Matatizo ya equation ya quadratic pia yanasomwa ndani mtaala wa shule na katika vyuo vikuu. Kwao tunamaanisha milinganyo ya fomu a*x^2 + b*x + c = 0, wapi x- kutofautiana, a, b, c - mara kwa mara; a<>0 . Kazi ni kupata mizizi ya equation.

Maana ya kijiometri ya equation ya quadratic

Grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo inawakilishwa na mlinganyo wa quadratic ni parabola. Suluhisho (mizizi) ya equation ya quadratic ni pointi za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa (x). Inafuata kwamba kuna kesi tatu zinazowezekana:
1) parabola haina pointi za makutano na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba iko kwenye ndege ya juu na matawi juu au chini na matawi chini. Katika hali hiyo, equation ya quadratic haina mizizi halisi (ina mizizi miwili tata).

2) parabola ina sehemu moja ya makutano na mhimili wa Ox. Hatua kama hiyo inaitwa vertex ya parabola, na equation ya quadratic ndani yake inapata thamani yake ya chini au ya juu. Katika kesi hii, equation ya quadratic ina mizizi moja halisi (au mizizi miwili inayofanana).

3) Kesi ya mwisho ni ya kuvutia zaidi katika mazoezi - kuna pointi mbili za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba kuna mizizi miwili halisi ya equation.

Kulingana na uchambuzi wa coefficients ya nguvu za vigezo, hitimisho la kuvutia linaweza kutolewa kuhusu kuwekwa kwa parabola.

1) Ikiwa mgawo a Juu ya sifuri basi parabola inaelekezwa na matawi yake juu, ikiwa ni hasi, matawi ya parabola yanaelekezwa chini.

2) Ikiwa mgawo b ni mkubwa kuliko sifuri, basi vertex ya parabola iko katika nusu ya kushoto ya ndege, ikiwa inachukua thamani hasi, basi kwa haki.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic

Hebu tuhamishe mara kwa mara kutoka kwa equation ya quadratic

kwa ishara sawa, tunapata usemi

Zidisha pande zote mbili kwa 4a

Ili kupata mraba kamili upande wa kushoto, ongeza b^2 pande zote mbili na ufanye mabadiliko

Kutoka hapa tunapata

Mfumo wa kibaguzi na mizizi ya mlingano wa quadratic

Ubaguzi ni thamani ya usemi mkali Ikiwa ni chanya, basi equation ina mizizi miwili halisi, iliyohesabiwa na fomula Wakati kibaguzi ni sifuri, mlinganyo wa quadratic una suluhisho moja (mizizi miwili inayolingana), ambayo inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa fomula iliyo hapo juu ya D=0 Wakati kibaguzi ni hasi, mlinganyo hauna mizizi halisi. Walakini, suluhisho la equation ya quadratic hupatikana kwenye ndege ngumu, na thamani yao inahesabiwa kwa kutumia formula.

Nadharia ya Vieta

Hebu tuzingatie mizizi miwili ya mlinganyo wa quadratic na tuunde mlingano wa quadratic kwa msingi wao nadharia ya Vieta yenyewe inafuata kwa urahisi kutoka kwa nukuu: ikiwa tunayo mlingano wa quadratic wa fomu. basi jumla ya mizizi yake ni sawa na mgawo p iliyochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ya equation ni sawa na neno la bure q. Uwakilishi wa fomula wa yaliyo hapo juu utaonekana kama Ikiwa katika mlinganyo wa kitamaduni a mara kwa mara ni nonzero, basi unahitaji kugawanya equation nzima nayo, na kisha utumie nadharia ya Vieta.

Factoring quadratic equation ratiba

Wacha kazi iwekwe: sababu ya equation ya quadratic. Ili kufanya hivyo, sisi kwanza kutatua equation (kupata mizizi). Ifuatayo, tunabadilisha mizizi iliyopatikana kwenye fomula ya upanuzi ya equation ya quadratic Hii itasuluhisha tatizo.

Matatizo ya equation ya quadratic

Jukumu la 1. Pata mizizi ya equation ya quadratic

x^2-26x+120=0 .

Suluhisho: Andika coefficients na ubadilishe katika fomula ya kibaguzi

Mzizi wa thamani iliyopewa ni sawa na 14, ni rahisi kupata na calculator, au kukumbuka kwa matumizi ya mara kwa mara, hata hivyo, kwa urahisi, mwishoni mwa makala nitakupa orodha ya mraba ya namba ambazo zinaweza kukutana mara nyingi katika matatizo hayo.
Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi

na tunapata

Jukumu la 2. Tatua mlinganyo

2x 2 +x-3=0.

Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic, andika coefficients na utafute kibaguzi.


Kwa kutumia fomula zinazojulikana tunapata mizizi ya equation ya quadratic

Jukumu la 3. Tatua mlinganyo

9x 2 -12x+4=0.

Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic. Kuamua mbaguzi

Tulipata kesi ambapo mizizi inalingana. Pata maadili ya mizizi kwa kutumia formula

Jukumu la 4. Tatua mlinganyo

x^2+x-6=0 .

Suluhisho: Katika hali ambapo kuna coefficients ndogo za x, inashauriwa kutumia nadharia ya Vieta. Kwa hali yake tunapata milinganyo miwili

Kutoka kwa hali ya pili tunaona kwamba bidhaa lazima iwe sawa na -6. Hii ina maana kwamba moja ya mizizi ni hasi. Tunayo jozi ifuatayo ya masuluhisho (-3;2), (3;-2) . Kuzingatia hali ya kwanza, tunakataa jozi ya pili ya ufumbuzi.
Mizizi ya equation ni sawa

Tatizo la 5. Tafuta urefu wa pande za mstatili ikiwa mzunguko wake ni 18 cm na eneo lake ni 77 cm 2.

Suluhisho: Nusu ya mzunguko wa mstatili ni sawa na jumla ya pande zake zilizo karibu. Wacha tuonyeshe x - upande mkubwa, kisha 18-x upande wake mdogo. Eneo la mstatili ni sawa na bidhaa ya urefu huu:
x(18-x)=77;
au
x 2 -18x+77=0.
Wacha tupate ubaguzi wa equation

Kuhesabu mizizi ya equation

Kama x=11, Hiyo 18's=7 , kinyume pia ni kweli (ikiwa x=7, basi 21's=9).

Tatizo la 6. Weka alama kwenye mlingano wa quadratic 10x 2 -11x+3=0.

Suluhisho: Wacha tuhesabu mizizi ya equation, kufanya hivyo tunapata kibaguzi

Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi na kuhesabu

Tunatumia fomula ya kuoza equation ya quadratic kwa mizizi

Kufungua mabano tunapata kitambulisho.

Mlinganyo wa quadratic wenye kigezo

Mfano 1. Kwa maadili gani ya parameter A , je equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ina mzizi mmoja?

Suluhisho: Kwa ubadilishaji wa moja kwa moja wa thamani a=3 tunaona kuwa haina suluhu. Ifuatayo, tutatumia ukweli kwamba kwa ubaguzi wa sifuri equation ina mzizi mmoja wa kuzidisha 2. Tuandike kibaguzi

Wacha tuirahisishe na tuilinganishe na sifuri

Tumepata equation ya quadratic kwa heshima na parameter a, suluhisho ambalo linaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia theorem ya Vieta. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa zao ni 12. Kwa utafutaji rahisi tunathibitisha kwamba nambari 3,4 zitakuwa mizizi ya equation. Kwa kuwa tayari tumekataa suluhisho a=3 mwanzoni mwa mahesabu, sahihi pekee itakuwa - a=4. Kwa hivyo, kwa = 4 equation ina mzizi mmoja.

Mfano 2. Kwa maadili gani ya parameter A , mlinganyo a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ina mizizi zaidi ya moja?

Suluhisho: Wacha kwanza tuzingatie alama za umoja, zitakuwa maadili a=0 na a=-3. Wakati a=0, mlinganyo utarahisishwa kwa fomu 6x-9=0; x=3/2 na kutakuwa na mzizi mmoja. Kwa = -3 tunapata kitambulisho 0=0.
Hebu tuhesabu ubaguzi

na kupata thamani ya a ambayo ni chanya

Kutoka kwa hali ya kwanza tunapata > 3. Kwa pili, tunapata ubaguzi na mizizi ya equation


Hebu tubaini vipindi ambapo chaguo za kukokotoa huchukua maadili chanya. Kwa kubadilisha nukta a=0 tunayopata 3>0 . Kwa hivyo, nje ya muda (-3;1/3) chaguo la kukokotoa ni hasi. Usisahau uhakika a=0, ambayo inapaswa kutengwa kwa sababu equation asili ina mzizi mmoja ndani yake.
Matokeo yake, tunapata vipindi viwili vinavyokidhi hali ya tatizo

Kutakuwa na kazi nyingi zinazofanana katika mazoezi, jaribu kufikiria kazi mwenyewe na usisahau kuzingatia hali ambazo ni za kipekee. Jifunze fomula za suluhisho vizuri milinganyo ya quadratic, zinahitajika mara nyingi katika mahesabu katika kazi na sayansi mbali mbali.

Ubaguzi ni neno lenye thamani nyingi. Katika makala hii tutazungumza juu ya ubaguzi wa polynomial, ambayo hukuruhusu kuamua ikiwa polynomial iliyotolewa ina suluhisho halali. Fomula ya quadratic polynomial inapatikana katika kozi ya shule ya aljebra na uchambuzi. Jinsi ya kupata ubaguzi? Ni nini kinachohitajika kutatua equation?

Polynomial ya quadratic au equation ya shahada ya pili inaitwa i * w ^ 2 + j * w + k ni sawa na 0, ambapo “i” na “j” ni viambajengo vya kwanza na vya pili, mtawalia, “k” ni neno lisilobadilika, ambalo wakati mwingine huitwa “neno la kukataa,” na “w” ni kutofautiana. Mizizi yake itakuwa maadili yote ya kutofautisha ambayo inageuka kuwa kitambulisho. Usawa kama huo unaweza kuandikwa upya kama bidhaa ya i, (w - w1) na (w - w2) sawa na 0. Katika kesi hii, ni dhahiri kwamba ikiwa mgawo "i" hautakuwa sifuri, basi kazi kwenye upande wa kushoto utakuwa sufuri ikiwa tu x itachukua thamani w1 au w2. Thamani hizi ni matokeo ya kuweka polynomial sawa na sifuri.

Ili kupata thamani ya kutofautisha ambapo polynomial ya quadratic inatoweka, tumia muundo msaidizi, iliyojengwa juu ya coefficients yake na kuitwa kibaguzi. Muundo huu umehesabiwa kulingana na formula D sawa na j * j - 4 * i * k. Kwa nini inatumika?

1. Anasema wapo matokeo halali.
2. Yeye husaidia kuhesabu.

Thamani hii inaonyeshaje uwepo wa mizizi halisi:

• Ikiwa ni chanya, basi mizizi miwili inaweza kupatikana katika eneo la namba halisi.
• Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi suluhisho zote mbili ni sawa. Tunaweza kusema kuwa kuna suluhisho moja tu, na ni kutoka kwa uwanja wa nambari halisi.
• Ikiwa kibaguzi ni chini ya sifuri, basi polynomial haina mizizi halisi.

Chaguzi za hesabu za kupata nyenzo

Kwa jumla (7 * w^2; 3 * w; 1) sawa na 0 Tunahesabu D kwa kutumia formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, tunapata -19. Thamani ya kibaguzi chini ya sifuri inaonyesha kuwa hakuna matokeo kwenye mstari halisi.

Ikiwa tutazingatia 2 * w^2 - 3 * w + 1 sawa na 0, kisha D inakokotolewa kama (-3) mraba ukiondoa bidhaa ya nambari (4; 2; 1) na sawa na 9 - 8, yaani, 1. Thamani chanya anasema kuna matokeo mawili kwenye mstari halisi.

Ikiwa tutachukua jumla (w ^ 2; 2 * w; 1) na kuilinganisha na 0, D inakokotolewa kama miraba miwili ukiondoa bidhaa ya nambari (4; 1; 1). Usemi huu utarahisisha hadi 4 - 4 na kwenda hadi sifuri. Inatokea kwamba matokeo ni sawa. Ukiangalia kwa makini formula hii, basi itakuwa wazi kuwa hii ni "mraba kamili". Hii ina maana kwamba usawa unaweza kuandikwa tena kwa fomu (w + 1) ^ 2 = 0. Ikawa dhahiri kwamba matokeo katika tatizo hili ni "-1". Katika hali ambapo D ni sawa na 0, upande wa kushoto wa usawa unaweza kukunjwa kila wakati kwa kutumia fomula ya "mraba wa jumla".

Kutumia kibaguzi katika kuhesabu mizizi

Ujenzi huu wa msaidizi hauonyeshi tu idadi ya ufumbuzi halisi, lakini pia husaidia kupata yao. Fomula ya jumla ya hesabu ya equation ya shahada ya pili ni:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ambapo d ndiye kibaguzi kwa nguvu ya 1/2.

Tuseme ubaguzi uko chini alama ya sifuri, basi d ni ya kufikirika na matokeo yake ni ya kufikirika.

D ni sifuri, kisha d sawa na D kwa nguvu ya 1/2 pia ni sifuri. Suluhisho: -j / (2 * i). Tena kwa kuzingatia 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, tunapata matokeo sawa na -2 / (2 * 1) = -1.

Tuseme D > 0, basi d ni nambari halisi, na jibu hapa linagawanyika katika sehemu mbili: w1 = (-j + d) / (2 * i) na w2 = (-j - d) / (2 * i) ). Matokeo yote mawili yatakuwa halali. Hebu tuangalie 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Hapa kibaguzi na d ni moja. Inatokea kwamba w1 ni sawa na (3 + 1) imegawanywa na (2 * 2) au 1, na w2 ni sawa na (3 - 1) imegawanywa na 2 * 2 au 1/2.

Matokeo ya kusawazisha usemi wa quadratic hadi sifuri huhesabiwa kulingana na algorithm:

1. Kuamua idadi ya suluhisho halali.
2. Hesabu d = D^(1/2).
3. Kupata matokeo kulingana na formula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Kubadilisha matokeo yaliyopatikana kwa usawa wa asili kwa uthibitishaji.

Baadhi ya kesi maalum

Kulingana na mgawo, suluhisho linaweza kurahisishwa kwa kiasi fulani. Kwa wazi, ikiwa mgawo wa kutofautiana kwa nguvu ya pili ni sifuri, basi usawa wa mstari unapatikana. Wakati mgawo wa kutofautisha kwa nguvu ya kwanza ni sifuri, basi chaguzi mbili zinawezekana:

1. polynomial inapanuliwa kuwa tofauti ya mraba wakati neno la bure ni hasi;
2. kwa chanya mara kwa mara, hakuna masuluhisho ya kweli yanaweza kupatikana.

Ikiwa neno la bure ni sifuri, basi mizizi itakuwa (0; -j)

Lakini kuna kesi zingine maalum ambazo hurahisisha kupata suluhisho.

Ilipunguza mlinganyo wa shahada ya pili

Iliyopewa inaitwa vile quadratic trinomial, ambapo mgawo mbele ya neno la kuongoza ni moja. Kwa hali hii, nadharia ya Vieta inatumika, ambayo inasema kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa kutofautisha kwa nguvu ya kwanza, iliyozidishwa na -1, na bidhaa inalingana na "k" ya mara kwa mara.

Kwa hivyo, w1 + w2 ni sawa na -j na w1 * w2 ni sawa na k ikiwa mgawo wa kwanza ni mmoja. Ili kuthibitisha usahihi wa uwakilishi huu, unaweza kueleza w2 = -j - w1 kutoka kwa fomula ya kwanza na kuiweka katika usawa wa pili w1 * (-j - w1) = k. Matokeo yake ni usawa wa awali w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Ni muhimu kuzingatia, kwamba i * w ^ 2 + j * w + k = 0 inaweza kupatikana kwa kugawanya kwa "i". Matokeo yatakuwa: w^2 + j1 * w + k1 = 0, ambapo j1 ni sawa na j/i na k1 ni sawa na k/i.

Hebu tuangalie tayari kutatuliwa 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 na matokeo w1 = 1 na w2 = 1/2. Tunahitaji kugawanya kwa nusu, kwa matokeo w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Hebu tuangalie kwamba hali ya theorem ni kweli kwa matokeo yaliyopatikana: 1 + 1/2 = 3/ 2 na 1*1/2 = 1/2.

Hata sababu ya pili

Ikiwa kipengele cha kutofautisha kwa nguvu ya kwanza (j) kinaweza kugawanywa na 2, basi itawezekana kurahisisha formula na kutafuta suluhisho kwa njia ya robo ya kibaguzi D/4 = (j/2) ^ 2 - i * k. inageuka w = (-j +/- d/2) / i, ambapo d/2 = D/4 kwa nguvu ya 1/2.

Ikiwa i = 1, na mgawo j ni sawa, basi suluhisho litakuwa bidhaa ya -1 na nusu ya mgawo wa kutofautiana w, pamoja na / kuondoa mzizi wa mraba wa nusu hii ukiondoa "k" mara kwa mara. Mfumo: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Utaratibu wa juu wa kibaguzi

Ubaguzi wa utatu wa shahada ya pili uliojadiliwa hapo juu ndio unaotumika sana kesi maalum. Katika hali ya jumla, ubaguzi wa polynomial ni miraba iliyozidishwa ya tofauti za mizizi ya polynomia hii. Kwa hivyo, kibaguzi sawa na sifuri kinaonyesha uwepo wa angalau suluhisho mbili nyingi.

Fikiria i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Tuseme kibaguzi kinazidi sifuri. Hii ina maana kwamba kuna mizizi mitatu katika eneo la idadi halisi. Kwa sifuri kuna suluhisho nyingi. Ikiwa D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Video yetu itakuambia kwa undani kuhusu kuhesabu kibaguzi.

Hukupata jibu la swali lako? Pendekeza mada kwa waandishi.

Milinganyo ya quadratic. Mbaguzi. Suluhisho, mifano.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Aina za milinganyo ya quadratic

Mlinganyo wa quadratic ni nini? Je, inaonekana kama nini? Kwa muda mlinganyo wa quadratic neno kuu ni "mraba". Hii ina maana kwamba katika equation Lazima lazima kuwe na x'mraba. Kwa kuongezea, equation inaweza (au isiwe!) ina X tu (kwa nguvu ya kwanza) na nambari tu. (mwanachama huru). Na haipaswi kuwa na X kwa nguvu kubwa kuliko mbili.

Kwa maneno ya hisabati, equation ya quadratic ni equation ya fomu:

Hapa a, b na c- nambari kadhaa. b na c- yoyote kabisa, lakini A- kitu chochote isipokuwa sifuri. Kwa mfano:

Hapa A =1; b = 3; c = -4

Hapa A =2; b = -0,5; c = 2,2

Hapa A =-3; b = 6; c = -18

Kweli, unaelewa ...

Katika milinganyo hii ya quadratic upande wa kushoto kuna seti kamili wanachama. X yenye mraba yenye mgawo A, x kwa nishati ya kwanza yenye mgawo b Na mwanachama huru s.

Milinganyo kama hiyo ya quadratic inaitwa kamili.

Na kama b= 0, tunapata nini? Tuna X itapotea kwa nguvu ya kwanza. Hii hutokea inapozidishwa na sifuri.) Inageuka, kwa mfano:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Nakadhalika. Na ikiwa coefficients zote mbili b Na c ni sawa na sifuri, basi ni rahisi zaidi:

2x2 =0,

-0.3x 2 =0

Milinganyo kama hii ambapo kitu kinakosekana huitwa milinganyo ya quadratic isiyo kamili. Ambayo ni ya kimantiki kabisa.) Tafadhali kumbuka kuwa x squared iko katika milinganyo yote.

Kwa njia, kwa nini A haiwezi kuwa sawa na sifuri? Na wewe badala yake A sifuri.) X yetu yenye mraba itatoweka! Mlinganyo utakuwa mstari. Na suluhisho ni tofauti kabisa ...

Hiyo ndiyo aina zote kuu za milinganyo ya quadratic. Kamili na haijakamilika.

Kutatua milinganyo ya quadratic.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic.

Milinganyo ya quadratic ni rahisi kutatua. Kulingana na kanuni na sheria wazi, rahisi. Katika hatua ya kwanza, ni muhimu kupunguza equation iliyotolewa mtazamo wa kawaida, i.e. kwa fomu:

Ikiwa equation tayari imepewa kwako kwa fomu hii, huna haja ya kufanya hatua ya kwanza.) Jambo kuu ni kuamua kwa usahihi coefficients zote, A, b Na c.

Njia ya kupata mizizi ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:

Usemi chini ya ishara ya mizizi inaitwa kibaguzi. Lakini zaidi juu yake hapa chini. Kama unaweza kuona, kupata X, tunatumia tu a, b na c. Wale. mgawo kutoka kwa mlinganyo wa quadratic. Badilisha tu maadili kwa uangalifu a, b na c Tunahesabu katika fomula hii. Hebu tubadilishe kwa ishara zako mwenyewe! Kwa mfano, katika equation:

A =1; b = 3; c= -4. Kwa hivyo tunaandika:

Mfano unakaribia kutatuliwa:

Hili ndilo jibu.

Kila kitu ni rahisi sana. Na nini, unafikiri kuwa haiwezekani kufanya makosa? Kweli, ndio, jinsi ...

Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b na c. Au tuseme, sio kwa ishara zao (wapi kuchanganyikiwa?), lakini kwa uingizwaji wa maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Kinachosaidia hapa ni rekodi ya kina ya fomula na nambari maalum. Ikiwa kuna shida na mahesabu, fanya hivyo!

Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:

Hapa a = -6; b = -5; c = -1

Hebu tuseme unajua kwamba ni nadra kupata majibu mara ya kwanza.

Naam, usiwe wavivu. Itachukua kama sekunde 30 kuandika mstari wa ziada Na idadi ya makosa itapungua kwa kasi. Kwa hivyo tunaandika kwa undani, na mabano na ishara zote:

Inaonekana ni ngumu sana kuandika kwa uangalifu sana. Lakini inaonekana hivyo tu. Jaribu. Naam, au chagua. Nini bora, haraka au sawa? Zaidi ya hayo, nitakufanya uwe na furaha. Baada ya muda, hakutakuwa na haja ya kuandika kila kitu kwa uangalifu sana. Itageuka yenyewe. Hasa ikiwa unatumia mbinu za vitendo ambazo zimeelezwa hapa chini. Mfano huu mbaya na rundo la minuses inaweza kutatuliwa kwa urahisi na bila makosa!

Lakini, mara nyingi, milinganyo ya quadratic inaonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:

Je, uliitambua?) Ndiyo! Hii milinganyo ya quadratic isiyo kamili.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Wanaweza pia kutatuliwa kwa kutumia formula ya jumla. Unahitaji tu kuelewa kwa usahihi ni nini wao ni sawa na hapa. a, b na c.

Je, umeifahamu? Katika mfano wa kwanza a = 1; b = -4; A c? Haipo kabisa! Naam ndiyo, hiyo ni sawa. Katika hisabati hii ina maana kwamba c = 0 ! Ni hayo tu. Badala yake, badilisha sifuri kwenye fomula c, na tutafanikiwa. Sawa na mfano wa pili. Ni sisi tu hatuna sifuri hapa Na, A b !

Lakini milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi. Bila fomula yoyote. Hebu fikiria kwanza mlinganyo usio kamili. Unaweza kufanya nini kwa upande wa kushoto? Unaweza kuchukua X kutoka kwa mabano! Hebu tutoe nje.

Na nini kutoka kwa hii? Na ukweli kwamba bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa tu ikiwa sababu yoyote ni sawa na sifuri! Usiniamini? Sawa, basi njoo na nambari mbili zisizo za sifuri ambazo, zikizidishwa, zitatoa sifuri!
Haifanyi kazi? Ni hayo tu...
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa ujasiri: x 1 = 0, x 2 = 4.

Wote. Hizi zitakuwa mizizi ya equation yetu. Zote mbili zinafaa. Wakati wa kubadilisha yoyote yao kwenye mlinganyo wa asili, tunapata utambulisho sahihi 0 = 0. Kama unaweza kuona, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko kutumia fomula ya jumla. Hebu kumbuka, kwa njia, ambayo X itakuwa ya kwanza na ambayo itakuwa ya pili - isiyojali kabisa. Ni rahisi kuandika kwa mpangilio, x 1- ni nini ndogo na x 2- kile ambacho ni kikubwa zaidi.

Equation ya pili pia inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Sogeza 9 hadi upande wa kulia. Tunapata:

Yote iliyobaki ni kutoa mzizi kutoka 9, na ndivyo hivyo. Itageuka:

Pia mizizi miwili . x 1 = -3, x 2 = 3.

Hivi ndivyo milinganyo yote ya quadratic ambayo haijakamilika hutatuliwa. Ama kwa kuweka X nje ya mabano, au kwa kusogeza nambari kulia na kisha kutoa mzizi.
Ni ngumu sana kuchanganya mbinu hizi. Kwa sababu tu katika kesi ya kwanza italazimika kutoa mzizi wa X, ambao haueleweki kwa njia fulani, na katika kesi ya pili hakuna kitu cha kuchukua kutoka kwa mabano ...

Mbaguzi. Fomula ya kibaguzi.

Neno la uchawi kibaguzi ! Ni mara chache mwanafunzi wa shule ya upili hajasikia neno hili! Maneno "tunasuluhisha kupitia ubaguzi" yanatia moyo kujiamini na uhakikisho. Kwa sababu hakuna haja ya kutarajia ujanja kutoka kwa mbaguzi! Ni rahisi na haina shida kutumia.) Ninakukumbusha kuhusu fomula ya jumla ya kutatua yoyote milinganyo ya quadratic:

Usemi chini ya ishara ya mizizi huitwa kibaguzi. Kwa kawaida kibaguzi kinaonyeshwa na barua D. Fomula ya kibaguzi:

D = b 2 - 4ac

Na ni nini cha ajabu kuhusu usemi huu? Kwa nini ilistahili jina maalum? Nini maana ya kibaguzi? Baada ya yote -b, au 2a katika fomula hii hawaitaji kitu chochote ... Barua na barua.

Hili hapa jambo. Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia formula hii, inawezekana kesi tatu tu.

1. Mwenye ubaguzi ni chanya. Hii inamaanisha kuwa mzizi unaweza kutolewa kutoka kwake. Ikiwa mzizi umetolewa vizuri au hafifu ni swali tofauti. Kilicho muhimu ni kile kinachotolewa kwa kanuni. Kisha equation yako ya quadratic ina mizizi miwili. Suluhisho mbili tofauti.

2. Mbaguzi ni sifuri. Kisha utakuwa na suluhisho moja. Kwa kuwa kuongeza au kupunguza sifuri kwenye nambari haibadilishi chochote. Kwa kweli, hii sio mzizi mmoja, lakini mbili zinazofanana. Lakini, katika toleo lililorahisishwa, ni kawaida kuzungumza juu suluhisho moja.

3. Mbaguzi ni hasi. Mzizi wa mraba wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa. Naam, sawa. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.

Kwa kusema ukweli, lini suluhisho rahisi quadratic equations, dhana ya kibaguzi haihitajiki hasa. Tunabadilisha thamani za coefficients kwenye fomula na kuhesabu. Kila kitu kinatokea huko peke yake, mizizi miwili, moja, na hakuna. Hata hivyo, wakati wa kutatua kazi ngumu zaidi, bila ujuzi maana na fomula ya kibaguzi haitoshi. Hasa katika equations na vigezo. Milinganyo kama hii ni aerobatics kwa Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa!)

Kwa hiyo, jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kupitia mbaguzi uliyemkumbuka. Au ulijifunza, ambayo pia si mbaya.) Unajua jinsi ya kuamua kwa usahihi a, b na c. Je, unajua jinsi gani? kwa makini kuzibadilisha katika fomula ya mizizi na kwa makini hesabu matokeo. Unaelewa kuwa neno kuu hapa ni kwa makini?

Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa. Yale yale ambayo yanatokana na kutokujali... Ambayo baadae inakuwa chungu na kuudhi...

Uteuzi wa kwanza . Usiwe wavivu kabla ya kutatua equation ya quadratic na ulete kwa fomu ya kawaida. Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:

Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c. Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:

Na tena, usikimbilie! Minus mbele ya X yenye mraba inaweza kukukasirisha sana. Ni rahisi kusahau... Ondoa minus. Vipi? Ndio, kama ilivyofundishwa katika mada iliyotangulia! Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:

Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano. Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.

Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Kulingana na nadharia ya Vieta. Usiogope, nitaelezea kila kitu! Kuangalia jambo la mwisho mlinganyo. Wale. ile tuliyotumia kuandika kanuni ya mizizi. Ikiwa (kama katika mfano huu) mgawo a = 1, kuangalia mizizi ni rahisi. Inatosha kuwazidisha. Matokeo yanapaswa kuwa mwanachama huru, i.e. kwa upande wetu -2. Tafadhali kumbuka, sio 2, lakini -2! Mwanachama wa bure na ishara yako . Ikiwa haifanyi kazi, inamaanisha kuwa tayari wamejipanga mahali fulani. Tafuta hitilafu.

Ikiwa inafanya kazi, unahitaji kuongeza mizizi. Cheki ya mwisho na ya mwisho. Mgawo unapaswa kuwa b Na kinyume inayojulikana. Kwa upande wetu -1+2 = +1. Mgawo b, ambayo ni kabla ya X, ni sawa na -1. Kwa hivyo, kila kitu ni sawa!
Inasikitisha kwamba hii ni rahisi sana kwa mifano tu ambapo x squared ni safi, na mgawo a = 1. Lakini angalau angalia hesabu kama hizo! Kutakuwa na makosa machache na machache.

Mapokezi ya tatu . Ikiwa equation yako ina mgawo wa sehemu, ondoa sehemu! Zidisha mlinganyo kwa dhehebu la kawaida, kama ilivyoelezwa katika somo "Jinsi ya kutatua milinganyo? Mabadiliko yanayofanana." Wakati wa kufanya kazi na sehemu, makosa yanaendelea kuingia kwa sababu fulani ...

Kwa njia, niliahidi kurahisisha mfano mbaya na rundo la minuses. Tafadhali! Huyu hapa.

Ili sio kuchanganyikiwa na minuses, tunazidisha equation kwa -1. Tunapata:

Ni hayo tu! Kutatua ni furaha!

Kwa hiyo, hebu tufanye muhtasari wa mada.

Ushauri wa vitendo:

1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.

2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha equation nzima kwa -1.

3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima kwa sababu inayolingana.

4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Fanya!

Sasa tunaweza kuamua.)

Tatua milinganyo:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Majibu (katika hali mbaya):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - nambari yoyote

x 1 = -3
x 2 = 3

hakuna masuluhisho

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Je, kila kitu kinafaa? Kubwa! Milinganyo ya quadratic sio maumivu ya kichwa chako. Watatu wa kwanza walifanya kazi, lakini wengine hawakufanya? Halafu shida sio na hesabu za quadratic. Shida iko katika mabadiliko sawa ya equations. Angalia kiungo, ni muhimu.

Je, haifanyi kazi kabisa? Au haifanyi kazi hata kidogo? Kisha Sehemu ya 555 itakusaidia mifano hii yote. Imeonyeshwa kuu makosa katika suluhisho. Bila shaka, pia inazungumzia kuhusu matumizi mabadiliko ya utambulisho katika kutatua milinganyo mbalimbali. Inasaidia sana!

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Muhimu! Katika mizizi ya wingi hata kazi haibadilishi ishara.

Kumbuka! Ukosefu wowote usio na usawa kozi ya shule aljebra lazima zitatuliwe kwa kutumia mbinu ya muda.

Ninakupa maelezo ya kina algorithm ya kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda, kufuatia ambayo unaweza kuepuka makosa wakati kutatua usawa usio na usawa.

Kutatua milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi

Kama tunavyojua,

i 2 = - 1.

Wakati huo huo

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kwa hivyo, kuna angalau maadili mawili ya mzizi wa mraba wa - 1, ambayo ni i Na - i . Lakini labda kuna nambari zingine changamano ambazo miraba yake ni sawa na - 1?

Ili kufafanua swali hili, tuseme kwamba mraba wa nambari changamano a + bi ni sawa na - 1. Kisha

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Nambari mbili changamano ni sawa ikiwa na tu ikiwa sehemu zao halisi na coefficients ya sehemu zao za kufikiria ni sawa. Ndiyo maana

{	na 2- b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Kulingana na equation ya pili ya mfumo (1), angalau moja ya nambari A Na b lazima iwe sifuri. Kama b = 0, kisha kutoka kwa equation ya kwanza tunayopata A 2 = - 1. Idadi A halisi, na kwa hivyo A 2 > 0. Nambari isiyo hasi A 2 haiwezi kuwa sawa nambari hasi- 1. Kwa hiyo usawa b = 0 haiwezekani katika kesi hii. Inabakia kukubali hilo A = 0, lakini basi kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo tunapata: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Kwa hivyo, nambari changamano pekee ambazo miraba yake ni -1 ni i Na - i , Kawaida, hii imeandikwa katika fomu:

√-1 = ± i .

Kwa kutumia hoja zinazofanana, wanafunzi wanaweza kusadikishwa kuwa kuna nambari mbili haswa ambazo miraba yake ni sawa na nambari hasi - A . Nambari hizo ni √ ai na -√ ai . Kwa kawaida, imeandikwa kama hii:

√-A = ± √ ai .

Chini ya √ a hapa tunamaanisha hesabu, yaani, chanya, mzizi. Kwa mfano, √4 = 2, √9 =.3; Ndiyo maana

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Ikiwa mapema, wakati wa kuzingatia equations za quadratic na ubaguzi mbaya, tulisema kwamba equations hizo hazina mizizi, sasa hatuwezi kusema tena. Milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi ina mizizi changamano. Mizizi hii hupatikana kulingana na fomula zinazojulikana kwetu. Hebu, kwa mfano, tupewe equation x 2 + 2X + 5 = 0; Kisha

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi miwili: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Mizizi hii inaunganishwa kwa pande zote. Inafurahisha kutambua kuwa jumla yao ni - 2, na bidhaa zao ni 5, kwa hivyo nadharia ya Vieta inashikilia.

Dhana ya nambari changamano

Nambari changamano ni usemi wa umbo a + ib, ambapo a na b ni nambari zozote halisi, i ni nambari maalum inayoitwa kitengo cha kufikiria. Kwa misemo kama hii, dhana za usawa na shughuli za kuongeza na kuzidisha huletwa kama ifuatavyo:

1. Nambari mbili changamano a + ib na c + id zinasemekana kuwa sawa ikiwa na iwapo tu
   a = b na c = d.
2. Jumla ya nambari mbili changamano a + ib na c + id ni nambari changamano
   a + c + i (b + d).
3. Bidhaa ya nambari mbili changamano a + ib na c + id ni nambari changamano
   ac – bd + i (ad + bc).

Nambari tata mara nyingi huonyeshwa kwa herufi moja, kwa mfano z = a + ib. Nambari halisi a inaitwa sehemu halisi ya nambari changamano z, sehemu halisi inaashiria a = Re z. Nambari halisi b inaitwa sehemu ya kufikirika ya nambari changamano z, sehemu ya kufikirika inaashiria b = Im z. Majina haya yalichaguliwa kutokana na yafuatayo mali maalum nambari ngumu.

Kumbuka kuwa shughuli za hesabu kwenye nambari changamano za fomu z = a + i · 0 zinafanywa kwa njia sawa na kwenye nambari halisi. Kweli,

Kwa hivyo, nambari changamano za fomu a + i · 0 zinatambuliwa kwa asili na nambari halisi. Kwa sababu hii, nambari ngumu za aina hii huitwa tu halisi. Kwa hivyo, seti ya nambari halisi iko katika seti ya nambari ngumu. Seti ya nambari changamano inaonyeshwa na . Tumeanzisha hilo, yaani

Tofauti na nambari halisi, nambari za fomu 0 + ib zinaitwa za kufikiria tu. Mara nyingi huandika tu bi, kwa mfano, 0 + i 3 = 3 i. Nambari ya kufikiria tu i1 = 1 i = nina mali ya kushangaza:
Hivyo,

№ 4 .1. Katika hisabati, chaguo la kukokotoa la nambari ni chaguo la kukokotoa ambalo vikoa na thamani zake ni vikundi vidogo vya seti za nambari—kawaida seti ya nambari halisi au seti ya nambari changamano.

Grafu ya kipengele

Kipande cha grafu ya chaguo za kukokotoa

Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa

[hariri] Mbinu ya uchambuzi

Kwa kawaida, chaguo za kukokotoa hubainishwa kwa kutumia fomula inayojumuisha vigeu, utendakazi na vitendakazi vya msingi. Labda kazi piecewise, yaani, tofauti kwa maana tofauti hoja.

[hariri] Mbinu ya tabular

Chaguo za kukokotoa zinaweza kubainishwa kwa kuorodhesha hoja zake zote zinazowezekana na thamani zake. Baada ya hayo, ikiwa ni lazima, kazi inaweza kufafanuliwa zaidi kwa hoja ambazo hazipo kwenye meza, kwa kutafsiri au kuongeza. Mifano ni pamoja na mwongozo wa programu, ratiba ya treni, au jedwali la thamani za utendakazi za Boolean:

[hariri] Mbinu ya picha

Oscillogram huweka thamani ya chaguo za kukokotoa fulani kwa mchoro.

Chaguo za kukokotoa zinaweza kubainishwa kwa mchoro kwa kuonyesha seti ya pointi kwenye grafu yake kwenye ndege. Huu unaweza kuwa mchoro mbaya wa jinsi kitendakazi kinapaswa kuonekana, au usomaji unaochukuliwa kutoka kwa kifaa kama vile oscilloscope. Njia hii ya kubainisha inaweza kuteseka kutokana na ukosefu wa usahihi, lakini katika baadhi ya matukio njia nyingine za kubainisha haziwezi kutumika kabisa. Kwa kuongeza, njia hii ya kubainisha ni mojawapo ya uwakilishi zaidi, rahisi kuelewa na uchambuzi wa ubora wa heuristic wa kazi.

[hariri] Njia ya kujirudia

Chaguo la kukokotoa linaweza kubainishwa kwa kujirudia, yaani, kupitia yenyewe. Katika hali hii, baadhi ya thamani za utendakazi hubainishwa kupitia maadili yake mengine.

• factorial;
• Nambari za Fibonacci;
• Kazi ya Ackermann.

[hariri] Mbinu ya maneno

Chaguo za kukokotoa zinaweza kuelezewa katika maneno ya lugha asilia kwa njia fulani isiyo na utata, kwa mfano kwa kuelezea thamani zake za ingizo na pato, au kanuni za kukokotoa ambazo kazi ya kukokotoa hufafanua mawasiliano kati ya thamani hizi. Pamoja na kwa picha, wakati mwingine ni njia pekee eleza kazi, ingawa lugha asilia sio za kubainisha kama lugha rasmi.

• kazi ambayo inarudisha tarakimu katika pi kwa nambari yake;
• kazi ambayo inarudisha idadi ya atomi katika ulimwengu kwa wakati fulani;
• kazi ambayo huchukua mtu kama mabishano na kurudisha idadi ya watu watakaozaliwa baada ya mtu huyo kuzaliwa

Kwa mfano, kwa trinomial \(3x^2+2x-7\), kibaguzi kitakuwa sawa na \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Na kwa trinomial \(x^2-5x+11\), itakuwa sawa na \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Kibaguzi kinaonyeshwa na herufi \(D\) na mara nyingi hutumika katika kusuluhisha. Pia, kwa thamani ya kibaguzi, unaweza kuelewa jinsi grafu takriban inaonekana (tazama hapa chini).

Ubaguzi na mizizi ya equation

Thamani ya kibaguzi inaonyesha idadi ya milinganyo ya quadratic:
- ikiwa \(D\) ni chanya, equation itakuwa na mizizi miwili;
- ikiwa \(D\) ni sawa na sifuri - kuna mzizi mmoja tu;
- ikiwa \(D\) ni hasi, hakuna mizizi.

Hii haihitaji kufundishwa, si vigumu kufikia hitimisho kama hilo, kwa kujua tu kwamba kutoka kwa kibaguzi (yaani, \(\sqrt(D)\) imejumuishwa katika fomula ya kuhesabu mizizi ya equation. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) na \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Hebu tuangalie kila kisa kwa undani zaidi.

Ikiwa mbaguzi ni chanya

Katika kesi hii, mzizi wake ni baadhi nambari chanya, ambayo ina maana \(x_(1)\) na \(x_(2)\) itakuwa na maana tofauti, kwa sababu katika fomula ya kwanza \(\sqrt(D)\) imeongezwa, na ya pili imetolewa. Na tunayo mizizi miwili tofauti.

Mfano : Tafuta mizizi ya mlinganyo \(x^2+2x-3=0\)
Suluhisho :

Jibu : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ikiwa ubaguzi ni sifuri

Je, kutakuwa na mizizi mingapi ikiwa kibaguzi ni sifuri? Hebu tupe sababu.

Miundo ya mizizi inaonekana kama hii: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) na \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Na ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi mzizi wake pia ni sifuri. Kisha inageuka:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Hiyo ni, maadili ya mizizi ya equation yatakuwa sawa, kwa sababu kuongeza au kupunguza sifuri haibadilishi chochote.

Mfano : Tafuta mizizi ya mlinganyo \(x^2-4x+4=0\)
Suluhisho :

\(x^2-4x+4=0\)		Tunaandika coefficients:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Tunakokotoa kibaguzi kwa kutumia fomula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Kutafuta mizizi ya equation
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Tuna mizizi miwili inayofanana, kwa hivyo hakuna maana ya kuiandika kando - tunaiandika kama moja.

Jibu : \(x=2\)