În ultimul tutorial video, am aflat că gradul unei anumite fundații este o expresie care este produsul fundației pe sine, luată într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operațiuni de putere.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Vă prezentăm integral această lucrare:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, după cum se poate vedea din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca produsul aceleiași baze (două) luate de 5 ori. Și într-adevăr, dacă numărați, atunci:

Astfel, este sigur să concluzionăm că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

O regulă similară funcționează bine pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate a înmulțirii gradului rezultă din regula păstrării valorii expresiilor în timpul transformărilor în produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a) x și (a) y este egal cu a (x + y). Cu alte cuvinte, atunci când sunt produse orice expresii cu aceeași bază, monomiul final are un grad total format prin adăugarea gradului primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și la multiplicarea mai multor expresii. Condiția principală este că motivele pentru toate sunt aceleași. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, într-adevăr, să efectuați acțiuni comune grad-lege cu două elemente de expresie, dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită similitudinii proceselor de multiplicare și divizare, regulile pentru adăugarea de puteri în produs sunt perfect transferate procedurii de divizare. Luați în considerare acest exemplu:

Să facem o transformare termen cu termen a expresiei la forma sa completă și să anulăm aceleași elemente din dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în cursul rezolvării acestuia, este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a două. Și două sunt obținute prin scăderea puterii celei de-a doua expresii din puterea primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate gradele naturale. Ca abstractizare, avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definiția pentru gradul zero rezultă din regula împărțirii acelorași baze cu grade. Evident, următoarea expresie este:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Pe de altă parte, dacă împărțim într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale fracției, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică una. Prin urmare, se acceptă în general că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu una:

Indiferent de valoarea unui.

Cu toate acestea, va fi absurd dacă 0 (pentru orice înmulțire, cel care dă este încă 0) este cumva egal cu unul, prin urmare, o expresie a formei (0) 0 (zero la gradul zero) pur și simplu nu are sens și pentru formula (a) 0 = 1 adăugați condiția: "dacă a nu este egal cu 0".

Să rezolvăm exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și este egală cu 34, valoarea totală va avea aceeași bază cu gradul (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: expresia este egală cu una.

Lecție pe tema: "Regulile înmulțirii și împărțirii gradelor cu aceiași și diferiți indicatori. Exemple"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să vă lăsați comentariile, recenziile, dorințele. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace de învățământ și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 7-a
Manual pentru manualul Yu.N. Manual Makarycheva pentru manual A.G. Mordkovich

Scopul lecției: învățați cum să efectuați acțiuni cu puteri de număr.

Pentru început, să reamintim conceptul de „grad al unui număr”. O expresie ca $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ poate fi reprezentată ca $ a ^ n $.

Conversa este, de asemenea, adevărată: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Această egalitate se numește „notația gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim gradele.
Tine minte:
A Este baza gradului.
n- exponent.
Dacă n = 1, deci, numărul A luat o dată și în consecință: $ ​​a ^ n = 1 $.
Dacă n = 0, apoi $ a ^ 0 = 1 $.

De ce se întâmplă acest lucru, putem afla când ne vom familiariza cu regulile înmulțirii și împărțirii puterilor.

Reguli de multiplicare

a) Dacă puterile cu aceeași bază sunt multiplicate.
Pentru a $ a ^ n * a ^ m $, scrieți gradele ca produs: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ ( m) $.
Figura arată că numărul A am luat n + m ori, apoi $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca la ridicarea unui număr la o putere mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dacă gradele sunt înmulțite cu baze diferite, dar același exponent.
Pentru $ a ^ n * b ^ n $, scrieți gradele ca produs: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Dacă schimbăm multiplicatorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Prin urmare, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Reguli de divizare

a) Baza gradului este aceeași, indicatorii sunt diferiți.
Luați în considerare împărțirea unui exponent cu un exponent mai mare prin împărțirea unui exponent cu un exponent mai mic.

Deci, este necesar $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, Unde n> m.

Să scriem puterile ca o fracție:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Pentru comoditate, vom scrie divizarea ca o fracție simplă.

Acum să anulăm fracția.

Se pare: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Mijloace, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Această proprietate va ajuta la explicarea situației prin ridicarea unui număr la o putere zero. Să presupunem că n = m, apoi $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Exemple.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că aveți nevoie de $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Să notăm puterile numerelor ca o fracție:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Pentru comoditate, să ne imaginăm.

Folosind proprietatea fracțiilor, împărțim fracția mare în produsul celor mici, obținem.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
În consecință: $ ​​\ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Exemplu.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare grade? Unde îți vor fi de folos? De ce trebuie să vă faceți timp pentru a le studia?

Pentru a afla totul despre grade, la ce servesc, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau USE și de intrarea în universitatea viselor voastre.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă în loc de formule vedeți tâmpenii, ștergeți memoria cache. Pentru aceasta, apăsați CTRL + F5 (pe Windows) sau Cmd + R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponențierea este aceeași operație matematică ca adunarea, scăderea, multiplicarea sau divizarea.

Acum voi explica totul în limbajul uman folosind exemple foarte simple. Fiți atenți. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola există? Așa este - 16 sticle.

Acum multiplicare.

Același exemplu cola poate fi scris diferit:. Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Mai întâi observă câteva modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” rapid. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cei opt oameni avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită multiplicare. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți tabelul de multiplicare... Poți, desigur, să faci totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabelul de înmulțire. Repeta.

Și altul, mai frumos:

Cu ce ​​alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicând un număr la o putere.

Creșterea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr de cinci ori singur, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la a cincea putere. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că gradul doi până la al cincilea este. Și rezolvă astfel de probleme în cap - mai repede, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faceți este amintiți-vă ce este evidențiat în tabelul puterilor numerelor... Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește al doilea grad pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Aceasta este o întrebare foarte bună. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplu de viață nr. 1

Să începem cu un pătrat sau a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină metru cu metru pătrat. Piscina este în casa ta la țară. Este cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar ... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu dale. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu, băgându-vă degetul, că fundul bazinului este format din cuburi de metru cu metru. Dacă aveți o țiglă metru cu metru, veți avea nevoie de bucăți. Este ușor ... Dar unde ai văzut astfel de dale? Plăcile vor fi mai degrabă cm cu cm. Și apoi veți fi chinuiți prin „numărarea degetului”. Atunci trebuie să te înmulțești. Deci, pe o parte a fundului bazinului, vom potrivi dale (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, dale. Înmulțind cu, veți obține plăci ().

Ați observat că am înmulțit același număr cu noi înșine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Odată ce același număr este înmulțit, putem folosi tehnica „exponențierii”. (Desigur, atunci când aveți doar două numere, le înmulțiți sau le ridicați la o putere. Dar dacă aveți multe dintre ele, creșterea la o putere este mult mai ușoară și există, de asemenea, mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci în gradul al doilea vor fi (). Sau puteți spune că treizeci de pătrate vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. În schimb, dacă vedeți un pătrat, este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o reprezentare a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul # 2 din viața reală

Iată o sarcină pentru dvs., numărați câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului ... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă, de asemenea. Pentru a le număra, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau ... dacă observați că tabla de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți păstra opt. Veți obține celule. () Asa de?

Exemplu de viață reală nr

Acum, cubul sau a treia putere a numărului. Același bazin. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va fi turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Apropo, volumele și lichidele sunt măsurate în metri cubi. Surprinzător, nu?) Desenați o piscină: fundul are un metru dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câți metri cubi pe metru va intra în piscina dvs.

Arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru ... douăzeci și doi, douăzeci și trei ... Cât s-a dovedit? Nu pierdut? Este dificil să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul bazinului, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea unul cu celălalt. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburile ... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă și-au simplificat și acest lucru. Au redus totul la o acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr este înmulțit de la sine ... Ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că puteți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat odată cu degetul, fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egale. Este scris astfel :.

Rămâne doar amintește-ți tabelul de grade... Cu excepția cazului în care, desigur, nu ești leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să greșești, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge, în cele din urmă, că gradele au fost inventate de tâmpeniți și oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele de viață și nu pentru a vă crea probleme, iată câteva exemple din viață.

Exemplu de viață nr

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion din fiecare milion. Adică, fiecare milion de-al tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea în ani? Dacă acum stați și „numărați cu degetul”, atunci sunteți o persoană foarte harnică și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești deștept! Deci, în primul an - de două ori doi ... în al doilea an - ceea ce s-a întâmplat a fost încă doi, în al treilea an ... Oprește-te! Ai observat că numărul se înmulțește de la sine o singură dată. Deci, două până la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și acele milioane vor fi primite de cel care calculează mai repede ... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce credeți?

Exemplu de viață nr

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigați încă doi din fiecare milion. Super, nu-i așa? La fiecare milion de triple. Câți bani vei avea în ani? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți-vă, apoi rezultatul cu altul ... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: de trei ori se înmulțește de la sine. Deci a patra putere este egală cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că puterea trei până la a patra este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei facilita viața. Să aruncăm o privire la ce puteți face cu gradele și ce trebuie să știți despre ele.

Termeni și concepte ... pentru a nu fi confuz

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care este „la vârful” puterii numărului. Nu științific, dar de înțeles și ușor de reținut ...

Ei bine, în același timp asta o asemenea bază de grad? Chiar mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată un desen pentru a fi sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a ne aminti mai bine ... Un grad cu o bază "" și un indicator "" se citește ca "în grad" și este scris după cum urmează:

Gradul de număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit până acum: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărarea la listarea obiectelor: unul, doi, trei ... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „punctul zero, cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt?

Numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte” se referă la numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu un semn minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a denota datoriile: dacă aveți ruble pe telefon, înseamnă că datorați ruble operatorului.

Orice fracții sunt numere raționale. Cum crezi că au apărut? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul său, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică un număr întreg și pozitiv).

1. Orice număr din prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătrat un număr înseamnă a-l înmulți singur:
3. A cubica un număr înseamnă a-l înmulți de trei ori:

Definiție. Creșterea unui număr la o putere naturală înseamnă multiplicarea numărului de la sine:
.

Proprietăți de putere

De unde provin aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este și ?

A-priorat:

Câți factori sunt în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la multiplicatori, iar totalul este multiplicatori.

Dar, prin definiție, este gradul unui număr cu un exponent, adică așa cum este necesar pentru a demonstra.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de menționat că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceleași baze!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămâne un factor separat:

doar pentru produsul de grade!

În niciun caz nu poți scrie asta.

2. adică -puterea unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să trecem la definiția gradului:

Se pare că expresia se înmulțește singură o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a numărului:

În esență, acest lucru poate fi numit „bracketing indicator”. Dar nu ar trebui să faceți acest lucru în total:

Să ne amintim formulele de multiplicare prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar acest lucru nu este adevărat, la urma urmei.

Grad cu bază negativă

Până în acest moment, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie fundamentul?

În grade cu indicator natural baza poate fi orice număr... Într-adevăr, putem înmulți orice numere între ele, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim la ce semne ("" sau "") vor avea puteri de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent de câte numere pozitive înmulțim unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar negativul este puțin mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „minus cu minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă ne înmulțim cu, funcționează.

Stabiliți singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sperăm că totul este clar? Ne uităm doar la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este nici atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce bază este egală - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Fundația nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de ușor!

6 exemple de antrenat

Analizarea soluției 6 exemple

În afară de gradul opt, ce vedem aici? Ne amintim programul clasei a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula multiplicării prescurtate, și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre multiplicatorii din numerator, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, regula ar putea fi aplicată.

Dar cum să faci asta? Se dovedește a fi foarte ușor: un grad uniform al numitorului ne ajută aici.

Termenii sunt inversați magic. Acest „fenomen” este aplicabil oricărei expresii într-o măsură uniformă: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important să ne amintim: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale opuse lor (adică luate cu semnul "") și numărul.

număr întreg pozitiv, dar nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să analizăm câteva cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr în gradul zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne punem întrebarea: de ce este așa?

Luați în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și cum a fost -. Și ce număr ar trebui să înmulțiți astfel încât să nu se schimbe nimic? Așa este, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr în gradul zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, ar trebui să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult te înmulțești singur, vei obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr în gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care dintre acestea este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la zero. Adică, acum nu putem împărți nu numai la zero, ci și ridica-l la o putere zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele și numerele naturale, numerele negative aparțin unor numere întregi. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem la fel ca ultima dată: înmulțiți un număr normal cu aceeași putere negativă:

De aici este deja ușor să exprimați ceea ce căutați:

Acum vom extinde regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, să formulăm o regulă:

Un număr din puterea negativă este invers cu același număr din puterea pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți la).

Să rezumăm:

I. Expresia nespecificată în caz. Daca atunci.

II. Orice număr până la gradul zero este egal cu unu :.

III. Un număr care nu este zero este în putere negativă inversă la același număr într-o putere pozitivă :.

Sarcini pentru o soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluția independentă:

Știu, știu, cifrele sunt groaznice, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvați aceste exemple sau analizați soluția lor dacă nu le-ați putea rezolva și veți învăța cum să le faceți față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem cercul numerelor „potrivite” ca exponent.

Acum ia în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este Grad fracționat, ia în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la putere:

Acum să ne amintim regula despre "Grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii a.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii a un număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică, rădăcina puterii este operația inversă a exponențierii :.

Se pare că. Evident, acest caz particular poate fi extins :.

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul se obține cu ușurință utilizând regula de la grad la grad:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, nu puteți extrage rădăcini de un nivel egal din numere negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracționată cu un numitor egal, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare problema.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții anulabile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci poți scrie. Dar dacă notăm indicatorul într-un mod diferit și din nou obținem o neplăcere: (adică avem un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai radix pozitiv cu exponent fracționat.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - un număr întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru conversia expresiilor înrădăcinate, de exemplu:

5 exemple de antrenat

Analiza a 5 exemple pentru instruire

Și acum cel mai greu. Acum vom analiza grad irațional.

Toate regulile și proprietățile de grade de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția lui

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem diplome cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am creat un fel de „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...numărul de putere zero- este, ca să zicem, un număr înmulțit cu el însuși o singură dată, adică încă nu a început să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut - prin urmare, rezultatul este doar un fel de „număr gol” ", și anume numărul;

...exponent negativ întreg- parcă ar fi avut loc un fel de „proces invers”, adică numărul nu a fost multiplicat de la sine, ci împărțit.

Apropo, în știință, este adesea folosit un grad cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURI că mergi! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți-vă:

Analiza soluțiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Uită-te acum la indicator. Îți amintește ceva? Ne amintim formula multiplicării prescurtate, diferența de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracții în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Să luăm, de exemplu:

Răspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie a formei :, unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Grad cu exponent natural (n = 1, 2, 3, ...)

Creșterea unui număr la o putere naturală n înseamnă multiplicarea numărului de la sine:

Grad întreg (0, ± 1, ± 2, ...)

Dacă exponentul este întreg pozitiv număr:

Erecție la zero:

Expresia este nedeterminată, pentru că, pe de o parte, în orice grad - acesta și, pe de altă parte - orice număr din gradul al treilea - acesta.

Dacă exponentul este negativ întreg număr:

(pentru că nu poți împărți la).

Încă o dată despre zerouri: expresia este nedefinită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Grad rațional

• - numar natural;
• - un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de putere

Pentru a face mai ușoară rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

A-priorat:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este puterea unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de menționat că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceleași baze. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă este - numai pentru produsul de grade!

În niciun caz nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să trecem la definiția gradului:

Să rearanjăm această piesă astfel:

Se pare că expresia se înmulțește singură o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a numărului:

În esență, acest lucru poate fi numit „bracketing indicator”. Dar nu ar trebui să faceți acest lucru în total :!

Să ne amintim formulele de multiplicare prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, la urma urmei.

Un grad cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar cum ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie fundamentul? În grade cu natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere între ele, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim la ce semne ("" sau "") vor avea puteri de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent de câte numere pozitive înmulțim unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar negativul este puțin mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „minus cu minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă ne înmulțim cu (), obținem -.

Și tot așa până la infinit: cu fiecare multiplicare ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula astfel de reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ ridicat la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
4. Zero pentru orice putere este egal cu zero.

Stabiliți singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Ne uităm doar la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este nici atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce bază este egală - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Fundația nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți acest lucru, devine clar că și, prin urmare, baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim una în cealaltă, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a examina ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

În afară de gradul opt, ce vedem aici? Ne amintim programul clasei a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula multiplicării prescurtate, și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre multiplicatorii din numerator, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, ar putea fi aplicată regula 3. Dar cum se poate face acest lucru? Se dovedește a fi foarte ușor: un grad uniform al numitorului ne ajută aici.

Dacă îl înmulțești cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum rezultă următoarele:

Termenii sunt inversați magic. Acest „fenomen” este aplicabil oricărei expresii într-o măsură uniformă: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important să ne amintim: toate semnele se schimbă în același timp! Nu poate fi înlocuit cu schimbarea unui singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci, acum ultima regulă:

Cum o vom dovedi? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Acum să deschidem parantezele. Câte scrisori vor fi? ori de multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operații multiplicare: existau doar multiplicatori. Adică este, prin definiție, gradul unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Grad irațional

Pe lângă informațiile despre gradele pentru nivelul intermediar, iată gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile de grade de aici sunt exact aceleași ca și pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (că este, numerele iraționale sunt toate numerele reale, cu excepția raționalului).

Când studiem diplome cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am creat un fel de „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la gradul zero este, ca să spunem așa, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică încă nu a început să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul însuși nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un tip de "număr necompletat", și anume numărul; un grad cu un exponent negativ întreg este ca și cum ar avea loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost multiplicat de la sine, ci împărțit.

Este extrem de dificil să ne imaginăm un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să ne imaginăm un spațiu 4-dimensional). Mai degrabă, este un obiect pur matematic creat de matematicieni pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință, este adesea folosit un grad cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem când vedem un exponent irațional? Încercăm cu toată puterea să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți-vă:

1)

2)

3)

Răspunsuri:

1. Ne amintim formula diferenței de pătrate. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:.
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradului:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELOR DE BAZĂ

Grad se numește o expresie a formei :, unde:

Grad întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică un număr întreg și pozitiv).

Grad rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționare.

Grad irațional

grad, al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de putere

Caracteristicile gradelor.

• Număr negativ ridicat la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ ridicat la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice grad.
• Orice număr până la gradul zero este egal.

ACUM CUVÂNTUL TĂU ...

Cum îți place articolul? Notați în comentarii, cum ar fi dacă vă place sau nu.

Spuneți-ne despre experiența dvs. cu proprietăți de grad.

Poate ai întrebări. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și noroc cu examenele tale!

Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a scrie și încearcă să o simplifice. A fost la fel cu operația de adăugare. Oamenii aveau nevoie să efectueze mai multe adăugiri de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur fiecare. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Datorită greutății sale, s-a crezut că reduce înregistrarea la 3 * 100 = 300. De fapt, înregistrarea „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați o sută se triplează și se adaugă împreună. Înmulțirea a prins rădăcini și a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc și, în Evul Mediu, a devenit necesar să se efectueze multiplicări multiple de același tip. Îmi amintesc de o veche enigmă indiană despre un înțelept care a cerut o bucată de grâu ca recompensă pentru munca sa: a cerut un bob pentru primul pătrat al tabloului de șah, două pentru al doilea, patru pentru al treilea, opt pentru al cincilea , si asa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire de grade, deoarece numărul de boabe a fost egal cu două la puterea numărului de celule. De exemplu, pe ultima celulă ar exista 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul enigmei.

Operația de ridicare la o putere a prins rădăcini destul de repede și, de asemenea, a devenit rapid necesară efectuarea adunării, scăderii, împărțirii și multiplicării puterilor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele pentru adăugarea de grade sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin dacă operația de alimentare este înlocuită cu înmulțirea. Dar mai întâi, trebuie să înțelegeți terminologia de bază. Expresia a ^ b (citiți „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a ar trebui să fie înmulțit cu el însuși b ori, iar „a” se numește baza gradului, iar „b” se numește exponentul puterii . Dacă bazele gradelor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu concret: găsiți valoarea expresiei 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Pentru a afla ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. După ce ați introdus această expresie în orice calculator online, un motor de căutare, tastând „multiplicarea de grade cu baze diferite și aceleași” sau un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum vom scrie această expresie: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 și 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Se pare că 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Se pare că produsul de grade cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două grade anterioare.

Ați putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în termeni generali, formula arată astfel: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Există, de asemenea, o regulă conform căreia orice număr în gradul zero este egal cu unul. Aici ar trebui să vă amintiți regula puterilor negative: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Adică, dacă 2 ^ 3 = 8, atunci 2 ^ (- 3) = 1/8. Folosind această regulă, putem demonstra egalitatea a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) poate fi anulat și rămâne doar unul. Din aceasta, se derivă și regula că coeficientul de grade cu aceleași baze este egal cu această bază la un grad egal cu coeficientul indicelui dividendului și al divizorului: a ^ n: a ^ m = a ^ ( nm). Exemplu: Simplificați expresia 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Înmulțirea este o operație comutativă, prin urmare, trebuie mai întâi să adăugați exponenții de multiplicare: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Apoi, trebuie să faceți față divizării cu un exponent negativ. Este necesar să se scadă indicele divizorului din indexul dividendului: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Se dovedește că operația de împărțire cu negativ gradul este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci, răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a gradelor. Înmulțirea gradelor cu baze diferite este foarte adesea mult mai dificilă și, uneori, chiar imposibilă. Ar trebui date câteva exemple de diverse tehnici posibile. Exemplu: simplificați expresia 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Evident, există o multiplicare a puterilor cu baze diferite. Dar, trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt grade diferite ale unui triplet. 9 = 3 ^ 2.1 = 3 ^ 4.3 = 3 ^ 5.9 = 3 ^ 6. Folosind regula (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Răspuns: 3 ^ 11. În cazurile în care există motive diferite, regula a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. În caz contrar, când există baze și indicatori diferiți, este imposibil să se facă o multiplicare completă. Uneori este posibil să simplificați parțial sau să recurgeți la ajutorul tehnologiei informatice.