Monotónna funkcia je funkcia prírastok ktorá nemení znamienko, teda buď vždy nezáporné alebo vždy nezáporné. Ak navyše prírastok nie je nula, potom sa funkcia nazýva striktne monotónna. Monotónna funkcia je funkcia, ktorá sa mení rovnakým smerom.
Funkcia sa zvýši, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Potom nech je funkcia daná
(Striktne) rastúca alebo klesajúca funkcia sa nazýva (striktne) monotónna.
Definícia extrému
O funkcii y = f(x) sa hovorí, že rastie (klesá) v určitom intervale, ak pre x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).
Ak diferencovateľná funkcia y = f(x) rastie (klesá) na intervale, potom jej derivácia na tomto intervale f "(x) > 0
(f" (x)< 0).
Bod xо sa nazýva lokálny maximálny (minimálny) bod funkcie f(x), ak existuje okolie bodu xо, pre ktoré platí nerovnosť f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо )) platí pre všetky body.
Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú jej extrémy.
Extrémne body
Nevyhnutné podmienky pre extrém. Ak je bod x® extrémnym bodom funkcie f(x), potom buď f "(x®) = 0, alebo f (x®) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritické a samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.
Prvá postačujúca podmienka. Nech xo je kritický bod. Ak f "(x) pri prechode bodom xo zmení znamienko z plus na mínus, tak v bode xo má funkcia maximum, inak má minimum. Ak pri prechode kritickým bodom derivácia znamienko nezmení, potom v bode xo nie je žiadny extrém.
Druhá postačujúca podmienka. Nech funkcia f(x) má deriváciu f " (x) v blízkosti bodu xо a druhú deriváciu v samotnom bode xо. Ak f " (xо) = 0,>0 ( 0 je konkávna.
Dôkaz. Predpokladajme pre istotu, že""(f) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
x Zoberme si funkcie na grafe y = f(x) ľubovoľný bod 0 M f 0 (s úsečkou; a b ľubovoľný bod 0 ) a nakreslite bod dotyčnica. Jej rovnica. f Musíme ukázať, že graf funkcie na Zoberme si funkcie na grafe bude menšia ako ordináta dotyčnice.
Inflexný bod funkcie
Tento pojem má iné významy, viď Inflexný bod.
Inflexný bod vnútorného bodu funkcie doména definície, taký, ktorý je v tomto bode spojitý, v tomto bode existuje konečná alebo určitá znamienková nekonečná derivácia, je súčasne koncom intervalu striktnej konvexnosti smerom nahor a začiatkom intervalu striktnej konvexnosti smerom nadol alebo naopak.
Neoficiálne
V tomto prípade ide o to inflexný bod graf funkcie, to znamená, že graf funkcie v bode sa „prehýba“. dotyčnica k nemu v tomto bode: v dotyčnici leží pod grafom a nad grafom (alebo naopak)
Funkcia pri = Predpokladajme pre istotu, že(X) sa nazýva zvyšovanie (klesanie) na intervale X, ak je pre niektoré nerovnosť pravdivá 
Veta (dostatočná podmienka pre nárast funkcie). Ak je derivácia diferencovateľnej funkcie v určitom intervale kladná X,
potom sa v tomto intervale zvyšuje. Zvážte dve hodnoty x 1 A x 2 v tomto intervale X. .
Nechaj 
Poďme dokázať Pre funkciu f(x) Zvážte dve hodnoty; A na segmente [
] sú teda splnené podmienky Lagrangeovej vety 
Kde 
x 1 , t.j. patrí do intervalu, na ktorom je derivácia kladná, čo znamená, že pravá strana 
x 1 
rovnosť je pozitívna. Odtiaľto
Ďalšia veta je dokázaná podobným spôsobom. X Veta (dostatočná podmienka na to, aby funkcia klesala). Ak je derivácia diferencovateľnej funkcie v určitom intervale záporná
, potom v tomto intervale klesá.
Geometrická interpretácia podmienky monotónnosti funkcie je znázornená na obrázku 7. Ak dotyčnice ku krivke v určitom intervale smerujú pod ostré rohy
k osi x (obr. 7a), potom sa funkcia zvyšuje, ak je pod tupom (obr. 7 b), potom klesá.
Obrázok 7 – Geometrická interpretácia podmienky monotónnosti funkcie pri = X 2 – 4X + 3.
Príklad 1 
Riešenie. máme 
Samozrejme X pri 
> 2i<
y" 0 pri<
X 
2, t.j. funkcia v intervale klesá 
a počas intervalu sa zvyšuje X 0 =
2 -
Kde
úsečka vrcholu paraboly. Všimnite si to nevyhnutná podmienka monotónnosť je slabšia. Ak sa funkcia zvyšuje (klesá) v určitom intervale X , potom môžeme len povedať, že derivácia je nezáporná (nekladná) na tomto intervale: t.j. v jednotlivých bodoch derivácia monotónna funkcia
môže byť nula. pri = X 3 .
Príklad 2 Nájdite intervaly monotónnosti funkcie 
Riešenie. Poďme nájsť derivát pri To je zrejmé X> 0 pri . O
= 0 derivácia ide na nulu. Funkcia rastie monotónne pozdĺž celej číselnej osi.
Extrém funkcie X Definícia 1. Bod Predpokladajme pre istotu, že(XX 0 sa nazýva maximálny bod funkcie 
Definícia 2. Bod X 1 sa nazýva minimálny bod funkcie Predpokladajme pre istotu, že(X), ak v niektorom susedstve bodu X 1, nerovnosť platí 
Funkčné hodnoty v bodoch X 0 a X 1 sa nazývajú primerane maximum a minimum funkcie.
Maximálne a minimálne funkcie sú spojené spoločným názvom extrém funkcie.
Extrém funkcie sa často nazýva lokálny extrém, zdôrazňujúc skutočnosť, že pojem extrém je spojený len s dostatočne malým okolím bodu x n. Takže na jednom intervale môže mať funkcia niekoľko extrémov a môže sa stať, že minimum v jednom bode je väčšie ako maximum v inom, napríklad na obrázku 8 
Prítomnosť maxima (alebo minima) v samostatnom bode intervalu X vôbec neznamená, že v tomto bode funkcia Predpokladajme pre istotu, že(X) má najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na tomto intervale (alebo, ako sa hovorí, má globálne maximum (minimum)).
Nevyhnutná podmienka pre extrém: Aby funkcia y = f(X) mal v bode extrém X 0, je potrebné, aby sa jeho derivácia v tomto bode rovnala nule ( 
)alebo neexistovali.
Body, pri ktorých je splnená nevyhnutná extrémna podmienka, t.j. derivácia je nula alebo neexistuje sa nazývajú kritický(alebo stacionárne ).
Ak teda v ktoromkoľvek bode existuje extrém, potom je tento bod kritický. Je však veľmi dôležité poznamenať, že opak nie je pravdou. Kritický bod nemusí byť nevyhnutne extrémnym bodom.
Obrázok 8 – Extrémy funkcie Predpokladajme pre istotu, že(X)
Príklad 1 Nájdite kritické body funkcie a overte prítomnosť alebo neprítomnosť extrému v týchto bodoch.
Funkcia sa volá zvyšovanie v intervale
, ak za nejaké body 
nerovnosť platí 
(väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie).
Rovnako aj funkcia 
volal klesajúci v intervale
, ak za nejaké body 
z tohto intervalu, ak je podmienka splnená 
nerovnosť platí 
(väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie).
Zvyšovanie v intervale 
a klesajúci v intervale 
funkcie sa volajú monotónna na intervale
.
Poznanie derivácie diferencovateľnej funkcie umožňuje nájsť intervaly jej monotónnosti.
Veta (dostatočná podmienka pre nárast funkcie). 
funkcie 
pozitívne na intervale 
, potom funkciu 
sa v tomto intervale monotónne zvyšuje.
Veta (dostatočná podmienka na to, aby funkcia klesala). 
funkcie 
Ak je derivácia diferencovateľná na intervale 
, potom funkciu 
negatívne na intervale
v tomto intervale monotónne klesá.
Geometrický význam 
tupé uhly a vo zväčšujúcich sa intervaloch ostré (pozri obr. 1).
Veta (nevyhnutná podmienka monotónnosti funkcie). Ak je funkcia 
diferencovateľné a 
(
) na intervale 
, potom sa na tomto intervale neznižuje (nezvyšuje).
Algoritmus na hľadanie intervalov monotónnosti funkcie 
:
Príklad. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie 
.
Bodka 
volal maximálny bod funkcie
taká, že pre každého 
, splnenie podmienky 
, nerovnosť platí 
.
Maximálna funkcia je hodnota funkcie v maximálnom bode.
Obrázok 2 ukazuje príklad grafu funkcie, ktorá má v bodoch maximá 
.
Bodka 
volal minimálny bod funkcie
, ak existuje nejaké číslo 
taká, že pre každého 
, splnenie podmienky 
, nerovnosť platí 
. Obr. 2 má v bode minimum 
.
Existuje spoločný názov pre vrcholy a pády - extrémy. Podľa toho sa nazývajú maximálne a minimálne body extrémne body.
Funkcia definovaná na segmente môže mať maximum a minimum iba v bodoch nachádzajúcich sa vo vnútri tohto segmentu. Tiež by sa nemalo zamieňať maximum a minimum funkcie s jej najväčším a najnižšia hodnota na segmente – ide o zásadne odlišné pojmy.
V extrémnych bodoch má derivát špeciálne vlastnosti.
Veta (nevyhnutná podmienka pre extrém). 
Nech v bode 
funkciu 
má extrém. Potom buď 
.
neexistuje, resp 
Tie body z oblasti definície funkcie, pri ktorej 
neexistuje alebo v ktorom , sú tzv.
kritické body funkcie
Príklad. Extrémne body teda ležia medzi kritickými bodmi. Vo všeobecnosti kritický bod nemusí byť extrémnym bodom. Ak sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, neznamená to, že funkcia má v tomto bode extrém. 
Uvažujme 
. máme 
, ale bod
nie je extrémnym bodom (pozri obrázok 3). 
Nech v bode 
Veta (prvá postačujúca podmienka pre extrém). 
Nech v bode 
je spojitý a odvodený 
pri prechode bodom
znamenie zmien. Potom 
– extrémny bod: maximálny, ak sa znamienko zmení z „+“ na „–“ a minimálny, ak sa z „–“ na „+“. 
Ak pri prejazde bodom
derivácia nemení znamienko, potom v bode 
neexistuje extrém. 
Veta (druhá postačujúca podmienka pre extrém). 
Nech v bode 
derivácia dvakrát diferencovateľnej funkcie 
rovná nule ( 
) a jeho druhá derivácia je v tomto bode nenulová ( 
) a je súvislý v niektorom okolí bodu 
. Potom 
- extrémny bod
; pri
toto je minimálny bod a pri
toto je maximálny bod.
Algoritmus na nájdenie extrémov funkcie pomocou prvej postačujúcej podmienky pre extrém: Nájdite derivát. a vyvodiť záver o prítomnosti extrémov.
Nájdite extrémne hodnoty funkcie.
Algoritmus na nájdenie extrémov funkcie pomocou druhej postačujúcej podmienky pre extrém:
Príklad. Nájdite extrémy funkcie 
.
Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Okrem jednoduchosti táto univerzálna metóda pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky v vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.
Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.
Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.
Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek priľahlých k nej pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
rastúce na intervale \(X\) ak pre ľubovoľné \(x_1, x_2\v X\) tak, že \(x_1 0\) pre ľubovoľné \(t\in \mathbb(R)\) .
Funkcia \(f(t)\) je teda striktne rastúca pre všetky \(t\in \mathbb(R)\) .
To znamená, že rovnica \(f(ax)=f(x^2)\) je ekvivalentná rovnici \(ax=x^2\) .
Rovnica \(x^2-ax=0\) pre \(a=0\) má jeden koreň \(x=0\) a pre \(a\ne 0\) má dva rôzne korene \(x_1 =0 \) a \(x_2=a\) .
Musíme nájsť hodnoty \(a\), pre ktoré bude mať rovnica aspoň dva korene, a to aj s prihliadnutím na skutočnosť, že \(a>0\) .
Preto je odpoveď: \(a\in (0;+\infty)\) .
odpoveď:
\((0;+\infty)\) .
Úloha 4 #1232
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich platí rovnica \
má unikátne riešenie.
Vynásobme pravú a ľavú stranu rovnice \(2^(\sqrt(x+1))\) (keďže \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) a prepíšme rovnicu v tvare :\
Zvážte funkciu \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) pre \(t\geqslant 0\) (keďže \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).
Derivát \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\vpravo)\) .
Pretože \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) pre všetky \(t\geqslant 0\) , potom \( y"0\) pre všetky \(a\). V dôsledku toho má rovnica vždy dva korene \(x_1\) a \(x_2\) a majú rôzne znamienka (keďže podľa Vietovej vety \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2)