Mifano ya usawa wa Trigonometric ya suluhisho. Kutatua usawa rahisi wa trigonometric

Hoja ya kwanza ni, kama kawaida, arcsin(-a)=-arcsina. Ili kufikia hatua ya pili, tunakwenda njia ya juu, yaani, katika mwelekeo wa kuongeza angle.

Wakati huu tunasonga zaidi ya n. Tutaendelea hadi lini? Kwenye arcsin x. Hii inamaanisha kuwa nukta ya pili ni n+arcsin x. Kwa nini hakuna minus? Kwa sababu minus katika nukuu -arcsin a inamaanisha mwendo wa saa, lakini tulienda kinyume. Na hatimaye, ongeza 2pn kwa kila mwisho wa muda.

5) sinx>a, ikiwa a>1.

Mduara wa kitengo upo chini ya mstari wa moja kwa moja y=a. Hakuna nukta moja juu ya mstari ulionyooka. Kwa hivyo hakuna masuluhisho.

6) sinx>-a, wapi a>1.

Katika kesi hii, mduara mzima wa kitengo uko juu ya mstari wa moja kwa moja y=a. Kwa hiyo, hatua yoyote inakidhi hali sinx>a. Hii inamaanisha x ni nambari yoyote.

Na hapa x ni nambari yoyote, kwani pointi -n/2+2nn zimejumuishwa katika suluhisho, tofauti na sinx kali ya usawa> -1. Hakuna haja ya kuwatenga kitu chochote.

Hoja pekee kwenye duara ya kuridhisha hali hii, ni uk/2. Kwa kuzingatia kipindi cha sine, suluhisho la usawa huu ni seti ya pointi x=n/2+2n.

Kwa mfano, suluhisha kukosekana kwa usawa sinx>-1/2:

Algorithm ya kutatua usawa rahisi wa trigonometric na njia za utambuzi za kutatua usawa wa trigonometric.

Walimu wa kitengo cha juu zaidi cha kufuzu:

Shirko F.M. uk. Maendeleo, shule ya sekondari MOBU Na

Sankina L.S. Armavir, shule ya sekondari ya kibinafsi " Njia mpya»

Hakuna mbinu za jumla za kufundisha taaluma za sayansi na hisabati. Kila mwalimu hutafuta njia zake za kufundisha ambazo zinakubalika kwake tu.

Uzoefu wetu wa miaka mingi wa ufundishaji unaonyesha kuwa wanafunzi hujifunza nyenzo kwa urahisi zaidi ambazo zinahitaji umakini na uhifadhi wa kiasi kikubwa cha habari kwenye kumbukumbu ikiwa watafundishwa kutumia algoriti katika shughuli zao. hatua ya awali kufundisha mada tata. Kwa maoni yetu, mada kama hiyo ni mada ya kutatua usawa wa trigonometric.

Kwa hivyo, kabla hatujaanza na wanafunzi kutambua mbinu na mbinu za kutatua usawa wa trigonometric, tunafanya mazoezi na kuunganisha algoriti ya kutatua tofauti rahisi zaidi za trigonometriki.

Algorithm ya kutatua usawa rahisi wa trigonometric

Weka alama kwenye mhimili unaolingana ( Kwa dhambi x- OA mhimili, kwacos x- mhimili wa OX)

Tunarejesha perpendicular kwa mhimili ambao utaingilia mduara kwa pointi mbili.

Hoja ya kwanza kwenye mduara ni hatua ambayo ni ya muda wa safu ya kazi ya arc kwa ufafanuzi.

Kuanzia kwenye sehemu iliyoandikwa, weka kivuli safu ya duara inayoendana na sehemu yenye kivuli ya mhimili.

Tafadhali kumbuka Tahadhari maalum kwa mwelekeo wa mchepuko. Ikiwa traversal inafanywa saa (yaani kuna mpito kupitia 0), basi hatua ya pili kwenye mduara itakuwa mbaya, ikiwa kinyume chake itakuwa chanya.

Tunaandika jibu kwa namna ya muda, kwa kuzingatia upimaji wa kazi.

Wacha tuangalie utendakazi wa algorithm kwa kutumia mifano.

1) dhambi ≥ 1/2;

Suluhisho:

Tunaonyesha mduara wa kitengo;

Tunaweka alama ½ kwenye mhimili wa OU.

Tunarejesha perpendicular kwa mhimili,

ambayo huingilia mduara kwa nukta mbili.

Kwa ufafanuzi wa arcsine, tunaona kwanza

pointi π/6.

Piga kivuli sehemu ya mhimili inayolingana na

ikizingatiwa ukosefu wa usawa, juu ya nukta ½.

Weka kivuli safu ya duara inayolingana na sehemu yenye kivuli ya mhimili.

Uvukaji unafanywa kinyume cha saa, tunapata uhakika 5π/6.

Tunaandika jibu kwa namna ya muda, kwa kuzingatia periodicity ya kazi;

Jibu:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Ukosefu wa usawa rahisi zaidi hutatuliwa kwa kutumia algorithm sawa ikiwa rekodi ya jibu haina thamani ya jedwali.

Wanafunzi, wakati wa kusuluhisha ukosefu wa usawa kwenye ubao katika masomo yao ya kwanza, soma kila hatua ya algoriti kwa sauti.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R suluhisho:katika

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Chora mduara wa kitengo.

Tunaweka alama kwa kuratibu 1/5 kwenye mhimili wa OX.

Tunarejesha perpendicular kwa mhimili, ambayo

huingilia mduara kwa pointi mbili.

Hoja ya kwanza kwenye duara ni hatua ambayo ni ya muda wa safu ya arc cosine kwa ufafanuzi (0;π).

Tunaweka kivuli sehemu ya mhimili ambayo inalingana na usawa huu.

Kuanzia sehemu iliyosainiwa arccos 1/5, kivuli safu ya duara inayolingana na sehemu yenye kivuli ya mhimili.

Upitishaji unafanywa saa (yaani, kuna mpito kupitia 0), ambayo inamaanisha kuwa hatua ya pili kwenye duara itakuwa mbaya - arccos 1/5.

Tunaandika jibu kwa namna ya muda, kwa kuzingatia upimaji wa kazi, kutoka kwa thamani ndogo hadi kubwa.

Jibu: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Kuboresha uwezo wa kutatua usawa wa trigonometric huwezeshwa na maswali yafuatayo: "Tutatatuaje kikundi cha kutofautiana?"; "Usawa mmoja unatofautianaje na mwingine?"; "Kukosekana kwa usawa kunafananaje na mwingine?"; Jibu lingebadilika vipi ikiwa ukosefu wa usawa ungetolewa?"; Jibu lingebadilikaje ikiwa badala ya ishara "" kulikuwa na ishara "

Kazi ya kuchambua orodha ya usawa kutoka kwa mtazamo wa njia za kuzitatua hukuruhusu kufanya mazoezi ya utambuzi wao.

Wanafunzi hupewa ukosefu wa usawa ambao unahitaji kutatuliwa darasani.

Swali: Angazia ukosefu wa usawa unaohitaji matumizi ya mabadiliko sawa wakati wa kupunguza usawa wa trigonometric hadi umbo lake rahisi zaidi?

Jibu 1, 3, 5.

Swali: Ni ukosefu gani wa usawa ambao unahitaji kuzingatia hoja ngumu kama moja rahisi?

Jibu: 1, 2, 3, 5, 6.

Swali: Taja ukosefu wa usawa ambapo zinaweza kutumika fomula za trigonometric?

Jibu: 2, 3, 6.

Swali: Taja kukosekana kwa usawa ambapo njia ya kutambulisha kigezo kipya inaweza kutumika?

Jibu: 6.

Kazi ya kuchambua orodha ya usawa kutoka kwa mtazamo wa njia za kuzitatua hukuruhusu kufanya mazoezi ya utambuzi wao. Wakati wa kuendeleza ujuzi, ni muhimu kutambua hatua za utekelezaji wake na kuziunda mtazamo wa jumla, ambayo imewasilishwa katika algorithm ya kutatua usawa rahisi zaidi wa trigonometric.

1.5 Tofauti za Trigonometric na mbinu za kuzitatua

1.5.1 Kutatua tofauti rahisi za trigonometric

Waandishi wengi wa vitabu vya kisasa vya hisabati wanapendekeza kuanza kuzingatia mada hii kwa kutatua usawa rahisi zaidi wa trigonometric. Kanuni ya kutatua usawa rahisi zaidi wa trigonometric inategemea ujuzi na uwezo wa kuamua mzunguko wa trigonometric maadili sio tu ya pembe kuu za trigonometric, lakini pia za maadili mengine.

Wakati huo huo, suluhisho la kukosekana kwa usawa kwa fomu , , , linaweza kufanywa kama ifuatavyo: kwanza tunapata muda fulani () ambao usawa huu umeridhika, na kisha andika jibu la mwisho kwa kuongeza mwisho wa muda uliopatikana. nambari ambayo ni mgawo wa kipindi cha sine au kosine: ( ) Katika kesi hii, thamani ni rahisi kupata, kwa sababu au . Utafutaji wa maana unatokana na angalizo la wanafunzi, uwezo wao wa kutambua usawa wa arcs au sehemu, kwa kutumia ulinganifu. sehemu za mtu binafsi grafu ya sine au cosine. Na hii wakati mwingine ni zaidi ya uwezo wa idadi kubwa ya wanafunzi. Ili kuondokana na ugumu uliobainika katika vitabu vya kiada katika miaka iliyopita imetumika mbinu tofauti ili kutatua usawa rahisi zaidi wa trigonometric, lakini hii haikutoa uboreshaji wowote katika matokeo ya kujifunza.

Kwa miaka kadhaa, tumekuwa tukitumia kwa ufanisi fomula za mizizi ya milinganyo inayolingana ili kupata masuluhisho ya ukosefu wa usawa wa trigonometriki.

Tunasoma mada hii kwa njia ifuatayo:

1. Tunaunda grafu na y = a, tukizingatia kwamba .

Kisha tunaandika equation na suluhisho lake. Kutoa n 0; 1; 2, tunapata mizizi mitatu ya equation iliyokusanywa:. Thamani ni abscissa ya pointi tatu mfululizo za makutano ya grafu na y = a. Ni dhahiri kwamba ukosefu wa usawa daima unashikilia muda (), na usawa daima unashikilia muda ().

Kwa kuongeza kwenye ncha za vipindi hivi nambari ambayo ni nyingi ya kipindi cha sine, katika kesi ya kwanza tunapata suluhisho la usawa katika fomu:; na katika kesi ya pili, suluhisho la ukosefu wa usawa katika fomu:

Tofauti tu na sine kutoka kwa formula, ambayo ni suluhisho la equation, kwa n = 0 tunapata mizizi miwili, na mzizi wa tatu kwa n = 1 kwa fomu. . Na tena ni abscissas tatu mfululizo za pointi za makutano ya grafu na . Katika muda () usawa unashikilia, katika muda () usawa

Sasa si vigumu kuandika ufumbuzi wa kutofautiana na. Katika kesi ya kwanza tunapata:;

na ya pili:.

Fanya muhtasari. Ili kutatua usawa au, unahitaji kuunda equation inayolingana na kuisuluhisha. Kutoka kwa formula inayosababisha, pata mizizi ya na, na uandike jibu la usawa katika fomu:.

Wakati wa kutatua usawa , kutoka kwa formula ya mizizi ya equation inayofanana tunapata mizizi na, na kuandika jibu kwa usawa katika fomu:.

Mbinu hii inakuwezesha kufundisha wanafunzi wote jinsi ya kutatua usawa wa trigonometric, kwa sababu Mbinu hii inategemea kabisa ujuzi ambao wanafunzi wana uwezo mkubwa wao. Hizi ni ujuzi wa kutatua matatizo rahisi na kupata thamani ya kutofautiana kwa kutumia fomula. Kwa kuongezea, azimio la uangalifu chini ya mwongozo wa mwalimu inakuwa sio lazima kabisa. kiasi kikubwa mazoezi ili kuonyesha kila aina ya mbinu za hoja kulingana na ishara ya kutofautiana, thamani ya moduli ya nambari a na ishara yake. Na mchakato wa kutatua usawa yenyewe unakuwa mfupi na, ambayo ni muhimu sana, sare.

Faida nyingine njia hii ni kwamba hurahisisha kutatua ukosefu wa usawa hata wakati sehemu ya kulia si thamani ya jedwali ya sine au kosine.

Hebu tuonyeshe hili mfano maalum. Tuseme tunahitaji kutatua ukosefu wa usawa. Wacha tuunda equation inayolingana na tuitatue:

Wacha tupate maadili ya na.

Wakati n = 1

Wakati n = 2

Tunaandika jibu la mwisho kwa ukosefu huu wa usawa:

Katika mfano unaozingatiwa wa kutatua usawa rahisi zaidi wa trigonometric, kunaweza kuwa na drawback moja tu - kuwepo kwa kiasi fulani cha formalism. Lakini ikiwa kila kitu kitatathminiwa tu kutoka kwa nafasi hizi, basi itawezekana kushutumu kanuni za msingi za urasmi. mlinganyo wa quadratic, na fomula zote za suluhisho milinganyo ya trigonometric, na mengi zaidi.

Ingawa njia iliyopendekezwa inachukua nafasi nzuri katika malezi ya ujuzi katika kutatua usawa wa trigonometric, umuhimu na sifa za njia zingine za kutatua usawa wa trigonometric haziwezi kupunguzwa. Hizi ni pamoja na njia ya muda.

Hebu tuzingatie kiini chake.

Imehaririwa na A.G. Mordkovich, ingawa haupaswi kupuuza vitabu vingine vya kiada pia. § 3. Mbinu ya kufundisha mada "Kazi za Trigonometric" katika mwendo wa algebra na mwanzo wa uchambuzi Katika utafiti wa kazi za trigonometric shuleni, hatua kuu mbili zinaweza kutofautishwa: ü Marafiki wa awali na kazi za trigonometric ...

Katika kufanya utafiti, kazi zifuatazo zilitatuliwa: 1) Vitabu vya sasa vya aljebra na mwanzo wa uchanganuzi wa hisabati vilichanganuliwa ili kubaini mbinu zilizowasilishwa ndani yake za kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa. Uchambuzi unaturuhusu kufikia hitimisho zifuatazo: sekondari Uangalifu wa kutosha hulipwa kwa njia za kutatua hesabu kadhaa zisizo na maana, haswa ...

Wakati wa kutatua usawa ulio na kazi za trigonometric, hupunguzwa kwa usawa rahisi zaidi wa fomu cos(t)>a, sint(t)=a na zinazofanana. Na tayari usawa rahisi zaidi hutatuliwa. Hebu tuangalie mifano mbalimbali njia za kutatua usawa rahisi wa trigonometric.

Mfano 1. Tatua ukosefu wa usawa sin(t) > = -1/2.

Chora mduara wa kitengo. Kwa kuwa dhambi (t) kwa ufafanuzi ni y kuratibu, tunaweka alama y = -1/2 kwenye mhimili wa Oy. Tunachora mstari wa moja kwa moja kupitia hiyo sambamba na mhimili wa Ox. Katika makutano ya mstari wa moja kwa moja na grafu ya mzunguko wa kitengo, alama pointi Pt1 na Pt2. Tunaunganisha asili ya kuratibu na pointi Pt1 na Pt2 kwa sehemu mbili.

Suluhisho la usawa huu litakuwa alama zote za mduara wa kitengo kilicho juu ya alama hizi. Kwa maneno mengine, suluhisho litakuwa arc l Sasa ni muhimu kuonyesha hali ambayo hatua ya kiholela itakuwa ya arc l.

Pt1 iko katika nusu duara ya kulia, mratibu wake ni -1/2, kisha t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Kuelezea nukta Pt1, unaweza kuandika fomula ifuatayo:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kama matokeo, tunapata ukosefu wa usawa ufuatao kwa t:

Tunahifadhi ukosefu wa usawa. Na kwa kuwa kazi ya sine ni ya mara kwa mara, inamaanisha kuwa suluhisho zitarudiwa kila 2*pi. Tunaongeza hali hii kwa usawa unaosababishwa na t na kuandika jibu.

Jibu: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Mfano 2. Tatua ukosefu wa usawa wa cos(t).<1/2.

Wacha tuchore mduara wa kitengo. Kwa kuwa, kwa mujibu wa ufafanuzi, cos (t) ni x kuratibu, tunaweka alama x = 1/2 kwenye grafu kwenye mhimili wa Ox.
Tunachora mstari wa moja kwa moja kupitia hatua hii sambamba na mhimili wa Oy. Katika makutano ya mstari wa moja kwa moja na grafu ya mzunguko wa kitengo, alama pointi Pt1 na Pt2. Tunaunganisha asili ya kuratibu na pointi Pt1 na Pt2 kwa sehemu mbili.

Suluhisho zitakuwa alama zote za mduara wa kitengo ambacho ni cha arc l Wacha tupate alama t1 na t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Tulipata ukosefu wa usawa wa t: pi/3

Kwa kuwa cosine ni kazi ya mara kwa mara, suluhu zitarudiwa kila 2*pi. Tunaongeza hali hii kwa usawa unaosababishwa na t na kuandika jibu.

Jibu: pi/3+2*pi*n

Mfano 3. Tatua ukosefu wa usawa tg(t)< = 1.

Kipindi cha tangent ni sawa na pi. Hebu tutafute masuluhisho ambayo ni ya muda (-pi/2;pi/2) nusu duara ya kulia. Ifuatayo, kwa kutumia upimaji wa tangent, tunaandika suluhisho zote za usawa huu. Hebu tuchore mduara wa kitengo na uweke alama ya mstari wa tangents juu yake.

Ikiwa t ni suluhisho la kutofautiana, basi kuratibu kwa uhakika T = tg (t) lazima iwe chini ya au sawa na 1. Seti ya pointi hizo zitafanya ray AT. Seti ya pointi Pt ambayo itafanana na pointi za ray hii ni arc l. Kwa kuongezea, hatua P(-pi/2) sio ya safu hii.

Wizara ya Elimu ya Jamhuri ya Belarus

Taasisi ya elimu

"Chuo Kikuu cha Jimbo la Gomel

jina lake baada ya Francysk Skaryna"

Kitivo cha Hisabati

Idara ya Algebra na Jiometri

Imekubaliwa kwa utetezi

Kichwa Idara ya Shemetkov L.A.

Milinganyo ya Trigonometric na ukosefu wa usawa

Kazi ya kozi

Mtekelezaji:

mwanafunzi wa kikundi M-51

SENTIMITA. Gorsky

Msimamizi wa kisayansi Ph.D.-M.Sc.,

Mhadhiri Mwandamizi

V.G. Safonov

Gomel 2008

UTANGULIZI

MBINU ZA ​​MSINGI ZA KUTATUA MALIngano TRIGONOMETRIKI

Factorization

Kutatua milinganyo kwa kubadilisha bidhaa ya vitendaji vya trigonometric kuwa jumla

Kutatua milinganyo kwa kutumia fomula za hoja tatu

Kuzidisha kwa baadhi ya utendaji wa trigonometric

MLINGO WA TRIGONOMETRIKI WASIO WA KIWANGO

KUTOKUWA NA USAWA WA TRIGONOMETRIC

UCHAGUZI WA MIZIZI

KAZI ZA SULUHISHO HURU

HITIMISHO

ORODHA YA VYANZO VILIVYOTUMIKA

Katika nyakati za zamani, trigonometry iliibuka kuhusiana na mahitaji ya unajimu, uchunguzi wa ardhi na ujenzi, ambayo ni, ilikuwa kijiometri tu kwa asili na iliwakilishwa haswa.<<исчисление хорд>>. Baada ya muda, baadhi ya wakati wa uchambuzi ulianza kuingilia ndani yake. Katika nusu ya kwanza ya karne ya 18 kulikuwa na mabadiliko makali, baada ya hapo trigonometry ilichukua mwelekeo mpya na kuhamia kwenye uchambuzi wa hisabati. Ilikuwa wakati huu ambapo uhusiano wa trigonometric ulianza kuzingatiwa kama kazi.

Milinganyo ya trigonometric ni mojawapo ya mada ngumu zaidi katika kozi ya hisabati ya shule. Equations Trigonometric hutokea wakati wa kutatua matatizo katika planimetry, stereometry, astronomy, fizikia na nyanja nyingine. Milinganyo ya trigonometric na ukosefu wa usawa hupatikana kati ya kazi za upimaji wa kati mwaka baada ya mwaka.

Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya trigonometriki na milinganyo ya aljebra ni kwamba milinganyo ya aljebra ina idadi ndogo ya mizizi, wakati milinganyo ya trigonometric ina nambari isiyo na kikomo, ambayo inatatiza sana uteuzi wa mizizi. Kipengele kingine maalum cha milinganyo ya trigonometric ni aina isiyo ya kipekee ya kuandika jibu.

Tasnifu hii imejitolea kwa mbinu za kutatua milinganyo ya trigonometriki na ukosefu wa usawa.

Thesis ina sehemu 6.

Sehemu ya kwanza hutoa maelezo ya msingi ya kinadharia: ufafanuzi na mali ya kazi za trigonometric na inverse trigonometric; jedwali la maadili ya kazi za trigonometric kwa hoja fulani; kuelezea kazi za trigonometric kwa suala la kazi nyingine za trigonometric, ambayo ni muhimu sana kwa kubadilisha maneno ya trigonometric, hasa yale yaliyo na kazi za trigonometric inverse; Kando na fomula za msingi za trigonometriki, zinazojulikana sana kutoka kwa kozi ya shule, fomula zimetolewa ambazo hurahisisha usemi ulio na vitendaji kinyume vya trigonometriki.

Sehemu ya pili inaelezea njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric. Suluhisho la milinganyo ya msingi ya trigonometriki, mbinu ya uainishaji, na mbinu za kupunguza milinganyo ya trigonometriki hadi zile za aljebra huzingatiwa. Kwa sababu ya ukweli kwamba suluhisho za equations za trigonometric zinaweza kuandikwa kwa njia kadhaa, na aina ya suluhisho hizi hairuhusu mtu kuamua mara moja ikiwa suluhisho hizi ni sawa au tofauti, ambazo zinaweza.<<сбить с толку>> wakati wa kutatua vipimo, mpango wa jumla wa kutatua equations trigonometric inazingatiwa na mabadiliko ya makundi ya ufumbuzi wa jumla wa equations trigonometric inazingatiwa kwa undani.

Sehemu ya tatu inachunguza equations zisizo za kawaida za trigonometric, ufumbuzi ambao unategemea mbinu ya kazi.

Sehemu ya nne inajadili usawa wa trigonometric. Njia za kutatua usawa wa msingi wa trigonometric, kwenye duara la kitengo na kwa njia ya picha, zinajadiliwa kwa undani. Mchakato wa kutatua usawa usio wa msingi wa trigonometric kupitia usawa wa kimsingi na njia ya vipindi, ambayo tayari inajulikana kwa watoto wa shule, imeelezewa.

Sehemu ya tano inatoa kazi ngumu zaidi: wakati ni muhimu sio tu kutatua equation ya trigonometric, lakini pia kuchagua mizizi kutoka kwenye mizizi iliyopatikana ambayo inakidhi hali fulani. Sehemu hii hutoa suluhisho kwa kazi za kawaida za uteuzi wa mizizi. Taarifa muhimu ya kinadharia ya kuchagua mizizi imetolewa: kugawanya seti ya nambari katika sehemu ndogo zisizounganishwa, kutatua milinganyo katika nambari kamili (diaphantine).

Sehemu ya sita inatoa kazi kwa suluhisho la kujitegemea, iliyotolewa kwa namna ya mtihani. Majukumu 20 ya mtihani yana kazi ngumu zaidi ambazo zinaweza kupatikana wakati wa majaribio ya kati.

Milinganyo ya trigonometriki ya msingi

Milinganyo ya trigonometriki ya msingi ni milinganyo ya umbo , ambapo --- mojawapo ya kazi za trigonometriki: , , , .

Milinganyo ya trigonometriki ya msingi ina idadi isiyo na kikomo ya mizizi. Kwa mfano, maadili yafuatayo yanakidhi mlingano: , , , n.k. Fomula ya jumla ambayo mizizi yote ya mlingano hupatikana, ambapo , ni kama ifuatavyo:

Hapa inaweza kuchukua maadili yoyote kamili, kila moja yao inalingana na mzizi maalum wa equation; katika fomula hii (na vile vile katika fomula zingine ambazo hesabu za msingi za trigonometric hutatuliwa) huitwa kigezo. Kawaida huandika , na hivyo kusisitiza kuwa kigezo kinaweza kukubali maadili kamili.

Suluhu za equation , wapi , zinapatikana kwa fomula

Equation inatatuliwa kwa kutumia fomula

na equation ni kwa formula

Wacha tuangalie visa maalum vya hesabu za msingi za trigonometric, wakati suluhisho linaweza kuandikwa bila kutumia fomula za jumla:

Wakati wa kutatua equations za trigonometric, kipindi cha kazi za trigonometric kina jukumu muhimu. Kwa hivyo, tunatoa nadharia mbili muhimu:

Nadharia Ikiwa --- kipindi kikuu cha chaguo la kukokotoa, basi nambari ni kipindi kikuu cha kazi.

Vipindi vya utendakazi na vinasemekana kuwa vya kulinganishwa ikiwa kuna nambari asilia na kwamba .

Nadharia Ikiwa kazi za mara kwa mara na, zina commensurate na, basi zina kipindi cha kawaida, ambacho ni kipindi cha kazi,,.

Nadharia inasema kwamba kipindi cha kazi , , , ni, na sio lazima kipindi kikuu. Kwa mfano, kipindi kikuu cha kazi na --- , na kipindi kikuu cha bidhaa zao --- .

Kuanzisha hoja saidizi

Kwa njia ya kawaida ya kubadilisha maneno ya fomu ni mbinu ifuatayo: hebu --- pembe iliyotolewa na usawa , . Kwa yoyote, pembe kama hiyo ipo. Hivyo. Ikiwa , au , , , katika hali zingine.

Mpango wa kutatua milinganyo ya trigonometric

Mpango wa kimsingi ambao tutafuata wakati wa kusuluhisha milinganyo ya trigonometric ni kama ifuatavyo.

kusuluhisha equation fulani hupunguzwa hadi kutatua milinganyo ya msingi. Suluhisho ina maana: mabadiliko, factorization, badala ya haijulikani. Kanuni inayoongoza sio kupoteza mizizi yako. Hii ina maana kwamba wakati wa kuhamia equation inayofuata, hatuogopi kuonekana kwa mizizi ya ziada (ya ziada), lakini tunajali tu kwamba kila equation inayofuata ya "mnyororo" wetu (au seti ya equations katika kesi ya matawi. ) ni matokeo ya uliopita. Njia moja inayowezekana ya kuchagua mizizi ni kupima. Wacha tuangalie mara moja kuwa katika kesi ya hesabu za trigonometric, shida zinazohusiana na kuchagua mizizi na kuangalia, kama sheria, huongezeka sana ikilinganishwa na hesabu za algebra. Baada ya yote, tunapaswa kuangalia mfululizo unaojumuisha idadi isiyo na kipimo ya maneno.

Kutaja maalum kunapaswa kufanywa kwa uingizwaji wa haijulikani wakati wa kutatua milinganyo ya trigonometric. Katika hali nyingi, baada ya uingizwaji muhimu, usawa wa algebra hupatikana. Kwa kuongezea, equations sio nadra sana kwamba, ingawa zinaonekana kwa trigonometric, kwa asili sio hivyo, kwani baada ya hatua ya kwanza - mabadiliko ya vijiti - hubadilika kuwa algebraic, na kurudi kwa trigonometry hufanyika tu baada ya hatua ya kutatua msingi. milinganyo ya trigonometric.

Hebu tukumbushe mara nyingine tena: uingizwaji wa haijulikani unapaswa kufanyika kwa fursa ya kwanza baada ya uingizwaji lazima kutatuliwa hadi mwisho, ikiwa ni pamoja na hatua ya kuchagua mizizi, na kisha tu kurudi kwenye haijulikani ya awali;

Moja ya vipengele vya milinganyo ya trigonometric ni kwamba jibu linaweza, mara nyingi, kuandikwa kwa njia mbalimbali. Hata kutatua equation jibu linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

1) katika mfumo wa safu mbili: , , ;

2) katika fomu ya kawaida, ambayo ni mchanganyiko wa mfululizo hapo juu:,;

3) kwa sababu , basi jibu linaweza kuandikwa kwa fomu , . (Katika kile kinachofuata, uwepo wa , , au kigezo katika rekodi ya majibu humaanisha kiotomatiki kuwa kigezo hiki kinakubali thamani zote kamili zinazowezekana. Vighairi vitabainishwa.)

Ni wazi, kesi tatu zilizoorodheshwa hazimalizi uwezekano wote wa kuandika jibu la equation inayozingatiwa (kuna nyingi sana).

Kwa mfano, wakati usawa ni kweli . Kwa hiyo, katika kesi mbili za kwanza, ikiwa , tunaweza kuchukua nafasi kwa .

Kawaida jibu limeandikwa kwa msingi wa hatua ya 2. Ni muhimu kukumbuka pendekezo lifuatalo: ikiwa kazi haina mwisho na kutatua equation, bado ni muhimu kufanya utafiti na kuchagua mizizi, basi aina rahisi zaidi ya kurekodi. imeonyeshwa katika nukta 1. (Pendekezo kama hilo linafaa kutolewa kwa mlingano.)

Acheni tuchunguze mfano unaoonyesha yale ambayo yamesemwa.

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Njia iliyo wazi zaidi ni ifuatayo. Mlinganyo huu umegawanyika katika sehemu mbili: na. Kutatua kila moja yao na kuchanganya majibu yaliyopatikana, tunapata.

Njia nyingine. Kwa kuwa , basi, kubadilisha na kutumia fomula za kupunguza digrii. Baada ya mabadiliko madogo tunapata, kutoka wapi .

Kwa mtazamo wa kwanza, formula ya pili haina faida yoyote maalum juu ya ya kwanza. Hata hivyo, ikiwa tunachukua, kwa mfano, basi inageuka kuwa, i.e. equation ina suluhisho, wakati njia ya kwanza inatuongoza kwenye jibu . "Ona" na uthibitishe usawa si rahisi sana.

Jibu. .

Kubadilisha na kuchanganya vikundi vya suluhisho za jumla za milinganyo ya trigonometric

Tutazingatia maendeleo ya hesabu ambayo yanaenea kwa muda usiojulikana katika pande zote mbili. Wanachama wa mwendelezo huu wanaweza kugawanywa katika vikundi viwili vya wanachama, vilivyo upande wa kulia na kushoto wa mwanachama fulani anayeitwa mwanachama wa kati au sifuri wa maendeleo.

Kwa kurekebisha moja ya masharti ya maendeleo yasiyo na kikomo na nambari ya sifuri, tutalazimika kutekeleza nambari mbili kwa masharti yote yaliyobaki: chanya kwa maneno yaliyo upande wa kulia, na hasi kwa maneno yaliyo upande wa kushoto wa sifuri.

Kwa ujumla, ikiwa tofauti ya mwendelezo ni neno sifuri, fomula ya neno lolote (th) la kuendelea kwa hesabu isiyo na kikomo ni:

Mabadiliko ya fomula kwa neno lolote la kuendelea kwa hesabu bila kikomo

1. Ikiwa unaongeza au kupunguza tofauti ya maendeleo kwa muda wa sifuri, basi maendeleo hayatabadilika, lakini muda wa sifuri tu utahamia, i.e. Idadi ya wanachama itabadilika.

2. Ikiwa mgawo wa thamani ya kutofautiana umezidishwa na , basi hii itasababisha tu upangaji upya wa makundi ya kulia na kushoto ya wanachama.

3. Ikiwa masharti ya mfululizo ya maendeleo yasiyo na mwisho

kwa mfano, , , ..., , fanya masharti ya kati ya maendeleo na tofauti sawa na:

kisha mwendelezo na msururu wa miendeleo huonyesha nambari sawa.

Mfano Safu inaweza kubadilishwa na safu tatu zifuatazo: , , .

4. Ikiwa maendeleo yasiyo na kikomo yenye tofauti sawa yana nambari za maneno ya kati ambayo huunda kuendelea kwa hesabu na tofauti , basi mfululizo huu unaweza kubadilishwa na kuendelea moja na tofauti , na kwa neno kuu sawa na masharti yoyote ya kati ya maendeleo haya, yaani Kama

basi maendeleo haya yanaunganishwa kuwa moja:

Mfano . zote mbili zimeunganishwa katika kundi moja .

Ili kubadilisha makundi ambayo yana ufumbuzi wa kawaida katika makundi ambayo hayana ufumbuzi wa kawaida, makundi haya yanagawanywa katika makundi yenye kipindi cha kawaida, na kisha jaribu kuunganisha makundi yanayotokana, ukiondoa kurudia.

Factorization

Njia ya factorization ni kama ifuatavyo: kama

basi kila suluhisho la equation

ni suluhisho la seti ya milinganyo

Kauli ya kinyume ni, kwa ujumla, ni ya uwongo: sio kila suluhisho kwa idadi ya watu ni suluhisho la mlinganyo. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba ufumbuzi wa milinganyo ya mtu binafsi hauwezi kujumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa kazi.

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa kutumia kitambulisho cha msingi cha trigonometriki, tunawakilisha mlinganyo katika fomu

Jibu. ; .

Kubadilisha jumla ya kazi za trigonometric kuwa bidhaa

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Kwa kutumia fomula, tunapata equation sawa

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Katika kesi hii, kabla ya kutumia fomula kwa jumla ya kazi za trigonometric, unapaswa kutumia fomula ya kupunguza . Kama matokeo, tunapata equation sawa

Jibu. , .

Kutatua milinganyo kwa kubadilisha bidhaa ya vitendaji vya trigonometric kuwa jumla

Wakati wa kutatua idadi ya equations, formula hutumiwa.

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho.

Jibu. , .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa kutumia formula, tunapata equation sawa:

Jibu. .

Kutatua milinganyo kwa kutumia fomula za kupunguza

Wakati wa kutatua anuwai ya milinganyo ya trigonometric, fomula huchukua jukumu muhimu.

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa kutumia fomula, tunapata equation sawa.

Jibu. ; .

Kutatua milinganyo kwa kutumia fomula za hoja tatu

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa kutumia formula, tunapata equation

Jibu. ; .

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Kutumia fomula za kupunguza digrii tunayopata: . Kuomba tunapata:

Jibu. ; .

Usawa wa kazi za trigonometric za jina moja

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Jibu. , .

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Wacha tubadilishe equation.

Jibu. .

Mfano Inajulikana hivyo na kukidhi mlinganyo

Tafuta kiasi.

Suluhisho. Kutoka kwa equation inafuata hiyo

Jibu. .

Wacha tuchunguze jumla ya fomu

Kiasi hiki kinaweza kubadilishwa kuwa bidhaa kwa kuzidisha na kugawanya, kisha tunapata

Mbinu hii inaweza kutumika kutatua equations fulani za trigonometric, lakini inapaswa kukumbushwa katika akili kwamba kwa matokeo, mizizi ya nje inaweza kuonekana. Wacha tufanye muhtasari wa fomula hizi:

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Inaweza kuonekana kuwa seti ni suluhisho la equation ya asili. Kwa hiyo, kuzidisha pande za kushoto na za kulia za equation hazitasababisha kuonekana kwa mizizi ya ziada.

Tuna .

Jibu. ; .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Wacha tuzidishe pande za kushoto na kulia za equation na kutumia fomula za kubadilisha bidhaa ya kazi za trigonometric kuwa jumla, tunapata.

Mlinganyo huu ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili na , wapi na .

Kwa kuwa mizizi ya equation sio mizizi ya equation, tunapaswa kuwatenga. Hii ina maana kwamba katika kuweka ni muhimu kuwatenga.

Jibu. Na,.

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Wacha tubadilishe usemi:

Equation itaandikwa kama:

Jibu. .

Kupunguza milinganyo ya trigonometriki hadi ya aljebra

Inaweza kupunguzwa kwa mraba

Ikiwa equation ni ya fomu

basi uingizwaji unaongoza kwa mraba, kwani () Na.

Ikiwa badala ya neno kuna , basi uingizwaji unaohitajika utakuwa .

Mlinganyo

inapunguza hadi mlinganyo wa quadratic

uwasilishaji kama . Ni rahisi kuangalia ambayo , sio mizizi ya equation, na kwa kufanya uingizwaji , equation imepunguzwa kwa moja ya quadratic.

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Wacha tuisogeze kwa upande wa kushoto, tuibadilishe na , na tuielezee kupitia na .

Baada ya kurahisisha tunapata:. Gawanya neno kwa muda na ubadilishe:

Kurudi kwa, tunapata .

Milinganyo yenye usawa kuhusiana na,

Fikiria equation ya fomu

ambapo , , , ..., , ni nambari halisi. Katika kila neno upande wa kushoto wa equation, digrii za monomia ni sawa, yaani, jumla ya digrii za sine na cosine ni sawa na sawa. Equation hii inaitwa zenye homogeneous jamaa na , na nambari inaitwa kiashiria cha homogeneity .

Ni wazi kwamba ikiwa , basi equation itachukua fomu:

suluhisho ambazo ni maadili ambayo , i.e., nambari, . Mlinganyo wa pili ulioandikwa kwenye mabano pia ni sawa, lakini digrii ni 1 chini.

Ikiwa , basi nambari hizi sio mizizi ya equation.

Tunapopata: , na upande wa kushoto wa equation (1) huchukua thamani .

Kwa hivyo, kwa , na , kwa hivyo tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa . Kama matokeo, tunapata equation:

ambayo, kwa kuibadilisha, inaweza kupunguzwa kwa urahisi kuwa aljebra:

Milinganyo yenye uwiano sawa na fahirisi ya homogeneity 1. Tunapokuwa na mlingano .

Ikiwa , basi mlingano huu ni sawa na mlinganyo , , wapi , .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Equation hii ni homogeneous ya shahada ya kwanza. Gawanya sehemu zote mbili kwa sisi kupata:,,,,.

Jibu. .

Mfano Tunapopata equation ya homogeneous ya fomu

Suluhisho.

Ikiwa , basi gawanya pande zote mbili za equation na , tunapata equation , ambayo inaweza kupunguzwa kwa urahisi kuwa mraba kwa kubadilisha: . Kama , basi equation ina mizizi halisi,. Equation ya awali itakuwa na makundi mawili ya ufumbuzi: , , .

Kama , basi equation haina suluhu.

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Equation hii ni homogeneous ya shahada ya pili. Gawanya pande zote mbili za equation na , tunapata:. Hebu, basi,,. ,,; .

Jibu. .

Equation imepunguzwa kwa equation ya fomu

Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia kitambulisho

Hasa, equation imepunguzwa kwa homogeneous ikiwa tutaibadilisha , basi tunapata equation sawa:

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Wacha tubadilishe equation kuwa ya homogeneous:

Wacha tugawanye pande zote mbili za equation , tunapata equation:

Hebu , basi tunakuja kwenye equation ya quadratic: , , , , .

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Wacha tuweke mraba pande zote mbili za equation, kwa kuzingatia kuwa zina maadili chanya: , ,

Hebu iwe, basi tupate , , .

Jibu. .

Milinganyo hutatuliwa kwa kutumia vitambulisho

Ni muhimu kujua fomula zifuatazo:

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa kutumia, tunapata

Jibu.

Hatutoi fomula zenyewe, lakini njia ya kuzipata:

hivyo,

Vivyo hivyo,.

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Wacha tubadilishe usemi:

Equation itaandikwa kama:

Kwa kukubali, tunapokea. , . Kwa hiyo

Jibu. .

Ubadilishaji wa trigonometric wa Universal

Mlinganyo wa trigonometric wa fomu

ambapo --- kazi ya kimantiki kwa usaidizi wa fomula - , na pia kwa usaidizi wa fomula - inaweza kupunguzwa hadi mlingano wa kimantiki kwa kuzingatia hoja , , , , baada ya hapo mlinganyo unaweza kupunguzwa hadi mantiki ya aljebra. mlinganyo kuhusiana na kutumia fomula za uingizwaji wa trigonometriki zima

Ikumbukwe kwamba utumiaji wa fomula unaweza kusababisha kupunguzwa kwa OD ya equation ya asili, kwani haijafafanuliwa kwa alama, kwa hivyo katika hali kama hizi ni muhimu kuangalia ikiwa pembe ni mizizi ya equation ya asili. .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kulingana na masharti ya kazi. Kutumia fomula na kubadilisha, tunapata

kutoka wapi na kwa hivyo.

Milinganyo ya fomu

Milinganyo ya fomu , ambapo --- polynomial, hutatuliwa kwa kutumia mabadiliko ya yasiyojulikana

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kufanya uingizwaji na kuzingatia hilo , tunapata

wapi,. --- mzizi wa nje, kwa sababu . Mizizi ya equation ni .

Kutumia mapungufu ya vipengele

Katika mazoezi ya upimaji wa kati, sio nadra sana kukutana na milinganyo ambayo suluhisho lake linatokana na kazi ndogo na . Kwa mfano:

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Tangu , , basi upande wa kushoto hauzidi na ni sawa na , ikiwa

Ili kupata maadili ambayo yanakidhi hesabu zote mbili, tunaendelea kama ifuatavyo. Wacha tusuluhishe moja yao, kisha kati ya maadili yaliyopatikana tutachagua yale ambayo yanakidhi nyingine.

Wacha tuanze na ya pili:,. Kisha, .

Ni wazi kuwa kwa idadi tu kutakuwa na .

Jibu. .

Wazo lingine linatekelezwa kwa kutatua equation ifuatayo:

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Wacha tutumie mali ya kazi ya kielelezo: , .

Kuongeza ukosefu huu wa usawa muhula baada ya muda tunayo:

Kwa hivyo, upande wa kushoto wa mlingano huu ni sawa ikiwa na ikiwa tu usawa mbili zitaridhika:

yaani, inaweza kuchukua maadili , , , au inaweza kuchukua maadili, .

Jibu. , .

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho., . Kwa hivyo, .

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho. Hebu tuashiria , kisha kutokana na ufafanuzi wa kitendakazi kinyume cha trigonometriki tuliyo nayo Na .

Kwa kuwa, basi usawa hufuata kutoka kwa usawa, i.e. . Tangu na, basi na. Hata hivyo, ndiyo sababu.

Ikiwa na, basi. Kwa vile ilianzishwa hapo awali kwamba, basi.

Jibu. , .

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho. Aina mbalimbali za thamani zinazokubalika za mlingano ni .

Kwanza tunaonyesha kwamba kazi

Kwa yoyote, inaweza tu kuchukua maadili chanya.

Wacha tufikirie kazi kama ifuatavyo: .

Tangu , basi hufanyika, i.e. .

Kwa hiyo, ili kuthibitisha usawa, ni muhimu kuonyesha kwamba . Kwa kusudi hili, hebu tufanye pande zote mbili za usawa huu, basi

Ukosefu wa usawa wa nambari unaonyesha kuwa. Ikiwa pia tutazingatia hilo , basi upande wa kushoto wa equation sio hasi.

Hebu sasa tuangalie upande wa kulia wa equation.

Kwa sababu , Hiyo

Hata hivyo, inajulikana kuwa . Inafuata kwamba, i.e. upande wa kulia wa equation hauzidi. Hapo awali ilithibitishwa kuwa upande wa kushoto wa equation sio hasi, kwa hivyo usawa unaweza kutokea ikiwa pande zote mbili ni sawa, na hii inawezekana tu ikiwa .

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho. Wacha tuonyeshe na . Kutumia usawa wa Cauchy-Bunyakovsky, tunapata . Inafuata hiyo . Kwa upande mwingine, kuna . Kwa hiyo, equation haina mizizi.

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo:

Suluhisho. Wacha tuandike tena equation kama:

Jibu. .

Njia za kazi za kutatua milinganyo ya trigonometric na iliyojumuishwa

Sio kila equation kama matokeo ya mabadiliko inaweza kupunguzwa kwa equation ya fomu moja au nyingine ya kawaida, ambayo kuna njia maalum ya ufumbuzi. Katika hali kama hizi, inageuka kuwa muhimu kutumia sifa kama hizi za kazi na kama monotonicity, boundedness, usawa, periodicity, nk. Kwa hivyo, ikiwa moja ya kazi itapungua na ya pili kuongezeka kwa muda, basi ikiwa equation ina mzizi juu ya muda huu, mizizi hii ni ya pekee, na kisha, kwa mfano, inaweza kupatikana kwa uteuzi. Ikiwa kazi imefungwa hapo juu, na , na kazi imefungwa chini, na , basi equation ni sawa na mfumo wa equations.

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho. Wacha tubadilishe mlingano wa asili kuwa fomu

na kuitatua kama jamaa ya quadratic na . Kisha tunapata,

Wacha tusuluhishe equation ya kwanza ya idadi ya watu. Kwa kuzingatia hali ndogo ya kazi, tunafikia hitimisho kwamba equation inaweza tu kuwa na mizizi kwenye sehemu. Kwa muda huu kazi huongezeka, na kazi hupungua. Kwa hiyo, ikiwa equation hii ina mizizi, basi ni ya pekee. Tunapata kwa uteuzi.

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo

Suluhisho. Hebu na , basi mlingano asilia unaweza kuandikwa kama mlinganyo wa utendaji. Kwa kuwa kazi ni isiyo ya kawaida, basi. Katika kesi hii, tunapata equation.

Kwa kuwa , na ni monotonic kwenye , equation ni sawa na equation, i.e. , ambayo ina mzizi mmoja.

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Kulingana na nadharia juu ya derivative ya kazi changamano, ni wazi kwamba kazi kupungua (kazi kupungua, kuongezeka, kupungua). Kutokana na hili ni wazi kwamba kazi inavyofafanuliwa juu ya , kupungua. Kwa hivyo, equation hii ina mzizi mmoja. Kwa sababu , Hiyo

Jibu. .

Mfano Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Wacha tuzingatie equation kwa vipindi vitatu.

a) Acha. Kisha kwenye seti hii equation asili ni sawa na equation . Ambayo haina suluhisho kwa muda, kwa sababu , , A. Kwa muda, equation ya awali pia haina mizizi, kwa sababu , A.

b) Acha. Kisha kwenye seti hii equation ya awali ni sawa na equation

ambazo mizizi yake kwenye muda ni nambari , , , .

c) Acha. Kisha kwenye seti hii equation ya awali ni sawa na equation

Ambayo haina suluhisho kwa muda, kwa sababu , na . Kwa muda, equation pia haina ufumbuzi, kwa sababu ,, A.

Jibu. , , , .

Mbinu ya ulinganifu

Njia ya ulinganifu ni rahisi kutumia wakati uundaji wa kazi unahitaji suluhisho la kipekee la equation, usawa, mfumo, nk. au dalili kamili ya idadi ya suluhu. Katika kesi hii, ulinganifu wowote wa misemo iliyotolewa inapaswa kugunduliwa.

Pia ni lazima kuzingatia aina mbalimbali za uwezekano wa aina tofauti za ulinganifu.

Muhimu sawa ni uzingatiaji mkali kwa hatua za kimantiki katika hoja na ulinganifu.

Kwa kawaida, ulinganifu hutuwezesha kuanzisha tu hali muhimu, na kisha tunahitaji kuangalia utoshelevu wao.

Mfano Pata maadili yote ya paramu ambayo equation ina suluhisho la kipekee.

Suluhisho. Kumbuka kwamba na ni vitendaji hata, kwa hivyo upande wa kushoto wa equation ni kazi sawa.

Hii ina maana kwamba ikiwa kuna ufumbuzi wa equation, basi kuna pia ufumbuzi wa equation. Ikiwa ndio suluhisho pekee la equation, basi muhimu , .

Tutachagua inawezekana maadili, inayohitaji kuwa mzizi wa equation.

Wacha tuangalie mara moja kuwa maadili mengine hayawezi kukidhi hali ya shida.

Lakini bado haijajulikana ikiwa wote waliochaguliwa wanakidhi masharti ya kazi hiyo.

Utoshelevu.

1), equation itachukua fomu .

2), equation itachukua fomu:

Ni dhahiri kwamba, kwa kila mtu na . Kwa hivyo, equation ya mwisho ni sawa na mfumo:

Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa kwa , equation ina suluhisho la kipekee.

Jibu. .

Suluhisho na uchunguzi wa utendakazi

Mfano Thibitisha kuwa suluhisho zote za equation

Nambari nzima.

Suluhisho. Kipindi kikuu cha mlingano wa awali ni. Kwa hivyo, kwanza tunachunguza equation hii kwa muda.

Wacha tubadilishe equation kuwa fomu:

Kwa kutumia microcalculator tunapata:

Ikiwa , basi kutoka kwa usawa uliopita tunapata:

Baada ya kusuluhisha equation inayosababisha, tunapata: .

Hesabu zilizofanywa hufanya iwezekane kudhani kuwa mizizi ya equation ya sehemu ni , na .

Uchunguzi wa moja kwa moja unathibitisha dhana hii. Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa mizizi ya equation ni integers tu, .

Mfano Tatua mlinganyo .

Suluhisho. Wacha tupate kipindi kuu cha equation. Chaguo la kukokotoa lina kipindi cha msingi sawa na . Kipindi kikuu cha kazi ni. Kizidishio kidogo cha kawaida cha na ni sawa na . Kwa hiyo, kipindi kikuu cha equation ni. Hebu .

Kwa wazi, ni suluhisho la equation. Kwa muda. Kazi ni hasi. Kwa hiyo, mizizi mingine ya equation inapaswa kutafutwa tu kwa vipindi x na.

Kutumia microcalculator, tunapata kwanza maadili ya takriban ya mizizi ya equation. Ili kufanya hivyo, tunakusanya meza ya maadili ya kazi kwa vipindi na; yaani kwenye vipindi na.

Kutoka kwa meza hypotheses zifuatazo zinaonekana kwa urahisi: mizizi ya equation ya sehemu ni namba:; ; . Uchunguzi wa moja kwa moja unathibitisha dhana hii.

Jibu. ; ; .

Kutatua usawa wa trigonometric kwa kutumia duara ya kitengo

Wakati wa kutatua usawa wa trigonometric wa fomu , ambapo ni moja ya kazi za trigonometric, ni rahisi kutumia mduara wa trigonometric ili kuwakilisha kwa uwazi zaidi ufumbuzi wa usawa na kuandika jibu. Njia kuu ya kutatua usawa wa trigonometric ni kupunguza kwa usawa rahisi zaidi wa aina. Hebu tuangalie mfano wa jinsi ya kutatua usawa huo.

Mfano Tatua ukosefu wa usawa.

Suluhisho. Wacha tuchore mduara wa trigonometric na uweke alama juu yake alama ambazo mratibu huzidi .

Suluhisho la ukosefu huu wa usawa litakuwa. Pia ni wazi kwamba ikiwa nambari fulani inatofautiana na nambari yoyote kutoka kwa muda uliowekwa na , basi itakuwa pia si chini ya . Kwa hiyo, unahitaji tu kuongeza mwisho wa sehemu ya suluhisho iliyopatikana. Hatimaye, tunapata kwamba suluhu za ukosefu wa usawa wa awali zitakuwa zote .

Jibu. .

Ili kutatua usawa na tangent na cotangent, dhana ya mstari wa tangents na cotangents ni muhimu. Hizi ni mistari ya moja kwa moja na, kwa mtiririko huo (katika Kielelezo (1) na (2)), tangent kwa mzunguko wa trigonometric.

Ni rahisi kuona kwamba ikiwa tutaunda ray na asili yake kwa asili ya kuratibu, kutengeneza pembe na mwelekeo mzuri wa mhimili wa abscissa, basi urefu wa sehemu kutoka kwa uhakika hadi hatua ya makutano ya ray hii na. mstari wa tangent ni sawa kabisa na tangent ya pembe ambayo ray hii hufanya na mhimili wa abscissa. Uchunguzi sawa hutokea kwa cotangent.

Mfano Tatua ukosefu wa usawa.

Suluhisho. Hebu tuonyeshe , basi usawa utachukua fomu rahisi zaidi:. Hebu tuchunguze muda wa urefu sawa na kipindi chanya kidogo zaidi (LPP) cha tanjenti. Kwenye sehemu hii, kwa kutumia mstari wa tangents, tunaanzisha kwamba . Hebu sasa tukumbuke kile kinachohitaji kuongezwa tangu utendaji wa NPP. Kwa hiyo, . Kurudi kwa kutofautisha, tunapata hiyo.

Jibu. .

Ni rahisi kutatua usawa na kazi za trigonometric kinyume kwa kutumia grafu za kazi za trigonometric kinyume. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.

Kutatua usawa wa trigonometric graphically

Kumbuka kwamba ikiwa --- ni kazi ya mara kwa mara, basi ili kutatua usawa ni muhimu kupata suluhisho lake kwenye sehemu ambayo urefu wake ni sawa na kipindi cha kazi. Suluhisho zote za usawa wa asili zitajumuisha maadili yaliyopatikana, pamoja na yale yote ambayo yanatofautiana na yale yanayopatikana na idadi kamili ya vipindi vya chaguo la kukokotoa.

Hebu fikiria suluhisho la usawa ().

Tangu , basi ukosefu wa usawa hauna suluhu. Ikiwa , basi seti ya ufumbuzi wa kutofautiana ni seti ya nambari zote halisi.

Hebu . Kazi ya sine ina kipindi chanya kidogo zaidi, kwa hivyo usawa unaweza kutatuliwa kwanza kwenye sehemu ya urefu, kwa mfano, kwenye sehemu. Tunaunda grafu za kazi na (). hutolewa kwa kutofautiana kwa fomu: na, kutoka wapi,

Katika kazi hii, njia za kutatua equations za trigonometric na usawa, wote rahisi na ngazi ya Olympiad, zilizingatiwa. Mbinu kuu za kusuluhisha milinganyo ya trigonometriki na ukosefu wa usawa zilizingatiwa, zote mbili mahususi --- sifa pekee za milinganyo ya trigonometriki na ukosefu wa usawa --- na mbinu za kiutendaji za jumla za kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa kuhusiana na milinganyo ya trigonometriki.

Thesis hutoa maelezo ya msingi ya kinadharia: ufafanuzi na mali ya kazi za trigonometric na inverse trigonometric; kuelezea kazi za trigonometric kwa suala la kazi zingine za trigonometric, ambayo ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo ya trigonometric, haswa zile zilizo na kazi za trigonometric kinyume; Kando na fomula za msingi za trigonometriki, zinazojulikana sana kutoka kwa kozi ya shule, fomula zimetolewa ambazo hurahisisha usemi ulio na vitendaji kinyume vya trigonometriki. Suluhisho la milinganyo ya msingi ya trigonometriki, mbinu ya uainishaji, na mbinu za kupunguza milinganyo ya trigonometriki hadi zile za aljebra huzingatiwa. Kwa sababu ya ukweli kwamba suluhisho za equations za trigonometric zinaweza kuandikwa kwa njia kadhaa, na aina ya suluhisho hizi hairuhusu mtu kuamua mara moja ikiwa suluhisho hizi ni sawa au tofauti, mpango wa jumla wa kutatua equations za trigonometric huzingatiwa na mabadiliko. ya makundi ya ufumbuzi wa jumla wa equations trigonometric inazingatiwa kwa undani. Njia za kutatua usawa wa msingi wa trigonometric, kwenye duara la kitengo na kwa njia ya picha, zinajadiliwa kwa undani. Mchakato wa kutatua usawa usio wa msingi wa trigonometric kupitia usawa wa kimsingi na njia ya vipindi, ambayo tayari inajulikana kwa watoto wa shule, imeelezewa. Suluhisho kwa kazi za kawaida za kuchagua mizizi hutolewa. Taarifa muhimu ya kinadharia ya kuchagua mizizi imetolewa: kugawanya seti ya nambari katika sehemu ndogo zisizounganishwa, kutatua milinganyo katika nambari kamili (diaphantine).

Matokeo ya nadharia hii inaweza kutumika kama nyenzo za kielimu katika utayarishaji wa kozi na nadharia, katika utayarishaji wa chaguzi za watoto wa shule, na kazi hiyo pia inaweza kutumika katika kuandaa wanafunzi kwa mitihani ya kuingia na upimaji wa kati.

Vygodsky Ya.Ya., Kitabu cha hisabati cha msingi. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Hisabati katika mtihani wa mdomo / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., milinganyo/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Warsha juu ya hisabati ya msingi / Litvinenko V.N.: Elimu, 1991.

Sharygin I.F., Kozi ya hiari katika hesabu: utatuzi wa shida / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Elimu, 1991.

Bardushkin V., milinganyo ya Trigonometric. Uchaguzi wa mizizi/B. Bardushkin, A. Prokofiev.// Hisabati, No. 12, 2005 p. 23--27.

Vasilevsky A.B., Kazi za kazi ya ziada katika hisabati/Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta ya Watu. 1988. --- 176 p.

Sapunov P. I., Mabadiliko na umoja wa makundi ya ufumbuzi wa jumla wa equations trigonometric / Sapunov P. I. // Elimu ya hisabati, toleo la 3, 1935.

Borodin P., Trigonometry. Nyenzo za mitihani ya kuingia katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow [maandishi]/P Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Hisabati No. 1, 2005 p. 36--48.

Samusenko A.V., Hisabati: Makosa ya kawaida ya waombaji: Mwongozo wa Marejeleo / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Higher School, 1991.

Azarov A.I., Njia za kazi na za picha za kutatua shida za mitihani / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.