\[(\Veľký(\text(Stredový a vpísaný uhol)))\]
Definície
Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol leží v strede kruhu.
Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol leží na kružnici.
Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňa stredového uhla, ktorý ho zviera.
Veta
Miera stupňa vpísaného uhla sa rovná polovici miery oblúka, na ktorom spočíva.
Dôkaz
Dôkaz vykonáme v dvoch etapách: najprv preukážeme platnosť tvrdenia pre prípad, keď jedna zo strán vpísaného uhla obsahuje priemer. Nech bod \(B\) je vrcholom vpísaného uhla \(ABC\) a \(BC\) je priemer kružnice:
Trojuholník \(AOB\) je rovnoramenný, \(AO = OB\) , \(\uhol AOC\) je vonkajší, potom \(\uhol AOC = \uhol OAB + \uhol ABO = 2\uhol ABC\), kde \(\uhol ABC = 0,5\cdot\uhol AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Teraz zvážte ľubovoľný vpísaný uhol \(ABC\) . Nakreslíme priemer kružnice \(BD\) z vrcholu vpísaného uhla. Existujú dva možné prípady:
1) priemer rozreže uhol na dva uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\) (pre každý z nich platí veta, ako je dokázané vyššie, teda platí aj pre pôvodný uhol, ktorý je súčtom týchto dva, a preto sa rovná polovici súčtu oblúkov, o ktoré sa opierajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva). Ryža. 1.
2) priemer nezorezal uhol do dvoch uhlov, potom máme ďalšie dva nové vpísané uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\), ktorých strana obsahuje priemer, preto pre nich platí veta, potom to platí aj pre pôvodný uhol (ktorý sa rovná rozdielu týchto dvoch uhlov, čo znamená, že sa rovná polovičnému rozdielu oblúkov, na ktorých spočívajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva) . Ryža. 2.
Dôsledky
1. Vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.
2. Vpísaný uhol zovretý polkruhom je pravý uhol.
3. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla zovretého rovnakým oblúkom.
\[(\Veľký(\text(Tečnica ku kruhu)))\]
Definície
Existujú tri typy relatívnych polôh čiary a kruhu:
1) priamka \(a\) pretína kružnicu v dvoch bodoch. Takáto čiara sa nazýva sečna. V tomto prípade je vzdialenosť \(d\) od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer \(R\) kruhu (obr. 3).
2) priamka \(b\) pretína kružnicu v jednom bode. Takáto priamka sa nazýva dotyčnica a ich spoločný bod \(B\) sa nazýva dotykový bod. V tomto prípade \(d=R\) (obr. 4).
Veta
1. Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku.
2. Ak priamka prechádza koncom polomeru kružnice a je kolmá na tento polomer, potom je dotyčnicou kružnice.
Dôsledok
Dotykové segmenty nakreslené z jedného bodu do kruhu sú rovnaké.
Dôkaz
Narysujme dve dotyčnice \(KA\) a \(KB\) ku kružnici z bodu \(K\):
To znamená, že \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sú ako polomery. Pravé trojuholníky\(\trojuholník KAO\) a \(\trojuholník KBO\) sú rovnaké v nohe a prepone, preto \(KA=KB\) .
Dôsledok
Stred kružnice \(O\) leží na osi uhla \(AKB\) tvoreného dvoma dotyčnicami vedenými z rovnakého bodu \(K\) .
\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa uhlov)))\]
Veta o uhle medzi sekansami
Uhol medzi dvoma sečnami nakreslenými z toho istého bodu sa rovná polovičnému rozdielu v mierach väčších a menších oblúkov, ktoré vyrežú.
Dôkaz
Nech \(M\) je bod, z ktorého sú nakreslené dva sečny, ako je znázornené na obrázku:
Ukážme to \(\uhol DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\uhol DAB\) – vonkajší roh trojuholník \(MAD\) , potom \(\uhol DAB = \uhol DMB + \uhol MDA\), kde \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA\), ale uhly \(\uhol DAB\) a \(\uhol MDA\) sú vpísané, potom \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), čo bolo potrebné dokázať.
Veta o uhle medzi pretínajúcimi sa tetivami
Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa tetivami sa rovná polovici súčtu mier stupňov oblúkov, ktoré vyrežú: \[\uhol CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Dôkaz
\(\uhol BMA = \uhol CMD\) ako vertikálny.
Z trojuholníka \(AMD\) : \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol BDA - \uhol CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
ale \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol CMD\), z čoho usudzujeme \[\uhol CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ úsmev\over(CD)).\]
Veta o uhle medzi tetivou a dotyčnicou
Uhol medzi dotyčnicou a tetivou prechádzajúcou bodom dotyku sa rovná polovici miery oblúka, ktorý tetiva zviera.
Dôkaz
Nech sa priamka \(a\) dotýka kružnice v bode \(A\), \(AB\) je tetiva tejto kružnice, \(O\) je jej stred. Nech priamka obsahujúca \(OB\) pretína \(a\) v bode \(M\) . Dokážme to \(\uhol BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Označme \(\uhol OAB = \alpha\) . Pretože \(OA\) a \(OB\) sú polomery, potom \(OA = OB\) a \(\uhol OBA = \uhol OAB = \alpha\). teda \(\buildrel\smile\over(AB) = \uhol AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Pretože \(OA\) je polomer nakreslený k bodu dotyčnice, potom \(OA\perp a\), teda \(\uhol OAM = 90^\circ\), preto, \(\uhol BAM = 90^\circ - \uhol OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Veta o oblúkoch ohraničených rovnakými akordmi
Rovnaké tetivy tvoria rovnaké oblúky menšie ako polkruhy.
A naopak: rovnaké oblúky sú podložené rovnakými akordmi.
Dôkaz
1) Nech \(AB=CD\) . Dokážme, že menšie polkruhy oblúka .
Na troch stranách teda \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Ale pretože \(\uhol AOB, \uhol COD\) - stredové uhly podopreté oblúkmi \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) podľa toho teda \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ak \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trojuholník AOB=\trojuholník COD\) na dve strany \(AO=BO=CO=DO\) a uhol medzi nimi \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Preto a \(AB=CD\) .
Veta
Ak polomer pretína tetivu, potom je na ňu kolmý.
Platí to aj naopak: ak je polomer kolmý na tetivu, potom ju v priesečníku pretína.
Dôkaz
1) Nech \(AN=NB\) . Dokážme, že \(OQ\perp AB\) .
Uvažujme \(\trojuholník AOB\) : je rovnoramenný, pretože \(OA=OB\) – polomery kružnice. Pretože \(ON\) je medián nakreslený k základni, potom je to aj výška, teda \(ON\perp AB\) .
2) Nech \(OQ\perp AB\) . Dokážme, že \(AN=NB\) .
Podobne \(\trojuholník AOB\) je rovnoramenný, \(ON\) je výška, teda \(ON\) je stred. Preto \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa dĺžok segmentov)))\]
Veta o súčine tetivových segmentov
Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.
Dôkaz
Nech sa akordy \(AB\) a \(CD\) pretnú v bode \(E\) .
Uvažujme trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) . V týchto trojuholníkoch sú uhly \(1\) a \(2\) rovnaké, pretože sú vpísané a spočívajú na rovnakom oblúku \(BD\) a uhly \(3\) a \(4\) sú rovnaké ako vertikálne. Trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) sú podobné (na základe prvého kritéria podobnosti trojuholníkov).
Potom \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), odkiaľ \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teoréma tangenty a sekansu
Štvorec dotyčnicového segmentu rovná produktu seč k jeho vonkajšej časti.
Dôkaz
Nechajte dotyčnicu prechádzať bodom \(M\) a dotknite sa kružnice v bode \(A\) . Nechajte sečnicu prechádzať bodom \(M\) a pretínajte kružnicu v bodoch \(B\) a \(C\) tak, aby \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Uvažujme trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) : \(\uhol M\) je bežný, \(\uhol BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Podľa vety o uhle medzi dotyčnicou a sečnicou, \(\uhol BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \uhol BCA\). Trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) sú teda podobné v dvoch uhloch.
Z podobnosti trojuholníkov \(MBA\) a \(MCA\) máme: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), čo je ekvivalent \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Dôsledok
Súčin sečnice vytiahnutej z bodu \(O\) jej vonkajšou časťou nezávisí od výberu sečny vytiahnutej z bodu \(O\) .
Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby, ktoré poskytujeme a poskytnúť vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Definícia. Dotyčnica ku kružnici je priamka v rovine, ktorá má s kružnicou práve jeden spoločný bod.
Tu je pár príkladov:
Kruh so stredom O dotýka priamky l v bode A
Odkiaľkoľvek M Mimo kruhu možno nakresliť presne dve dotyčnice 
Rozdiel medzi dotyčnicou l, sekanta B.C. a rovno m, ktorá nemá spoločné body s kružnicou Tu by sme mohli skončiť, ale prax ukazuje, že si definíciu nestačí len zapamätať – treba sa naučiť vidieť dotyčnice na výkresoch, poznať ich vlastnosti a navyše sa správne precvičiť v aplikácii týchto vlastností pri riešení reálnych problémov. Toto všetko urobíme dnes.
Základné vlastnosti dotyčníc
Ak chcete vyriešiť akýkoľvek problém, musíte poznať štyri kľúčové vlastnosti. Dve z nich sú popísané v akejkoľvek referenčnej knihe/učebnici, no na posledné dve sa akosi zabudlo, no márne.
1. Dotykové segmenty nakreslené z jedného bodu sú rovnaké
O niečo vyššie sme už hovorili o dvoch dotyčniciach nakreslených z jedného bodu M. Takže:
Dotykové segmenty ku kružnici nakreslenej z jedného bodu sú rovnaké.
Segmenty A.M. A B.M. rovný 2. Dotyčnica je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku
Pozrime sa znova na obrázok vyššie. Nakreslíme polomery O.A. A O.B., po ktorom zistíme, že uhly OAM A O.B.M.- rovný.
Polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na dotyčnicu.
Túto skutočnosť možno použiť bez dôkazu v akomkoľvek probléme:
Polomery nakreslené k dotyčnicovému bodu sú kolmé na dotyčnice Mimochodom, všimnite si: ak nakreslíte segment OM, potom dostaneme dva rovnaké trojuholníky: OAM A O.B.M..
3. Vzťah medzi dotyčnicou a sekantou
To je ale vážnejší fakt a väčšina školákov to nevie. Uvažujme dotyčnicu a sečnicu, ktoré prechádzajú rovnakým spoločným bodom M. Prirodzene, sekant nám poskytne dva segmenty: vnútri kruhu (segment B.C.- nazýva sa to aj akord) a vonku (tak to nazývajú - vonkajšia časť M.C.).
Súčin celej sečny a jej vonkajšej časti sa rovná druhej mocnine tečnového segmentu
Vzťah medzi sekantou a dotyčnicou 4. Uhol medzi dotyčnicou a tetivou
Ešte pokročilejší fakt, ktorý sa často využíva pri riešení zložitých problémov. Vrelo odporúčam dať do servisu.
Uhol medzi dotyčnicou a tetivou sa rovná vpísanému uhlu, ktorý zviera táto tetiva.
Odkiaľ pochádza pointa? B? V skutočných problémoch to zvyčajne „vyskočí“ niekde v stave. Preto je dôležité naučiť sa rozpoznávať túto konfiguráciu na výkresoch.
Niekedy na tom záleží :)