วิธีหาความยาวของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง สัญญาณเพียงพอของการเพิ่มและลดการทำงาน

บนพื้นฐานของสัญญาณที่เพียงพอจะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชัน

นี่คือสูตรของสัญญาณ:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)บวกสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นโดย NS;
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)เชิงลบสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะลดลง NS.

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันจึงมีความจำเป็น:

• ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• เพิ่มจุดขอบเขตในช่วงเวลาผลลัพธ์ที่มีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่อง

ลองดูตัวอย่างเพื่อชี้แจงอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

หาช่วงของการเพิ่มและลดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาพื้นที่ของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรหายไป ดังนั้น

มาดูอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้อสมการ และ บนขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีการช่วงเวลา รูทที่ถูกต้องเพียงตัวเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนหายไปที่ x = 0... จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายไว้ มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวนกัน โดยค่าบวกและค่าลบ ตามอัตภาพเราแสดงถึงช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแผนผังแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้น, และ .

ณ จุดนั้น x = 2ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นควรเพิ่มในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ณ จุดนั้น x = 0ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้น เราไม่รวมจุดนี้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เราให้กราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับมัน

ตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงตามช่วงเวลา (0; 2] .

- จุดสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ให้ฟังก์ชัน f (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลานั้น ไม่ให้เป็นเสียงเดียว มีส่วนดังกล่าว [,] ของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่จุดภายในได้ค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด กล่าวคือ ระหว่างและ.

ฟังก์ชัน f (x) มีค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ที่จุดหนึ่ง หากจุดนี้สามารถล้อมรอบด้วยย่านใกล้เคียง (x 0 -, x 0 +) ในช่วงเวลาที่กำหนดฟังก์ชันดังกล่าวจะทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน ถือไว้สำหรับคะแนนทั้งหมด

ฉ (x)< f(x 0)(или f(x)>ฉ (x 0))

กล่าวอีกนัยหนึ่งจุด x 0 ให้ฟังก์ชัน f (x) สูงสุด (ต่ำสุด) หากค่า f (x 0) กลายเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ที่ฟังก์ชันใช้ในบางส่วน (ที่ น้อยที่สุด) บริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความสูงสุดของค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถือว่าฟังก์ชันนั้นระบุไว้ทั้งสองด้านของจุด x 0

หากมีย่านใกล้เคียงซึ่ง (สำหรับ x = x 0) ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด

ฉ (x) ฉ (x 0)

จากนั้นฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเองที่จุด x 0 มิฉะนั้นฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันที่ไม่เหมาะสม

หากฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่จุด x 0 และ x 1 จากนั้น ใช้ทฤษฎีบท Weierstrass ที่สองกับช่วงเวลา เราจะเห็นว่าฟังก์ชันมีค่าน้อยที่สุดในช่วงเวลานี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 2 ระหว่าง x 0 ถึง x 1 และมี ขั้นต่ำที่นั่น ในทำนองเดียวกัน มีค่าสูงสุดระหว่างสองระดับต่ำสุด ในกรณีที่ง่ายที่สุด (และในทางปฏิบัติ - สำคัญที่สุด) เมื่อฟังก์ชันโดยทั่วไปมี maxima และ minima ในจำนวนจำกัด พวกมันก็แค่สลับกัน

โปรดทราบว่าในการกำหนดสูงสุดหรือต่ำสุด ยังมีคำที่รวมกันเป็นหนึ่ง - สุดโต่ง

แนวคิดของค่าสูงสุด (max f (x)) และค่าต่ำสุด (f ต่ำสุด (x)) เป็นคุณสมบัติเฉพาะของฟังก์ชันและเกิดขึ้นที่จุดหนึ่ง x 0 แนวคิดของค่าสูงสุด (sup f (x)) และค่าน้อยที่สุด (inf f (x)) หมายถึงเซ็กเมนต์จำกัด และเป็นคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

รูปที่ 1 แสดงว่าที่จุด x 1 และ x 3 มีจุดสูงสุดในพื้นที่ และที่จุด x 2 และ x 4 จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันมาถึงค่าที่น้อยที่สุดที่จุด x = a และค่าที่มากที่สุดคือ ที่จุด x = b

ให้เราสร้างปัญหาในการค้นหาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่ให้ฟังก์ชันสุดโต่ง อนุพันธ์จะมีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหา

ขั้นแรก สมมติว่ามีอนุพันธ์จำกัดสำหรับฟังก์ชัน f (x) ในช่วง (a, b) หากที่จุด x 0 ฟังก์ชันมีจุดสิ้นสุด ให้ใช้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์กับช่วง (x 0 -, x 0 +) ซึ่งได้อธิบายไว้ข้างต้น เราสรุปได้ว่า f (x) = 0 ประกอบด้วย เงื่อนไขที่จำเป็นสุดขั้ว ค่าสูงสุดควรค้นหาเฉพาะจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าทุกจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด: เงื่อนไขที่จำเป็นเพียงระบุไม่เพียงพอ

ช่องว่างจากน้อยไปมากและจากมากไปน้อยให้ข้อมูลที่สำคัญมากเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน การค้นหาสิ่งเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของการวิจัยฟังก์ชันและกระบวนการวางแผน นอกจากนี้ จุดสุดขั้วที่มีการเปลี่ยนแปลงจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้นจะได้รับ ความสนใจเป็นพิเศษเมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทความนี้เราจะให้ คำจำกัดความที่จำเป็นเราจะกำหนดเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดโต่ง เราจะนำทฤษฎีทั้งหมดนี้ไปใช้กับการแก้ปัญหาของตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

เพิ่มและลดฟังก์ชันตามช่วงเวลา

การกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน y = f (x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X หากมี และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้น

การกำหนดฟังก์ชันที่ลดลง

ฟังก์ชัน y = f (x) ลดลงในช่วง X หากมี และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ ... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งน้อยลง

หมายเหตุ: หากฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องที่ส่วนท้ายของช่วงการเพิ่มขึ้นหรือลดลง (a; b) นั่นคือสำหรับ x = a และ x = b จุดเหล่านี้จะรวมอยู่ในช่วงการเพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลา X

ตัวอย่างเช่น จากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เรารู้ว่า y = sinx ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น จากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันไซน์บนช่วงเวลา เราสามารถยืนยันการเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาได้

จุดสุดขั้ว สุดขั้วของฟังก์ชัน

ประเด็นที่เรียกว่า จุดสูงสุดฟังก์ชัน y = f (x) ถ้าอสมการถือ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นสูงสุดและแสดงว่า

ประเด็นที่เรียกว่า จุดต่ำสุดฟังก์ชัน y = f (x) ถ้าอสมการถือ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงว่า

บริเวณใกล้เคียงของจุดเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วง โดยที่จำนวนบวกน้อยเพียงพอ

จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกว่า จุดสุดขีดและเรียกค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดสุดขั้ว สุดขั้วของฟังก์ชัน.

อย่าสับสนสุดขั้วของฟังก์ชันที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในรูปแรก คุ้มค่าที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์จะไปถึงจุดสูงสุดและเท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน และในรูปที่สอง ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะไปถึงที่จุด x = b ซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

บนพื้นฐานของเงื่อนไขที่เพียงพอ (สัญญาณ) ของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันจะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้คือสูตรของสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลา:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) เป็นค่าบวกสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้นเป็น X
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) เป็นลบสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X ฟังก์ชันจะลดลงใน X

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันจึงมีความจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างการหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

หาช่วงของการเพิ่มและลดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาขอบเขตของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรหายไป ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและในขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีการช่วงเวลา รูทที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวของตัวเศษคือ x = 2 และตัวส่วนหายไปที่ x = 0 จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายไว้ มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวนกัน โดยค่าบวกและค่าลบ ตามอัตภาพเราแสดงถึงช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแผนผังแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้น, และ .

ณ จุดนั้น x = 2 ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นจึงควรเพิ่มช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ที่จุด x = 0 ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้น เราจะไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เราให้กราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับมัน

ตอบ:

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย ลดลงในช่วงเวลา (0; 2]

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชัน

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้สัญญาณใดก็ได้จากสามสัญญาณของ extremum หากฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไข ที่ธรรมดาและสะดวกที่สุดคืออันแรก

เงื่อนไขแรกเพียงพอสำหรับสุดโต่ง

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f (x) หาอนุพันธ์ได้ใน -เพื่อนบ้านของจุด และต่อเนื่องที่จุดนั้นเอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสุดโต่งตามคุณลักษณะแรกของปลายสุดของฟังก์ชัน

• ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน
• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความ
• เรากำหนดศูนย์ของตัวเศษ, ศูนย์ของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนของคำจำกัดความที่ไม่มีอนุพันธ์ (จุดทั้งหมดที่ระบุไว้ถูกเรียก จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้เมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายของมันได้)
• จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของฟังก์ชันออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์รักษาเครื่องหมายไว้ กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (เช่น การคำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง)
• เราเลือกจุดที่ฟังก์ชั่นต่อเนื่องและผ่านจุดนั้นการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ - เป็นจุดสุดขั้ว

มีคำมากเกินไป มาลองพิจารณาตัวอย่างหลายๆ ตัวของการหาจุดสุดขั้วและสุดโต่งของฟังก์ชันโดยใช้เงื่อนไขที่เพียงพออันดับแรกสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

หาค่าเอ็กซ์ตรีมาของฟังก์ชัน

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = 2

ค้นหาอนุพันธ์:

ศูนย์ของตัวเศษคือจุด x = -1 และ x = 5 ตัวส่วนจะหายไปที่ x = 2 เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนตัวเลข

กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง สำหรับสิ่งนี้ เราจะคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ของแต่ละช่วง เช่น ที่จุด x = -2, x = 0, x = 3 และ x = 6 .

ดังนั้น ในช่วงเวลา อนุพันธ์จึงเป็นค่าบวก (ในรูป เราใส่เครื่องหมายบวกเหนือช่วงเวลานี้) เช่นเดียวกัน

ดังนั้น เราใส่เครื่องหมายลบเหนือช่วงที่สอง ลบเหนือช่วงที่สาม และบวกเหนือช่วงที่สี่

ยังคงต้องเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ นี่คือจุดสุดขั้ว

ณ จุดนั้น x = -1 ฟังก์ชันต่อเนื่องและอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ดังนั้น ตามเครื่องหมายแรกของปลายสุดขีด x = -1 คือจุดสูงสุด ซึ่งสอดคล้องกับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน .

ณ จุดนั้น x = 5 ฟังก์ชันต่อเนื่องและเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้น x = -1 เป็นจุดต่ำสุด จึงสอดคล้องกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน .

ภาพประกอบกราฟิก

ตอบ:

โปรดทราบ: เกณฑ์ที่เพียงพอประการแรกสำหรับ extremum ไม่ต้องการให้ฟังก์ชันนี้สร้างความแตกต่างได้ ณ จุดนั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขั้วและสุดขั้วของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ณ จุดนั้น x = 0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีด จำกัด ด้านเดียวไม่ตรงกับเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์:

ในเวลาเดียวกัน ฟังก์ชันเดิมจะต่อเนื่องที่จุด x = 0 (ดูหัวข้อการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง):

มาหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์หายไป:

เราทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดที่ได้รับบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งของแต่ละช่วงเวลา เช่น at x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6.

นั่นคือ,

ดังนั้น ตามสัญญาณแรกของปลายสุด จุดต่ำสุดคือ , คะแนนสูงสุดคือ .

เราคำนวณค่าต่ำสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

เราคำนวณค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

ภาพประกอบกราฟิก

ตอบ:

.

เครื่องหมายที่สองของปลายสุดของฟังก์ชัน

อย่างที่คุณเห็น คุณลักษณะของส่วนปลายของฟังก์ชันจำเป็นต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยถึงลำดับที่สอง ณ จุดหนึ่ง

การกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

การทำงาน y = ฉ (x)เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา NSถ้ามีและ ความไม่เท่าเทียมกันถือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้น

การกำหนดฟังก์ชันที่ลดลง

การทำงาน y = ฉ (x)ลดลงในช่วงเวลา NSถ้ามีและ ความไม่เท่าเทียมกันถือ ... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งน้อยลง

หมายเหตุ: ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงการเพิ่มขึ้นหรือลดลง (ก; ข), นั่นคือ, สำหรับ x = เป็และ x = ขจากนั้นจุดเหล่านี้จะรวมอยู่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลา NS.

ตัวอย่างเช่น จากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เรารู้ว่า y = ซินซ์ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น จากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันไซน์บนช่วงเวลา เราสามารถยืนยันการเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาได้

จุดสุดขั้ว สุดขั้วของฟังก์ชัน

ประเด็นที่เรียกว่า จุดสูงสุดฟังก์ชั่น y = ฉ (x)ถ้าทั้งหมด NSความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นความจริงจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นสูงสุดและแสดงว่า

ประเด็นที่เรียกว่า จุดต่ำสุดฟังก์ชั่น y = ฉ (x)ถ้าทั้งหมด NSความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นความจริงจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงว่า

บริเวณใกล้เคียงของจุดเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วง โดยที่จำนวนบวกน้อยเพียงพอ

จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกว่า จุดสุดขีดและเรียกค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดสุดขั้ว สุดขั้วของฟังก์ชัน.

อย่าสับสนสุดขั้วของฟังก์ชันที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในรูปแรก ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์ ถึงจุดสูงสุดและเท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชันและในรูปที่สอง - ถึงค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่จุด x = ขซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

บนพื้นฐานของเงื่อนไขที่เพียงพอ (สัญญาณ) ของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันจะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้คือสูตรของสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลา:

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)บวกสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นโดย NS;

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)เชิงลบสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะลดลง NS.

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันจึงมีความจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างการหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

หาช่วงของการเพิ่มและลดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาพื้นที่ของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรหายไป ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและในขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีการช่วงเวลา รูทที่ถูกต้องเพียงตัวเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนหายไปที่ x = 0... จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายไว้ มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวนกัน โดยค่าบวกและค่าลบ ตามอัตภาพเราแสดงถึงช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแผนผังแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง

อนุพันธ์ หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นค่าบวกสำหรับจุดใดๆ ของช่วงเวลา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น หากเป็นค่าลบ ค่าจะลดลง

ในการหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน คุณต้องหาโดเมนของคำจำกัดความ อนุพันธ์ แก้อสมการของรูปแบบ F ’(x)> 0 และ F’ (x)

สารละลาย.

3. ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกัน y ’> 0 และ y’ 0;
(4 - x) / x³

สารละลาย.
1. หาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันกัน แน่นอน นิพจน์ในตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น 0 จึงไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ: มีการกำหนดฟังก์ชันสำหรับ x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. ลองคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
y '(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² - (3 x² + 2 x - 4) · (x²) ') / x ^ 4 = ((6 x + 2) · x² - ( 3 · x² + 2 · x - 4) · 2 · x) / x ^ 4 = (6 · x³ + 2 · x² - 6 · x³ - 4 · x² + 8 · x) / x ^ 4 = (8 · x - 2 · x²) / x ^ 4 = 2 · (4 - x) / x³

3. ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกัน y ’> 0 และ y’ 0;
(4 - x) / x³

4. ทางซ้ายมือของอสมการมี x = 4 จริง 1 ตัวและเปลี่ยนเป็น x = 0 ดังนั้นค่า x = 4 จึงรวมทั้งค่าช่วงและช่วงการลดลง และไม่รวมจุด 0 .
ดังนั้น ฟังก์ชันที่ต้องการจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา x ∈ (-∞; 0) ∪

4. ทางซ้ายมือของอสมการมี x = 4 จริง 1 ตัวและเปลี่ยนเป็น x = 0 ดังนั้นค่า x = 4 จึงรวมทั้งค่าช่วงและช่วงการลดลง และไม่รวมจุด 0 .
ดังนั้น ฟังก์ชันที่ต้องการจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา x ∈ (-∞; 0) ∪

ที่มา:

• วิธีค้นหาช่วงเวลาของการลดลงในฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคือการพึ่งพาอาศัยกันอย่างเข้มงวดของตัวเลขหนึ่งกับอีกจำนวนหนึ่ง หรือค่าของฟังก์ชัน (y) บนอาร์กิวเมนต์ (x) แต่ละกระบวนการ (ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์) สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันของมันเอง ซึ่งจะมี ลักษณะเฉพาะ: ช่วงเวลาของการลดลงและเพิ่มขึ้น จุดต่ำสุดและสูงสุด และอื่นๆ

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาช่วงเวลาของการลดลง f (x) = sinx + x
อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะเป็น: f '(x) = cosx + 1
การแก้อสมการ cosx + 1

ช่วงเวลา ความน่าเบื่อฟังก์ชันสามารถเรียกได้ว่าเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้น แถว การกระทำบางอย่างจะช่วยในการค้นหาช่วงดังกล่าวสำหรับฟังก์ชัน ซึ่งมักจำเป็นในปัญหาพีชคณิตประเภทนี้

คำแนะนำ

ขั้นตอนแรกในการแก้ปัญหาการกำหนดช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงแบบโมโนโทนคือการคำนวณฟังก์ชันนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค้นหาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ (ค่าบนแกน abscissa) ที่สามารถหาค่าของฟังก์ชันได้ ทำเครื่องหมายจุดที่สังเกตเห็นการแตก หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เมื่อคุณระบุนิพจน์ที่แสดงถึงอนุพันธ์แล้ว ให้ตั้งค่าเป็นศูนย์ หลังจากนั้นคุณควรหารากของผลลัพธ์ ไม่เกี่ยวกับพื้นที่ที่อนุญาต

จุดที่ฟังก์ชันหรืออนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์แสดงถึงขอบเขตของช่วงเวลา ความน่าเบื่อ... ควรป้อนช่วงเหล่านี้รวมถึงจุดที่แยกกันในตารางตามลำดับ ค้นหาเครื่องหมายอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ได้รับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่อาร์กิวเมนต์ใดๆ จากช่วงลงในนิพจน์ที่สอดคล้องกับอนุพันธ์ หากผลลัพธ์เป็นบวก ฟังก์ชันในช่วงที่กำหนดจะเพิ่มขึ้น มิฉะนั้น จะลดลง ผลลัพธ์จะถูกป้อนลงในตาราง

บรรทัดที่แสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f '(x) นั้นเขียนตามค่าของอาร์กิวเมนต์: "+" - ถ้าอนุพันธ์เป็นค่าบวก "-" - ค่าลบหรือ "0" - เท่ากับศูนย์ ในบรรทัดถัดไป ให้สังเกตความซ้ำซากจำเจของนิพจน์ดั้งเดิม ลูกศรขึ้นสอดคล้องกับจากน้อยไปมาก, ลง - เพื่อลด ตรวจสอบคุณสมบัติ นี่คือจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ สุดขั้วสามารถเป็นได้ทั้งสูงหรือต่ำ หากส่วนก่อนหน้าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้น และส่วนปัจจุบันลดลง นี่คือจุดสูงสุด ในกรณีที่ฟังก์ชันลดลงจนถึงจุดที่กำหนด และตอนนี้กำลังเพิ่มขึ้น นี่คือจุดต่ำสุด ป้อนค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายสุดลงในตาราง

ที่มา:

• นิยามของความน่าเบื่อคืออะไร

การศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่มีการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนจะดำเนินการโดยใช้อนุพันธ์ โดยธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงในอนุพันธ์สามารถหาได้ จุดวิกฤตและพื้นที่ของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง

เสียงเดียว

มาก ทรัพย์สินที่สำคัญหน้าที่คือความซ้ำซากจำเจ เมื่อทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันพิเศษต่างๆ นี้แล้ว จึงสามารถกำหนดพฤติกรรมของกระบวนการต่างๆ ทางกายภาพ เศรษฐกิจ สังคม และกระบวนการอื่นๆ ได้

ประเภทของฟังก์ชัน monotonicity ต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

1) การทำงาน กำลังเพิ่มขึ้นหากเป็นช่วงใดช่วงหนึ่ง ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดและช่วงนี้เป็นที่พอใจนั้น เหล่านั้น. ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มากเท่าใด ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

2) การทำงาน ลดลงหากเป็นช่วงใดช่วงหนึ่ง ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดและช่วงนี้เป็นที่พอใจนั้น เหล่านั้น. ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

3) การทำงาน ไม่ลดลง, หากเป็นช่วงใดช่วงหนึ่ง, ถ้าสำหรับสองจุดใด ๆ และช่วงนี้เป็นที่น่าพอใจว่า;

4) การทำงาน ไม่เพิ่มขึ้นหากเป็นช่วงใดช่วงหนึ่ง ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดและช่วงนี้เป็นที่พอใจนั้น

2. สำหรับสองกรณีแรก คำว่า "ความซ้ำซากจำเจอย่างเข้มงวด" ก็ใช้เช่นกัน

3. สองกรณีสุดท้ายมีความเฉพาะเจาะจงและมักจะระบุเป็นองค์ประกอบของหลายหน้าที่

4. แยกจากกัน เราทราบว่าการเพิ่มขึ้นและลดลงของกราฟฟังก์ชันควรพิจารณาจากซ้ายไปขวาและไม่มีอะไรอื่น

2. ความเท่าเทียมกัน / คี่

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคี่ถ้าเมื่อเครื่องหมายอาร์กิวเมนต์เปลี่ยน มันจะเปลี่ยนค่าเป็นตรงกันข้าม สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับสิ่งนี้มีลักษณะเช่นนี้ ... ซึ่งหมายความว่าหลังจากแทนค่า x ทั้งหมดในฟังก์ชันแทนค่า "ลบ x" ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด:

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคู่ถ้าเมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอาร์กิวเมนต์ มันไม่เปลี่ยนค่าของมัน สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับสิ่งนี้มีลักษณะเช่นนี้ ซึ่งหมายความว่าหลังจากแทนค่า x ทั้งหมดในฟังก์ชันแทนค่า "ลบ x" แล้ว ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงตามผลลัพธ์ กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน

ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขคู่ เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น เรามาแสดงความสมมาตรของกราฟเกี่ยวกับแกนกัน:

หากฟังก์ชันไม่อยู่ในประเภทใดที่ระบุ จะเรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่ หรือ การทำงาน ปริทัศน์ ... ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่มีความสมมาตร

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันดังกล่าว คือฟังก์ชันเชิงเส้นตรงที่ทบทวนล่าสุดพร้อมกราฟ:

3. คุณสมบัติพิเศษหน้าที่คือ เป็นระยะ

ความจริงก็คือฟังก์ชันคาบซึ่งพิจารณาในมาตรฐาน หลักสูตรโรงเรียนเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่านั้น เราได้พูดถึงรายละเอียดแล้วเมื่อศึกษาหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ฟังก์ชันเป็นระยะเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อมีการเพิ่มจำนวนคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในอาร์กิวเมนต์

จำนวนขั้นต่ำนี้เรียกว่า ระยะเวลาของการทำงานและเขียนแทนด้วยจดหมาย

สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับสิ่งนี้มีดังนี้: .

ลองดูคุณสมบัตินี้โดยใช้กราฟไซน์เป็นตัวอย่าง:

จำได้ว่าคาบของฟังก์ชันและคือและคาบและ -

ดังที่เราทราบแล้ว อาจมีช่วงเวลาที่ไม่เป็นมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน มันคือเกี่ยวกับฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

ระยะเวลาของพวกเขาเท่ากัน และเกี่ยวกับฟังก์ชั่น:

ระยะเวลาของพวกเขาเท่ากัน

อย่างที่คุณเห็น ในการคำนวณรอบระยะเวลาใหม่ ระยะเวลามาตรฐานจะคูณด้วยอาร์กิวเมนต์เพียงอย่างเดียว ไม่ขึ้นอยู่กับการปรับเปลี่ยนฟังก์ชันอื่นๆ

ข้อจำกัด

การทำงาน y = ฉ (x) เรียกว่า จำกัดจากด้านล่างในชุด X⊂D (f) ถ้ามีตัวเลข a ที่สำหรับ xϵX ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน f (x)< a.

การทำงาน y = ฉ (x) เรียกว่าขอบเขตบนในชุด X⊂D (f) ถ้ามีตัวเลข a ที่สำหรับ xϵX ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน f (x)< a.

หากไม่มีการระบุช่วง X ฟังก์ชันจะถือว่าถูกจำกัดเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ฟังก์ชันที่มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่างเรียกว่า bounded

ฟังก์ชันที่จำกัดนั้นง่ายต่อการอ่านจากกราฟ เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงบางเส้น y = a และถ้าฟังก์ชันนั้นสูงกว่าเส้นตรงนี้ แสดงว่ามันถูกล้อมรอบจากด้านล่าง

ถ้าอยู่ล่าง ให้อยู่ข้างบนตามลำดับ ด้านล่างเป็นกราฟของฟังก์ชันที่ล้อมรอบจากด้านล่าง กราฟของฟังก์ชั่น จำกัด พวกคุณลองวาดมันด้วยตัวเอง

หัวข้อ: คุณสมบัติของฟังก์ชัน: ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง; ยิ่งใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุด; จุดสุดขั้ว (สูงสุดและต่ำสุดในพื้นที่) ความนูนของฟังก์ชัน

ช่วงเวลาขึ้นและลง

บนพื้นฐานของเงื่อนไขที่เพียงพอ (สัญญาณ) ของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันจะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้คือสูตรของสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลา:

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)บวกสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นโดย NS;

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ (x)เชิงลบสำหรับใดๆ NSจากช่วงเวลา NSจากนั้นฟังก์ชันจะลดลง NS.

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันจึงมีความจำเป็น:

· ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

· ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

· แก้ความไม่เท่าเทียมกันและในขอบเขตของคำจำกัดความ;

· เพิ่มจุดขอบเขตที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องให้กับช่วงเวลาที่ได้รับ เพิ่มจุดขอบเขต

ลองพิจารณาตัวอย่างการหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง:

หาช่วงของการเพิ่มและลดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาขอบเขตของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรหายไป ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและในขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีการช่วงเวลา รูทที่ถูกต้องเพียงตัวเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนหายไปที่ x = 0... จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายไว้ มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวนกัน โดยค่าบวกและค่าลบ ตามอัตภาพเราแสดงถึงช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแผนผังแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้น, และ .

ณ จุดนั้น x = 2ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นควรเพิ่มในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ณ จุดนั้น x = 0ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้น เราไม่รวมจุดนี้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เราให้กราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับมัน

ตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงตามช่วงเวลา (0;2] .

ข้อมูลที่คล้ายกัน