Ako urobiť inverzný pomer. Priama úmerná závislosť

Spolu s priamo úmernými veličinami v aritmetike sa zvažovali aj nepriamo úmerné veličiny.

Uveďme si príklady.

1) Dĺžka základne a výška obdĺžnika s konštantnou plochou.

Predpokladajme, že potrebujete prideliť obdĺžnikový pozemok s rozlohou

Môžeme si „ľubovoľne nastaviť napríklad dĺžku úseku. Ale potom bude šírka plochy závisieť od toho, akú dĺžku sme zvolili. Rôzne (možné) dĺžky a šírky sú uvedené v tabuľke.

Vo všeobecnosti, ak označíme dĺžku úseku x a šírku y, potom vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom:

Vyjadrením y cez x dostaneme:

Zadaním x ľubovoľných hodnôt dostaneme zodpovedajúce hodnoty y.

2) Čas a rýchlosť rovnomerného pohybu v určitej vzdialenosti.

Nech je vzdialenosť medzi dvoma mestami 200 km. Čím vyššia je rýchlosť, tým menej času bude trvať prejdenie danej vzdialenosti. To možno vidieť z nasledujúcej tabuľky:

Vo všeobecnosti, ak označíme rýchlosť x a čas pohybu y, potom vzťah medzi nimi bude vyjadrený vzorcom:

Definícia. Vzťah medzi dvoma veličinami vyjadrený rovnosťou , kde k je určité číslo (nerovná sa nule), sa nazýva nepriamo úmerný vzťah.

Toto číslo sa tu nazýva aj koeficient proporcionality.

Rovnako ako v prípade priamej úmernosti, aj v rovnosti môžu veličiny x a y vo všeobecnom prípade nadobúdať kladné a záporné hodnoty.

Ale vo všetkých prípadoch nepriamej úmernosti sa žiadne z veličín nemôže rovnať nule. V skutočnosti, ak sa aspoň jedna z veličín x alebo y rovná nule, potom sa ľavá strana rovnosti bude rovnať

A ten správny - na nejaké číslo, ktoré sa nerovná nule (podľa definície), to znamená, že výsledkom bude nesprávna rovnosť.

2. Graf nepriamej úmernosti.

Zostavme graf závislosti

Vyjadrením y cez x dostaneme:

Dáme x ľubovoľných (platných) hodnôt a vypočítame zodpovedajúce hodnoty y. Dostávame tabuľku:

Zostrojme zodpovedajúce body (obr. 28).

Ak vezmeme hodnoty x v menších intervaloch, body budú umiestnené bližšie k sebe.

Pre všetky možné hodnoty x budú zodpovedajúce body umiestnené na dvoch vetvách grafu, symetrické vzhľadom na pôvod súradníc a prechádzajúce v 1. a 3. štvrtine súradnicová rovina(Obrázok 29).

Takže vidíme, že graf nepriamej úmernosti je zakrivená čiara. Táto línia pozostáva z dvoch vetiev.

Jedna vetva sa získa pre kladné, druhá - pre záporné hodnoty x.

Graf nepriamo úmerného vzťahu sa nazýva hyperbola.

Ak chcete získať presnejší graf, musíte postaviť čo najviac bodov.

Hyperbolu je možné nakresliť s pomerne vysokou presnosťou, napríklad pomocou vzorov.

Na výkrese 30 je vynesený graf nepriamo úmerného vzťahu so záporným koeficientom. Napríklad vytvorením tabuľky takto:

získame hyperbolu, ktorej vetvy sa nachádzajú v štvrtiach II a IV.

Typy závislostí

Pozrime sa na nabíjanie batérie. Ako prvé množstvo uveďme čas potrebný na nabitie. Druhá hodnota je čas, počas ktorého bude fungovať po nabití. Čím dlhšie batériu nabíjate, tým dlhšie vydrží. Proces bude pokračovať, kým nebude batéria úplne nabitá.

Závislosť prevádzkového času batérie od času jej nabíjania

Poznámka 1

Táto závislosť sa nazýva priamy:

Keď sa jedna hodnota zvýši, zvýši sa aj druhá. Keď jedna hodnota klesá, druhá hodnota tiež klesá.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Čím viac kníh žiak prečíta, tým menej chýb v diktáte urobí. Alebo čím vyššie budete v horách, tým nižší bude atmosférický tlak.

Poznámka 2

Táto závislosť sa nazýva obrátene:

Keď jedna hodnota rastie, druhá klesá. Keď jedna hodnota klesá, druhá hodnota sa zvyšuje.

Teda v prípade priama závislosť obe veličiny sa menia rovnako (obe buď rastú, alebo klesajú), a v prípade inverzný vzťah– opak (jeden sa zvyšuje a druhý klesá, alebo naopak).

Určenie závislostí medzi veličinami

Príklad 1

Čas potrebný na návštevu priateľa je 20 $ minút. Ak sa rýchlosť (prvá hodnota) zvýši o 2 $ krát, zistíme, ako sa zmení čas (druhá hodnota), ktorý strávite na ceste k priateľovi.

Je zrejmé, že čas sa zníži o 2 $ krát.

Poznámka 3

Táto závislosť sa nazýva proporcionálne:

Koľkokrát sa zmení jedna veličina, koľkokrát sa zmení druhá veličina.

Príklad 2

Za 2$ bochníky chleba v obchode musíte zaplatiť 80 rubľov. Ak potrebujete kúpiť bochníky chleba za 4 $ (množstvo chleba sa zvýši o 2 $ krát), koľkokrát viac budete musieť zaplatiť?

Je zrejmé, že náklady sa tiež zvýšia 2 $ krát. Máme príklad proporcionálnej závislosti.

V oboch príkladoch sa brali do úvahy proporcionálne závislosti. Ale v príklade s bochníkmi chleba sa množstvá menia jedným smerom, takže závislosť je priamy. A v príklade chodenia do domu priateľa je vzťah medzi rýchlosťou a časom obrátene. Existuje teda priamo úmerný vzťah A nepriamo úmerný vzťah.

Priama úmernosť

Uvažujme proporcionálne množstvá 2 $: počet bochníkov chleba a ich cena. Nech stojí 2$ bochníky chleba 80$ rubľov. Ak sa počet žemlí zvýši o 4 $ krát (8 $ žemle), ich celková cena bude 320 $ rubľov.

Pomer počtu buchiet: $\frac(8)(2)=4$.

Pomer ceny buchty: $\frac(320)(80)=4 $.

Ako vidíte, tieto vzťahy sú si navzájom rovné:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definícia 1

Rovnosť dvoch pomerov je tzv pomer.

S priamo úmernou závislosťou sa získa vzťah, keď sa zmena prvého a druhého množstva zhoduje:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definícia 2

Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak sa pri zmene (zvyšovaní alebo znižovaní) jednej z nich o rovnakú hodnotu zmení (zvýši, resp. zníži) aj druhá hodnota.

Príklad 3

Auto prešlo 180 $ km za $ 2 hodiny. Nájdite čas, počas ktorého prekoná 2$ krát vzdialenosť pri rovnakej rýchlosti.

Riešenie.

Čas je priamo úmerný vzdialenosti:

$t=\frac(S)(v)$.

Koľkokrát sa vzdialenosť zvýši, keď konštantná rýchlosť, čas sa zvýši o rovnakú hodnotu:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Auto prešlo 180 $ km za $ 2 hodiny

Auto prejde 180 $ \cdot 2=360 $ km – za $ x $ hodín

Čím ďalej auto prejde, tým dlhšie to bude trvať. V dôsledku toho je vzťah medzi množstvami priamo úmerný.

Urobme pomer:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpoveď: Auto bude potrebovať 4 $ hodiny.

Inverzná úmernosť

Definícia 3

Riešenie.

Čas je nepriamo úmerný rýchlosti:

$t=\frac(S)(v)$.

Koľkokrát sa rýchlosť zvýši, pri rovnakej dráhe sa čas zníži o rovnakú hodnotu:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Napíšme problémový stav vo forme tabuľky:

Auto prešlo 60 $ km - za 6 $ hodín

Auto prejde 120 $ km – za $ x $ hodín

Čím rýchlejšie auto ide, tým menej času to bude trvať. V dôsledku toho je vzťah medzi množstvami nepriamo úmerný.

Urobme pomer.

Pretože proporcionalita je inverzná, druhý vzťah v pomere je obrátený:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpoveď: Auto bude potrebovať 3 $ hodiny.

Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školy.

Také rôzne proporcie

Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

Závislosť môže byť priama a inverzná. V dôsledku toho sú vzťahy medzi veličinami opísané priamou a nepriamou úmernosťou.

Priama úmernosť– ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.

Napríklad, čím viac úsilia vložíte do učenia sa na skúšky, tým vyššie budete mať známky. Alebo čím viac vecí si zoberiete so sebou na túru, tým ťažší bude váš batoh. Tie. Množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.

Inverzná úmernosť– ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa argument) spôsobí proporcionálne (t. j. rovnaký počet krát) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa to funkcia).

Poďme na ilustráciu jednoduchý príklad. Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. Čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V ktorej x≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem x = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nemá maximálne ani minimálne hodnoty.
Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
Neperiodické.
Jeho graf nepretína súradnicové osi.
Nemá žiadne nuly.
Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď sa argument zníži ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Zobrazuje sa nasledovne:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich vyriešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to nepriama úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.

Úloha č.1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Trvalo mu 6 hodín, kým sa dostal do cieľa. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?

Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah medzi časom, vzdialenosťou a rýchlosťou: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú v nepriamom pomere.

Aby sme si to overili, nájdime V 2, ktoré je podľa podmienky 2-krát vyššie: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás vyžaduje podľa podmienok problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: pri rýchlosti 2-krát vyššej, ako je pôvodná rýchlosť, auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako podiel. Takže najprv urobme tento diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Šípky označujú nepriamo úmerný vzťah. Navrhujú to aj pri zostavovaní proporcií pravá strana záznamy musia byť otočené: 60/120 = x/6. Kde získame x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Úloha č.2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude zvyšným pracovníkom trvať, kým dokončia rovnaké množstvo práce?

Zapíšme si podmienky problému vo forme vizuálneho diagramu:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci – x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak je 2-krát menej pracovníkov, zostávajúci strávia 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

Úloha č.3. Do bazéna vedú dve potrubia. Jednou rúrou preteká voda rýchlosťou 2 l/s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén naplní za 75 minút. Akou rýchlosťou vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?

Na začiatok zredukujme všetky nám dané veličiny podľa podmienok úlohy na rovnaké merné jednotky. K tomu vyjadrujeme rýchlosť napúšťania bazéna v litroch za minútu: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Keďže podmienka znamená, že bazén sa cez druhé potrubie napĺňa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prúdenia vody je nižšia. Proporcionalita je inverzná. Vyjadrime neznámu rýchlosť cez x a zostavme nasledujúci diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potom vytvoríme pomer: 120/x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V úlohe je rýchlosť plnenia bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, znížme odpoveď, ktorú sme dostali, na rovnaký tvar: 72/60 = 1,2 l/s.

Úloha č.4. Malá súkromná tlačiareň tlačí vizitky. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje celý deň - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a za hodinu vytlačil 48 vizitiek, o koľko skôr by mohol ísť domov?

Sledujeme osvedčenú cestu a zostavíme diagram podľa podmienok problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 vizitiek/hod – 8 hodín

↓ 48 vizitiek/h – x v

Máme nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľkokrát menej času bude potrebovať na dokončenie tej istej práce. Keď to vieme, vytvorme pomer:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodín.

Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že teraz na ne takto myslíte aj vy. A hlavné je, že poznatky o nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môžu hodiť viackrát.

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, na nákupy, rozhodnete sa privyrobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverzných a priamoúmerných vzťahov si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite tento článok zdieľať ďalej sociálnych sietí aby mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Také rôzne proporcie

Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

Závislosť môže byť priama a inverzná. V dôsledku toho sú vzťahy medzi veličinami opísané priamou a nepriamou úmernosťou.

Priama úmernosť– ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.

Ukážme si to na jednoduchom príklade. Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. Čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V ktorej x≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem x = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nemá maximálne ani minimálne hodnoty.
Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
Neperiodické.
Jeho graf nepretína súradnicové osi.
Nemá žiadne nuly.
Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď sa argument zníži ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Zobrazuje sa nasledovne:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: pri rýchlosti 2-krát vyššej, ako je pôvodná rýchlosť, auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako podiel. Takže najprv urobme tento diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Šípky označujú nepriamo úmerný vzťah. Navrhujú tiež, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 = x/6. Kde získame x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Zapíšme si podmienky problému vo forme vizuálneho diagramu:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci – x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak je 2-krát menej pracovníkov, zostávajúci strávia 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potom vytvoríme pomer: 120/x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V úlohe je rýchlosť plnenia bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, znížme odpoveď, ktorú sme dostali, na rovnaký tvar: 72/60 = 1,2 l/s.

Sledujeme osvedčenú cestu a zostavíme diagram podľa podmienok problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 vizitiek/hod – 8 hodín

↓ 48 vizitiek/h – x v

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodín.

Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, na nákupy, rozhodnete sa privyrobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverzných a priamoúmerných vzťahov si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok na sociálnych sieťach, aby si zahrali aj vaši kamaráti a spolužiaci.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Príklad

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 atď. Faktor proporcionality Konštantný vzťah proporcionálnych veličín je tzv

Priama úmernosť

Priama úmernosť faktor proporcionality . Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku inej.- funkčná závislosť, pri ktorej určitá veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia

proporcionálne

, rovným dielom, to znamená, že ak sa argument zmení dvakrát v ľubovoľnom smere, funkcia sa tiež zmení dvakrát v rovnakom smere.(x) = Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:x,Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec: = facon

Inverzná úmernosť

s t

Inverzná úmernosť

- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia. 2010. Pozrite si, čo je „Priama proporcionalita“ v iných slovníkoch:

Nadácia Wikimedia. priama úmernosť

-- [A.S. Anglicko-ruský energetický slovník. 2006] Energetické témy všeobecne EN priama úmera ... Technická príručka prekladateľa- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. priama úmernosť vok. direkte Proportionalität, f rus. priama úmernosť, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas - (z lat. proporcionálny, proporcionálny). Proporcionalita. Slovník

PROPORCIONALITA, proporcionalita, plurál. nie, samica (kniha). 1. abstrakt podstatné meno na pomerné. Proporcionalita dielov. Proporcionalita tela. 2. Takýto vzťah medzi množstvami, keď sú proporcionálne (pozri proporcionálne ... Slovník Ushakova

Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich hodnôt zostane nezmenený Obsah 1 Príklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedia

PROPORCIONALITA, a, ženský. 1. pozri pomerné. 2. V matematike: taký vzťah medzi veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu. Rovná čiara (s rezom s nárastom o jednu hodnotu... ... Ozhegovov výkladový slovník

AND; a. 1. až proporcionálne (1 číslica); proporcionality. P. diely. P. telesná stavba. P. zastúpenie v parlamente. 2. Matematika. Závislosť medzi proporcionálne sa meniacimi veličinami. Faktor proporcionality. Priama linka (v ktorej s... ... Encyklopedický slovník

Tiež k téme

Konštrukcia v angličtine: pravidlá, preklad, príklady, schémy

Úvod do osobných a privlastňovacích zámen v angličtine

Príplatky za odpracované roky pre zamestnancov verejného sektora (príplatky za odpracované roky)

Organizačné personálne obsadenie - čo to je, štruktúra a štandardy

Minerály Európy