hata ikiwa kwa wote \(x\) kutoka kwa kikoa chake cha ufafanuzi zifuatazo ni kweli: \(f(-x)=f(x)\) .
Grafu ya kitendakazi sawasawa ni ulinganifu kuhusu mhimili wa \(y\):
Mfano: kazi \(f(x)=x^2+\cos x\) ni sawa, kwa sababu \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Chaguo za kukokotoa \(f(x)\) inaitwa isiyo ya kawaida ikiwa kwa yote \(x\) kutoka kwa kikoa chake cha ufafanuzi zifuatazo ni kweli: \(f(-x)=-f(x) \).
Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili:
Mfano: chaguo za kukokotoa \(f(x)=x^3+x\) ni isiyo ya kawaida kwa sababu \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Vitendo ambavyo si sawa na visivyo vya kawaida huitwa vitendaji mtazamo wa jumla. Kitendaji kama hiki kinaweza kuwakilishwa kwa namna ya kipekee kama jumla ya kitendakazi sawa na kisicho kawaida.
Kwa mfano, chaguo za kukokotoa \(f(x)=x^2-x\) ni jumla ya chaguo za kukokotoa \(f_1=x^2\) na isiyo ya kawaida \(f_2=-x\) .
\(\righttriangleright\) Baadhi ya sifa:
1) Bidhaa na mgawo wa kazi mbili za usawa ni chaguo la kukokotoa.
2) Bidhaa na mgawo wa kazi mbili za sehemu tofauti ni kazi isiyo ya kawaida.
3) Jumla na tofauti ya vitendakazi hata ni kitendakazi sawa.
4) Jumla na tofauti ya kazi isiyo ya kawaida - kazi isiyo ya kawaida.
5) Ikiwa \(f(x)\) ni kitendakazi sawa, basi equation \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ina mzizi wa kipekee ikiwa na wakati tu \( x =0\).
6) Ikiwa \(f(x)\) ni kitendakazi sawa au kisicho cha kawaida, na mlinganyo \(f(x)=0\) una mzizi \(x=b\), basi equation hii lazima iwe na sekunde. mzizi \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Kitendakazi \(f(x)\) kinaitwa periodic kwenye \(X\) ikiwa kwa nambari fulani \(T\ne 0\) zifuatazo zinashikilia: \(f(x)=f( x+T) \) , wapi \(x, x+T\in X\) . Kidogo zaidi \(T\) ambacho usawa huu unaridhishwa kinaitwa kipindi kikuu (kuu) cha chaguo la kukokotoa.
Kitendaji cha muda kina nambari yoyote ya fomu \(nT\) , ambapo \(n\in \mathbb(Z)\) pia itakuwa kipindi.
Mfano: kazi yoyote ya trigonometric ni ya mara kwa mara;
kwa vipengele \(f(x)=\sin x\) na \(f(x)=\cos x\) kipindi kikuu ni sawa na \(2\pi\), kwa vitendakazi \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) na \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) kipindi kikuu ni sawa na \(\pi\) .
Ili kuunda grafu ya kazi ya muda, unaweza kupanga grafu yake kwenye sehemu yoyote ya urefu \(T\) (kipindi kikuu); kisha grafu ya kazi nzima inakamilishwa kwa kuhamisha sehemu iliyojengwa na nambari kamili ya vipindi kwenda kulia na kushoto:
\(\blacktriangleright\) Kikoa \(D(f)\) cha chaguo za kukokotoa \(f(x)\) ni seti inayojumuisha thamani zote za hoja \(x\) ambayo fomula ya kukokotoa ina mantiki kwake. (imefafanuliwa).
Mfano: kazi \(f(x)=\sqrt x+1\) ina kikoa cha ufafanuzi: \(x\in
Kazi ya 1 #6364
Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Ni kwa maadili gani ya parameta \(a\) hufanya equation
ina suluhu moja?
Kumbuka kuwa kwa kuwa \(x^2\) na \(\cos x\) ni vitendaji hata, ikiwa equation ina mzizi \(x_0\) , pia itakuwa na mzizi \(-x_0\) .
Hakika, acha \(x_0\) iwe mzizi, yaani, usawa \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) ni kweli. Kibadala \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
Kwa hivyo, ikiwa \(x_0\ne 0\) , basi equation tayari itakuwa na angalau mizizi miwili. Kwa hivyo, \(x_0=0\) . Kisha:
Tulipokea maadili mawili kwa kigezo \(a\) . Kumbuka kuwa tulitumia ukweli kwamba \(x=0\) ndio mzizi wa mlinganyo wa asili. Lakini hatukuwahi kutumia ukweli kwamba yeye ndiye pekee. Kwa hivyo, unahitaji kubadilisha maadili yanayotokana ya parameta \(a\) kwenye equation ya asili na uangalie ni \(a\) mzizi \(x=0\) ambao utakuwa wa kipekee.
1) Ikiwa \(a=0\) , basi equation itachukua fomu \(2x^2=0\) . Ni wazi, equation hii ina mzizi mmoja tu \(x=0\) . Kwa hivyo, thamani \(a=0\) inatufaa.
2) Ikiwa \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , basi equation itachukua fomu \ Tunaandika upya equation katika fomu \ Kwa kuwa \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , kisha \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Kwa hivyo, thamani za upande wa kulia wa mlinganyo (*) ni za sehemu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
Kwa kuwa \(x^2\geqslant 0\) , basi upande wa kushoto wa mlinganyo (*) ni mkubwa kuliko au sawa na \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Kwa hivyo, usawa (*) unaweza kuwa kweli tu wakati pande zote mbili za mlinganyo ni sawa na \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Hii ina maana kwamba \[\anza(kesi) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \mwisho(kesi) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(kesi) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \mwisho(kesi)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Kwa hivyo, thamani \(a=-\mathrm(tg)\,1\) inatufaa .
Jibu:
\(a\katika \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Kazi ya 2 #3923
Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo grafu ya kazi \
linganifu kuhusu asili.
Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa ni ulinganifu kuhusu asili, basi chaguo la kukokotoa kama hilo ni la kawaida, yaani, \(f(-x)=-f(x)\) hushikilia \(x\) yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi. ya kazi. Kwa hivyo, inahitajika kupata maadili ya parameta ambayo \(f(-x)=-f(x).\)
\[\anza(iliyopangwa) &3\mathrm(tg)\,\kushoto(-\dfrac(ax)5\kulia)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ dhambi \dfrac(8\pi a-3x)4\kulia) \quad \Kulia\\ \Mshale wa kulia\\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Kulia \quad2\sin \dfrac12\kushoto(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\kulia)\cdot \cos \dfrac12 \kushoto(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\kulia)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \mwisho(iliyopangwa)\]
Mlinganyo wa mwisho lazima uridhishwe kwa wote \(x\) kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi \(f(x)\) , kwa hivyo, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \ in\ mathbb(Z)\) .
Jibu:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Kazi ya 3 #3069
Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Pata maadili yote ya kigezo \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \ ina suluhu 4, ambapo \(f\) ni chaguo la kukokotoa la mara kwa mara na kipindi \(T=\dfrac(16)3\) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari , na \(f(x)=ax^2\) kwa \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Kazi kutoka kwa waliojisajili)
Kwa kuwa \(f(x)\) ni kitendakazi sawa, grafu yake ni ya ulinganifu kwa heshima na mhimili wa kuratibu, kwa hivyo, kwa \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Kwa hivyo, kwa \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , na hii ni sehemu ya urefu \(\dfrac(16)3\), kazi ni \(f(x)=ax^2\ ).
1) Hebu \(a>0\) . Kisha grafu ya kazi \(f(x)\) itaonekana kama hii: 
Halafu, ili equation iwe na suluhu 4, ni muhimu kwamba grafu \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ipite kwenye uhakika \(A\) : 
Kwa hivyo, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(amekusanywa)\begin(iliyopangwa) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\mwisho(iliyopangwa)\mwisho(imekusanywa)\kulia. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\ start(adled)\anza(iliyopangwa) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \mwisho(iliyopangwa) \mwisho( wamekusanyika)\right.\] Kwa kuwa \(a>0\) , basi \(a=\dfrac(18)(23)\) inafaa.
2) Hebu \(a0\) ). Ikiwa bidhaa ya mizizi miwili ni chanya na jumla yao ni chanya, basi mizizi yenyewe itakuwa chanya. Kwa hivyo, unahitaji: \[\anza(kesi) 12-a>0\\-(a-10)>0\mwisho(kesi)\quad\Leftrightarrow\quad a0 kwa X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Kazi huongezeka na X € [– 2; + ∞)
6. Kazi ni mdogo kutoka chini.
7. katika jina = - 3, katika naib haipo
8. Kazi ni ya kuendelea.
(Umetumia algorithm ya uchunguzi wa utendakazi?) Slaidi.
2. Hebu tuangalie meza uliyoulizwa kutoka kwenye slide.
| Jaza meza | |||||
Kikoa |
Kazi sufuri |
Vipindi vya uthabiti wa ishara |
Kuratibu za pointi za makutano ya grafu na Oy | ||
 |
x = -5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ -5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ -5, |
x € (–∞; -5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Kusasisha maarifa
- Kazi zimetolewa.
- Bainisha upeo wa ufafanuzi kwa kila kitendakazi.
– Linganisha thamani ya kila chaguo la kukokotoa kwa kila jozi ya thamani za hoja: 1 na – 1; 2 na -2.
- Kwa kazi gani kati ya hizi katika kikoa cha ufafanuzi usawa unashikilia f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (ingiza data iliyopatikana kwenye jedwali) Slaidi
| f(1) na f(– 1) | f(2) na f(– 2) | grafu | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
| 1. f(X) = | ||||||
| 2. f(X) = X 3 | ||||||
| 3. f(X) = | X | | ||||||
| 4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. f(X)= | X > –1 | na haijafafanuliwa |
4. Nyenzo mpya
- Kufanya kazi hii, wavulana, tumegundua mali moja zaidi ya kazi, isiyojulikana kwako, lakini sio muhimu zaidi kuliko wengine - hii ni usawa na isiyo ya kawaida ya kazi. Andika mada ya somo: "Kazi za hata na zisizo za kawaida", kazi yetu ni kujifunza kuamua usawa na usio wa kawaida wa kazi, ili kujua umuhimu wa mali hii katika utafiti wa kazi na njama za grafu.
Kwa hivyo, hebu tutafute ufafanuzi katika kitabu cha kiada na tusome (uk. 110) . Slaidi
Def. 1 Kazi katika = f (X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X inaitwa hata, ikiwa kwa thamani yoyote XЄ X inatekelezwa usawa f(–x)= f(x). Toa mifano.
Def. 2 Kazi y = f(x), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X inaitwa isiyo ya kawaida, ikiwa kwa thamani yoyote XЄ X usawa f(–х)= –f(х) unashikilia. Toa mifano.
Tulikutana wapi maneno "hata" na "isiyo ya kawaida"?
Ni kazi gani kati ya hizi itakuwa sawa, unafikiri? Kwa nini? Ni zipi zisizo za kawaida? Kwa nini?
Kwa kazi yoyote ya fomu katika= x n, Wapi n- nambari kamili, inaweza kubishaniwa kuwa chaguo la kukokotoa si la kawaida wakati n- isiyo ya kawaida na kitendakazi ni hata lini n-sawa.
- Angalia vitendaji katika= na katika = 2X- 3 sio hata au isiyo ya kawaida, kwa sababu usawa haujaridhika f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Utafiti wa iwapo kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida huitwa utafiti wa usawa wa kipengele. Slaidi
Katika ufafanuzi 1 na 2 tulikuwa tunazungumza juu ya maadili ya chaguo la kukokotoa kwa x na - x, kwa hivyo inachukuliwa kuwa kazi hiyo pia inafafanuliwa kwa thamani. X, na kwa - X.
Def 3. Ikiwa seti ya nambari, pamoja na kila moja ya vipengele vyake x, pia ina kipengele kinyume -x, basi seti. X inayoitwa seti ya ulinganifu.
Mifano:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ni seti za ulinganifu, na , [–5;4] hazina ulinganifu.
Je, hata vitendaji vina kikoa cha ufafanuzi ambacho ni seti ya ulinganifu? Wale wasio wa kawaida?
Ikiwa D ( f) ni seti ya asymmetric, basi kazi ni nini?
- Kwa hivyo, ikiwa kazi katika = f(X) - hata au isiyo ya kawaida, basi uwanja wake wa ufafanuzi ni D ( f) ni seti ya ulinganifu. Je! Taarifa ya mazungumzo ni kweli: ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti ya ulinganifu, basi ni sawa au isiyo ya kawaida?
- Hii inamaanisha kuwa uwepo wa seti ya ulinganifu wa kikoa cha ufafanuzi ni hali ya lazima, lakini haitoshi.
- Kwa hivyo jinsi ya kusoma kazi kwa usawa? Hebu jaribu kuunda algorithm.
Slaidi
Algorithm ya kusoma chaguo za kukokotoa kwa usawa
1. Amua ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni linganifu. Ikiwa sivyo, basi kazi sio hata au isiyo ya kawaida. Ikiwa ndio, basi nenda kwa hatua ya 2 ya algorithm.
2. Andika usemi wa f(–X).
3. Linganisha f(–X).Na f(X):
- Kama f(–X).= f(X), basi kazi ni sawa;
- Kama f(–X).= – f(X), basi kazi ni isiyo ya kawaida;
- Kama f(–X) ≠ f(X) Na f(–X) ≠ –f(X), basi chaguo la kukokotoa si la kawaida wala si la kawaida.
Mifano:
Chunguza chaguo za kukokotoa a) kwa usawa katika= x 5 +; b) katika=; V) katika= .
Suluhisho.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), seti ya ulinganifu.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => kitendakazi h(x) = x 5 + isiyo ya kawaida.
b) y =,
katika = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), seti ya ulinganifu, ambayo ina maana kwamba chaguo za kukokotoa si sawa na si za kawaida.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Chaguo la 2
1. Je, seti iliyotolewa ni ya ulinganifu: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni kazi iliyo sawa.
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni utendaji usio wa kawaida.
Ukaguzi wa rika kwenye slaidi.
6. Kazi ya nyumbani: Nambari 11.11, 11.21, 11.22;
Uthibitisho wa maana ya kijiometri ya mali ya usawa.
***(Mgawo wa chaguo la Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa).
1. Kazi isiyo ya kawaida y = f (x) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa thamani yoyote isiyo hasi ya mabadiliko ya x, thamani ya chaguo za kukokotoa hii inaambatana na thamani ya chaguo za kukokotoa g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Pata thamani ya chaguo za kukokotoa h( X) = kwa X = 3.
7. Kujumlisha
Ambazo ulikuwa unazifahamu kwa kiwango kimoja au kingine. Pia ilibainika hapo kwamba hisa za mali za kazi zitajazwa tena hatua kwa hatua. Tabia mbili mpya zitajadiliwa katika sehemu hii.
Ufafanuzi 1.
Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa hata ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = f (x) unashikilia.
Ufafanuzi 2.
Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa isiyo ya kawaida ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = -f (x) unashikilia.
Thibitisha kuwa y = x 4 ni kazi sawa.
Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Lakini(-x) 4 = x 4. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f(-x) = f(x) unashikilia, i.e. kazi ni sawa.
Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y - x 2, y = x 6, y - x 8 ni sawa.
Thibitisha kuwa y = x 3 ~ kazi isiyo ya kawaida.
Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Lakini (-x) 3 = -x 3. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f (-x) = -f (x) unashikilia, i.e. kazi ni isiyo ya kawaida.
Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y = x, y = x 5, y = x 7 ni isiyo ya kawaida.
Wewe na mimi tayari tumeshawishika zaidi ya mara moja kwamba maneno mapya katika hisabati mara nyingi yana asili ya "kidunia", i.e. zinaweza kuelezewa kwa namna fulani. Hii ndio kesi na kazi zote mbili na zisizo za kawaida. Tazama: y - x 3, y = x 5, y = x 7 ni vitendaji visivyo vya kawaida, wakati y = x 2, y = x 4, y = x 6 ni vitendaji sawa. Na kwa ujumla, kwa kazi yoyote ya fomu y = x" (hapa chini tutasoma kazi hizi), ambapo n ni nambari ya asili, tunaweza kuhitimisha: ikiwa n ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi y = x" ni. isiyo ya kawaida; ikiwa n ni nambari sawa, basi kazi y = xn ni sawa.
Pia kuna vitendaji ambavyo si vya kawaida wala si vya kawaida. Vile, kwa mfano, ni kazi y = 2x + 3. Hakika, f(1) = 5, na f (-1) = 1. Kama unaweza kuona, hapa, kwa hiyo, wala utambulisho f(-x) = f ( x), wala utambulisho f(-x) = -f(x).
Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linaweza kuwa sawa, lisilo la kawaida, au la.
Kusoma swali la kama kazi iliyopewa hata au isiyo ya kawaida kwa kawaida huitwa utafiti wa chaguo za kukokotoa kwa usawa.
Katika ufafanuzi 1 na 2 tunazungumzia kuhusu maadili ya kazi katika pointi x na -x. Hii inadhania kuwa chaguo la kukokotoa limefafanuliwa katika nukta x na nukta -x. Hii inamaanisha kuwa nukta -x ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa wakati huo huo na nukta x. Ikiwa seti ya nambari X, pamoja na kila moja ya vipengele vyake x, pia ina kipengele kinyume -x, basi X inaitwa seti ya ulinganifu. Wacha tuseme, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ni seti za ulinganifu, wakati )