Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.
Число e означает рост
Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, e x позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии "сложных процентов".
Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:
e x = e процент * время = e 1.0 * время = e время
Очевидно, что e x означает:
- насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
- например, через 3 промежутка времени я получу в e 3 = 20.08 раз больше "штуковин".
e x - это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.
Натуральный логарифм означает время
Натуральный логарифм - это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali , отсюда и появилась аббревиатура ln.
И что эта инверсия или противоположность означает?
- e x позволяет нам подставить время и получить рост.
- ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.
Например:
- e 3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
- ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).
Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.
Этот нестандартный логарифмический счёт
Вы проходили логарифмы - это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.
Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?
Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.
- ln(1) = 0
Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.
Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы "вырастить" колонию бактерий от 1 до -3?
Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ... минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.
- ln(отрицательное число) = неопределено
"Неопределено" означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.
Логарифмическое умножение - просто умора
Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.
Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):
- Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)
Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.
Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).
Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?
Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем "вернитесь во времени" к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.
Использование натурального логарифма при произвольном росте
Ну конечно, - скажете вы, - это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?"
Нет проблем. "Время", которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e x . Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.
Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:
- e x = рост
- e 3.4 = 30
Очевидно, это уравнение означает "100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз". Мы можем записать это уравнение в таком виде:
- e x = e ставка*время
- e 100% * 3.4 года = 30
Мы можем менять значения "ставки" и "времени", лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост - сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?
- ln(30) = 3.4
- ставка * время = 3.4
- 0.05 * время = 3.4
- время = 3.4 / 0.05 = 68 лет
Я рассуждаю так: "ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое".
- 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 .
Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.
Отпадный пример: Правило семидесяти двух
Правило семидесяти двух - математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.
Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?
Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.
Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет - в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.
Так, а что если процентная ставка - не 100%, а скажем, 5% или 10%?
Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:
- ставка * время = 0.693
- время = 0.693 / ставка
Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.
Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить "10", а не "0.10":
- время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.
Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 - не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.
- время на удвоение = 72 / ставка
что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.
Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить
- время на утроение = 110 / ставка
Что является ещё одним полезным правилом. "Правило 72" применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.
Что дальше?
Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл - он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e - универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.
Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте "время, нужное, чтобы вырасти в Х раз". В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.
Дополнение: Натуральный логарифм от e
Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?
- математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
- понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в "е" раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.
Мыслите ясно.
9 сентября 2013Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN
При условии, что
,
,
Из определения логарифма
следует, что
,
т.е.
- это равенство является основным
логарифмическим тождеством.
Логарифмы по основанию 10
называются десятичными логарифмами.
Вместо
пишут
.
Логарифмы по основанию e
называются натуральными и обозначаются
.
Основные свойства логарифмов.
Логарифм единицы при любом основании равен нулю
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
3) Логарифм частного равен разности логарифмов
Множитель
называется модулем перехода от логарифмов
при основанииa
к логарифмам при основанииb
.
С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.
Например,
Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.
Глава 2. Элементы высшей математики.
1. Пределы
Пределом функции
является конечное число А, если при
стремлении xx
0
для каждого наперед заданного
,
найдется такое число
,
что как только
,
то
.
Функция, имеющая предел, отличается от
него на бесконечно малую величину:
,
где- б.м.в., т.е.
.
Пример. Рассмотрим функцию
.
При стремлении
,
функцияy
стремится к нулю:
1.1. Основные теоремы о пределах.
Предел постоянной величины равен этой постоянной величине
.
Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.
Замечательные пределы
,
,
где
1.2. Примеры вычисления пределов
Однако, не все пределы вычисляются так
просто. Чаще вычисление предела сводится
к раскрытию неопределенности типа:
или
.
.
2. Производная функции
Пусть мы имеем функцию
,
непрерывную на отрезке
.
Аргумент
получил некоторое приращение
.
Тогда и функция получит приращение
.
Значению аргумента
соответствует значение функции
.
Значению аргумента
соответствует значение функции
.
Следовательно, .
Найдем предел этого отношения при
.
Если этот предел существует, то он
называется производной данной функции.
Определение 3Производной данной функции
по
аргументу
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента произвольным
образом стремится к нулю.
Производная функции
может быть обозначена следующим образом:
;
;
;
.
Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.
2.1. Механический смысл производной.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.
Пусть в некоторый момент времени
движущаяся
точка
находилась на расстоянии
от начального положения
.
Через некоторый
промежуток времени
она переместилась на расстояние
.
Отношение
=
- средняя скорость материальной точки
.
Найдем предел этого отношения, учитывая
что
.
Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.
2.2. Геометрическое значение производной
Пусть у нас
есть графически заданная некоторая
функция
.
Рис. 1. Геометрический смысл производной
Если
,
то точка
,
будет перемещаться по кривой, приближаясь
к точке
.
Следовательно
,
т.е. значение производной при данном
значении аргумента
численно равняется тангенсу угла
образованного касательной в данной
точке с положительным направлением оси
.
2.3. Таблица основных формул дифференцирования.
Степенная функция
|
|
|
|
|
|
|
Показательная функция
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция
|
|
|
|
|
Тригонометрическая функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная тригонометрическая функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Правила дифференцирования.
Производная от
Производная суммы (разности) функций
Производная произведения двух функций
Производная частного двух функций
2.5. Производная от сложной функции.
Пусть дана функция
такая, что ее можно представить в виде
и
,
где переменная
является промежуточным аргументом,
тогда
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.
Пример1.
Пример2.
3. Дифференциал функции.
Пусть есть
,
дифференцируемая на некотором отрезке
и пустьу
этой функции есть производная
,
тогда можно записать
(1),
где
- бесконечно малая величина,
так как при
Умножая все члены равенства (1) на
имеем:
Где
-
б.м.в. высшего порядка.
Величина
называется дифференциалом функции
и обозначается
.
3.1. Геометрическое значение дифференциала.
Пусть дана функция
.
Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.
.
Очевидно, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной
в данной точке.
3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.
Если есть
,
тогда
называется первой производной.
Производная от первой производной
называется производной второго порядка
и записывается
.
Производной n-го порядка
от функции
называется производная (n-1)-го
порядка и записывается:
.
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
.
.
3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.
Задача1.
Исследования показали, что рост колонии
микроорганизмов подчиняется закону
,
гдеN
– численность микроорганизмов (в тыс.),t
–время (дни).
б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?
Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.
Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезt дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением
.
Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?
РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.
,
Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.
Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.
\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).
|
Примеры: |
\(\log_{5}{25}=2\) |
т.к. \(5^{2}=25\) |
||
|
\(\log_{3}{81}=4\) |
т.к. \(3^{4}=81\) |
|||
|
\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\) \(=-5\) |
т.к. \(2^{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)
|
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
\(\log_{4}{16}=2\)
\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из мы знаем, что – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\) .
\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)
Пример : Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)
Решение :
|
\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
\((4\sqrt{2})^{x}=8\) |
Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить двойки: |
|
|
\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\) |
Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\) |
|
|
\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
\(\frac{5x}{2}\) \(=3\) |
|
Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\) |
|
|
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ : \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).
А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).
Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число . Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)
Пример : Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)
Решение :
|
\(4^{5x-4}=10\) |
\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
\(\log_{4}{10}=5x-4\) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
\(5x-4=\log_{4}{10}\) |
Перед нами . Перенесем \(4\) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
\(5x=\log_{4}{10}+4\) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\) |
|
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).
То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\)
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).
То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\) , где \(a\) - некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
| \(a^{\log_{a}{c}}=c\) |
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если \(a^{b}=c\), то \(\log_{a}{c}=b\)
То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a^{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a^{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример : Найдите значение выражения \(36^{\log_{6}{5}}\)
Решение :
Ответ : \(25\)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).
Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается
\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)
И с четверкой:
\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)
И с минус единицей:
\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\) \(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\) \(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\) \(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\) \(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\) \(...\)
И с одной третьей:
\(\frac{1}{3}\) \(=\log_{2}{\sqrt{2}}=\log_{3}{\sqrt{3}}=\log_{4}{\sqrt{4}}=\log_{5}{\sqrt{5}}=\log_{6}{\sqrt{6}}=\log_{7}{\sqrt{7}}...\)
Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b^{a}}\)
Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)
Решение :
Ответ : \(1\)
В центре внимания этой статьи – логарифм . Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.
Навигация по странице.
Определение логарифма
Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.
Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.
Определение.
Логарифм числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы в результате получить b .
На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.
Сразу введем обозначение логарифма : логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log a b . Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .
Теперь можно привести : .
А записи 
не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Теперь скажем о правилах чтения логарифмов . Запись log a b читается как «логарифм b по основанию a ». Например, log 2 3 - это логарифм трех по основанию 2 , а - это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом , а запись lnb читается как «натуральный логарифм b ». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм , а запись lgb читается как «десятичный логарифм b ». Например, lg1 - это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 - десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.
Стоит отдельно остановиться на условиях a>0 , a≠1 и b>0 , при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Начнем с a≠1 . Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1 , но при этом log 1 1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1 .
Обоснуем целесообразность условия a>0 . При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0 . Но тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0 , так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p , то логарифм числа b по основанию a равен p . То есть, справедливо равенство log a a p =p . Например, мы знаем, что 2 3 =8 , тогда log 2 8=3 . Подробнее об этом мы поговорим в статье
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
[Подпись к рисунку]
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log 5 25
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Получили ответ: 2.
Задача. Вычислите логарифм:
[Подпись к рисунку]
Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x
= log 10 x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e
? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e
= 2,718281828459...
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e
— основание натурального логарифма:
ln x
= log e
x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.