Täna räägime sellest logaritmilised valemid ja anname soovitusliku lahendusnäited.
Nad ise eeldavad lahendusmustreid vastavalt logaritmide põhiomadustele. Enne lahendamiseks logaritmivalemite rakendamist tuletame teile meelde kõiki omadusi:
Nüüd näitame nende valemite (omaduste) põhjal näiteid logaritmide lahendamisest.
Valemite alusel logaritmide lahendamise näited.
Logaritm positiivne arv b alus a (tähistatakse log a b) on eksponent, milleni a tuleb tõsta, et saada b, b > 0, a > 0 ja 1.
Definitsiooni järgi log a b = x, mis on ekvivalentne a x = b-ga, seega log a a x = x.
Logaritmid, näited:
log 2 8 = 3, sest 2 3 = 8
log 7 49 = 2, sest 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, sest 5-1 = 1/5
Kümnendlogaritm- see on tavaline logaritm, mille baas on 10. Seda tähistatakse kui lg.
log 10 100 = 2, sest 10 2 = 100
Naturaalne logaritm- ka tavaline logaritmi logaritm, kuid alusega e (e = 2,71828... - irratsionaalne arv). Tähistatakse kui ln.
Logaritmide valemid või omadused on soovitatav meelde jätta, sest neid läheb meil hiljem logaritmide lahendamisel vaja, logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. Töötame iga valemi uuesti näidetega läbi.
- Põhilogaritmiline identiteet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Toote logaritm võrdne summaga logaritmid
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Jagatise logaritm on võrdne logaritmide erinevusega
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmilise arvu astme ja logaritmi aluse omadused
Logaritmilise arvu eksponent log a b m = mlog a b
Logaritmi aluse eksponent log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
kui m = n, saame log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Üleminek uuele vundamendile
log a b = log c b/log c a,kui c = b, saame log b b = 1
siis log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Nagu näete, pole logaritmide valemid nii keerulised, kui tundub. Nüüd, olles vaadanud logaritmide lahendamise näiteid, saame liikuda edasi logaritmiliste võrrandite juurde. Logaritmvõrrandite lahendamise näiteid vaatame üksikasjalikumalt artiklis: "". Ära igatse!
Kui teil on lahenduse kohta endiselt küsimusi, kirjutage need artikli kommentaaridesse.
Märkus: otsustasime võimalusena omandada teistsuguse hariduse ja õppida välismaal.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne astmega, milleni \(2\) tuleb \(8\) saamiseks tõsta. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).
|
Näited: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
sest \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
sest \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
sest \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument ja logaritmi alus
Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":
Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse logaritmi märgile lähemal asuvas alaindeksis. Ja see sissekanne kõlab järgmiselt: "logaritm kahekümne viiest põhiviieni."
Kuidas arvutada logaritmi?
Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: millisele astmele tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?
Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Milline jõud teeb ükskõik millisest esikoha? Null, muidugi!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esiteks on suvaline arv esimese astmeni võrdne iseendaga.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdosa, mis tähendab, et ruutjuur on astme \(\frac(1)(2)\) aste.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Lahendus :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Peame leidma logaritmi väärtuse, tähistame seda kui x. Nüüd kasutame logaritmi määratlust: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Mis ühendab \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaks, sest mõlemat numbrit saab esitada kahega: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Vasakul kasutame astme omadusi: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Alused on võrdsed, liigume edasi näitajate võrdsuse juurde |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Saadud juur on logaritmi väärtus |
Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Miks leiutati logaritm?
Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi \(x=2\).
Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\). Millega x võrdub? Selles ongi asja mõte.
Targemad ütlevad: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas seda numbrit täpselt kirjutada? Sellele küsimusele vastamiseks leiutati logaritm. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).
Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), meeldib iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid see on lühike. Sest kui me tahtsime seda vormis kirjutada kümnend, siis näeks see välja selline: \(1.892789260714.....\)
Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)
Lahendus :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) ja \(10\) ei saa tuua samasse baasi. See tähendab, et te ei saa ilma logaritmita hakkama. Kasutame logaritmi definitsiooni: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Pöörame võrrandi ümber nii, et X on vasakul |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Enne meid. Liigume \(4\) paremale. Ja ärge kartke logaritmi, käsitlege seda kui tavalist arvu. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Jagage võrrand 5-ga |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
See on meie juur. Jah, see tundub ebatavaline, kuid nad ei vali vastust. |
Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Kümnend- ja naturaallogaritmid
Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega töötati logaritmide jaoks välja spetsiaalne lühike tähistus:
Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).
See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)
Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).
See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.
Põhilogaritmiline identiteet
Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "põhilogaritmiliseks identiteediks" ja see näeb välja järgmine:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame täpselt, kuidas see valem tekkis.
Tuletagem meelde logaritmi määratluse lühikest tähistust:
kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)
See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) kirjutada \(\log_(a)(c)\) asemel \(b\). Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.
Saate leida muid logaritmide omadusi. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.
Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus
Lahendus :
Vastus : \(25\)
Kuidas kirjutada arv logaritmina?
Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).
Kuid \(\log_(3)(9)\) võrdub ka \(2\), mis tähendab, et saame kirjutada ka \(2=\log_(3)(9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Seega võime vajaduse korral kirjutada kaks logaritmina suvalise alusega ükskõik kuhu (olgu see siis võrrandisse, avaldisesse või võrratusse) – me kirjutame aluse lihtsalt argumendina ruudus.
Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada kui \(\log_(2)(8)\), või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \)... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Ja neljaga:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Ja miinus ühega:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)
Ja ühe kolmandikuga:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Näide : Leia väljendi tähendus \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Lahendus :
Vastus : \(1\)
Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Kõigepealt mõistame logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena vaatame, kuidas leitakse logaritmide väärtused nende omaduste abil. Pärast seda keskendume logaritmide arvutamisele teiste logaritmide algselt määratud väärtuste kaudu. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.
Leheküljel navigeerimine.
Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi
Lihtsamal juhul on võimalik teostada üsna kiiresti ja lihtsalt logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.
Selle olemus on esitada arvu b kujul a c, millest logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmisele järgmine võrduste ahel: log a b=log a a c =c.
Seega taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c = b ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.
Võttes arvesse eelmistes lõikudes toodud teavet, kui logaritmimärgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud astmega, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see on võrdne eksponendiga. Näitame näidetele lahendusi.
Näide.
Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka arvu e naturaallogaritm 5,3.
Lahendus.
Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 =−3. Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv võrdub baasiga 2 astmega −3.
Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.
Vastus:
log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.
Kui logaritmi märgi all olev arv b pole määratud logaritmi aluse astmena, peate hoolikalt uurima, kas on võimalik arvu b esitus esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmimärgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2 või 3, ...
Näide.
Arvutage logaritmid log 5 25 ja .
Lahendus.
On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Liigume edasi teise logaritmi arvutamise juurde. Arvu võib esitada astmena 7: 
(vaata vajadusel). Seega 
.
Kirjutame kolmanda logaritmi järgmisel kujul ümber. Nüüd näete seda 
, millest järeldame, et 
. Seega logaritmi definitsiooni järgi 
.
Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt: .
Vastus:
log 5 25=2, 
Ja .
Kui logaritmi märgi all on piisavalt suur naturaalarv, siis poleks kahju seda peamiste tegurite hulka arvesse võtta. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.
Näide.
Leidke logaritmi väärtus.
Lahendus.
Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Nende omaduste hulka kuuluvad ühe logaritmi omadus ja baasiga võrdse arvu logaritmi omadus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1. See tähendab, et kui logaritmi märgi all on arv 1 või arv a, mis on võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid võrdsed vastavalt 0 ja 1-ga.
Näide.
Millega võrdub logaritm ja log10?
Lahendus.
Kuna , siis logaritmi definitsioonist järeldub 
.
Teises näites langeb logaritmimärgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm kümnend on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1.
Vastus:
JA lg10=1 .
Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida arutasime eelmises lõigus) eeldab võrdsuse log a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.
Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on hõlpsasti esitatavad teatud arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit 
, mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatame selle valemi kasutamist illustreeriva logaritmi leidmise näidet.
Näide.
Arvutage logaritm.
Lahendus.
Vastus:
.
Arvutustes kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.
Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide kaudu
Selle lõigu teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Kuid siin on peamine erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1.584963, siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi atribuute kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini on aga vaja kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm läbi etteantud.
Näide.
Arvutage logaritm 27-st aluseni 60, kui teate, et log 60 2=a ja log 60 5=b.
Lahendus.
Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27 = 3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada kujule 3·log 60 3 .
Nüüd vaatame, kuidas väljendada log 60 3 tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1. Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Seega 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Seega log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.
Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Vastus:
log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.
Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi uuele logaritmi alusele 
. See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmidelt kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt liiguvad nad algsest logaritmist üleminekuvalemi abil logaritmidesse ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad nende väärtusi teatud määral arvutada. täpsust. Järgmises lõigus näitame, kuidas seda tehakse.
Logaritmitabelid ja nende kasutamine
Ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi väärtusi logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatav 2 aluse logaritmi tabel, naturaallogaritmi tabel ja kümnendlogaritmi tabel. Sisse töötades kümnendsüsteem Arvutamiseks on mugav kasutada kümne baasil põhinevat logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.
Esitatud tabel võimaldab leida kümnendkoha täpsusega arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime kümnendlogaritmide tabeli abil logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet konkreetne näide- nii on selgem. Leiame log1.256.
Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Arvu kolmas number 1.256 (number 5) asub topeltreast vasakul esimesel või viimasel real (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (number 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (sellele numbrile on ümbritsetud roheline joon). Nüüd leiame numbrid logaritmide tabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranž). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse neljanda kümnendkoha täpsusega, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mille pärast koma on rohkem kui kolm kohta, samuti nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mis ületavad vahemikku 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Arvutame lg102,76332. Kõigepealt peate üles kirjutama number sisse standardvorm : 102,76332=1,0276332·10 2. Pärast seda tuleks mantiss ümardada kolmanda kümnendkohani 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne saadud arvu logaritmiga, st võtame log102.76332≈lg1.028·10 2. Nüüd rakendame logaritmi omadusi: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabelist logaritmi lg1.028 väärtuse lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.
Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Seega 
.
Bibliograafia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).
Juhised
Kirjutage etteantud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjuta avaldis: ln b – naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb arvu b saamiseks baasarvu tõsta.
Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";
Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, mis on korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja lahutada dividendi tuletise korrutisest jagaja funktsiooniga korrutis jagaja tuletise korrutis dividendi funktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Kui on antud kompleksfunktsioon, siis on vaja korrutada sisefunktsiooni tuletis ja välisfunktsiooni tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).
Eespool saadud tulemusi kasutades saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on probleeme tuletise arvutamisega punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leidke funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Arvutage funktsiooni väärtus in antud punkt y"(1)=8*e^0=8
Video teemal
Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab oluliselt aega.
Allikad:
- konstandi tuletis
Niisiis, mis vahe on irratsionaalsel võrrandil ja ratsionaalsel võrrandil? Kui tundmatu muutuja on märgi all ruutjuur, siis peetakse võrrandit irratsionaalseks.
Juhised
Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole konstrueerimise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimese asjana tuleb märgist lahti saada. See meetod ei ole tehniliselt keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand on v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellise võrrandi lahendamine pole keeruline; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis x väärtuse asemel üks Ja parem ja vasak pool sisaldavad avaldisi, millel pole mõtet. See väärtus ruutjuure jaoks ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.
Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema külje ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja kõrvalised juured ära lõigata. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.
Mõelge veel ühele.
2х+vх-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Liiguta ühendeid võrrandid, millel pole ruutjuurt, sisse parem pool ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga ka teist, elegantsemat. Sisestage uus muutuja; vх=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi kujul 2y2+y-3=0. Ehk siis tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vх=1; vх=-3/2. Teisel võrrandil pole juure, leiame, et x=1. Ärge unustage juuri kontrollida.
Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. Selleks peate tegema identiteedi transformatsioonid kuni eesmärk on saavutatud. Seega lahendatakse püstitatud ülesanne lihtsate aritmeetiliste tehete abil.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats.
Juhised
Lihtsaimad sellistest teisendustest on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude erinevus, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju trigonomeetrilised valemid, mis on sisuliselt samad identiteedid.
Tõepoolest, kahe liikme summa ruut võrdne ruuduga esimene pluss kahekordne esimese korrutis teisega ja pluss teise ruut, see on (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Lihtsustage mõlemat
Lahenduse üldpõhimõtted
Korrake matemaatilise analüüsi või kõrgema matemaatika õpikust, mis on kindel integraal. Nagu teada, lahendus kindel integraal on funktsioon, mille tuletis annab integrandi. Seda funktsiooni nimetatakse antiderivatiivseks. Kõrval see põhimõte ja konstrueerib põhiintegraalid.Määra integrandi tüübi järgi, milline tabeliintegraalidest on antud juhul sobiv. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.
Muutuja asendamise meetod
Kui integrand on trigonomeetriline funktsioon, mille argument on polünoom, proovige kasutada muutujate muutmise meetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uute ja vanade muutujate vahelise seose põhjal määrake lõimimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii et sa saad uut tüüpi eelmise integraaliga, mis on lähedane mis tahes tabeli integraalile või isegi sellele vastav.Teist tüüpi integraalide lahendamine
Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorvorm, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele üleminekureegleid. Üks selline reegel on Ostrogradski-Gaussi suhe. See seadus võimaldab liikuda teatud vektorfunktsiooni rootori voo juurest kolmikintegraalile antud vektorivälja lahknemise kohal.Integratsioonipiirangute asendamine
Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Esmalt asenda ülempiiri väärtus antiderivaadi avaldisega. Sa saad mingi numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust antiderivaati teine alampiirist saadud arv. Kui integratsiooni üheks piiriks on lõpmatus, siis selle asendamisel antiderivatiivne funktsioon tuleb minna piirini ja leida, mille poole väljend püüdleb.Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, peate integraali piire geomeetriliselt esitama, et mõista, kuidas integraali hinnata. Tõepoolest, näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul võivad integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat mahtu.
Vaatleme võrrandit a x = b, kui a > 0 ja a ei ole võrdne ühega. Sellel võrrandil pole lahendeid, kui b on nullist väiksem või sellega võrdne. Ja sellel on ainulaadne lahendus b > 0 jaoks. Seda lahendit nimetatakse b aluse a b logaritmiks ja seda tähistatakse järgmiselt:
loga(b)
Arvu b ja aluse f logaritmi nimetatakse eksponent, milleni tuleb arvu b saamiseks tõsta arv a.
a(log a(b)) = b.
Seda valemit nimetatakse põhilogaritmiline identiteet. See kehtib iga positiivse kohta võrdne ühega a ja mis tahes positiivne b.
Logaritmide näited
Vaatame mõnda näidet:
1. Leidke log 2 (32) väärtus. 32 võib esitada kui 2 5. See tähendab, et numbri 32 saamiseks peame tõstma kaks viienda astmeni. Seetõttu log 2 (32) = 5.
2. Leidke 1/9 aluse √3 logaritm. Kuna (√3) 4 = 1/9, saame log √3 (1/9) = -4.
3. Leidke x selline, mille võrratus on tõene: log 8 (x) = 1/3. Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:
x = 8 (log 8 (x)) = 8 (1/8) = 2.
Logaritmide omadused
Logaritmidel on mitmeid omadusi, mis tulenevad otseselt omadustest eksponentsiaalne funktsioon. Logaritmide põhiomadused:
1. log a (1) = 0;
2. log a (a) = 1;
3. log a (x*y) = log a (x) + log a (x) - korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga;
4. log x (x/y) = log a (x) - log a (y) - jagatise logaritm võrdub logaritmide vahega;
5. log a (x p) = p* log a (x) - astme logaritm on võrdne tootega astendaja selle astme aluse logaritmi järgi.
Ülaltoodud omadused kehtivad mis tahes positiivse arvu korral A, mis ei ole võrdne ühega, mis tahes positiivne x ja y ning mis tahes tegelik p.
Logaritmide jaoks on uude baasi liikumise valem:
log a (x) = (log b (x))/(log b (a)).
Sellel valemil on mõte ainult siis, kui selle mõlemad osad on mõistlikud. See tähendab, et peavad olema täidetud järgmised tingimused:
x > 0, a > 0, b > 0, a ei ole võrdne ühega b ei ole võrdne ühega.
Nimetatakse logaritme, mille baas on arv 10 kümnendlogaritmid . Kutsutakse logaritme, mille baas on arv e naturaallogaritmid.