5x (x - 4) = 0

5 x = 0 au x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Baada ya kujifunza kutatua equations ya shahada ya kwanza, bila shaka, unataka kufanya kazi na wengine, hasa, na equations ya shahada ya pili, ambayo huitwa quadratic.

Milinganyo ya quadratic ni milinganyo kama ax² + bx + c = 0, ambapo tofauti ni x, nambari ni a, b, c, ambapo a si sawa na sifuri.

Iwapo katika mlinganyo wa quadratic mgawo mmoja au mwingine (c au b) ni sawa na sufuri, basi mlingano huu utaainishwa kama mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika.

Jinsi ya kutatua equation isiyokamilika ya quadratic ikiwa wanafunzi hadi sasa wameweza tu kutatua milinganyo ya shahada ya kwanza? Zingatia milinganyo ya quadratic isiyokamilika aina tofauti Na njia rahisi maamuzi yao.

a) Ikiwa mgawo c ni sawa na 0, na mgawo b si sawa na sufuri, basi shoka ² + bx + 0 = 0 hupunguzwa hadi mlinganyo wa fomu ya shoka ² + bx = 0.

Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kujua fomula ya kusuluhisha equation isiyokamilika ya quadratic, ambayo inajumuisha kuweka upande wa kushoto wake na baadaye kutumia hali ya kuwa bidhaa ni sawa na sifuri.

Kwa mfano, 5x² - 20x = 0. Tunazingatia upande wa kushoto wa equation, tunapofanya operesheni ya kawaida ya hisabati: kuchukua kipengele cha kawaida nje ya mabano.

5x (x - 4) = 0

Tunatumia hali ya kuwa bidhaa ni sawa na sifuri.

5 x = 0 au x - 4 = 0

Jibu litakuwa: mzizi wa kwanza ni 0; mzizi wa pili ni 4.

b) Ikiwa b = 0, na neno la bure si sawa na sifuri, basi shoka ya equation ² + 0x + c = 0 imepunguzwa kwa equation ya fomu ya shoka ² + c = 0. Milinganyo hutatuliwa kwa njia mbili. : a) kwa kuweka alama ya polynomial ya equation upande wa kushoto; b) kwa kutumia mali ya mzizi wa mraba wa hesabu. Equation kama hiyo inaweza kutatuliwa kwa kutumia moja ya njia, kwa mfano:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Jibu litakuwa: mzizi wa kwanza ni 5/2; mzizi wa pili ni sawa na - 5/2.

c) Ikiwa b ni sawa na 0 na c ni sawa na 0, basi shoka ² + 0 + 0 = 0 inapunguzwa kwa equation ya fomu ax ² = 0. Katika equation hiyo x itakuwa sawa na 0.

Kama unaweza kuona, milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kuwa na mizizi isiyozidi miwili.

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu kabisa.

Mlinganyo wa quadratic ni equation ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni. nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma njia maalum za suluhisho, kumbuka kuwa hesabu zote za quadratic zinaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

1. Hawana mizizi;
2. Kuwa na mzizi mmoja;
3. Wana mizizi miwili tofauti.

Hii ni tofauti muhimu milinganyo ya quadratic kutoka kwa mstari, ambapo mzizi huwa daima na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Hebu shoka ya quadratic equation 2 + bx + c = 0 itolewe. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac.

Unahitaji kujua formula hii kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

1. Ikiwa D< 0, корней нет;
2. Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
3. Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanaamini. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Kazi. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wacha tuandike coefficients ya equation ya kwanza na tupate kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia sawa:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho iliyobaki ni:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Tafadhali kumbuka kuwa migawo imeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni muda mrefu, ndiyo, ni wa kuchosha, lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na kufanya makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa unapata hutegemea, baada ya muda hutahitaji kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 kutatuliwa - kwa ujumla, sio sana.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho lenyewe. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - utapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlingano wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na unaweza kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati wa kubadilisha coefficients hasi kwenye fomula. Hapa tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, andika kila hatua - na hivi karibuni utaondoa makosa.

Milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Ni rahisi kutambua kwamba milinganyo hii inakosa mojawapo ya istilahi. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi hata kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b = c = 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 = 0. Ni wazi, equation vile ina mizizi moja: x. = 0.

Hebu fikiria kesi zilizobaki. Hebu b = 0, kisha tupate equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0. Hebu tuibadilishe kidogo:

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa hesabu upo tu wa nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu kwa (−c /a) ≥ 0. Hitimisho:

1. Ikiwa katika equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0 usawa (-c / a) ≥ 0 imeridhika, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
2. Ikiwa (−c /a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika-hakuna hesabu changamano hata kidogo katika milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (-c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa huko nambari chanya- kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa ni hasi, hakutakuwa na mizizi kabisa.

Sasa hebu tuangalie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuzingatia polynomial:

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, wacha tuangalie baadhi ya milinganyo hii:

Kazi. Tatua milinganyo ya quadratic:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

Kiwango cha kwanza

Milinganyo ya quadratic. Mwongozo wa kina (2019)

Katika neno "quadratic equation," neno kuu ni "quadratic." Hii ina maana kwamba mlinganyo lazima lazima uwe na kigezo (sawa x) cha mraba, na haipaswi kuwa na xes kwa nguvu ya tatu (au zaidi).

Suluhisho la milinganyo mingi linakuja chini ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic.

Hebu tujifunze kubaini kuwa huu ni mlinganyo wa quadratic na sio mlinganyo mwingine.

Mfano 1.

Wacha tuondoe dhehebu na kuzidisha kila neno la equation kwa

Wacha tuhamishe kila kitu upande wa kushoto na kupanga masharti katika mpangilio wa kushuka wa nguvu za X

Sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba equation hii ni quadratic!

Mfano 2.

Hebu tuzidishe kushoto na upande wa kulia kwenye:

Mlinganyo huu, ingawa awali ulikuwa ndani yake, sio wa quadratic!

Mfano 3.

Wacha tuzidishe kila kitu kwa:

Inatisha? Daraja la nne na la pili ... Hata hivyo, ikiwa tutafanya uingizwaji, tutaona kwamba tuna equation rahisi ya quadratic:

Mfano 4.

Inaonekana kuwa huko, lakini hebu tuangalie kwa karibu. Wacha tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto:

Tazama, imepunguzwa - na sasa ni equation rahisi ya mstari!

Sasa jaribu kujiamulia ni ipi kati ya milinganyo ifuatayo ni ya quadratic na ambayo sio:

Mifano:

Majibu:

1. mraba;
2. mraba;
3. si mraba;
4. si mraba;
5. si mraba;
6. mraba;
7. si mraba;
8. mraba.

Wanahisabati kawaida hugawanya hesabu zote za quadratic katika aina zifuatazo:

• Kamilisha milinganyo ya quadratic- equations ambayo coefficients na, pamoja na neno la bure c, si sawa na sifuri (kama katika mfano). Kwa kuongeza, kati ya equations kamili za quadratic kuna kupewa- hizi ni equations ambazo mgawo (equation kutoka kwa mfano moja sio kamili tu, lakini pia imepunguzwa!)

• Milinganyo ya quadratic isiyokamilika- milinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

  Hazijakamilika kwa sababu zinakosa kipengele fulani. Lakini equation lazima iwe na x mraba kila wakati !!! Vinginevyo, haitakuwa tena equation ya quadratic, lakini equation nyingine.

Kwa nini walikuja na mgawanyiko huo? Inaweza kuonekana kuwa kuna X yenye mraba, na sawa. Mgawanyiko huu umedhamiriwa na njia za suluhisho. Hebu tuangalie kila mmoja wao kwa undani zaidi.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kwanza, hebu tuzingatie kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika - ni rahisi zaidi!

Kuna aina za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

1. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.
2. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.
3. , katika mlinganyo huu mgawo na neno huria ni sawa.

1. i. Kwa kuwa tunajua jinsi ya kuchukua mzizi wa mraba, hebu tuonyeshe kutoka kwa mlinganyo huu

Usemi huo unaweza kuwa hasi au chanya. Nambari ya mraba haiwezi kuwa mbaya, kwa sababu wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi au mbili chanya, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati, kwa hivyo: ikiwa, basi equation haina suluhisho.

Na ikiwa, basi tunapata mizizi miwili. Fomula hizi hazihitaji kukariri. Jambo kuu ni kwamba lazima ujue na kukumbuka daima kwamba haiwezi kuwa chini.

Hebu jaribu kutatua baadhi ya mifano.

Mfano 5:

Tatua mlinganyo

Sasa kinachobaki ni kutoa mzizi kutoka pande za kushoto na kulia. Baada ya yote, unakumbuka jinsi ya kuchimba mizizi?

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi !!!

Mfano 6:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 7:

Tatua mlinganyo

Lo! Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi!

Kwa hesabu kama hizo ambazo hazina mizizi, wanahisabati walikuja na ikoni maalum - (seti tupu). Na jibu linaweza kuandikwa kama hii:

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili. Hakuna vikwazo hapa, kwani hatukuondoa mzizi.
Mfano 8:

Tatua mlinganyo

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Hivyo,

Equation hii ina mizizi miwili.

Jibu:

Aina rahisi zaidi ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika (ingawa zote ni rahisi, sivyo?). Ni wazi, equation hii daima ina mzizi mmoja tu:

Tutafanya bila mifano hapa.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic

Tunakukumbusha kwamba mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo wa mlinganyo wa fomu ambapo

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic ni ngumu zaidi (kidogo tu) kuliko hizi.

Kumbuka, Equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Njia zingine zitakusaidia kuifanya haraka, lakini ikiwa una shida na hesabu za quadratic, kwanza bwana suluhisho kwa kutumia kibaguzi.

1. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi.

Kutatua hesabu za quadratic kwa kutumia njia hii ni rahisi sana;

Ikiwa, basi equation ina mizizi. Tahadhari maalum chukua hatua. Kibaguzi () hutuambia idadi ya mizizi ya mlinganyo.

• Ikiwa, basi formula katika hatua itapunguzwa. Kwa hivyo, equation itakuwa na mzizi tu.
• Ikiwa, basi hatutaweza kutoa mzizi wa kibaguzi katika hatua hiyo. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Wacha turudi kwenye milinganyo yetu na tuangalie mifano kadhaa.

Mfano 9:

Tatua mlinganyo

Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi miwili.

Hatua ya 3.

Jibu:

Mfano 10:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja.

Jibu:

Mfano 11:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana hatutaweza kung'oa mzizi wa kibaguzi. Hakuna mizizi ya equation.

Sasa tunajua jinsi ya kuandika majibu kama haya kwa usahihi.

Jibu: hakuna mizizi

2. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta.

Ikiwa unakumbuka, kuna aina ya equation inayoitwa kupunguzwa (wakati mgawo a ni sawa na):

Milinganyo kama hii ni rahisi sana kusuluhisha kwa kutumia nadharia ya Vieta:

Jumla ya mizizi kupewa equation ya quadratic ni sawa, na bidhaa ya mizizi ni sawa.

Mfano 12:

Tatua mlinganyo

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu .

Jumla ya mizizi ya equation ni sawa, i.e. tunapata equation ya kwanza:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuunde na tusuluhishe mfumo:

• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Jibu: ; .

Mfano 13:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 14:

Tatua mlinganyo

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jibu:

QUADRATIC EQUATIONS. KIWANGO CHA WASTANI

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Kwa maneno mengine, equation ya quadratic ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - idadi fulani, na.

Nambari inaitwa ya juu zaidi au mgawo wa kwanza mlinganyo wa quadratic, - mgawo wa pili, A - mwanachama huru.

Kwa nini? Kwa sababu ikiwa equation mara moja inakuwa ya mstari, kwa sababu itatoweka.

Katika kesi hii, na inaweza kuwa sawa na sifuri. Katika kiti hiki equation inaitwa haijakamilika. Ikiwa masharti yote yamewekwa, yaani, equation imekamilika.

Ufumbuzi wa aina mbalimbali za milinganyo ya quadratic

Njia za kutatua milinganyo isiyokamilika ya quadratic:

Kwanza, hebu tuangalie njia za kutatua hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika - ni rahisi zaidi.

Tunaweza kutofautisha aina zifuatazo za equations:

I., katika mlinganyo huu mgawo na neno huru ni sawa.

II. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.

III. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.

Sasa hebu tuangalie suluhisho kwa kila aina ndogo hizi.

Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Nambari ya mraba haiwezi kuwa hasi, kwa sababu unapozidisha nambari mbili hasi au mbili, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati. Ndiyo maana:

ikiwa, basi equation haina ufumbuzi;

ikiwa tuna mizizi miwili

Fomula hizi hazihitaji kukariri. Jambo kuu la kukumbuka ni kwamba haiwezi kuwa chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi!

Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi.

Ili kuandika kwa ufupi kuwa tatizo halina suluhu, tunatumia ikoni ya kuweka tupu.

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi miwili: na.

Jibu:

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Hii inamaanisha kuwa equation ina suluhisho wakati:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili: na.

Mfano:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Wacha tuangalie upande wa kushoto wa equation na tupate mizizi:

Jibu:

Njia za kutatua hesabu kamili za quadratic:

1. Mbaguzi

Kutatua hesabu za quadratic kwa njia hii ni rahisi, jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na fomula kadhaa. Kumbuka, mlinganyo wowote wa quadratic unaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Umeona mzizi kutoka kwa kibaguzi katika fomula ya mizizi? Lakini ubaguzi unaweza kuwa mbaya. Nini cha kufanya? Tunahitaji kulipa kipaumbele maalum kwa hatua ya 2. Mbaguzi anatuambia idadi ya mizizi ya equation.

• Ikiwa, basi equation ina mizizi:
• Ikiwa, basi equation ina mizizi sawa, na kwa kweli, mzizi mmoja:

  Mizizi hiyo inaitwa mizizi mara mbili.

• Ikiwa, basi mzizi wa kibaguzi haujatolewa. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Kwa nini inawezekana kiasi tofauti mizizi? Wacha tugeukie maana ya kijiometri ya equation ya quadratic. Grafu ya kazi ni parabola:

Katika kesi maalum, ambayo ni equation ya quadratic,. Hii ina maana kwamba mizizi ya equation ya quadratic ni pointi za makutano na mhimili wa abscissa (mhimili). Parabola inaweza isiingiliane na mhimili hata kidogo, au inaweza kuikata kwa moja (wakati kipeo cha parabola kiko kwenye mhimili) au pointi mbili.

Kwa kuongeza, mgawo ni wajibu wa mwelekeo wa matawi ya parabola. Ikiwa, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na ikiwa, basi chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Jibu:.

Jibu:

Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.

Jibu:.

2. Nadharia ya Vieta

Ni rahisi sana kutumia theorem ya Vieta: unahitaji tu kuchagua jozi ya nambari ambazo bidhaa ni sawa na muda wa bure wa equation, na jumla ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume.

Ni muhimu kukumbuka kuwa nadharia ya Vieta inaweza kutumika tu ndani milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa ().

Hebu tuangalie mifano michache:

Mfano #1:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu . Coefficients nyingine:; .

Jumla ya mizizi ya equation ni:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na tuangalie ikiwa jumla yao ni sawa:

• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Hivyo, na ni mizizi ya equation yetu.

Jibu:; .

Mfano #2:

Suluhisho:

Wacha tuchague jozi za nambari zinazotolewa kwenye bidhaa, na kisha angalia ikiwa jumla yao ni sawa:

na: wanatoa kwa jumla.

na: wanatoa kwa jumla. Ili kupata, inatosha kubadilisha tu ishara za mizizi inayodaiwa: na, baada ya yote, bidhaa.

Jibu:

Mfano #3:

Suluhisho:

Neno la bure la equation ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni nambari hasi. Hii inawezekana tu ikiwa moja ya mizizi ni hasi na nyingine ni chanya. Kwa hivyo jumla ya mizizi ni sawa na tofauti za moduli zao.

Wacha tuchague jozi za nambari zinazotoa katika bidhaa, na ambazo tofauti zake ni sawa na:

na: tofauti yao ni sawa - haifai;

na: - haifai;

na: - haifai;

na: - yanafaa. Yote iliyobaki ni kukumbuka kuwa moja ya mizizi ni hasi. Kwa kuwa jumla yao lazima iwe sawa, mzizi ulio na moduli ndogo lazima uwe hasi: . Tunaangalia:

Jibu:

Mfano #4:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Neno la bure ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni hasi. Na hii inawezekana tu wakati mzizi mmoja wa equation ni hasi na mwingine ni chanya.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa ni sawa, na kisha tuamue ni mizizi gani inapaswa kuwa na ishara mbaya:

Ni wazi, mizizi tu na inafaa kwa hali ya kwanza:

Jibu:

Mfano #5:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jumla ya mizizi ni hasi, ambayo ina maana kwamba angalau moja ya mizizi ni hasi. Lakini kwa kuwa bidhaa zao ni chanya, inamaanisha kuwa mizizi yote miwili ina alama ya minus.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na:

Kwa wazi, mizizi ni nambari na.

Jibu:

Kukubaliana, ni rahisi sana kuja na mizizi kwa mdomo, badala ya kuhesabu ubaguzi huu mbaya. Jaribu kutumia nadharia ya Vieta mara nyingi iwezekanavyo.

Lakini nadharia ya Vieta inahitajika ili kuwezesha na kuharakisha kupata mizizi. Ili uweze kufaidika kwa kuitumia, lazima ulete vitendo kwa otomatiki. Na kwa hili, suluhisha mifano mitano zaidi. Lakini usidanganye: huwezi kutumia kibaguzi! Nadharia ya Vieta pekee:

Suluhisho la kazi kwa kazi ya kujitegemea:

Kazi ya 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Kulingana na nadharia ya Vieta:

Kama kawaida, tunaanza uteuzi na kipande:

Haifai kwa sababu kiasi;

: kiasi ni kile unachohitaji.

Jibu:; .

Jukumu la 2.

Na tena nadharia yetu tunayopenda ya Vieta: jumla lazima iwe sawa, na bidhaa lazima iwe sawa.

Lakini kwa kuwa ni lazima sio, lakini, tunabadilisha ishara za mizizi: na (kwa jumla).

Jibu:; .

Jukumu la 3.

Hmm... Hiyo iko wapi?

Unahitaji kuhamisha masharti yote katika sehemu moja:

Jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Sawa, acha! Equation haijatolewa. Lakini nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo uliyopewa. Kwa hivyo, kwanza unahitaji kutoa equation. Ikiwa huwezi kuongoza, toa wazo hili na uitatue kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi). Acha nikukumbushe kwamba kutoa mlinganyo wa quadratic inamaanisha kufanya mgawo unaoongoza kuwa sawa:

Kubwa. Kisha jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Hapa ni rahisi kuchagua pears kama makombora: baada ya yote, ni nambari kuu (samahani kwa tautology).

Jibu:; .

Jukumu la 4.

Mwanachama huru ni hasi. Nini maalum kuhusu hili? Na ukweli ni kwamba mizizi itakuwa na ishara tofauti. Na sasa, wakati wa uteuzi, hatuangalie jumla ya mizizi, lakini tofauti katika modules zao: tofauti hii ni sawa, lakini bidhaa.

Kwa hivyo, mizizi ni sawa na, lakini moja yao ni minus. Nadharia ya Vieta inatuambia kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, yaani. Hii ina maana kwamba mzizi mdogo utakuwa na minus: na, tangu.

Jibu:; .

Jukumu la 5.

Unapaswa kufanya nini kwanza? Hiyo ni kweli, toa equation:

Tena: tunachagua sababu za nambari, na tofauti zao zinapaswa kuwa sawa na:

Mizizi ni sawa na, lakini mmoja wao ni minus. Ambayo? Jumla yao inapaswa kuwa sawa, ambayo inamaanisha kuwa minus itakuwa na mzizi mkubwa.

Jibu:; .

Acha nifanye muhtasari:

1. Nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo ya quadratic iliyotolewa.
2. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, unaweza kupata mizizi kwa uteuzi, kwa mdomo.
3. Ikiwa equation haijatolewa au hakuna jozi inayofaa ya mambo ya muda wa bure hupatikana, basi hakuna mizizi nzima, na unahitaji kutatua kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi).

3. Njia ya kuchagua mraba kamili

Ikiwa maneno yote yaliyo na yasiyojulikana yanawakilishwa katika mfumo wa maneno kutoka kwa fomula zilizofupishwa za kuzidisha - mraba wa jumla au tofauti - kisha baada ya kuchukua nafasi ya vigeu, equation inaweza kuwasilishwa kwa namna ya equation ya quadratic isiyo kamili ya aina.

Kwa mfano:

Mfano 1:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Mfano 2:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

KATIKA mtazamo wa jumla mabadiliko yataonekana kama hii:

Hii ina maana:.

Je, hukukumbusha chochote? Hili ni jambo la ubaguzi! Ndivyo tulivyopata fomula ya kibaguzi.

QUADRATIC EQUATIONS. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Mlinganyo wa Quadratic- hii ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - coefficients ya equation quadratic, - muda wa bure.

Mlinganyo kamili wa quadratic- equation ambayo coefficients si sawa na sifuri.

Ilipunguza equation ya quadratic- equation ambayo mgawo, yaani:.

Mlinganyo wa quadratic usio kamili- mlinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

• ikiwa mgawo, equation inaonekana kama:,
• ikiwa kuna neno huru, equation ina fomu: ,
• ikiwa na, equation inaonekana kama: .

1. Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

1.1. Mlinganyo wa quadratic usio kamili wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tueleze haijulikani:,

2) Angalia ishara ya usemi:

• ikiwa, basi equation haina suluhu,
• ikiwa, basi equation ina mizizi miwili.

1.2. Mlinganyo wa quadratic usio kamili wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:,

2) Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, equation ina mizizi miwili:

1.3. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu, ambapo:

Mlinganyo huu daima huwa na mzizi mmoja tu:.

2. Algorithm ya kutatua milinganyo kamili ya quadratic ya fomu ambapo

2.1. Suluhisho kwa kutumia ubaguzi

1) Wacha tupunguze equation kwa mtazamo wa kawaida: ,

2) Wacha tuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula: , ambayo inaonyesha idadi ya mizizi ya equation:

3) Tafuta mizizi ya equation:

• ikiwa, basi equation ina mizizi, ambayo hupatikana na formula:
• ikiwa, basi equation ina mzizi, ambayo hupatikana na formula:
• ikiwa, basi equation haina mizizi.

2.2. Suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta

Jumla ya mizizi ya equation iliyopunguzwa ya quadratic (equation ya fomu ambapo) ni sawa, na bidhaa za mizizi ni sawa, i.e. , A.

2.3. Suluhisho kwa njia ya kuchagua mraba kamili

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Taasisi ya elimu ya bajeti ya manispaa shule ya sekondari Na. 11

Maandishi ya kazi yanatumwa bila picha na fomula.
Toleo kamili work inapatikana kwenye kichupo cha "Faili za Kazi" katika umbizo la PDF

Historia ya milinganyo ya quadratic

Babeli

Uhitaji wa kutatua equations sio tu ya shahada ya kwanza, lakini pia ya pili, katika nyakati za kale ilisababishwa na haja ya kutatua matatizo yanayohusiana na kutafuta maeneo ya mashamba ya ardhi, na maendeleo ya astronomy na hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa karibu 2000 BC. e. Wababeli. Sheria za kusuluhisha milinganyo hii, zilizowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi zinapatana na zile za kisasa, lakini katika maandishi haya hakuna dhana ya nambari hasi na. mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.

Ugiriki ya Kale

Utatuzi wa milinganyo ya quadratic pia ulifanywa ndani Ugiriki ya Kale wanasayansi kama vile Diophantus, Euclid na Heron. Diophantus Diophantus wa Alexandria ni mwanahisabati wa kale wa Uigiriki ambaye yawezekana aliishi katika karne ya 3 BK. Kazi kuu ya Diophantus ni "Hesabu" katika vitabu 13. Euclid. Euclid ni mwanahisabati wa kale wa Uigiriki, mwandishi wa risala ya kwanza ya kinadharia juu ya hisabati ambayo imetujia, Heron. Heron - mwanahisabati wa Uigiriki na mhandisi wa kwanza huko Ugiriki katika karne ya 1 BK. inatoa njia ya aljebra pekee ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic

India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla suluhu za milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi umbo moja la kisheria: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Katika mlinganyo (1) viambajengo vinaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu. Mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida nchini India. Kitabu kimojawapo cha kale cha Kihindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza itafunika utukufu wake katika makusanyiko ya watu wote kwa kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

"Kundi la nyani wasio na hasira

Na kumi na mbili kando ya mizabibu, baada ya kula hadi kuridhika kwa moyo wangu, walifurahiya

Walianza kuruka, kunyongwa

Sehemu ya nane kati yao mraba

Kulikuwa na nyani wangapi?

Nilikuwa na furaha katika kusafisha

Niambie, katika pakiti hii?

Suluhu la Bhaskara linaonyesha kuwa mwandishi alijua kwamba mizizi ya milinganyo ya quadratic ina thamani mbili. Bhaskar anaandika mlinganyo unaolingana na tatizo kama x2 - 64x = - 768 na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa equation hii kwa mraba, anaongeza 322 kwa pande zote mbili, kisha kupata: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XVII karne

Mifumo ya utatuzi wa milinganyo minne iliyoigwa baada ya Al-Khorezmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, kutoka nchi za Uislamu na kutoka Ugiriki ya kale, inatofautishwa na ukamilifu wake na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi kwa kujitegemea aliendeleza mpya mifano ya algebra kutatua matatizo na alikuwa wa kwanza katika Ulaya kuanzisha nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa Kitabu cha Abacus zilitumika katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII. Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Mbali na mazuri, mizizi hasi pia huzingatiwa. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.

Ufafanuzi wa equation ya quadratic

Equation ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo a, b, c ni nambari, inaitwa quadratic.

Migawo ya mlinganyo wa quadratic

Nambari a, b, c ni mgawo wa mgawo wa quadratic a ni mgawo wa kwanza (kabla ya x²), ≠ 0 ni mgawo wa pili (kabla ya x);

Je, ni milinganyo ipi kati ya hizi isiyo ya quadratic??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Aina za milinganyo ya quadratic

Jina	Fomu ya jumla ya equation	Kipengele (coefficients ni nini)	Mifano ya milinganyo
	shoka 2 + bx + c = 0	a, b, c - nambari zingine isipokuwa 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Haijakamilika
			x 2 - 1/5x = 0
Imetolewa	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Imepunguzwa ni equation ya quadratic ambayo mgawo unaoongoza ni sawa na moja. Equation kama hiyo inaweza kupatikana kwa kugawanya usemi mzima na mgawo wa kuongoza a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Mlinganyo wa quadratic unaitwa kamili ikiwa coefficients yake yote ni nonzero.

Equation ya quadratic inaitwa haijakamilika ambapo angalau moja ya coefficients, isipokuwa moja inayoongoza (ama mgawo wa pili au neno la bure), ni sawa na sifuri.

Njia za kutatua milinganyo ya quadratic

Mbinu ya I Fomula ya jumla ya kuhesabu mizizi

Ili kupata mizizi ya equation ya quadratic shoka 2 + b + c = 0 Kwa ujumla, unapaswa kutumia algorithm ifuatayo:

Kokotoa thamani ya kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic: huu ndio usemi wake D= b 2 - 4 ac

Uundaji wa formula:

Kumbuka: Ni dhahiri kwamba fomula ya mzizi wa kuzidisha 2 ni kesi maalum ya fomula ya jumla, iliyopatikana kwa kubadilisha usawa D=0 ndani yake, na hitimisho juu ya kutokuwepo kwa mizizi halisi kwa D0, na (displaystyle (sqrt) -1))=i) = i.

Njia iliyowasilishwa ni ya ulimwengu wote, lakini ni mbali na pekee. Kutatua equation moja kunaweza kushughulikiwa kwa njia mbalimbali, na mapendeleo kawaida hutegemea kisuluhishi. Kwa kuongeza, mara nyingi kwa lengo hili baadhi ya mbinu zinageuka kuwa za kifahari zaidi, rahisi, na zisizo za kazi zaidi kuliko ile ya kawaida.

II mbinu. Mizizi ya equation ya quadratic yenye mgawo sawa b Njia ya III. Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

IV mbinu. Kwa kutumia uwiano wa sehemu ya coefficients

Kuna matukio maalum ya milinganyo ya quadratic ambayo coefficients ni katika mahusiano na kila mmoja, na kuifanya rahisi zaidi kutatua.

Mizizi ya mlinganyo wa quadratic ambapo jumla ya mgawo unaoongoza na neno huria ni sawa na mgawo wa pili.

Ikiwa katika equation ya quadratic shoka 2 + bx + c = 0 jumla ya mgawo wa kwanza na neno la bure ni sawa na mgawo wa pili: a+b=c, basi mizizi yake ni -1 na nambari iliyo kinyume na uwiano wa neno la bure kwa mgawo unaoongoza ( -c/a).

Kwa hivyo, kabla ya kusuluhisha equation yoyote ya quadratic, unapaswa kuangalia uwezekano wa kutumia nadharia hii kwake: linganisha jumla ya mgawo unaoongoza na neno la bure na mgawo wa pili.

Mizizi ya mlinganyo wa quadratic ambao jumla ya coefficients zote ni sifuri

Ikiwa katika equation ya quadratic jumla ya coefficients yake yote ni sifuri, basi mizizi ya equation kama hiyo ni 1 na uwiano wa neno la bure kwa mgawo unaoongoza ( c/a).

Kwa hivyo, kabla ya kusuluhisha equation kwa kutumia njia za kawaida, unapaswa kuangalia ufaafu wa nadharia hii kwake: ongeza coefficients zote za equation hii na uone ikiwa jumla hii sio sawa na sifuri.

Mbinu ya V. Kuweka utatu wa quadratic katika vipengele vya mstari

Ikiwa trinomial ni ya fomu (mtindo wa kuonyesha shoka^(2)+bx+c(anot =0))shoka 2 + bx + c (a ≠ 0) inaweza kwa namna fulani kuwakilishwa kama bidhaa ya mambo ya mstari (mtindo wa kuonyesha (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), basi tunaweza kupata mizizi ya equation. shoka 2 + bx + c = 0- watakuwa -m/k na n/l, hakika, baada ya yote (mtindo wa kuonyesha (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, na baada ya kusuluhisha milinganyo ya mstari iliyoonyeshwa, tunapata yaliyo hapo juu. Kumbuka kwamba utatu wa quadratic huwa hautengani katika vipengele vya mstari na coefficients halisi: hii inawezekana ikiwa equation sambamba ina mizizi halisi.

Hebu fikiria baadhi ya kesi maalum

Kwa kutumia fomula ya jumla ya mraba (tofauti).

Iwapo utatu wa quadratic una umbo (mtindo wa kuonyesha (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , basi kwa kutumia fomula iliyo hapo juu kwake, tunaweza kuiweka katika vipengele vya mstari na. , kwa hivyo, pata mizizi:

(shoka) 2 + 2abx + b 2 = (shoka + b) 2

Kutenga mraba kamili wa jumla (tofauti)

Fomula iliyo hapo juu pia inatumiwa kwa kutumia njia inayoitwa "kuchagua mraba kamili wa jumla (tofauti)." Kuhusiana na mlingano wa quadratic hapo juu na nukuu iliyoletwa hapo awali, hii inamaanisha yafuatayo:

Kumbuka: kama umeona formula hii sanjari na ile iliyopendekezwa katika sehemu ya "Mizizi ya mlingano wa quadratic iliyopunguzwa", ambayo, kwa upande wake, inaweza kupatikana kutoka kwa fomula ya jumla (1) kwa kubadilisha usawa a=1. Ukweli huu sio tu bahati mbaya: kwa kutumia njia iliyoelezewa, pamoja na hoja zingine za ziada, mtu anaweza kupata fomula ya jumla na pia kudhibitisha tabia ya kibaguzi.

VI mbinu. Kwa kutumia nadharia ya moja kwa moja na kinyume cha Vieta

Nadharia ya moja kwa moja ya Vieta (tazama hapa chini katika sehemu ya jina moja) na nadharia yake kinyume hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic iliyo hapo juu kwa njia ya mdomo, bila kugeukia mahesabu magumu ukitumia fomula (1).

Kulingana na nadharia ya mazungumzo, kila jozi ya nambari (nambari) (mtindo wa onyesho x_(1),x_(2))x 1, x 2, kuwa suluhisho la mfumo wa milinganyo hapa chini, ndio mizizi ya mlinganyo.

Katika hali ya jumla, ambayo ni, kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Nadharia ya moja kwa moja itakusaidia kupata nambari zinazokidhi milinganyo hii kwa mdomo. Kwa msaada wake, unaweza kuamua ishara za mizizi bila kujua mizizi yenyewe. Ili kufanya hivyo, unapaswa kufuata sheria:

1) ikiwa neno la bure ni hasi, basi mizizi inayo ishara tofauti, na moduli kubwa zaidi ya mizizi ni ishara kinyume na ishara ya mgawo wa pili wa equation;

2) ikiwa neno la bure ni chanya, basi mizizi yote miwili ina ishara sawa, na hii ni ishara kinyume na ishara ya mgawo wa pili.

Njia ya VII. Mbinu ya uhamisho

Njia inayoitwa "uhamisho" inakuwezesha kupunguza ufumbuzi wa equations zisizopunguzwa na zisizoweza kupunguzwa kwa fomu ya equations iliyopunguzwa na coefficients integer kwa kugawanya kwa mgawo wa kuongoza kwa ufumbuzi wa equations iliyopunguzwa na coefficients integer. Ni kama ifuatavyo:

Ifuatayo, equation inatatuliwa kwa mdomo kwa njia iliyoelezewa hapo juu, kisha wanarudi kwa utofauti wa asili na kupata mizizi ya hesabu (mtindo wa kuonyesha y_(1)=ax_(1)) y 1 = shoka 1 Na y 2 = shoka 2 .(mtindo wa maonyesho y_(2)=shoka_(2))

Maana ya kijiometri

Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola. Suluhisho (mizizi) ya equation ya quadratic ni abscissas ya pointi za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa. Ikiwa parabola iliyoelezewa na kitendakazi cha quadratic haiingiliani na mhimili wa x, mlinganyo huo hauna mizizi halisi. Ikiwa parabola inakatiza mhimili wa x katika hatua moja (kwenye kipeo cha parabola), mlingano huo una mzizi mmoja halisi (mlinganyo huo pia unasemekana kuwa na mizizi miwili inayolingana). Ikiwa parabola inakatiza mhimili wa x kwa nukta mbili, mlinganyo huo una mizizi miwili halisi (tazama picha iliyo upande wa kulia.)

Ikiwa mgawo (mtindo wa kuonyesha a) a chanya, matawi ya parabola yanaelekezwa juu na kinyume chake. Ikiwa mgawo (mtindo wa maonyesho b) bpositive (ikiwa chanya (mtindo wa kuonyesha a) a, ikiwa hasi, kinyume chake), basi vertex ya parabola iko katika nusu ya kushoto ya ndege na kinyume chake.

Utumiaji wa milinganyo ya quadratic katika maisha

Equation ya quadratic inatumika sana. Inatumika katika mahesabu mengi, miundo, michezo, na pia karibu nasi.

Wacha tuzingatie na tutoe mifano kadhaa ya utumiaji wa mlingano wa quadratic.

Michezo. Kuruka juu: wakati wa kukimbia kwa jumper ili kupiga bar ya kuondoka kwa uwazi iwezekanavyo na kuruka juu tumia mahesabu yanayohusisha parabolas.

Pia, mahesabu sawa yanahitajika katika kutupa. Masafa ya ndege ya kitu hutegemea mlinganyo wa quadratic.

Astronomia. Njia ya sayari inaweza kupatikana kwa kutumia equation ya quadratic.

Kuruka kwa ndege. Kupaa kwa ndege ndio sehemu kuu ya safari ya ndege. Hapa tunachukua hesabu ya upinzani mdogo na kuongeza kasi ya kuondoka.

Milinganyo ya quadratic pia hutumiwa katika taaluma mbalimbali za kiuchumi, katika programu za usindikaji wa sauti, video, vekta na picha za raster.

Hitimisho

Kama matokeo ya kazi iliyofanywa, ikawa kwamba hesabu za quadratic zilivutia wanasayansi katika nyakati za zamani; Kuzingatia njia mbalimbali kutatua hesabu za quadratic, nilifikia hitimisho kwamba sio zote ni rahisi. Kwa maoni yangu zaidi njia bora kutatua milinganyo ya quadratic ni kutatua kwa fomula. Fomula ni rahisi kukumbuka, njia hii ni ya ulimwengu wote. Dhana kwamba milinganyo hutumiwa sana katika maisha na hisabati ilithibitishwa. Baada ya kusoma mada hiyo, nilijifunza mengi ukweli wa kuvutia kuhusu equations za quadratic, matumizi yao, maombi, aina, ufumbuzi. Na nitafurahi kuendelea kuzisoma. Natumai hii itanisaidia kufanya vyema katika mitihani yangu.

Orodha ya fasihi iliyotumika

Nyenzo za tovuti:

Wikipedia

Fungua somo.rf

Mwongozo wa hisabati ya msingi Vygodsky M. Ya.

Inajulikana kuwa ni toleo fulani la shoka la usawa 2 + bx + c = o, ambapo a, b na c ni coefficients halisi kwa x haijulikani, na ambapo ≠ o, na b na c itakuwa sufuri - wakati huo huo au tofauti. Kwa mfano, c = o, b ≠ o au kinyume chake. Karibu tulikumbuka ufafanuzi wa equation ya quadratic.

Shahada ya pili ya trinomial ni sifuri. Mgawo wake wa kwanza ≠ o, b na c unaweza kuchukua maadili yoyote. Thamani ya kigezo cha x basi itakuwa wakati ubadilishaji utakapoigeuza kuwa usawa sahihi wa nambari. Hebu tuzingatie mizizi halisi, ingawa milinganyo inaweza pia kuwa suluhu Ni desturi kuita mlinganyo kamili ambapo hakuna mgawo wowote ni sawa na o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Hebu tutatue mfano. 2x 2 -9x-5 = oh, tunapata
D = 81+40 = 121,
D ni chanya, ambayo ina maana kuna mizizi, x 1 = (9+√121): 4 = 5, na ya pili x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Kuchunguza kutasaidia kuhakikisha kuwa ni sahihi.

Hapa kuna suluhisho la hatua kwa hatua kwa mlinganyo wa quadratic

Kwa kutumia kibaguzi, unaweza kutatua equation yoyote upande wa kushoto ambayo inajulikana quadratic trinomial kwa ≠ o. Katika mfano wetu. 2x 2 -9x-5 = 0 (shoka 2 +katika+c = o)

Hebu tuangalie kuna nini milinganyo isiyo kamili shahada ya pili

1. shoka 2 + ndani = o. Neno lisilolipishwa, mgawo c katika x 0, ni sawa na sufuri hapa, katika ≠ o.
   Jinsi ya kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina hii? Wacha tutoe x kutoka kwa mabano. Hebu tukumbuke wakati bidhaa ya mambo mawili ni sawa na sifuri.
   x(shoka+b) = o, hii inaweza kuwa wakati x = o au wakati shoka+b = o.
   Baada ya kusuluhisha ya 2 tunayo x = -в/а.
   Matokeo yake, tuna mizizi x 1 = 0, kulingana na mahesabu x 2 = -b/a.
2. Sasa mgawo wa x ni sawa na o, na c si sawa (≠) o.
   x 2 +c = o. Hebu tuhamishe c kwa upande wa kulia wa usawa, tunapata x 2 = -с. Mlinganyo huu una mizizi halisi tu wakati -c ni nambari chanya (c ‹ o),
   x 1 basi ni sawa na √(-c), mtawalia, x 2 ni -√(-c). Vinginevyo, equation haina mizizi kabisa.
3. Chaguo la mwisho: b = c = o, yaani, shoka 2 = o. Kwa kawaida, equation rahisi kama hiyo ina mzizi mmoja, x = o.

Kesi maalum

Tuliangalia jinsi ya kutatua equation isiyo kamili ya quadratic, na sasa hebu tuchukue aina yoyote.

• Katika mlinganyo kamili wa quadratic, mgawo wa pili wa x ni nambari sawa.
  Hebu k = o.5b. Tunayo fomula za kuhesabu kibaguzi na mizizi.
  D/4 = k 2 - ac, mizizi imekokotolewa kama x 1,2 = (-k±√(D/4))/a kwa D › o.
  x = -k/a kwa D = o.
  Hakuna mizizi ya D ‹ o.
• Kuna equations za quadratic, wakati mgawo wa x mraba ni sawa na 1, kwa kawaida huandikwa x 2 + рх + q = o. Njia zote hapo juu zinatumika kwao, lakini mahesabu ni rahisi zaidi.
  Mfano, x 2 -4x-9 = 0. Kokotoa D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Kwa kuongeza, ni rahisi kuomba kwa wale waliopewa Inasema kwamba jumla ya mizizi ya equation ni sawa na -p, mgawo wa pili na minus (maana ya ishara kinyume), na bidhaa za mizizi hii itakuwa sawa. kuwa sawa na q, neno huru. Tazama jinsi ingekuwa rahisi kuamua mizizi ya mlingano huu kwa maneno. Kwa mgawo ambao haujapunguzwa (kwa hesabu zote si sawa na sifuri), nadharia hii inatumika kama ifuatavyo: jumla ya x 1 + x 2 ni sawa na -b/a, bidhaa x 1 · x 2 ni sawa na c/a.

Jumla ya neno huria c na mgawo wa kwanza a ni sawa na mgawo b. Katika hali hii, equation ina angalau mizizi moja (rahisi kuthibitisha), ya kwanza ni lazima sawa na -1, na ya pili -c/a, ikiwa iko. Unaweza kuangalia jinsi ya kutatua equation isiyokamilika ya quadratic mwenyewe. Rahisi kama mkate. Coefficients inaweza kuwa katika uhusiano fulani na kila mmoja

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Jumla ya coefficients zote ni sawa na o.
  Mizizi ya mlinganyo huo ni 1 na c/a. Mfano, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Kuna idadi ya njia zingine za kutatua milinganyo mbalimbali ya shahada ya pili. Hapa, kwa mfano, ni njia ya kutoa mraba kamili kutoka kwa polynomial fulani. Mbinu za picha baadhi. Unaposhughulika na mifano kama hiyo mara nyingi, utajifunza "kubonyeza" kama mbegu, kwa sababu njia zote zinakuja akilini kiatomati.