El estudio de tal objeto de análisis matemático como función es de gran importancia. significado y en otras áreas de la ciencia. Por ejemplo, en análisis Economico Es necesario evaluar constantemente el comportamiento. funciones beneficio, es decir, determinar su mayor significado y desarrollar una estrategia para lograrlo.
Instrucciones
El estudio de cualquier comportamiento siempre debe comenzar con la búsqueda del dominio de definición. Generalmente, de acuerdo con las condiciones de un problema específico, es necesario determinar la mayor significado funciones ya sea en toda esta área, o en un intervalo específico de la misma con fronteras abiertas o cerradas.
Basado en , el más grande es significado funciones y(x0), en el que para cualquier punto en el dominio de definición se cumple la desigualdad y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Gráficamente, este punto será el más alto si los valores de los argumentos se colocan a lo largo del eje de abscisas y la función misma a lo largo del eje de ordenadas.
Para determinar el mayor significado funciones, siga el algoritmo de tres pasos. Tenga en cuenta que debe poder trabajar con unilateral y , así como calcular la derivada. Entonces, dejemos que se dé alguna función y(x) y necesitemos encontrar su mayor significado en un cierto intervalo con valores límite A y B.
Descubra si este intervalo está dentro del alcance de la definición. funciones. Para hacer esto, debe encontrarlo considerando todas las restricciones posibles: la presencia de una fracción, raíz cuadrada, etc. en la expresión. El dominio de definición es el conjunto de valores de argumentos para los cuales la función tiene sentido. Determine si el intervalo dado es un subconjunto del mismo. En caso afirmativo, continúe con el siguiente paso.
Encuentra la derivada funciones y resuelve la ecuación resultante igualando la derivada a cero. De esta forma obtendrás los valores de los llamados puntos estacionarios. Evaluar si al menos uno de ellos pertenece al intervalo A, B.
En la tercera etapa, considere estos puntos y sustituya sus valores en la función. Dependiendo del tipo de intervalo, realice los siguientes pasos adicionales. Si hay un segmento de la forma [A, B], los puntos límite se incluyen en el intervalo; esto se indica entre paréntesis. Calcular valores funciones para x = A y x = B. Si el intervalo es abierto (A, B), los valores límite se perforan, es decir no están incluidos en el mismo. Resuelva límites unilaterales para x→A y x→B. Un intervalo combinado de la forma [A, B) o (A, B), uno de cuyos límites le pertenece, el otro no. Encuentre el límite unilateral cuando x tiende al valor perforado y sustitúyalo por el otro. la función Intervalo infinito de dos lados (-∞, +∞) o intervalos infinitos de un lado de la forma: , (-∞, B). Para los límites reales A y B, proceda de acuerdo con los principios ya descritos, y para los límites reales A y B. infinitos, busque límites para x→-∞ y x→+∞, respectivamente.
La tarea en esta etapa
Y para solucionarlo necesitarás conocimientos mínimos del tema. El siguiente termina año académico, todo el mundo quiere irse de vacaciones, y para acercar este momento, voy directo al grano:
Empecemos por la zona. El área a que se refiere la condición es limitado cerrado conjunto de puntos en un plano. Por ejemplo, el conjunto de puntos delimitados por un triángulo, incluido TODO el triángulo (si de fronteras“pincha” al menos un punto, entonces la región ya no estará cerrada). En la práctica, también existen zonas de formas rectangulares, redondas y un poco más complejas. Cabe señalar que en la teoría del análisis matemático se dan definiciones estrictas. limitaciones, aislamiento, límites, etc., pero creo que todo el mundo conoce estos conceptos a nivel intuitivo y ahora no hace falta nada más.
Un área plana se denota estándar con la letra y, por regla general, se especifica analíticamente, mediante varias ecuaciones. (no necesariamente lineal); menos frecuentemente desigualdades. Verborrea típica: “área cerrada delimitada por líneas”.
Una parte integral de la tarea en cuestión es la construcción de un área en el dibujo. ¿Cómo hacerlo? Debe dibujar todas las líneas enumeradas (en este caso 3 derecho) y analizar lo sucedido. El área buscada suele estar ligeramente sombreada y su borde está marcado con una línea gruesa: 
La misma área también se puede configurar desigualdades lineales: , que por alguna razón a menudo se escriben como una lista enumerada en lugar de sistema.
Dado que el límite pertenece a la región, entonces todas las desigualdades, por supuesto, flojo.
Y ahora la esencia de la tarea. Imagina que el eje sale recto hacia ti desde el origen. Considere una función que continuo en cada punto de área. La gráfica de esta función representa algunos superficie, y la pequeña felicidad es que para resolver el problema actual no necesitamos saber cómo es esta superficie. Se puede ubicar más arriba, más abajo, cruzar el plano; todo esto no importa. Y lo siguiente es importante: según Teoremas de Weierstrass, continuo V cerrado limitadoÁrea donde la función alcanza su mayor valor. (el más alto") y lo menos (el más bajo") valores que es necesario encontrar. Estos valores se logran. o V puntos estacionarios, perteneciente a la regiónD , o en los puntos que se encuentran en el límite de esta área. Esto conduce a un algoritmo de solución simple y transparente:
Ejemplo 1
En limitado zona cerrada
Solución: En primer lugar, es necesario representar el área en el dibujo. Desafortunadamente, es técnicamente difícil para mí hacer un modelo interactivo del problema, por lo que presentaré inmediatamente la ilustración final, que muestra todos los puntos "sospechosos" encontrados durante la investigación. Por lo general, se enumeran uno tras otro a medida que se descubren: 
Teniendo en cuenta el preámbulo, la decisión puede dividirse convenientemente en dos puntos:
I) Encontrar puntos estacionarios. Este acción estándar que realizamos repetidamente en clase sobre los extremos de varias variables:
Punto estacionario encontrado perteneceáreas: (márcalo en el dibujo), lo que significa que debemos calcular el valor de la función en un punto dado:
- como en el artículo Los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento., resaltaré los resultados importantes en negrita. Conviene calcarlos en una libreta con un lápiz.
Prestemos atención a nuestra segunda felicidad: no tiene sentido comprobarlo. condición suficiente para un extremo. ¿Por qué? Incluso si en un punto la función alcanza, por ejemplo, mínimo local, entonces esto NO SIGNIFICA que el valor resultante será mínimo en toda la región (ver el comienzo de la lección sobre extremos incondicionales) .
¿Qué hacer si el punto estacionario NO pertenece al área? ¡Casi nada! Cabe señalar eso y pasar al siguiente punto.
II) Exploramos la frontera de la región.
Dado que el borde está formado por los lados de un triángulo, conviene dividir el estudio en 3 subsecciones. Pero de todos modos es mejor no hacerlo. Desde mi punto de vista, en primer lugar es más ventajoso considerar los segmentos paralelos a los ejes de coordenadas y, en primer lugar, los que se encuentran sobre los propios ejes. Para comprender toda la secuencia y la lógica de las acciones, intente estudiar el final "de una vez":
1) Tratemos con el lado inferior del triángulo. Para hacer esto, sustituya directamente en la función:
Alternativamente, puedes hacerlo así: 
Geométricamente esto significa que Plano coordinado (que también está dado por la ecuación)"talla" de superficies una parábola "espacial", cuya parte superior inmediatamente resulta sospechosa. Vamos a averiguar donde esta ubicada:
– el valor resultante “cayó” en el área, y bien puede resultar que en el punto (marcado en el dibujo) la función alcanza el valor más grande o más pequeño en toda la región. De una forma u otra, hagamos los cálculos:
Los otros “candidatos” son, por supuesto, los extremos del segmento. Calculemos los valores de la función en puntos. 
(marcado en el dibujo):
Aquí, por cierto, puede realizar un minicontrol oral utilizando una versión "simplificada": 
2) Para estudiar el lado derecho del triángulo, sustitúyelo en la función y “pon las cosas en orden”:
Aquí realizaremos inmediatamente una verificación aproximada, "haciendo sonar" el final del segmento ya procesado:
, Excelente.
La situación geométrica está relacionada con el punto anterior:
– el valor resultante también “entró en la esfera de nuestros intereses”, lo que significa que debemos calcular a qué es igual la función en el punto que aparece:
Examinemos el segundo extremo del segmento:
Usando la función 
, realicemos una verificación de control: 
3) Probablemente todos puedan adivinar cómo explorar el lado restante. Lo sustituimos en la función y realizamos simplificaciones:
Extremos del segmento 
Ya se han investigado, pero en el borrador todavía comprobamos si hemos encontrado la función correctamente. 
:
– coincidió con el resultado del párrafo primero;
– coincidió con el resultado del párrafo segundo.
Queda por saber si hay algo interesante dentro del segmento:
- ¡Hay! Sustituyendo la línea recta en la ecuación, obtenemos la ordenada de este "interés":
Marcamos un punto en el dibujo y encontramos el valor correspondiente de la función:
Comprobemos los cálculos utilizando la versión "presupuesto" 
:
, orden.
Y el paso final: Revisamos CUIDADOSAMENTE todos los números en "negrita", recomiendo a los principiantes incluso hacer una lista única: 
del cual seleccionamos los valores más grandes y más pequeños. Respuesta Anotemos al estilo del problema de encontrar. los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento:
Por las dudas, vuelvo a comentar el significado geométrico del resultado:
– aquí se encuentra el punto más alto de la superficie de la región;
– aquí está el punto más bajo de la superficie de la zona.
En la tarea analizada, identificamos 7 puntos "sospechosos", pero su número varía de una tarea a otra. Para una región triangular, el “conjunto de investigación” mínimo consta de tres puntos. Esto sucede cuando la función, por ejemplo, especifica avión– está completamente claro que no hay puntos estacionarios, y la función puede alcanzar sus valores máximo/menor sólo en los vértices del triángulo. Pero sólo hay uno o dos ejemplos similares; por lo general, hay que lidiar con algunos superficie de segundo orden.
Si resuelves un poco estos problemas, entonces los triángulos pueden hacerte girar la cabeza, y es por eso que he preparado ejemplos inusuales para que puedas hacerlo cuadrado :))
Ejemplo 2
Encuentra los valores mayor y menor de una función. 
en un área cerrada, limitado por líneas
Ejemplo 3
Encuentre los valores mayor y menor de una función en una región cerrada limitada.
Atención especial Preste atención al orden racional y a la técnica de estudiar los límites de la región, así como a la cadena de comprobaciones intermedias, lo que evitará casi por completo errores de cálculo. En general, puedes resolverlo como quieras, pero en algunos problemas, por ejemplo, en el Ejemplo 2, hay muchas posibilidades de hacerte la vida mucho más difícil. Una muestra aproximada de las tareas finales al final de la lección.
Sistematicemos el algoritmo de solución; de lo contrario, con mi diligencia como araña, de alguna manera se perdió en el largo hilo de comentarios del primer ejemplo:
– En el primer paso construimos la zona, es recomendable sombrearla y resaltar el borde con una línea gruesa. Durante la solución aparecerán puntos que deberán marcarse en el dibujo.
– Encuentra puntos estacionarios y calcula los valores de la función. solo en esos de ellos que pertenecen a la región. Resaltamos los valores resultantes en el texto (por ejemplo, los rodeamos con un lápiz). Si un punto estacionario NO pertenece a la región, marcamos este hecho con un icono o verbalmente. Si no hay ningún punto estacionario, llegamos a la conclusión escrita de que están ausentes. En cualquier caso, ¡este punto no se puede saltar!
– Estamos explorando la frontera de la región. Primero, es beneficioso comprender las líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. (si es que hay alguno). También destacamos los valores de la función calculados en puntos “sospechosos”. Se ha dicho mucho anteriormente sobre la técnica de solución y se dirá algo más a continuación: ¡léalo, vuelva a leerlo y profundice en él!
– De los números seleccionados, seleccione los valores mayor y menor y dé la respuesta. A veces sucede que una función alcanza tales valores en varios puntos a la vez; en este caso, todos estos puntos deben reflejarse en la respuesta. Dejemos, por ejemplo, 
y resultó que era valor más pequeño. Luego escribimos eso
Los ejemplos finales están dedicados a otros. ideas útiles que será útil en la práctica:
Ejemplo 4
Encuentra los valores mayor y menor de una función en una región cerrada 
.
He conservado la formulación del autor, en la que el área se da en forma de doble desigualdad. Esta condición puede escribirse mediante un sistema equivalente o en una forma más tradicional para este problema: 
te recuerdo que con no lineal encontramos desigualdades y, si no comprende el significado geométrico de la notación, no se demore y aclare la situación ahora mismo;-)
Solución, como siempre, comienza con la construcción de un área que representa una especie de “suela”: 
Mmm, a veces hay que masticar no sólo el granito de la ciencia...
I) Encuentra puntos estacionarios: 
El sistema es el sueño de un idiota :) 
Un punto estacionario pertenece a la región, es decir, se encuentra en su límite.
Y entonces, está bien... la lección fue bien: esto es lo que significa beber el té adecuado =)
II) Exploramos la frontera de la región. Sin más preámbulos, comencemos con el eje x:
1) Si, entonces
Encontremos dónde está el vértice de la parábola:
– valora esos momentos – has “dado” justo en el punto en el que ya todo está claro. Pero todavía no nos olvidamos de comprobar: 
Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento: 
2) C abajo Averigüemos los "fondos" "de una sola vez": los sustituimos en la función sin ningún complejo y solo nos interesará el segmento:
Control:
Esto ya aporta algo de emoción a la conducción monótona por la pista estriada. Encontremos puntos críticos:
Vamos a decidir ecuación cuadrática¿Recuerdas algo más sobre esto? ...Sin embargo, recuerda, por supuesto, que de lo contrario no estarías leyendo estas líneas =) Si en los dos ejemplos anteriores los cálculos en decimales(que, por cierto, es raro), entonces aquí nos esperan los habituales fracciones comunes. Encontramos las raíces "X" y usamos la ecuación para determinar las coordenadas de "juego" correspondientes de los puntos "candidatos": 
Calculemos los valores de la función en los puntos encontrados: 
Compruebe usted mismo la función.
Ahora estudiamos detenidamente los trofeos ganados y anotamos. respuesta:
¡Estos son “candidatos”, estos son “candidatos”!
Para decisión independiente:
Ejemplo 5
Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. 
en un área cerrada 
Una entrada entre llaves dice así: "un conjunto de puntos tales que".
A veces en ejemplos similares usar Método del multiplicador de Lagrange, pero es poco probable que exista una necesidad real de utilizarlo. Así, por ejemplo, si se da una función con la misma área “de”, luego de sustituirla – con la derivada sin dificultades; Además, todo está redactado en “una línea” (con signos) sin necesidad de considerar por separado los semicírculos superior e inferior. Pero, por supuesto, también hay casos más complejos, en los que sin la función de Lagrange (donde, por ejemplo, está la misma ecuación de un círculo) es difícil arreglárselas, así como es difícil arreglárselas sin Ten un buen descanso!
¡Que lo paséis bien a todos y nos vemos pronto la próxima temporada!
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 2: Solución: Representemos el área en el dibujo:
Página 1
Hechos teóricos:
El trinomio cuadrado = ax2+ bx + c tiene un valor extremo que toma cuando
Este valor es el más pequeño si a > 0, y el mayor si a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
N° 1. Divide el número positivo A dado en dos términos para que su producto sea mayor.
Solución. Denotemos uno de los términos requeridos por x. Entonces el segundo término será igual a A - x, y su producto 
o. 
Por tanto, la pregunta llevó a encontrar el valor de x en el que este trinomio cuadrático recibirá el mayor valor. Según el teorema 4, tal valor ciertamente existe (ya que aquí el coeficiente principal es igual a - 1, es decir, negativo) y es igual a En este caso, y, por lo tanto, ambos términos deben ser iguales entre sí.
Por ejemplo, el número 30 permite las siguientes ampliaciones:
Todos los productos recibidos son inferiores a
No. 2. Hay un cable de longitud L. Debes doblarlo para obtener un rectángulo que limite el área más grande posible.
Solución. Denotemos (Fig. 1) uno de los lados del rectángulo por x. Entonces, obviamente, su otro lado será un área 
o 
. Esta función toma su valor máximo en, que será el valor deseado de uno de los lados del rectángulo. Entonces su otro lado será , es decir nuestro rectángulo resulta ser un cuadrado. La solución resultante al problema se puede resumir en la forma del siguiente teorema.
De todos los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el cuadrado tiene el área más grande.
Comentario.
Nuestro problema también se puede resolver fácilmente utilizando el resultado obtenido al resolver el Problema 1.
De hecho, vemos que el área del rectángulo que nos interesa es En otras palabras, hay un producto de dos factores x y pero la suma de estos factores es 
,T. es decir, un número que no depende de la elección de x. Esto significa que la cuestión se reduce a descomponer el número en dos términos para que su producto sea mayor. Como sabemos, este producto será mayor cuando ambos términos sean iguales, es decir
Numero 3. Con las tablas existentes se puede construir una valla de 200 m de largo. Con esta valla es necesario cercar un patio rectangular. área más grande, utilizando una pared de fábrica para un lado del patio.
función derivada del teorema del trinomio
Solución. Denotemos (Fig. 2) uno de los lados del patio por x. Entonces su otro lado será igual y su área será
Según el teorema, el mayor valor de esta función lo logra cuando
Entonces, el lado del patio perpendicular a la pared de la fábrica debe ser igual a 50 m, de donde el valor del lado paralelo a la pared es 100 m, es decir, el patio debe tener la forma de medio cuadrado.
Desde un punto de vista práctico, el mayor interés está en utilizar la derivada para encontrar los valores mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado esto? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de equipos... En otras palabras, en muchos ámbitos de la vida tenemos que resolver problemas de optimización de algunos parámetros. Y estas son las tareas de encontrar los valores mayor y menor de una función.
Cabe señalar que los valores mayor y menor de una función generalmente se buscan en un determinado intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio de definición. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto 
, un intervalo infinito.
En este artículo hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de forma explícita. función dada una variable y=f(x).
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El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.
Veamos brevemente las definiciones principales.
El valor más grande de la función. 
eso para cualquiera 
la desigualdad es cierta.
El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor 
eso para cualquiera la desigualdad es cierta.
Estas definiciones son intuitivas: el valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado en el intervalo considerado en la abscisa.
Puntos estacionarios– estos son los valores del argumento en los que la derivada de la función se vuelve cero.
¿Por qué necesitamos puntos estacionarios para encontrar los valores más grande y más pequeño? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función diferenciable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor mayor (menor) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.
Además, una función a menudo puede tomar sus valores máximo y mínimo en puntos en los que la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.
Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Es siempre posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces, los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de definición de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores tanto infinitamente grandes como infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.
Para mayor claridad, daremos una ilustración gráfica. Mire las imágenes y muchas cosas quedarán más claras.
en el segmento
En la primera figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del segmento [-6;6].
Consideremos el caso representado en la segunda figura. Cambiemos el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande en el punto cuya abscisa corresponde al límite derecho del intervalo.
En la Figura 3, los puntos límite del segmento [-3;2] son las abscisas de los puntos correspondientes al valor mayor y menor de la función.
En un intervalo abierto
En la cuarta figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del intervalo abierto (-6;6).
En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.
en el infinito
En el ejemplo presentado en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y) en un punto estacionario con abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y) se logra en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3.
Durante el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. A medida que x=2 se aproxima por la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es una asíntota vertical), y a medida que la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura 8.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.
Escribamos un algoritmo que nos permita encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.
- Encontramos el dominio de definición de la función y comprobamos si contiene el segmento completo.
- Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (normalmente estos puntos se encuentran en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no existen tales puntos, pase al siguiente punto.
- Determinamos todos los puntos estacionarios que caen dentro del segmento. Para hacer esto, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, pase al siguiente punto.
- Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en puntos en los que no existe la primera derivada (si los hay), así como en x=a y x=b.
- De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el mayor y el menor; serán los valores mayor y menor requeridos de la función, respectivamente.
Analicemos el algoritmo para resolver un ejemplo para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento.
Ejemplo.
Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función.
- en el segmento;
- en el segmento [-4;-1] .
Solución.
El dominio de definición de una función es el conjunto completo de números reales, es decir, con la excepción del cero. Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.
Encuentra la derivada de la función con respecto a: 
Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1].
Determinamos puntos estacionarios a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.
Para el primer caso calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4: 
Por tanto, el mayor valor de la función 
se logra en x=1, y el valor más pequeño 
– en x=2.
Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario): 
A veces, en los problemas B15 hay funciones "malas" para las que es difícil encontrar una derivada. Anteriormente, esto solo sucedía durante las pruebas de muestra, pero ahora estas tareas son tan comunes que ya no se pueden ignorar al prepararse para el Examen Estatal Unificado real.
En este caso, otras técnicas funcionan, una de las cuales es monótono.
Se dice que una función f (x) es monótonamente creciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:
x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Se dice que una función f (x) es monótonamente decreciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:
x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).
En otras palabras, para una función creciente, cuanto mayor x, mayor f(x). Para una función decreciente ocurre lo contrario: cuanto mayor sea x, mayor menos f(x).
Por ejemplo, el logaritmo aumenta monótonamente si la base a > 1, y disminuye monótonamente si 0< a < 1. Не забывайте про область valores aceptables logaritmo: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
La raíz aritmética cuadrada (y no solo cuadrada) aumenta monótonamente en todo el dominio de definición:
La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: aumenta para a > 1 y disminuye para 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, funcion exponencial definido para todos los números, no solo x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Finalmente, grados con exponente negativo. Puedes escribirlos como una fracción. Tienen un punto de quiebre donde se rompe la monotonía.
Todas estas funciones nunca se encuentran en su forma pura. Suman polinomios, fracciones y otras tonterías, lo que dificulta el cálculo de la derivada. Veamos qué sucede en este caso.
Coordenadas del vértice de la parábola
La mayoría de las veces, el argumento de la función se reemplaza con trinomio cuadrático de la forma y = ax 2 + bx + c. Su gráfica es una parábola estándar en la que nos interesa:
- Las ramas de una parábola pueden subir (para a > 0) o bajar (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- El vértice de una parábola es el punto extremo de una función cuadrática en el cual esta función toma su mínimo (para a > 0) o máximo (a< 0) значение.
De mayor interés es vértice de la parábola, cuya abscisa se calcula mediante la fórmula:
Entonces, hemos encontrado el punto extremo de la función cuadrática. Pero si la función original es monótona, para ella el punto x 0 también será un punto extremo. Por tanto, formulemos la regla clave:
Puntos extremos trinomio cuadrático y la función compleja en la que se incluye coinciden. Por lo tanto, puedes buscar x 0 para un trinomio cuadrático y olvidarte de la función.
Del razonamiento anterior no queda claro qué punto obtenemos: máximo o mínimo. Sin embargo, las tareas están diseñadas específicamente para que esto no importe. Juzgue usted mismo:
- No hay ningún segmento en el planteamiento del problema. Por lo tanto, no es necesario calcular f(a) y f(b). Queda por considerar sólo los puntos extremos;
- Pero solo existe uno de esos puntos: este es el vértice de la parábola x 0, cuyas coordenadas se calculan literalmente de forma oral y sin derivadas.
Así, la solución del problema se simplifica enormemente y se reduce a sólo dos pasos:
- Escribe la ecuación de la parábola y = ax 2 + bx + c y encuentra su vértice usando la fórmula: x 0 = −b /2a ;
- Encuentre el valor de la función original en este punto: f (x 0). Si no hay condiciones adicionales, esta será la respuesta.
A primera vista, este algoritmo y su fundamento pueden parecer complejos. Deliberadamente no publico un diagrama de solución "simple", ya que la aplicación irreflexiva de tales reglas está plagada de errores.
Veamos problemas reales desde examen de prueba del estado unificado en matemáticas: aquí es donde esta técnica se encuentra con mayor frecuencia. Al mismo tiempo, nos aseguraremos de que de esta forma muchos problemas de B15 se vuelvan casi orales.
Debajo de la raíz hay una función cuadrática y = x 2 + 6x + 13. La gráfica de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a = 1 > 0.
Vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Como las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, en el punto x 0 = −3 la función y = x 2 + 6x + 13 toma su valor mínimo.
La raíz aumenta monótonamente, lo que significa que x 0 es el punto mínimo de toda la función. Tenemos:
Tarea. Encuentra el valor más pequeño de la función:
y = iniciar sesión 2 (x 2 + 2x + 9)
Debajo del logaritmo hay nuevamente una función cuadrática: y = x 2 + 2x + 9. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba, porque a = 1 > 0.
Vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Entonces, en el punto x 0 = −1 la función cuadrática toma su valor mínimo. Pero la función y = log 2 x es monótona, entonces:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
El exponente contiene la función cuadrática y = 1 − 4x − x 2 . Reescribámoslo en forma normal: y = −x 2 − 4x + 1.
Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola, se ramifica hacia abajo (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
La función original es exponencial, es monótona, por lo que el mayor valor estará en el punto encontrado x 0 = −2:
Un lector atento probablemente notará que no escribimos el rango de valores permitidos de raíz y logaritmo. Pero esto no era necesario: en su interior hay funciones cuyos valores son siempre positivos.
Corolarios del dominio de una función
A veces, simplemente encontrar el vértice de la parábola no es suficiente para resolver el problema B15. El valor que buscas puede mentir al final del segmento, y en absoluto en el punto extremo. Si el problema no especifica ningún segmento, mire rango de valores aceptables función original. A saber:
Tenga en cuenta nuevamente: el cero puede estar debajo de la raíz, pero nunca en el logaritmo o denominador de una fracción. Veamos cómo funciona esto con ejemplos específicos:
Tarea. Encuentra el valor más grande de la función:
Debajo de la raíz hay nuevamente una función cuadrática: y = 3 − 2x − x 2 . Su gráfica es una parábola, pero se ramifica porque a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Raíz cuadrada de un número negativo no existe.
Escribimos el rango de valores permitidos (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Ahora encontremos el vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
El punto x 0 = −1 pertenece al segmento ODZ, y esto es bueno. Ahora calculamos el valor de la función en el punto x 0, así como en los extremos de la ODZ:
y(-3) = y(1) = 0
Entonces, obtuvimos los números 2 y 0. Se nos pide que encontremos el más grande: este es el número 2.
Tarea. Encuentra el valor más pequeño de la función:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Dentro del logaritmo hay una función cuadrática y = 6x − x 2 − 5. Esta es una parábola con ramas hacia abajo, pero en un logaritmo no puede haber números negativos, entonces escribimos la ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Tenga en cuenta: la desigualdad es estricta, por lo que los extremos no pertenecen a la ODZ. Esto diferencia el logaritmo de la raíz, donde los extremos del segmento nos quedan bastante bien.
Buscamos el vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
El vértice de la parábola se ajusta según la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Pero como no nos interesan los extremos del segmento, calculamos el valor de la función solo en el punto x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2