodeid. Lisaks avastasin huvitavaid fakte logaritmide kohta. Minu jaoks oli huvitav seda teha. Minu projektitooted on kasulikud nii õpilastele kui ka õpetajatele. Järeldused:
Seega on projekti eesmärk täidetud ja probleem lahendatud. Ja ma sain kõige täielikuma ja mitmekesisema kogemuse projektitegevusest kõigis tööetappides. Projekti kallal töötades oli minu peamine arendav mõju vaimsele pädevusele, loogiliste vaimsete operatsioonidega seotud tegevustele, loomingulise pädevuse, isikliku algatuse, vastutustunde, visaduse ja aktiivsuse arendamisele. Edu tagatis uurimisprojekti loomisel Sain: olulise koolikogemuse, oskuse hankida infot erinevatest allikatest, kontrollida selle usaldusväärsust ja tähtsuse järgi järjestada. Lisaks vahetutele ainealastele teadmistele matemaatikas täiendasin oma praktilisi oskusi informaatika vallas, sain uusi teadmisi ja kogemusi psühholoogia vallas, sõlmisin kontakte klassikaaslastega, õppisin koostööd tegema täiskasvanutega. Projekti tegevuste käigus arendati organisatsioonilisi, intellektuaalseid ja kommunikatiivseid üldhariduslikke oskusi. Kirjandus
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Ühe muutujaga võrratuste süsteemid (standardülesanded C3). 2. Malkova A. G. Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks. 3. Samarova S. S. Logaritmiliste võrratuste lahendamine. 4. Matemaatika. Koolitustööde kogumik toimetanud A.L. Semenov ja I.V. Jaštšenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Kas arvate, et ühtse riigieksamini on veel aega ja jõuate ettevalmistuseks? Võib-olla on see nii. Kuid igal juhul, mida varem õpilane ettevalmistust alustab, seda edukamalt ta eksamid sooritab. Täna otsustasime pühendada artikli logaritmilistele ebavõrdsustele. See on üks ülesannetest, mis tähendab võimalust saada lisakrediiti. Kas sa juba tead, mis on logaritm? Loodame väga. Kuid isegi kui teil pole sellele küsimusele vastust, pole see probleem. Logaritmi mõistmine on väga lihtne. Miks 4? Peate tõstma arvu 3 selle astmeni, et saada 81. Kui olete põhimõttest aru saanud, võite jätkata keerukamate arvutustega. Elasite paar aastat tagasi läbi ebavõrdsuse. Ja sellest ajast saadik olete nendega matemaatikas pidevalt kokku puutunud. Kui teil on probleeme ebavõrdsuse lahendamisega, vaadake vastavat jaotist. Lihtsaim logaritmiline võrratus. Lihtsamad logaritmilised võrratused ei piirdu selle näitega, on veel kolm, ainult erinevate märkidega. Miks see vajalik on? Et paremini mõista, kuidas ebavõrdsust logaritmidega lahendada. Toome nüüd sobivama näite, mis on siiski üsna lihtne, jätame keerulised logaritmilised võrratused hilisemaks. Kuidas seda lahendada? Kõik algab ODZ-st. Tasub sellest rohkem teada saada, kui tahad ebavõrdsust alati lihtsalt lahendada. Lühend tähistab vastuvõetavate väärtuste vahemikku. See sõnastus tuleb sageli ette ühtse riigieksami ülesannetes. ODZ on teile kasulik mitte ainult logaritmilise ebavõrdsuse korral. Vaadake uuesti ülaltoodud näidet. Arvestame selle põhjal ODZ-d, et saaksite põhimõttest aru ja logaritmiliste ebavõrdsuste lahendamine ei tekita küsimusi. Logaritmi definitsioonist järeldub, et 2x+4 peab olema suurem kui null. Meie puhul tähendab see järgmist. See arv peab definitsiooni järgi olema positiivne. Lahendage ülaltoodud ebavõrdsus. Seda saab teha isegi suuliselt, siin on selge, et X ei saa olla väiksem kui 2. Ebavõrdsuse lahendus on vastuvõetavate väärtuste vahemiku määratlus. Me jätame logaritmid ise kõrvale ebavõrdsuse mõlemalt poolelt. Mis meile sellest tulenevalt üle jääb? Lihtne ebavõrdsus. Seda pole raske lahendada. X peab olema suurem kui -0,5. Nüüd ühendame kaks saadud väärtust süsteemi. Seega See on vaadeldava logaritmilise ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik. Miks meil ODZ-d üldse vaja on? See on võimalus ebaõiged ja võimatud vastused välja rookida. Kui vastus ei jää vastuvõetavate väärtuste vahemikku, siis pole vastusel lihtsalt mõtet. Seda tasub pikka aega meeles pidada, kuna ühtsel riigieksamil on sageli vaja otsida ODZ-d ja see ei puuduta ainult logaritmilist ebavõrdsust. Lahendus koosneb mitmest etapist. Esiteks peate leidma vastuvõetavate väärtuste vahemiku. ODZ-l on kaks tähendust, me arutasime seda eespool. Järgmisena peame lahendama ebavõrdsuse. Lahendusmeetodid on järgmised: Olenevalt olukorrast tasub kasutada ühte ülaltoodud meetoditest. Liigume otse lahenduse juurde. Toome välja kõige populaarsema meetodi, mis sobib ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks peaaegu kõigil juhtudel. Järgmisena vaatleme lagunemismeetodit. See võib aidata, kui puutute kokku eriti keerulise ebavõrdsusega. Niisiis, algoritm logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Näited lahendustest : Pole asjata, et me võtsime täpselt selle ebavõrdsuse! Pöörake tähelepanu alusele. Pidage meeles: kui see on suurem kui üks, jääb märk aktsepteeritavate väärtuste vahemiku leidmisel samaks; vastasel juhul peate ebavõrdsuse märki muutma. Selle tulemusena saame ebavõrdsuse: Nüüd taandame vasaku külje võrrandi kujule, mis on võrdne nulliga. Märgi "vähem kui" asemel paneme "võrdub" ja lahendame võrrandi. Seega leiame ODZ-i. Loodame, et teil ei teki nii lihtsa võrrandi lahendamisel probleeme. Vastused on -4 ja -2. See pole veel kõik. Peate need punktid graafikul kuvama, asetades "+" ja "-". Mida tuleb selleks teha? Asendage intervallide arvud avaldisesse. Kui väärtused on positiivsed, paneme sinna "+". Vastus: x ei saa olla suurem kui -4 ja väiksem kui -2. Oleme leidnud ainult vasaku poole vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See on palju lihtsam. Vastus: -2. Lõikame mõlemad saadud alad. Ja alles nüüd hakkame tegelema ebavõrdsusega. Lihtsustame seda nii palju kui võimalik, et seda oleks lihtsam lahendada. Lahenduses kasutame taas intervallmeetodit. Jätame arvutused vahele; eelmisest näitest on kõik juba selge. Vastus. Kuid see meetod sobib, kui logaritmilise ebavõrdsuse alused on samad. Erinevate alustega logaritmvõrrandite ja võrratuste lahendamine eeldab esialgset taandamist samale alusele. Järgmisena kasutage ülalkirjeldatud meetodit. Kuid on keerulisem juhtum. Vaatleme üht kõige keerulisemat logaritmilise ebavõrdsuse tüüpi. Kuidas selliste tunnustega ebavõrdsust lahendada? Jah, ja selliseid inimesi võib leida ühtsest riigieksamist. Ebavõrdsuse lahendamine järgmisel viisil avaldab soodsat mõju ka teie haridusprotsessile. Vaatame probleemi üksikasjalikult. Heidame teooria kõrvale ja läheme otse praktika juurde. Logaritmiliste võrratuste lahendamiseks piisab, kui end näitega korra kurssi viia. Esitatud vormi logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja taandada parempoolne külg sama alusega logaritmiks. Põhimõte sarnaneb samaväärsete üleminekutega. Selle tulemusena näeb ebavõrdsus välja selline. Tegelikult jääb üle vaid luua logaritmideta ebavõrdsuste süsteem. Ratsionaliseerimismeetodit kasutades liigume edasi samaväärse ebavõrdsuse süsteemi juurde. Reeglist endast saate aru, kui asendate sobivad väärtused ja jälgite nende muutusi. Süsteemis on järgmised ebavõrdsused. Võrratuste lahendamisel ratsionaliseerimismeetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: üks tuleb lahutada alusest, x lahutatakse logaritmi definitsiooni järgi mõlemalt võrratuse poolelt (paremal vasakult), kaks avaldist korrutatakse ja seatakse algse märgi alla nulli suhtes. Edasine lahendus viiakse läbi intervallmeetodil, siin on kõik lihtne. Teil on oluline mõista lahendusmeetodite erinevusi, siis hakkab kõik lihtsalt sujuma. Logaritmilises ebavõrdsuses on palju nüansse. Lihtsamaid neist on üsna lihtne lahendada. Kuidas saate neid kõiki probleemideta lahendada? Olete juba saanud kõik vastused selles artiklis. Nüüd ootab teid ees pikk praktika. Harjutage pidevalt erinevate ülesannete lahendamist eksamil ja saate kõrgeima punktisumma. Edu teile raskes ülesandes!
Lahendusnäited
3x > 24;
x > 8. 
Mida on vaja logaritmiliste võrratuste lahendamiseks?
Kodutöö
Kuidas edukalt valmistuda CT-ks füüsikas ja matemaatikas?
Leidsid vea?
, kui a > 1
, kui 0 <
а <
1
, ja paremal 0..
, st lahendage võrrand 
(ja võrrandi lahendamine on tavaliselt lihtsam kui ebavõrdsuse lahendamine).saadud intervallidel.
Ja isegi kui õpetaja teda tundis, tekkis hirm – kas ühtse riigieksami ekspert teab teda ja miks nad teda koolis ei anna? Oli olukordi, kus õpetaja ütles õpilasele: "Kust sa selle said - 2."
Nüüd propageeritakse seda meetodit kõikjal. Ja ekspertide jaoks on olemas juhised, mis on selle meetodiga seotud, ja „Kõige täielikumates väljaannetes tüüpilised valikud..." Lahendus C3 kasutab seda meetodit.
IMELINE MEETOD!
Vastus. (0; 0,5)U.
Vastus :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , siis kirjutame viimase võrratuse ümber 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Selle komplekti lahenduseks on intervallid 0<у≤2 и 8≤у<+.
see tähendab agregaadid 
. Seega on algne võrratus täidetud kõigi x väärtuste korral intervallidest 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Seetõttu on kõik x vahemikus 0 
Nüüd, kui oleme mõistetega individuaalselt tuttavaks saanud, jätkame nende üldistamist.
Mis on ODZ? ODZ logaritmiliste võrratuste jaoks
Liigume nüüd lihtsaima logaritmilise võrratuse lahendamise juurde.
Algoritm logaritmilise võrratuse lahendamiseks
Logaritmilised võrratused muutuva alusega
