Milinganyo ya quadratic. Mbaguzi. Suluhisho, mifano.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Aina za milinganyo ya quadratic
Mlinganyo wa quadratic ni nini? Je, inaonekana kama nini? Kwa muda mlinganyo wa quadratic neno kuu ni "mraba". Hii ina maana kwamba katika equation Lazima lazima kuwe na x'mraba. Kwa kuongezea, equation inaweza (au isiwe!) ina X tu (kwa nguvu ya kwanza) na nambari tu. (mwanachama huru). Na haipaswi kuwa na X kwa nguvu kubwa kuliko mbili.
Kwa maneno ya hisabati, equation ya quadratic ni equation ya fomu:
Hapa a, b na c- nambari kadhaa. b na c- yoyote kabisa, lakini A- kitu chochote isipokuwa sifuri. Kwa mfano:
Hapa A =1; b = 3; c = -4
Hapa A =2; b = -0,5; c = 2,2
Hapa A =-3; b = 6; c = -18
Kweli, unaelewa ...
Katika milinganyo hii ya quadratic upande wa kushoto kuna seti kamili wanachama. X yenye mraba yenye mgawo A, x kwa nishati ya kwanza yenye mgawo b Na mwanachama huru s.
Milinganyo kama hiyo ya quadratic inaitwa kamili.
Na kama b= 0, tunapata nini? Tuna X itapotea kwa nguvu ya kwanza. Hii hutokea inapozidishwa na sifuri.) Inatokea, kwa mfano:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Nakadhalika. Na ikiwa coefficients zote mbili b Na c ni sawa na sifuri, basi ni rahisi zaidi:
2x2 =0,
-0.3x 2 =0
Milinganyo kama hii ambapo kitu kinakosekana huitwa milinganyo ya quadratic isiyo kamili. Ambayo ni ya kimantiki kabisa.) Tafadhali kumbuka kuwa x squared iko katika milinganyo yote.
Kwa njia, kwa nini A haiwezi kuwa sawa na sifuri? Na wewe badala yake A sifuri.) X yetu yenye mraba itatoweka! Mlinganyo utakuwa mstari. Na suluhisho ni tofauti kabisa ...
Hiyo ndiyo aina zote kuu milinganyo ya quadratic. Kamili na haijakamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic.
Kutatua milinganyo kamili ya quadratic.
Milinganyo ya quadratic ni rahisi kutatua. Kulingana na kanuni na sheria wazi, rahisi. Katika hatua ya kwanza, ni muhimu kuleta equation iliyotolewa kwa fomu ya kawaida, i.e. kwa fomu:
Ikiwa equation tayari imepewa kwako kwa fomu hii, huna haja ya kufanya hatua ya kwanza.) Jambo kuu ni kuamua kwa usahihi coefficients zote, A, b Na c.
Njia ya kupata mizizi ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Usemi chini ya ishara ya mizizi inaitwa kibaguzi. Lakini zaidi juu yake hapa chini. Kama unaweza kuona, kupata X, tunatumia tu a, b na c. Wale. mgawo kutoka kwa mlinganyo wa quadratic. Badilisha tu maadili kwa uangalifu a, b na c Tunahesabu katika fomula hii. Hebu tubadilishe kwa ishara zako mwenyewe! Kwa mfano, katika equation:
A =1; b = 3; c= -4. Hapa tunaandika:
Mfano unakaribia kutatuliwa:
Hili ndilo jibu.
Kila kitu ni rahisi sana. Na nini, unafikiri kuwa haiwezekani kufanya makosa? Kweli, ndio, jinsi ...
Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b na c. Au tuseme, sio kwa ishara zao (wapi kuchanganyikiwa?), lakini kwa uingizwaji wa maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Kinachosaidia hapa ni rekodi ya kina ya fomula na nambari maalum. Ikiwa kuna shida na mahesabu, fanya hivyo!
Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:
Hapa a = -6; b = -5; c = -1
Hebu tuseme unajua kwamba ni nadra kupata majibu mara ya kwanza.
Naam, usiwe wavivu. Itachukua kama sekunde 30 kuandika mstari wa ziada Na idadi ya makosa itapungua kwa kasi. Kwa hivyo tunaandika kwa undani, na mabano na ishara zote:
Inaonekana ni ngumu sana kuandika kwa uangalifu sana. Lakini inaonekana hivyo tu. Jaribu. Naam, au chagua. Nini bora, haraka au sawa? Zaidi ya hayo, nitakufanya uwe na furaha. Baada ya muda, hakutakuwa na haja ya kuandika kila kitu kwa uangalifu sana. Itafanya kazi peke yake. Hasa ikiwa unatumia mbinu za vitendo ambazo zimeelezwa hapa chini. Mfano huu mbaya na rundo la minuses inaweza kutatuliwa kwa urahisi na bila makosa!
Lakini, mara nyingi, milinganyo ya quadratic inaonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:
Je, uliitambua?) Ndiyo! Hii milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Wanaweza pia kutatuliwa kwa kutumia formula ya jumla. Unahitaji tu kuelewa kwa usahihi ni nini wao ni sawa na hapa. a, b na c.
Je, umeifahamu? Katika mfano wa kwanza a = 1; b = -4; A c? Haipo kabisa! Naam ndiyo, hiyo ni sawa. Katika hisabati hii ina maana kwamba c = 0 ! Ni hayo tu. Badala yake, badilisha sifuri kwenye fomula c, na tutafanikiwa. Sawa na mfano wa pili. Ni sisi tu hatuna sifuri hapa Na, A b !
Lakini milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi. Bila fomula yoyote. Hebu fikiria kwanza Sivyo mlinganyo kamili. Unaweza kufanya nini kwa upande wa kushoto? Unaweza kuchukua X kutoka kwa mabano! Hebu tutoe nje.
Na nini kutoka kwa hii? Na ukweli kwamba bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa tu ikiwa sababu yoyote ni sawa na sifuri! Usiniamini? Sawa, basi njoo na nambari mbili zisizo za sifuri ambazo, zikizidishwa, zitatoa sifuri!
Haifanyi kazi? Ni hayo tu...
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa ujasiri: x 1 = 0, x 2 = 4.
Wote. Hizi zitakuwa mizizi ya equation yetu. Zote mbili zinafaa. Wakati wa kubadilisha yoyote yao kwenye mlinganyo wa asili, tunapata utambulisho sahihi 0 = 0. Kama unaweza kuona, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko kutumia fomula ya jumla. Hebu kumbuka, kwa njia, ambayo X itakuwa ya kwanza na ambayo itakuwa ya pili - isiyojali kabisa. Ni rahisi kuandika kwa mpangilio, x 1- ni nini ndogo na x 2- kile ambacho ni kikubwa zaidi.
Equation ya pili pia inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Sogeza 9 hadi upande wa kulia. Tunapata:
Yote iliyobaki ni kutoa mzizi kutoka 9, na ndivyo hivyo. Itageuka:
Pia mizizi miwili . x 1 = -3, x 2 = 3.
Hivi ndivyo milinganyo yote ya quadratic ambayo haijakamilika hutatuliwa. Ama kwa kuweka X nje ya mabano, au kwa kusogeza nambari kulia na kisha kutoa mzizi.
Ni ngumu sana kuchanganya mbinu hizi. Kwa sababu tu katika kesi ya kwanza italazimika kutoa mzizi wa X, ambao haueleweki kwa njia fulani, na katika kesi ya pili hakuna kitu cha kuchukua kutoka kwa mabano ...
Mbaguzi. Fomula ya kibaguzi.
Neno la uchawi kibaguzi ! Ni mara chache mwanafunzi wa shule ya upili hajasikia neno hili! Kifungu cha maneno "tunasuluhisha kupitia kibaguzi" kinatia moyo kujiamini na uhakikisho. Kwa sababu hakuna haja ya kutarajia ujanja kutoka kwa mbaguzi! Ni rahisi na haina shida kutumia.) Ninakukumbusha kuhusu fomula ya jumla ya kutatua yoyote milinganyo ya quadratic:
Usemi chini ya ishara ya mizizi huitwa kibaguzi. Kwa kawaida kibaguzi kinaonyeshwa na barua D. Fomula ya kibaguzi:
D = b 2 - 4ac
Na ni nini cha ajabu kuhusu usemi huu? Kwa nini ilistahili jina maalum? Nini maana ya kibaguzi? Baada ya yote -b, au 2a katika fomula hii hawaitaji kitu chochote ... Barua na barua.
Hili hapa jambo. Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia formula hii, inawezekana kesi tatu tu.
1. Mwenye ubaguzi ni chanya. Hii inamaanisha kuwa mzizi unaweza kutolewa kutoka kwake. Ikiwa mzizi umetolewa vizuri au hafifu ni swali lingine. Kilicho muhimu ni kile kinachotolewa kwa kanuni. Kisha equation yako ya quadratic ina mizizi miwili. Suluhisho mbili tofauti.
2. Kibaguzi ni sifuri. Kisha utakuwa na suluhisho moja. Kwa kuwa kuongeza au kupunguza sifuri kwenye nambari haibadilishi chochote. Kwa kweli, hii sio mzizi mmoja, lakini mbili zinazofanana. Lakini, katika toleo lililorahisishwa, ni kawaida kuzungumza juu suluhisho moja.
3. Mbaguzi ni hasi. Mzizi wa mraba wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa. Naam, sawa. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.
Kusema kweli, lini suluhisho rahisi quadratic equations, dhana ya kibaguzi haihitajiki hasa. Tunabadilisha thamani za coefficients kwenye fomula na kuhesabu. Kila kitu kinatokea huko peke yake, mizizi miwili, moja, na hakuna. Hata hivyo, wakati wa kutatua kazi ngumu zaidi, bila ujuzi maana na fomula ya kibaguzi haitoshi. Hasa katika equations na vigezo. Milinganyo kama hii ni aerobatics kwa Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa!)
Kwa hiyo, jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kupitia mbaguzi uliyemkumbuka. Au ulijifunza, ambayo pia si mbaya.) Unajua jinsi ya kuamua kwa usahihi a, b na c. Je, unajua jinsi gani? kwa makini kuzibadilisha katika fomula ya mizizi na kwa makini hesabu matokeo. Unaelewa kuwa neno kuu hapa ni kwa makini?
Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa. Yale yale ambayo yanatokana na kutokujali... Ambayo baadae inakuwa chungu na kuudhi...
Uteuzi wa kwanza
. Usiwe wavivu kabla ya kutatua equation ya quadratic na uilete kwa fomu ya kawaida. Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:
Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c. Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:
Na tena, usikimbilie! Minus mbele ya X yenye mraba inaweza kukukasirisha sana. Ni rahisi kusahau... Ondoa minus. Vipi? Ndio, kama ilivyofundishwa katika mada iliyotangulia! Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:
Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano. Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.
Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Kulingana na nadharia ya Vieta. Usiogope, nitaelezea kila kitu! Kuangalia jambo la mwisho mlinganyo. Wale. ile tuliyotumia kuandika kanuni ya mizizi. Ikiwa (kama katika mfano huu) mgawo a = 1, kuangalia mizizi ni rahisi. Inatosha kuwazidisha. Matokeo yanapaswa kuwa mwanachama huru, i.e. kwa upande wetu -2. Tafadhali kumbuka, sio 2, lakini -2! Mwanachama wa bure na ishara yako . Ikiwa haifanyi kazi, inamaanisha kuwa tayari umejipanga mahali fulani. Tafuta hitilafu.
Ikiwa inafanya kazi, unahitaji kuongeza mizizi. Cheki ya mwisho na ya mwisho. Mgawo unapaswa kuwa b Na kinyume
inayojulikana. Kwa upande wetu -1+2 = +1. Mgawo b, ambayo ni kabla ya X, ni sawa na -1. Kwa hivyo, kila kitu ni sawa!
Inasikitisha kwamba hii ni rahisi sana kwa mifano tu ambapo x squared ni safi, na mgawo a = 1. Lakini angalau angalia hesabu kama hizo! Kutakuwa na makosa machache na machache.
Mapokezi ya tatu . Ikiwa equation yako ina mgawo wa sehemu, ondoa sehemu! Zidisha mlinganyo kwa dhehebu la kawaida, kama ilivyoelezwa katika somo "Jinsi ya kutatua equations? Mabadiliko yanayofanana". Wakati wa kufanya kazi na sehemu, makosa yanaendelea kuingia kwa sababu fulani ...
Kwa njia, niliahidi kurahisisha mfano mbaya na rundo la minuses. Tafadhali! Huyu hapa.
Ili sio kuchanganyikiwa na minuses, tunazidisha equation kwa -1. Tunapata:
Ni hayo tu! Kutatua ni furaha!
Kwa hiyo, hebu tufanye muhtasari wa mada.
1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.
2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha equation nzima kwa -1.
3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima kwa sababu inayolingana.
4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Fanya!
Sasa tunaweza kuamua.)
Tatua milinganyo:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Majibu (katika hali mbaya):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0.5
x - nambari yoyote
x 1 = -3
x 2 = 3
hakuna masuluhisho
x 1 = 0.25
x 2 = 0.5
Je, kila kitu kinafaa? Kubwa! Milinganyo ya quadratic sio maumivu ya kichwa chako. Watatu wa kwanza walifanya kazi, lakini wengine hawakufanya? Halafu shida sio na hesabu za quadratic. Shida iko katika mabadiliko sawa ya equations. Angalia kiungo, ni muhimu.
Je, haifanyi kazi kabisa? Au haifanyi kazi hata kidogo? Kisha Sehemu ya 555 itakusaidia mifano hii yote. Imeonyeshwa kuu makosa katika suluhisho. Bila shaka, pia inazungumzia kuhusu matumizi mabadiliko ya utambulisho katika kutatua milinganyo mbalimbali. Inasaidia sana!
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 au x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Baada ya kujifunza kutatua equations ya shahada ya kwanza, bila shaka, unataka kufanya kazi na wengine, hasa, na equations ya shahada ya pili, ambayo huitwa quadratic.
Milinganyo ya quadratic ni milinganyo kama ax² + bx + c = 0, ambapo tofauti ni x, nambari ni a, b, c, ambapo a si sawa na sifuri.
Iwapo katika mlinganyo wa quadratic mgawo mmoja au mwingine (c au b) ni sawa na sufuri, basi mlingano huu utaainishwa kama mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika.
Jinsi ya kutatua equation isiyokamilika ya quadratic ikiwa wanafunzi hadi sasa wameweza tu kutatua milinganyo ya shahada ya kwanza? Zingatia milinganyo ya quadratic isiyokamilika aina tofauti Na njia rahisi maamuzi yao.
a) Ikiwa mgawo c ni sawa na 0, na mgawo b si sawa na sifuri, basi shoka ² + bx + 0 = 0 hupunguzwa hadi mlinganyo wa fomu ya shoka ² + bx = 0.
Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kujua fomula ya kusuluhisha equation isiyokamilika ya quadratic, ambayo inajumuisha kuweka upande wa kushoto wake na baadaye kutumia hali ya kuwa bidhaa ni sawa na sifuri.
Kwa mfano, 5x² - 20x = 0. Tunazingatia upande wa kushoto wa equation, tunapofanya operesheni ya kawaida ya hisabati: kuchukua kipengele cha kawaida nje ya mabano.
5x (x - 4) = 0
Tunatumia hali ya kuwa bidhaa ni sawa na sifuri.
5 x = 0 au x - 4 = 0
Jibu litakuwa: mzizi wa kwanza ni 0; mzizi wa pili ni 4.
b) Ikiwa b = 0, na neno la bure si sawa na sifuri, basi shoka ya equation ² + 0x + c = 0 imepunguzwa kwa equation ya fomu ya shoka ² + c = 0. Milinganyo hutatuliwa kwa njia mbili. : a) kwa kuweka alama ya polynomial ya equation upande wa kushoto; b) kwa kutumia mali ya mzizi wa mraba wa hesabu. Equation kama hiyo inaweza kutatuliwa kwa kutumia moja ya njia, kwa mfano:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Jibu litakuwa: mzizi wa kwanza ni 5/2; mzizi wa pili ni sawa na - 5/2.
c) Ikiwa b ni sawa na 0 na c ni sawa na 0, basi shoka ² + 0 + 0 = 0 inapunguzwa kwa equation ya fomu ax ² = 0. Katika equation hiyo x itakuwa sawa na 0.
Kama unavyoona, milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kuwa na mizizi isiyozidi miwili.
Zaidi kwa njia rahisi. Ili kufanya hivyo, weka z nje ya mabano. Utapata: z(аz + b) = 0. Sababu zinaweza kuandikwa: z=0 na аz + b = 0, kwani zote mbili zinaweza kusababisha sifuri. Katika nukuu az + b = 0, tunasonga ya pili kwenda kulia na ishara tofauti. Kutoka hapa tunapata z1 = 0 na z2 = -b/a. Hizi ni mizizi ya asili.
Ikiwa kuna equation isiyo kamili ya fomu az² + c = 0, katika kesi hii hupatikana kwa kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation. Pia ubadilishe ishara yake. Matokeo yake yatakuwa az² = -с. Express z² = -c/a. Kuchukua mizizi na kuandika ufumbuzi mbili - chanya na hasi mizizi ya mraba.
Kumbuka
Ikiwa kuna mgawo wa sehemu katika mlinganyo, zidisha mlinganyo mzima kwa kipengele kinachofaa ili kuondoa sehemu.
Ujuzi wa jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic ni muhimu kwa watoto wa shule na wanafunzi wakati mwingine hii inaweza pia kusaidia mtu mzima maisha ya kawaida. Kuna njia kadhaa maalum za suluhisho.
Kutatua Milinganyo ya Quadratic
Mlinganyo wa quadratic wa fomu a*x^2+b*x+c=0. Mgawo x ni kigezo kinachohitajika, a, b, c ni vigawo vya nambari. Kumbuka kwamba ishara "+" inaweza kubadilika kuwa ishara "-".Ili kutatua mlingano huu, ni muhimu kutumia nadharia ya Vieta au kupata kibaguzi. Njia ya kawaida ni kupata kibaguzi, kwani kwa maadili fulani ya a, b, c haiwezekani kutumia nadharia ya Vieta.
Ili kupata kibaguzi (D), unahitaji kuandika fomula D=b^2 - 4*a*c. Thamani ya D inaweza kuwa kubwa kuliko, chini ya, au sawa na sifuri. Ikiwa D ni kubwa au chini ya sifuri, basi kutakuwa na mizizi miwili; Badilisha viambajengo vinavyojulikana a, b, c kwenye fomula na ukokote thamani.
Baada ya kupata kibaguzi, tumia fomula kupata x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, ambapo sqrt ni chaguo la kukokotoa ambalo linamaanisha kuchukua mzizi wa mraba wa nambari fulani. Baada ya kuhesabu maneno haya, utapata mizizi miwili ya equation yako, baada ya hapo equation inachukuliwa kutatuliwa.
Ikiwa D ni chini ya sifuri, basi bado ina mizizi. Sehemu hii kwa kweli haijasomwa shuleni. Wanafunzi wa chuo kikuu wanapaswa kufahamu kuwa nambari hasi inaonekana chini ya mzizi. Wanaiondoa kwa kuangazia sehemu ya kufikiria, ambayo ni -1 chini ya mzizi daima ni sawa na kitu cha kufikiria "i", ambacho kinazidishwa na mzizi na nambari sawa chanya. Kwa mfano, ikiwa D=sqrt(-20), baada ya mabadiliko tunapata D=sqrt(20)*i. Baada ya mabadiliko haya, utatuzi wa equation hupunguzwa hadi kupatikana kwa mizizi kama ilivyoelezwa hapo juu.
Nadharia ya Vieta inajumuisha kuchagua maadili ya x(1) na x(2). Milinganyo miwili inayofanana inatumika: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Na sana hatua muhimu ni ishara mbele ya mgawo b, kumbuka kwamba ishara hii ni kinyume na moja katika equation. Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba kuhesabu x (1) na x (2) ni rahisi sana, lakini wakati wa kutatua, utakabiliwa na ukweli kwamba utakuwa na kuchagua namba.
Vipengele vya kutatua milinganyo ya quadratic
Kulingana na sheria za hisabati, zingine zinaweza kuainishwa: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ikiwa umeweza kubadilisha equation hii ya quadratic kwa njia sawa kwa kutumia fomula za hisabati, basi jisikie huru andika jibu. x(1) na x(2) zitakuwa sawa na coefficients karibu katika mabano, lakini kwa ishara kinyume.Pia, usisahau kuhusu equations za quadratic ambazo hazijakamilika. Huenda unakosa baadhi ya masharti; ikiwa ni hivyo, basi migawo yake yote ni sawa na sifuri. Iwapo hakuna kitu mbele ya x^2 au x, basi viambajengo a na b ni sawa na 1.
Mada hii inaweza kuonekana kuwa ngumu mwanzoni kwa sababu ya fomula nyingi ambazo sio rahisi sana. Sio tu kwamba equations za quadratic zenyewe zina maelezo marefu, lakini mizizi pia hupatikana kwa njia ya kibaguzi. Kwa jumla, fomula tatu mpya zinapatikana. Si rahisi sana kukumbuka. Hii inawezekana tu baada ya kutatua equations mara kwa mara. Kisha fomula zote zitakumbukwa na wao wenyewe.
Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic
Hapa tunapendekeza kurekodi kwao kwa uwazi, wakati zaidi shahada ya juu imeandikwa kwanza, na kisha kwa utaratibu wa kushuka. Mara nyingi kuna hali wakati masharti hayafanani. Kisha ni bora kuandika tena equation katika utaratibu wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana.
Hebu tuanzishe nukuu fulani. Zinawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.
Ikiwa tutakubali nukuu hizi, milinganyo yote ya quadratic itapunguzwa hadi nukuu ifuatayo.
Zaidi ya hayo, mgawo ni ≠ 0. Acha fomula hii iteuliwe nambari moja.
Wakati equation inatolewa, haijulikani wazi ni mizizi ngapi kutakuwa na jibu. Kwa sababu moja ya chaguzi tatu inawezekana kila wakati:
- suluhisho litakuwa na mizizi miwili;
- jibu litakuwa namba moja;
- mlinganyo hautakuwa na mizizi hata kidogo.
Na mpaka uamuzi ukamilika, ni vigumu kuelewa ni chaguo gani kitatokea katika kesi fulani.
Aina za rekodi za milinganyo ya quadratic
Kunaweza kuwa na maingizo tofauti katika kazi. Si mara zote hazitafanana na fomula ya jumla ya milinganyo ya quadratic. Wakati mwingine itakuwa inakosa masharti fulani. Kilichoandikwa hapo juu ni mlingano kamili. Ukiondoa muda wa pili au wa tatu ndani yake, unapata kitu kingine. Rekodi hizi pia huitwa milinganyo ya quadratic, haijakamilika tu.
Zaidi ya hayo, maneno tu na coefficients "b" na "c" yanaweza kutoweka. Nambari "a" haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa hali yoyote. Kwa sababu katika kesi hii formula inageuka kuwa equation ya mstari. Fomula za fomu isiyokamilika ya milinganyo itakuwa kama ifuatavyo:
Kwa hivyo, kuna aina mbili tu, pamoja na zile kamili, pia kuna milinganyo ya quadratic isiyo kamili. Hebu formula ya kwanza iwe namba mbili, na ya pili - tatu.
Ubaguzi na utegemezi wa idadi ya mizizi kwenye thamani yake
Unahitaji kujua nambari hii ili kuhesabu mizizi ya equation. Inaweza kuhesabiwa kila wakati, bila kujali fomula ya equation ya quadratic ni nini. Ili kuhesabu kibaguzi, unahitaji kutumia usawa ulioandikwa hapa chini, ambao utakuwa na namba nne.
Baada ya kubadilisha maadili ya mgawo kwenye fomula hii, unaweza kupata nambari na ishara tofauti. Ikiwa jibu ni ndiyo, basi jibu la equation litakuwa mizizi miwili tofauti. Katika nambari hasi mizizi ya equation ya quadratic itakosekana. Ikiwa ni sawa na sifuri, kutakuwa na jibu moja tu.
Jinsi ya kutatua equation kamili ya quadratic?
Kwa kweli, kuzingatia suala hili tayari imeanza. Kwa sababu kwanza unahitaji kupata kibaguzi. Baada ya kuamua kuwa kuna mizizi ya equation ya quadratic, na idadi yao inajulikana, unahitaji kutumia formula kwa vigezo. Ikiwa kuna mizizi miwili, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo.
Kwa kuwa ina ishara "±", kutakuwa na maana mbili. Usemi ulio chini ya ishara ya mzizi wa mraba ndio kibaguzi. Kwa hiyo, formula inaweza kuandikwa tena tofauti.
Mfumo namba tano. Kutoka kwa rekodi sawa ni wazi kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi mizizi yote itachukua maadili sawa.
Ikiwa utatuzi wa hesabu za quadratic bado haujafanywa, basi ni bora kuandika maadili ya coefficients zote kabla ya kutumia fomula za kibaguzi na tofauti. Baadaye wakati huu hautasababisha shida. Lakini mwanzoni kabisa kuna mkanganyiko.
Jinsi ya kutatua equation ya quadratic isiyo kamili?
Kila kitu ni rahisi zaidi hapa. Hakuna hata haja ya fomula za ziada. Na wale ambao tayari wameandikwa kwa ajili ya ubaguzi na wasiojulikana hawatahitajika.
Kwanza, hebu tuangalie equation namba mbili isiyokamilika. Katika usawa huu, inahitajika kuchukua idadi isiyojulikana kutoka kwa mabano na kutatua equation ya mstari, ambayo itabaki kwenye mabano. Jibu litakuwa na mizizi miwili. Ya kwanza ni lazima sawa na sifuri, kwa sababu kuna multiplier inayojumuisha kutofautiana yenyewe. Ya pili itapatikana kwa kutatua equation ya mstari.
Nambari ya tatu ya equation isiyokamilika inatatuliwa kwa kuhamisha nambari kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia. Kisha unahitaji kugawanya kwa mgawo unaoelekea haijulikani. Kilichobaki ni kutoa mzizi wa mraba na ukumbuke kuuandika mara mbili kwa ishara tofauti.
Zifuatazo ni baadhi ya hatua ambazo zitakusaidia kujifunza jinsi ya kutatua aina zote za usawa ambazo hubadilika kuwa milinganyo ya quadratic. Watamsaidia mwanafunzi kuepuka makosa kutokana na kutokuwa makini. Mapungufu haya ndiyo sababu alama mbaya wakati wa kusoma mada ya kina "Quadratic equations (daraja la 8)". Baadaye, vitendo hivi havitahitaji kufanywa kila wakati. Kwa sababu ujuzi thabiti utaonekana.
- Kwanza unahitaji kuandika equation katika fomu ya kawaida. Hiyo ni, kwanza neno na shahada kubwa zaidi ya kutofautiana, na kisha - bila shahada, na mwisho - nambari tu.
- Ikiwa minus itaonekana kabla ya mgawo "a", inaweza kutatiza kazi kwa anayeanza kusoma milinganyo ya quadratic. Ni bora kuiondoa. Kwa kusudi hili, usawa wote lazima uzidishwe na "-1". Hii ina maana kwamba masharti yote yatabadilisha ishara kuwa kinyume.
- Inashauriwa kuondoa sehemu kwa njia ile ile. Zidisha equation kwa kipengele kinachofaa ili madhehebu yaghairi.
Mifano
Inahitajika kutatua milinganyo ifuatayo ya quadratic:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Mlinganyo wa kwanza: x 2 − 7x = 0. Haijakamilika, kwa hivyo inatatuliwa jinsi ilivyofafanuliwa kwa fomula namba mbili.
Baada ya kuiondoa kwenye mabano, inageuka: x (x - 7) = 0.
Mzizi wa kwanza unachukua thamani: x 1 = 0. Ya pili itapatikana kutoka kwa usawa wa mstari: x - 7 = 0. Ni rahisi kuona kwamba x 2 = 7.
Mlinganyo wa pili: 5x 2 + 30 = 0. Tena haijakamilika. Ni pekee inayotatuliwa kama ilivyoelezwa kwa fomula ya tatu.
Baada ya kusonga 30 kwa upande wa kulia wa equation: 5x 2 = 30. Sasa unahitaji kugawanya na 5. Inageuka: x 2 = 6. Majibu yatakuwa namba: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Mlinganyo wa tatu: 15 − 2х − x 2 = 0. Hapa na zaidi, utatuzi wa milinganyo ya quadratic itaanza kwa kuandika upya kwao. mtazamo wa kawaida: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sasa ni wakati wa kutumia ya pili ushauri muhimu na zidisha kila kitu kwa minus moja. Inageuka x 2 + 2x - 15 = 0. Kutumia formula ya nne, unahitaji kuhesabu kibaguzi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ni nambari chanya. Kutoka kwa kile kilichosemwa hapo juu, zinageuka kuwa equation ina mizizi miwili. Wanahitaji kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya tano. Inatokea kwamba x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kisha x 1 = 3, x 2 = - 5.
Equation ya nne x 2 + 8 + 3x = 0 inabadilishwa kuwa hii: x 2 + 3x + 8 = 0. Ubaguzi wake ni sawa na thamani hii: -23. Kwa kuwa nambari hii ni hasi, jibu la kazi hii litakuwa ingizo lifuatalo: "Hakuna mizizi."
Equation ya tano 12x + x 2 + 36 = 0 inapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: x 2 + 12x + 36 = 0. Baada ya kutumia formula kwa kibaguzi, nambari ya sifuri inapatikana. Hii ina maana kwamba itakuwa na mzizi mmoja, yaani: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Mlinganyo wa sita (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) unahitaji mabadiliko, ambayo yanajumuisha kuleta. masharti yanayofanana, kabla ya kufungua mabano. Katika nafasi ya kwanza kutakuwa na maneno yafuatayo: x 2 + 2x + 1. Baada ya usawa, kuingia hii itaonekana: x 2 + 3x + 2. Baada ya maneno sawa kuhesabiwa, equation itachukua fomu: x 2 - x = 0. Imekuwa haijakamilika . Kitu sawa na hiki tayari kimejadiliwa juu kidogo. Mizizi ya hii itakuwa nambari 0 na 1.
Matatizo ya equation ya quadratic pia yanasomwa ndani mtaala wa shule na katika vyuo vikuu. Wanamaanisha milinganyo ya fomu a*x^2 + b*x + c = 0, wapi x- kutofautiana, a,b,c - mara kwa mara; a<>0 . Kazi ni kupata mizizi ya equation.
Maana ya kijiometri ya equation ya quadratic
Grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo inawakilishwa na mlinganyo wa quadratic ni parabola. Suluhisho (mizizi) ya equation ya quadratic ni pointi za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa (x). Inafuata kwamba kuna kesi tatu zinazowezekana:
1) parabola haina pointi za makutano na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba iko kwenye ndege ya juu na matawi juu au chini na matawi chini. Katika hali hiyo, equation ya quadratic haina mizizi halisi (ina mizizi miwili tata).
2) parabola ina sehemu moja ya makutano na mhimili wa Ox. Hatua kama hiyo inaitwa vertex ya parabola, na equation ya quadratic ndani yake hupata thamani yake ya chini au ya juu. Katika kesi hii, equation ya quadratic ina mizizi moja halisi (au mizizi miwili inayofanana).
3) Kesi ya mwisho ni ya kuvutia zaidi katika mazoezi - kuna pointi mbili za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba kuna mizizi miwili halisi ya equation.
Kulingana na uchambuzi wa coefficients ya nguvu za vigezo, hitimisho la kuvutia linaweza kutolewa kuhusu kuwekwa kwa parabola.
1) Ikiwa mgawo a Juu ya sifuri basi parabola inaelekezwa na matawi yake juu, ikiwa hasi, matawi ya parabola yanaelekezwa chini.
2) Ikiwa mgawo b ni mkubwa kuliko sifuri, basi vertex ya parabola iko katika nusu ya kushoto ya ndege, ikiwa inachukua thamani hasi, basi kwa haki.
Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic
Hebu tuhamishe mara kwa mara kutoka kwa equation ya quadratic 
kwa ishara sawa, tunapata usemi
Zidisha pande zote mbili kwa 4a 
Ili kupata mraba kamili upande wa kushoto, ongeza b^2 pande zote mbili na ufanye mabadiliko
Kutoka hapa tunapata
Mfumo wa kibaguzi na mizizi ya mlingano wa quadratic
Ubaguzi ni thamani ya usemi mkali Ikiwa ni chanya, basi equation ina mizizi miwili halisi, iliyohesabiwa na fomula 
Wakati kibaguzi ni sifuri, mlinganyo wa quadratic una suluhisho moja (mizizi miwili inayolingana), ambayo inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa fomula iliyo hapo juu ya D=0 Wakati kibaguzi ni hasi, mlinganyo hauna mizizi halisi. Walakini, suluhisho la equation ya quadratic hupatikana kwenye ndege ngumu, na thamani yao inahesabiwa kwa kutumia formula. 
Nadharia ya Vieta
Hebu tuzingatie mizizi miwili ya mlinganyo wa quadratic na tuunde mlingano wa quadratic kwa msingi wao nadharia ya Vieta yenyewe inafuata kwa urahisi kutoka kwa nukuu: ikiwa tunayo mlingano wa quadratic wa fomu. 
basi jumla ya mizizi yake ni sawa na mgawo p iliyochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ya equation ni sawa na neno la bure q. Uwakilishi wa fomula wa yaliyo hapo juu utaonekana kama Ikiwa katika mlingano wa kitamaduni a mara kwa mara ni nonzero, basi unahitaji kugawanya equation nzima nayo, na kisha utumie nadharia ya Vieta.
Factoring quadratic equation ratiba
Wacha kazi iwekwe: sababu ya equation ya quadratic. Ili kufanya hivyo, sisi kwanza kutatua equation (kupata mizizi). Ifuatayo, tunabadilisha mizizi iliyopatikana kwenye fomula ya upanuzi ya mlinganyo wa quadratic Hii itasuluhisha shida.
Matatizo ya equation ya quadratic
Jukumu la 1. Pata mizizi ya equation ya quadratic
x^2-26x+120=0 .
Suluhisho: Andika coefficients na ubadilishe katika fomula ya kibaguzi
Mzizi wa thamani iliyopewa ni sawa na 14, ni rahisi kupata na calculator, au kukumbuka kwa matumizi ya mara kwa mara, hata hivyo, kwa urahisi, mwishoni mwa makala nitakupa orodha ya mraba ya namba ambazo zinaweza kukutana mara nyingi katika matatizo hayo.
Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi 
na tunapata 
Jukumu la 2. Tatua mlinganyo
2x 2 +x-3=0.
Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic, andika coefficients na upate kibaguzi. 
Kwa kutumia fomula zinazojulikana tunapata mizizi ya equation ya quadratic 
Jukumu la 3. Tatua mlinganyo
9x 2 -12x+4=0.
Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic. Kuamua mbaguzi
Tulipata kesi ambapo mizizi inalingana. Pata maadili ya mizizi kwa kutumia formula 
Jukumu la 4. Tatua mlinganyo
x^2+x-6=0 .
Suluhisho: Katika hali ambapo kuna coefficients ndogo za x, inashauriwa kutumia nadharia ya Vieta. Kwa hali yake tunapata milinganyo miwili
Kutoka kwa hali ya pili tunaona kwamba bidhaa lazima iwe sawa na -6. Hii ina maana kwamba moja ya mizizi ni hasi. Tunayo jozi ifuatayo ya masuluhisho (-3;2), (3;-2) . Kuzingatia hali ya kwanza, tunakataa jozi ya pili ya ufumbuzi.
Mizizi ya equation ni sawa
Tatizo la 5. Tafuta urefu wa pande za mstatili ikiwa mzunguko wake ni 18 cm na eneo lake ni 77 cm 2.
Suluhisho: Nusu ya mzunguko wa mstatili ni sawa na jumla ya pande zake zilizo karibu. Wacha tuonyeshe x - upande mkubwa, kisha 18-x upande wake mdogo. Eneo la mstatili ni sawa na bidhaa ya urefu huu:
x(18-x)=77;
au
x 2 -18x+77=0.
Wacha tupate ubaguzi wa equation
Kuhesabu mizizi ya equation 
Kama x=11, Hiyo 18's=7 , kinyume pia ni kweli (ikiwa x=7, basi 21's=9).
Tatizo la 6. Eleza mlinganyo wa quadratic 10x 2 -11x+3=0.
Suluhisho: Wacha tuhesabu mizizi ya equation, ili kufanya hivyo tunapata kibaguzi 
Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi na kuhesabu 
Tunatumia fomula ya kuoza equation ya quadratic kwa mizizi 
Kufungua mabano tunapata kitambulisho.
Mlinganyo wa quadratic wenye kigezo
Mfano 1. Kwa maadili gani ya parameter A , je equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ina mzizi mmoja?
Suluhisho: Kwa ubadilishaji wa moja kwa moja wa thamani a=3 tunaona kuwa haina suluhu. Ifuatayo, tutatumia ukweli kwamba kwa ubaguzi wa sifuri equation ina mzizi mmoja wa kuzidisha 2. Tuandike kibaguzi 
Wacha tuirahisishe na tuilinganishe na sifuri
Tumepata equation ya quadratic kwa heshima na parameter a, suluhisho ambalo linaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia theorem ya Vieta. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa zao ni 12. Kwa utafutaji rahisi tunathibitisha kwamba nambari 3,4 zitakuwa mizizi ya equation. Kwa kuwa tayari tumekataa suluhisho a=3 mwanzoni mwa mahesabu, sahihi pekee itakuwa - a=4. Kwa hivyo, kwa = 4 equation ina mzizi mmoja.
Mfano 2. Kwa maadili gani ya parameter A , mlinganyo a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ina mizizi zaidi ya moja?
Suluhisho: Wacha kwanza tuzingatie alama za umoja, zitakuwa maadili a=0 na a=-3. Wakati a=0, mlinganyo utarahisishwa kwa fomu 6x-9=0; x=3/2 na kutakuwa na mzizi mmoja. Kwa = -3 tunapata kitambulisho 0=0.
Hebu tuhesabu ubaguzi 
na kupata thamani ya a ambayo ni chanya 
Kutoka kwa hali ya kwanza tunapata > 3. Kwa pili, tunapata ubaguzi na mizizi ya equation 
Hebu tufafanue vipindi ambapo kazi inachukua maadili chanya. Kwa kubadilisha nukta a=0 tunayopata 3>0
.
Kwa hivyo, nje ya muda (-3;1/3) chaguo la kukokotoa ni hasi. Usisahau uhakika a=0, ambayo inapaswa kutengwa kwa sababu equation asili ina mzizi mmoja ndani yake.
Matokeo yake, tunapata vipindi viwili vinavyokidhi hali ya tatizo 
Kutakuwa na kazi nyingi zinazofanana katika mazoezi, jaribu kufikiria kazi mwenyewe na usisahau kuzingatia hali ambazo ni za kipekee. Jifunze vizuri kanuni za utatuzi wa milinganyo ya quadratic mara nyingi zinahitajika katika hesabu katika matatizo na sayansi mbalimbali.