Lause. Yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys ja on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Seuraus 1. Matemaattisen induktion menetelmää käyttämällä kaava (3.10) voidaan yleistää mihin tahansa määrään pareittain yhteensopimattomia tapahtumia:

Seuraus 2. Koska vastakkaiset tapahtumat ovat yhteensopimattomia ja niiden summa on luotettava tapahtuma, niin käyttämällä (3.10) meillä on:

Usein tehtäviä ratkaistaessa käytetään kaavaa (3.12) muodossa:

(3.13)

Esimerkki 3.29. Nopanheittokokeessa etsi todennäköisyydet saada enemmän kuin 3 ja alle 6 pisteiden lukumäärän ylärajalla.

Merkitään tapahtumat, jotka liittyvät yhden pisteen menettämiseen nopan yläpinnalta läpi U 1 , kaksi pistettä kautta U 2 ,…, kuusi pistettä läpi U 6 .

Anna tapahtuman U- menetys nostan yläpinnalla pisteiden lukumäärä yli 3 ja alle 6. Tämä tapahtuma tapahtuu, jos vähintään yksi tapahtumista tapahtuu U 4 tai U 5 , joten se voidaan esittää näiden tapahtumien summana: . Koska tapahtumat U 4 ja U 5 ovat epäjohdonmukaisia, niin niiden summan todennäköisyyden selvittämiseksi käytämme kaavaa (3.11). Ottaen huomioon, että tapahtumien todennäköisyydet U 1 , U 2 ,…,U 6 ovat tasa-arvoisia, saamme:

Kommentti. Aikaisemmin tämän tyyppiset ongelmat ratkaistiin laskemalla myönteisten tulosten lukumäärä. Itse asiassa tapahtumaa U suosii kaksi lopputulosta ja vain kuusi perustulosta, joten käyttämällä klassista lähestymistapaa todennäköisyyskäsitteeseen, saamme:

Kuitenkin klassinen lähestymistapa todennäköisyyskäsitteeseen, toisin kuin yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyyttä koskeva lause, soveltuu vain yhtä mahdollisiin tuloksiin.

Esimerkki 3.30. Ampujan mahdollisuus osua maaliin on 0,7. Mikä on todennäköisyys, että ampuja ohittaa maalin?

Olkoon tapahtuma ampujan osuminen maaliin, silloin se, että ampuja ei osu maaliin, on tapahtuman vastainen tapahtuma, koska jokaisen testin tuloksena näistä tapahtumista tapahtuu aina yksi ja vain yksi. Kaavan (3.13) avulla saamme:

3.2.10. Tapahtumien tuottamisen todennäköisyys

Määritelmä. Tapahtuma on ns riippuvainen tapahtumasta jos tapahtuman todennäköisyys riippuu siitä, tapahtuiko tapahtuma vai ei.

Määritelmä. Tapahtuman todennäköisyyttä, koska tapahtuma on tapahtunut, kutsutaan ehdollinen todennäköisyys tapahtumia ja on merkitty

Lause. Tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa laskettuna sillä ehdolla, että ensimmäinen tapahtui:

Tapahtuman riippumattomuuden ehto tapahtumasta voidaan kirjoittaa lomakkeeseen Tästä väitteestä seuraa, että riippumattomille tapahtumille pätee seuraava suhde:

eli riippumattomien tapahtumien tulon todennäköisyys ja on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo.

Kommentti. Useiden tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo, ja jokaisen seuraavan tapahtuman todennäköisyys järjestyksessä lasketaan sillä ehdolla, että kaikki edelliset tapahtuivat:

Jos tapahtumat ovat riippumattomia, meillä on:

Esimerkki 3.31. Laatikossa on 5 valkoista ja 3 mustaa palloa. Siitä vedetään satunnaisesti kaksi palloa ilman korvausta. Laske todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia.

Olkoon tapahtuma valkoisen pallon ilmestyminen ensimmäisessä vedossa ja valkoisen pallon esiintyminen toisessa vedossa. Ottaen huomioon, että (toisen valkoisen pallon ilmestymisen todennäköisyys, jos ensimmäinen vedetty pallo oli valkoinen eikä sitä palautettu laatikkoon). Koska tapahtumat ja ovat riippuvaisia, voimme löytää niiden tulon todennäköisyyden kaavalla (3.15):

Esimerkki 3.32. Ensimmäisen ampujan todennäköisyys osua maaliin on 0,8; toinen - 0,7. Jokainen ampuja ampui maaliin. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi ampuja osuu maaliin? Millä todennäköisyydellä yksi ampuja osuu maaliin?

Olkoon tapahtuma ensimmäisen ampujan osuma maaliin, - toisen. Kaikki mahdolliset vaihtoehdot voidaan esittää muodossa taulukot 3.5, jossa "+" tarkoittaa, että tapahtuma tapahtui, ja "-" - ei tapahtunut.

Taulukko 3.5

Olkoon tapahtuma vähintään yhden ampujan osuma maaliin, jolloin tapahtuma on riippumattomien tapahtumien summa ja siksi on mahdotonta soveltaa lausetta yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyydestä tässä tilanteessa.

Tarkastellaan tapahtumaa, joka on vastakkainen tapahtumalle, joka tapahtuu, kun yksikään ampuja ei osu maaliin, eli se on riippumattomien tapahtumien tulos. Kaavoilla (3.13) ja (3.15) saadaan:

Olkoon tapahtuma yhden ampujan osuma maaliin. Tämä tapahtuma voidaan esittää seuraavasti:

Tapahtumat ja ovat itsenäisiä, tapahtumia ja ovat myös riippumattomia. Tapahtumat, jotka ovat tapahtumien tuotteita, eivät ole yhteensopivia. Käyttämällä kaavoja (3.10) ja (3.15) saamme:

Tapahtumien yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden ominaisuudet:

3.2.11. Kokonaistodennäköisyyskaava. Bayesin kaava

Tapahtukoon tapahtuma vain yhdessä pareittain yhteensopimattomien tapahtumien (hypoteesien) kanssa,,...,, muodostaen kokonaisen ryhmän, ts.

Tapahtuman todennäköisyys löydetään kaavasta täysi todennäköisyys:

Jos tapahtuma on jo tapahtunut, hypoteesien todennäköisyydet voidaan yliarvioida kaavalla Bayes:

(3.17)

Esimerkki 3.33. Siinä on kaksi identtistä urnaa, joissa on pallot. Ensimmäisessä uurnassa on 5 valkoista ja 10 mustaa palloa ja toisessa 3 valkoista ja 7 mustaa palloa. Yksi uurna valitaan sattumanvaraisesti ja siitä arvotaan yksi pallo.

Laske todennäköisyys, että tämä pallo on valkoinen.

Urnasta vedetään satunnaisesti valkoinen pallo. Laske todennäköisyys, että pallo vedettiin ensimmäisestä uurnasta.

\(\blacktriangleright\) Jos tapahtuman \(C\) suorittaminen edellyttää molempien samanaikaisten (joka voi tapahtua samanaikaisesti) tapahtumien \(A\) ja \(B\) (\(C=\(A\)) suorittamista ) ja \( B\)\) ), silloin tapahtuman \(C\) todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumien \(A\) ja \(B\) todennäköisyyksien tulo.

Huomaa, että jos tapahtumat eivät ole yhteensopivia, niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Jokainen tapahtuma voidaan esittää ympyränä. Sitten jos tapahtumat ovat yhteisiä, ympyröiden on leikattava. Tapahtuman todennäköisyys \(C\) on todennäköisyys päästä molempiin ympyröihin samanaikaisesti.

\(\blacktriangleright\) Esimerkiksi noppaa heittäessäsi etsi todennäköisyys \(C=\) (vierrä numeroa \(6\) ).
Tapahtuma \(C\) voidaan muotoilla \(A=\) (parillinen luku) ja \(B=\) (kolmella jaollinen luku).
Sitten \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Tehtävä 1 #3092

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Myymälässä myydään tennareita kahdelta merkiltä: Dike ja Ananas. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu lenkkaripari on Dike, on \(0,6\) . Jokainen yritys voi tehdä virheen kirjoittaessaan nimensä lenkkariin. Todennäköisyys, että Dike kirjoittaa nimen väärin, on \(0,05\) ; Todennäköisyys, että Ananas kirjoittaa nimen väärin, on \(0,025\) . Selvitä todennäköisyys, että satunnaisesti ostetuissa tennareissa on yrityksen nimen oikeinkirjoitus.

Tapahtuma A: "lenkkaripari on oikealla nimellä" on yhtä suuri kuin tapahtumien summa B: "lenkkaripari tulee Dikesta ja oikealla nimellä" ja C: "lenkkaripari on Ananasista ja oikealla nimellä."
Tapahtuman B todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumien "Diken valmistama tennarit" ja "yrityksen nimen Dike oikein kirjoitettuna" todennäköisyyksien tulo: \ Vastaavasti tapahtumalle C: \ Siten, \

Vastaus: 0,96

Tehtävä 2 #166

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Jos Timur pelaa valkoisilla tammilla, hän voittaa Vanyan todennäköisyydellä 0,72. Jos Timur pelaa mustilla tammilla, hän voittaa Vanyan todennäköisyydellä 0,63. Timur ja Vanya pelaavat kaksi peliä, ja toisessa pelissä he vaihtavat tammiväriä. Laske todennäköisyys, että Vanya voittaa molemmat kertaa.

Vanya voittaa valkoisella todennäköisyydellä \(0,37\) ja mustalla todennäköisyydellä \(0,28\) . Tapahtumat "kahdesta pelistä Vanya voitti valkoisella"\(\ \) ja "kahdesta pelistä Vanya voitti mustalla"\(\ \) ovat riippumattomia, jolloin niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin \

Vastaus: 0,1036

Tehtävä 3 #172

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Museon sisäänkäyntiä vartioi kaksi vartijaa. Todennäköisyys, että vanhin heistä unohtaa radiopuhelimen, on \(0,2\) ja todennäköisyys, että nuorin heistä unohtaa radiopuhelimen, on \(0,1\) . Millä todennäköisyydellä heillä ei ole radioita?

Koska tarkasteltavat tapahtumat ovat riippumattomia, niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo. Sitten haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin \

Vastaus: 0,02

Tehtävä 4 #167

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Hyppäämällä 1 metrin korkeudesta Kostya murtaa jalkansa todennäköisyydellä \(0,05\) . Hyppäämällä 1 metrin korkeudesta Vanya murtaa jalkansa todennäköisyydellä \(0,01\) . Hyppäämällä 1 metrin korkeudesta Anton murtaa jalkansa todennäköisyydellä \(0,01\) . Kostya, Vanya ja Anton hyppäävät samanaikaisesti 1 metrin korkeudesta. Mikä on todennäköisyys, että vain Kostya murtaa jalkansa? Pyöristä vastauksesi tuhannesosaan.

Tapahtumat "Hyppääessään 1 metrin korkeudelta Kostya mursi jalkansa"\(,\ \) "Hyppääessään 1 metrin korkeudelta Vanja ei rikkonut jalkaansa"\(\ \) ja "Hyppääessään 1 metrin korkeudella Anton ei murtanut jalkaansa"\( \ \) ovat riippumattomia, joten niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo: \ Pyöristyksen jälkeen saamme lopulta \(0,049\) .

Vastaus: 0,049

Tehtävä 5 #170

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Maxim ja Vanya päättivät mennä keilailemaan. Maxim arvioi perustellusti, että hän iskee keskimäärin kerran kahdeksassa heitossa. Vanya arvioi perustellusti, että hän tyrmää iskun keskimäärin kerran viidessä heitossa. Maxim ja Vanya tekevät kukin tasan yhden heiton (tuloksesta riippumatta). Millä todennäköisyydellä heidän keskuudessaan ei tule lakkoja?

Koska tarkasteltavat tapahtumat ovat riippumattomia, niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo. Tässä tapauksessa todennäköisyys, että Maxim ei lyö iskua, on yhtä suuri \ Todennäköisyys, että Vanya ei lyö, on \(1 - 0,2 = 0,8\) . Sitten haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin \[\dfrac(7)(8)\cdot 0.8 = 0.7.\]

Vastaus: 0.7

Tehtävä 6 #1646

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Anton ja Kostya pelaavat pöytätennistä. Todennäköisyys, että Kostya osuu pöytään allekirjoitusiskullaan, on \(0,9\) . Todennäköisyys, että Anton voittaa rallin, jossa Kostya yritti antaa allekirjoitusiskun, on \(0,3\) . Kostya yritti lyödä pöytään omalla iskullaan. Millä todennäköisyydellä Kostya todella osuu omalla iskullaan ja lopulta voittaa tämän arvonnan?

Koska tarkasteltavat tapahtumat ovat riippumattomia, niiden samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo. Samanaikaisesti todennäköisyys, että Anton ei voita rallia, jossa Kostya yritti antaa allekirjoitusiskunsa, on \(1 - 0,3 = 0,7\) . Sitten haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin \

Anna olla MUTTA ja AT ovat kaksi tässä testissä huomioitua tapahtumaa. Tässä tapauksessa yhden tapahtuman esiintyminen voi vaikuttaa toisen tapahtumisen mahdollisuuteen. Esimerkiksi tapahtuman esiintyminen MUTTA voi vaikuttaa tapahtumaan AT tai päinvastoin. Jotta voidaan ottaa huomioon joidenkin tapahtumien tällainen riippuvuus muista, otetaan käyttöön ehdollisen todennäköisyyden käsite.

Määritelmä. Jos tapahtuman todennäköisyys AT sijaitsee sillä ehdolla, että tapahtuma MUTTA tapahtui, sitten tapahtuman todennäköisyys AT nimeltään ehdollinen todennäköisyys Tapahtumat AT. Seuraavia symboleja käytetään kuvaamaan tällaista ehdollista todennäköisyyttä: R MUTTA ( AT) tai R(AT / MUTTA).

Huomautus 2. Toisin kuin ehdollinen todennäköisyys, "ehdoton" todennäköisyys huomioidaan myös silloin, kun jonkin tapahtuman tapahtumiselle on olemassa ehtoja AT puuttuu.

Esimerkki. Urna sisältää 5 palloa, joista 3 on punaista ja 2 sinistä. Siitä vuorostaan ​​vedetään yksi pallo palautuksella ja ilman palautusta. Määritä ehdollinen todennäköisyys, että vedetään punainen pallo toisen kerran, edellyttäen, että ensimmäinen kerta on: a) punainen pallo; b) sininen pallo.

Anna tapahtuman MUTTA piirtää punaisen pallon ensimmäistä kertaa, ja tapahtuma AT– punaisen pallon poistaminen toisen kerran. Se on selvää R(MUTTA) = 3/5; sitten siinä tapauksessa, että ensimmäistä kertaa ulos otettu pallo palautetaan uurnaan, R(AT)=3/5. Siinä tapauksessa, että vedettyä palloa ei palauteta, punaisen pallon vedon todennäköisyys R(AT) riippuu siitä, mikä pallo vedettiin ensimmäistä kertaa - punainen (tapahtuma MUTTA) tai sininen (tapahtuma). Sitten ensimmäisessä tapauksessa R MUTTA ( AT) = 2/4, ja toisessa ( AT) = 3 / 4.

Lause sellaisten tapahtumien todennäköisyyksien kertomisesta, joista toinen tapahtuu toisen ehdolla

Kahden tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa, joka on saatu olettaen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui:

R(A∙ B) = R(MUTTA) ∙ R MUTTA ( AT) . (1.7)

Todiste. Todellakin, anna n- testin yhtä todennäköisten ja yhteensopimattomien (alkeis) tulosten kokonaismäärä. Anna olla n 1 - tapahtumaa suosivien tulosten määrä MUTTA, joka esiintyy alussa, ja m- niiden tulosten määrä, joissa tapahtuma tapahtuu AT olettaen, että tapahtuma MUTTA on tullut. Täten, m on tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärä AT. Sitten saamme:

Nuo. useiden tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden näistä tapahtumista todennäköisyyden tulo muiden ehdollisten todennäköisyyksien kanssa, ja kunkin seuraavan tapahtuman ehdollinen todennäköisyys lasketaan olettaen, että kaikki aikaisemmat tapahtumat ovat tapahtuneet.

Esimerkki. 10 urheilijan joukkueessa on 4 urheilun mestaria. Joukkueesta valitaan arvalla 3 urheilijaa. Millä todennäköisyydellä kaikki valitut urheilijat ovat urheilun mestareita?

Päätös. Pelkistetäänpä ongelma ”uurna”-malliin, ts. Oletetaan, että 10 palloa sisältävässä uurnassa on 4 punaista palloa ja 6 valkoista. Tästä uurnasta arvotaan satunnaisesti 3 palloa (valinta S= 3). Anna tapahtuman MUTTA koostuu 3 pallon poistamisesta. Ongelma voidaan ratkaista kahdella tavalla: klassisen kaavion ja kaavan (1.9) avulla.

Ensimmäinen kombinatoriseen kaavaan perustuva menetelmä:

Toinen menetelmä (kaavan (1.9) mukaan). Uurnasta vedetään 3 palloa peräkkäin ilman vaihtoa. Anna olla MUTTA 1 - ensimmäinen vedetty pallo on punainen, MUTTA 2 - toinen vedetty pallo on punainen, MUTTA 3 - kolmas vedetty pallo on punainen. Olkoon myös tapahtuma MUTTA tarkoittaa, että kaikki 3 vedettyä palloa ovat punaisia. Sitten: MUTTA = MUTTA 1 ∙ (MUTTA 2 / MUTTA 1) ∙ MUTTA 3 / (MUTTA 1 ∙ MUTTA 2), so.

Esimerkki. Anna korttisarjasta a, a, r, b, o, t kortit arvotaan yksi kerrallaan. Mikä on todennäköisyys saada sana " Job” kun taitat ne peräkkäin yhdeksi riviksi vasemmalta oikealle?

Anna olla AT- tapahtuma, jossa ilmoitettu sana saadaan. Sitten kaavalla (1.9) saamme:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Todennäköisyyksien kertolaskulause saa yksinkertaisimman muotonsa, kun tulo muodostuu toisistaan ​​riippumattomista tapahtumista.

Määritelmä. Tapahtuma AT nimeltään riippumaton tapahtumasta MUTTA jos sen todennäköisyys ei muutu riippumatta siitä, tapahtuiko tapahtuma MUTTA tai ei. Kahta tapahtumaa kutsutaan itsenäiseksi (riippuvaiseksi), jos toisen tapahtuma ei muuta (muuta) toisen tapahtumisen todennäköisyyttä. Siis itsenäisiin tapahtumiin p(B/A) = R(AT) tai = R(AT) ja riippuvaisia ​​tapahtumia varten R(AT/A)

Aloitetaan tehtävästä.

Oletetaan, että sinulla on 0,5 mahdollisuus saada A kokeessa ja 0,3 mahdollisuus saada B. Millä todennäköisyydellä saat kokeesta 4 tai 5?

Jotkut huutavat heti: "0,8", mutta miksi juuri? Miksi ei esimerkiksi 0,15 (kerrottu, ei lisätty)? Selvitetään se.

Oletetaan, että on kokemusta, jolla on tuloksia. Näistä tapahtuman alkaminen on suotuisa ja tapahtuma suotuisa. Ei ole vaikeaa löytää kunkin tapahtuman esiintymistodennäköisyydet kaavan avulla - nämä ovat vastaavasti ja . Mutta mikä on todennäköisyys, että joko ensimmäinen tai toinen tapahtuma tapahtuu? Toisin sanoen etsimme näiden tapahtumien yhdistämisen todennäköisyyttä. Tätä varten meidän on selvitettävä, kuinka monta suotuisaa lopputulosta meillä on. ? Ei oikeastaan. Loppujen lopuksi voi käydä niin, että nämä tapahtumat suoritetaan samanaikaisesti.

Oletetaan sitten, että tapahtumat eivät ole päällekkäisiä, eli niitä ei voida suorittaa samanaikaisesti. Sitten saamme yhdistykselle suotuisat tulokset -. Joten todennäköisyys liittyä on:

Yhteensopimattomien tapahtumien yhdistämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa.

Huomioi: tässä puhutaan YKSI kokeesta, jonka seurauksena voi tapahtua joko ensimmäinen tai toinen tapahtuma, mutta ei molempia kerralla.

Erityisesti esimerkissä kontrollin kanssa ymmärrämme, että opiskelija ei voi saada sekä 5:tä että 4:ää kontrolliin samaan aikaan (puhumme samasta arvosanasta samalle kontrollille), mikä tarkoittaa, että todennäköisyys, että hän saa get 4 tai 5 on yhtä suuri kuin todennäköisyyksien summa, eli loppujen lopuksi 0,8.

Vastaus: 0,8.

Mutta entä jos tapahtumat leikkaavat toisiaan, eli on molemmille suotuisia tuloksia? Tästä tilanteesta keskustellaan oppitunnin lopussa.

2. Math Help Planet -foorumi ()

3. Verkkosivusto "Matematiikka, josta pidän" ()

Kotitehtävät

1. Kaksi ampujaa ampuu maaliin. Ensimmäinen ampuja osuu maaliin todennäköisyydellä 0,9. Toinen ampuja osuu maaliin todennäköisyydellä 0,8. Laske todennäköisyys, että kohteeseen osuu.

2. Satunnainen koe koostuu kahden noppaa heittämisestä. Toinen nopa on sininen, toinen punainen. Laske todennäköisyys, että 3 heitetään sinisellä noppaa ja 4 heitetään punaisella noppaa.

Tapahtumien A ja B tulo eli leikkauspiste on tapahtuma, joka koostuu tapahtumien ja A:n samanaikaisesta esiintymisestä, ja AT. Teoksen nimeäminen AB tai L ja V.

Esimerkiksi kaksi kertaa maaliin osuminen on kahden tapahtuman tulos, vastaus molempiin kokeen lipun kysymyksiin on kahden tapahtuman tulos.

Tapahtumat L ja AT kutsutaan epäjohdonmukaisiksi, jos niiden tuote on mahdoton tapahtuma, ts. LV = V.

Esimerkiksi tapahtumat L - vaakunan menetys ja AT- numeroiden häviäminen yhden kolikonheiton aikana ei voi tapahtua samanaikaisesti, niiden tulo on mahdoton tapahtuma, tapahtumat L ja B eivät ole yhteensopivia.

Tapahtumien summan ja tulon käsitteillä on selkeä geometrinen tulkinta (kuva 6.4).

Riisi. 6.4 Teoksen geometrinen tulkinta (a) ja määrät (b) kaksi yhteistä tapahtumaa

Olkoon tapahtuma A alueen L pistejoukko ja tapahtuma B alueen B pisteiden joukko. Varjostettu alue vastaa tapahtumaa LP kuvassa 2. 6 La ja tapahtuma A + B kuvassa. 6.46.

Yhteensopimattomille tapahtumille A ja B meillä on LP = V(Kuva 6.5a). L + B -tapahtuma vastaa varjostettua aluetta kuvassa. 6.56.

Riisi. 6.5 Tuotteen geometrinen tulkinta ( a) ja summia (b) kaksi yhteensopimatonta tapahtumaa

Tapahtumat MUTTA ja MUTTA kutsutaan vastakkaisiksi, jos ne ovat yhteensopimattomia ja muodostavat kaiken kaikkiaan luotettavan tapahtuman, ts.

A A = V; A+A=U.

Ammutaan esimerkiksi yksi laukaus kohteeseen: tapahtuma MUTTA- ampuja osui maaliin MUTTA- jäänyt väliin; heitetty kolikko:

tapahtuma MUTTA- kotkan putoaminen, MUTTA- numeroiden menetys; koululaiset kirjoittavat kokeen: tapahtuma MUTTA- ei mitään

virheitä ohjaustyössä, MUTTA- valvontatyössä on virheitä; opiskelija tuli suorittamaan kokeen: tapahtuma MUTTA- läpäissyt

offset, MUTTA- ei toimittanut raporttia.

Luokassa on poikia ja tyttöjä, erinomaisia ​​oppilaita, hyviä opiskelijoita ja kolme englantia ja saksaa opiskelevaa opiskelijaa. Olkoon tapahtuma M poika, oi erinomainen opiskelija, A englannin oppija. Voiko luokalta vahingossa lähtenyt opiskelija olla sekä poika että erinomainen oppilas ja englannin oppija? Tämä on MOA-tapahtumien tuote tai leikkauspiste.

Esimerkki 6.15. Heitä noppaa - homogeenisesta materiaalista valmistettu kuutio, jonka pinnat on numeroitu. Tarkkaile yläpinnalle putoavaa numeroa (pisteiden lukumäärää). Anna tapahtuman MUTTA - parittoman luvun esiintyminen, tapahtuma AT - kolmen kerrannaisen esiintyminen. Etsi tulokset, jotka muodostavat kunkin tapahtuman (?/, A, A + V U AB) ja osoittavat niiden merkityksen.

Päätös. Lopputulos - minkä tahansa numeron 1, 2, 3, 4, 5, 6 ilmestyminen yläpuolelle. Kaikkien tulosten joukko on alkeistapahtumien tila U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). On selvää, että tapahtuma A =(1, 3, 5), tapahtuma B = {3, 6}.

Tapahtuma MUTTA + B =(1, 3, 5, 6) - joko parittoman luvun tai kolmen kerrannaisen luvun esiintyminen. Tuloksia listattaessa otetaan huomioon, että jokainen joukon tulos voi olla vain kerran.

Tapahtuma AB =(3) - sekä parittoman luvun että kolmen kerrannaisen esiintyminen.

Esimerkki 6.16. Kolmen opiskelijan kotitehtävät tarkastettiin. Anna tapahtuman MUTTA ( - i:nnen opiskelijan tehtävän suorittaminen, G = 1, 2, 3.

Mikä on tapahtumien merkitys: A = A t + A 2+ L 3, MUTTA ja B \u003d A t A 2 A 3?

Päätös. Tapahtuma MUTTA = A x + A 2 + A 3 - tehtävän suorittaminen vähintään yhden opiskelijan toimesta, ts. tai yksi opiskelija (tai ensimmäinen, tai toinen tai kolmas), tai mitkä tahansa kaksi tai kaikki kolme.

Tapahtuma A \u003d A x -A 2 -A 3- tehtävää ei suorittanut yksikään opiskelija - ei ensimmäinen, toinen eikä kolmas. Tapahtuma B \u003d A ( A 2 A 3 - kolmen opiskelijan tehtävän suorittaminen - ja ensimmäinen, toinen ja kolmas.

Kun tarkastellaan useiden tapahtumien yhteistä esiintymistä, on tapauksia, joissa yhden tapahtuman toteutuminen vaikuttaa toisen tapahtumisen mahdollisuuteen. Esimerkiksi jos päivä on aurinkoinen syksyllä, sää ei todennäköisesti huonone (alkaa sataa). Jos aurinkoa ei näy, on todennäköisempää, että sataa.

Tapahtuma L kutsutaan tapahtumasta riippumattomaksi AT, jos tapahtuman todennäköisyys MUTTA ei muutu sen mukaan, tapahtuiko tapahtuma vai ei AT. Muuten tapahtuma MUTTA kutsutaan tapahtumariippuvaiseksi AT. Kaksi tapahtumaa A jaAT kutsutaan riippumattomiksi, jos toisen todennäköisyys ei riipu toisen esiintymisestä tai toteutumattomuudesta, riippuvainen - muuten. Tapahtumia kutsutaan pareittain riippumattomiksi, jos jokainen niistä on riippumaton toisistaan.

Todennäköisyyksien kertolaskulause muotoillaan seuraavasti. Kahden riippumattoman tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo:

Tämä lause pätee mille tahansa äärelliselle määrälle tapahtumia, mikäli ne ovat toisistaan ​​riippumattomia, ts. minkään niistä todennäköisyys ei riipu siitä, tapahtuiko toinen näistä tapahtumista vai ei.

Esimerkki 6.17. Opiskelija suorittaa kolme koetta. Ensimmäisen kokeen läpäisemisen todennäköisyys on 0,9, toisen - 0,65, kolmannen - 0,35. Määritä todennäköisyys, että hän läpäisee ainakin yhden kokeen.

Päätös. Merkitse MUTTA tapahtuma - opiskelija ei läpäissyt vähintään yhtä koetta. Sitten P(A) = 1 - /-’(1/1), missä MUTTA- päinvastainen tapahtuma - opiskelija läpäisi kaikki kokeet. Koska jokaisen kokeen läpäiseminen ei riipu muista kokeista, niin P(A)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Tapahtuman todennäköisyys MUTTA, lasketaan olettaen, että tapahtuma tapahtuu AT, nimeltään ehdollinen todennäköisyys Tapahtumat MUTTA ulkonäön mukaan AT ja merkitty R B (A) tai P(A/B).

Lause.Kahden tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa, laskettuna sillä ehdolla, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui:

Esimerkki 6.18. Opiskelija arvostaa kahdesti yhden lipun joukosta 34. Millä todennäköisyydellä hän läpäisee kokeen, jos hän on valmistanut 30 lippua ja ottaa ensimmäisen kerran hylätyn lipun?

Päätös. Anna tapahtuman MUTTA koostuu siitä, että ensimmäistä kertaa sait epäonnistuneen lipun, tapahtuman AT- toisen kerran onnistunut lippu arvotaan. Sitten MUTTA?AT- opiskelija läpäisee kokeen (määritetyissä olosuhteissa). Tapahtumat MUTTA ja AT ovat riippuvaisia, koska onnistuneen lipun valitsemisen todennäköisyys toisella yrityksellä riippuu ensimmäisen valinnan tuloksesta. Siksi käytämme kaavaa (6.6):

Huomaa, että ratkaisussa saatu todennäköisyys on "0,107. Miksi kokeen läpäisemisen todennäköisyys on niin pieni, jos 30 lippua 34:stä opitaan ja yritetään kaksi?!

Laajennettu summauslause on muotoiltu seuraavasti. Kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä (toimii):

Esimerkki 6.19. Kaksi opiskelijaa ratkaisee ongelman. Todennäköisyys, että ensimmäinen oppilas ratkaisee ongelman (tapahtuma MUTTA), yhtä suuri kuin 0,9; todennäköisyys, että toinen opiskelija ratkaisee ongelman (tapahtuma AT), on yhtä suuri kuin 0,8. Millä todennäköisyydellä ongelma ratkeaa?

Päätös. Olemme kiinnostuneita tapahtumasta C, joka koostuu siitä, että ongelma ratkeaa, ts. ensimmäinen tai toinen opiskelija tai kaksi opiskelijaa samanaikaisesti. Näin ollen kiinnostava tapahtuma ohitetaan C = A +AT. Tapahtumat MUTTA ja AT ovat yhteisiä, niin todennäköisyyslaskulausetta voidaan soveltaa yhteisten tapahtumien tapauksessa: P(A + AT) = P(A) + P(B) - P(AB). Meidän tapauksellemme P(A + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (tapahtumat MUTTA ja AT yhteinen mutta itsenäinen).

Esimerkki 6.20. Opiskelija tietää 20 kysymystä 25:stä. Mikä on todennäköisyys vastata kolmeen kysymykseen 25:stä?

Päätös. Esitellään tapahtuma A, - opiskelija tietää vastauksen i- ehdotettu kysymys, i= 1,2,3. Tapahtumat L, L 2 , L 3 - riippuvaisia. Niin

Tapahtumien todennäköisyyksiä haettaessa käytettiin klassista todennäköisyyden määritelmää.