Ebben a leckében egy lineáris egyenletrendszer megoldási módszereit vizsgáljuk meg. A felsőbb matematika kurzusában lineáris egyenletrendszereket kell megoldani mind különálló feladatok formájában, mint például „Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel”, mind pedig más feladatok megoldása során. A lineáris egyenletrendszerekkel a magasabb matematika szinte minden ágában foglalkozni kell.
Először is egy kis elmélet. Mit jelent ebben az esetben a „lineáris” matematikai szó? Ez azt jelenti, hogy a rendszer egyenletei Minden változókat tartalmaznak első fokon: minden olyan divatos cucc nélkül, mint pl 
stb., aminek csak a matematikai olimpiák résztvevői örülnek.
A felsőbb matematikában nemcsak a gyermekkorból ismert betűket használjuk a változók jelölésére.
Egy meglehetősen népszerű lehetőség az indexekkel rendelkező változók: .
Vagy a latin ábécé kezdőbetűi, kicsik és nagyok:
Nem olyan ritka, hogy megtaláljuk görög betűk: – sokan „alfa, béta, gamma” néven ismerik. És egy készlet indexekkel, mondjuk „mu” betűvel:
Egyik vagy másik betűkészlet használata attól függ, hogy a magasabb matematika melyik szakaszában állunk szemben lineáris egyenletrendszerrel. Így például az integrálok és differenciálegyenletek megoldása során felmerülő lineáris egyenletrendszerekben hagyományos a jelölés használata.
De bárhogyan is jelöljük a változókat, a lineáris egyenletrendszer megoldásának elvei, módszerei és módszerei nem változnak. Így ha valami ijesztő dologgal találkozol, mint például, ne rohanj félve becsukni a problémakönyvet, elvégre rajzolhatsz helyette a napot, helyette egy madarat és helyette egy arcot (a tanárt). És bármennyire is vicces, egy lineáris egyenletrendszer ezekkel a jelölésekkel is megoldható.
Van egy olyan érzésem, hogy a cikk elég hosszú lesz, szóval egy kis tartalomjegyzék. Tehát a szekvenciális „lekérdezés” a következő lesz:
– Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel („iskola módszer”);
– A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).;
– A rendszer megoldása Cramer-képletekkel;
– A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével;
– A rendszer megoldása Gauss-módszerrel.
Mindenki ismeri a lineáris egyenletrendszereket iskolai tanfolyam matematika. Lényegében az ismétléssel kezdjük.
Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel
Ez a módszer"iskolamódszernek" vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerének is nevezhető. Képletesen szólva „befejezetlen Gauss-módszernek” is nevezhető.
1. példa
Itt egy két egyenletrendszert adunk meg két ismeretlennel. Vegye figyelembe, hogy a szabad tagok (5-ös és 7-es számok) az egyenlet bal oldalán találhatók. Általánosságban elmondható, hogy nem mindegy, hogy hol vannak, a bal vagy a jobb oldalon, csak a felsőbb matematikai feladatokban gyakran így helyezkednek el. És egy ilyen felvétel szükség esetén nem vezethet zavarhoz, a rendszer mindig „szokás szerint” írható: . Ne felejtse el, hogy amikor egy kifejezést részről részre mozgat, meg kell változtatnia az előjelét.
Mit jelent lineáris egyenletrendszer megoldása? Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy számos megoldását megtaláljuk. Egy rendszer megoldása a benne szereplő összes változó értékeinek halmaza, ami a rendszer MINDEN egyenletét valódi egyenlőséggé változtatja. Ezen kívül a rendszer lehet nem ízületi (nincs megoldás).Ne aggódj, az általános meghatározás=) Csak egy „x” és egy „y” értékünk lesz, amelyek minden c-we egyenletet kielégítenek.
A rendszer megoldására létezik egy grafikus módszer, amellyel az órán ismerkedhet meg. A legegyszerűbb problémák egy vonallal. Ott beszéltem mértanilag két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel. De most ez az algebra, és a számok-számok, cselekvések-cselekmények korszaka.
Döntsünk: az első egyenletből kifejezzük:
A kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:
Kinyitjuk a zárójeleket és adunk hasonló kifejezésekés keresse meg az értéket: 
Ezután emlékezzünk arra, hogy minek táncoltunk:
Az értéket már ismerjük, csak meg kell találni:
Válasz:
Miután BÁRMELY egyenletrendszert BÁRMILYEN módon megoldottunk, erősen javaslom az ellenőrzést (szóban, piszkozaton vagy számológépen). Szerencsére ez egyszerűen és gyorsan megtörténik.
1) Helyettesítsd be a talált választ az első egyenletbe:
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
2) Helyettesítsd be a talált választ a második egyenletbe: 
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
Vagy egyszerűbben fogalmazva: „minden összejött”
A vizsgált megoldási módszer nem az egyetlen, amelyet az első egyenletből ki lehetett fejezni, és nem.
Megteheti az ellenkezőjét is – fejezzen ki valamit a második egyenletből, és helyettesítse be az első egyenletbe. Egyébként vegye figyelembe, hogy a négy módszer közül a leghátrányosabb az, ha a második egyenletből fejezzük ki:
Az eredmény tört, de miért? Van racionálisabb megoldás is.
Néhány esetben azonban továbbra sem nélkülözheti a törteket. Ezzel kapcsolatban szeretném felhívni a figyelmet arra, HOGYAN írtam le a kifejezést. Nem így: és semmi esetre sem így: 
.
Ha a felsőbb matematikában azzal van dolgod törtszámok, majd próbáljon meg minden számítást közönséges helytelen törtekben elvégezni.
Pontosan, és nem vagy!
A vessző csak néha használható, különösen akkor, ha ez egy probléma végső megoldása, és ezzel a számmal nem kell további műveleteket végrehajtani.
Sok olvasó valószínűleg azt gondolta: „miért csinálja ezt? részletes magyarázat, mint a korrekciós osztálynál, és így minden világos.” Semmi ilyesmi, olyan egyszerű iskolapéldának tűnik, de annyi NAGYON fontos következtetés van! Itt van még egy:
Törekednie kell arra, hogy minden feladatot a legracionálisabb módon hajtson végre. Már csak azért is, mert időt és idegeket takarít meg, és csökkenti a hibázás valószínűségét is.
Ha a felsőbb matematika feladatában két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszerrel találkozik, akkor mindig használhatja a helyettesítési módszert (hacsak nincs jelezve, hogy a rendszert más módszerrel kell megoldani). úgy gondolja, hogy balek vagy, és csökkenteni fogja az osztályzatát az „iskolai módszer” használata miatt.
Sőt, bizonyos esetekben célszerű a helyettesítési módszert alkalmazni, amikor több változók.
2. példa
Oldjon meg három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert!
Hasonló egyenletrendszer gyakran felmerül az úgynevezett határozatlan együtthatók módszerének alkalmazásakor, amikor egy tört racionális függvény integrálját találjuk. A kérdéses rendszert onnan vettem én.
Az integrál megtalálásakor a cél az gyors keresse meg az együtthatók értékeit, ahelyett, hogy Cramer-képleteket, inverz mátrix módszert stb. Ezért ebben az esetben a helyettesítési módszer megfelelő.
Bármilyen egyenletrendszer megadásakor mindenekelőtt azt kell kideríteni, hogy lehetséges-e valahogy AZONNAL egyszerűsíteni? A rendszer egyenleteit elemezve azt látjuk, hogy a rendszer második egyenlete osztható 2-vel, ezt tesszük:
Referencia: a matematikai jel azt jelenti, hogy „ebből az következik”, és gyakran használják a problémamegoldásban.
Most elemezzük az egyenleteket, néhány változót a többivel kell kifejeznünk. Melyik egyenletet válasszam? Valószínűleg már sejtette, hogy erre a célra a legegyszerűbb módja a rendszer első egyenletének felvétele:
Itt, függetlenül attól, hogy milyen változót kell kifejezni, ugyanolyan könnyen lehet kifejezni vagy .
Ezután behelyettesítjük a kifejezést a rendszer második és harmadik egyenletébe: 
Megnyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket mutatunk be: 
Osszuk el a harmadik egyenletet 2-vel: 
A második egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a harmadik egyenletbe:
Szinte minden készen van, a harmadik egyenletből ezt találjuk:
A második egyenletből: 
Az első egyenletből:
Ellenőrzés: Helyettesítse be a változók talált értékeit a rendszer egyes egyenleteinek bal oldalába:
1)
2)
3)
Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így a megoldás helyesen található.
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert 4 ismeretlennel!
Ez egy példa erre önálló döntés(válasz a lecke végén).
A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).
Lineáris egyenletrendszerek megoldása során nem az „iskolai módszert”, hanem a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadását (kivonását) kell alkalmazni. Miért? Ez időt takarít meg és leegyszerűsíti a számításokat, de most már minden világosabb lesz.
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:
Ugyanazt a rendszert vettem, mint az első példában.
Az egyenletrendszert elemezve azt látjuk, hogy a változó együtthatói nagyságrendjükben azonosak, előjelük pedig ellentétes (–1 és 1). Ilyen helyzetben az egyenleteket tagonként össze lehet adni: 
A pirossal bekarikázott cselekvéseket MENTÁLISAN hajtják végre.
Amint láthatja, a távonkénti összeadás eredményeként elvesztettük a változót. Valójában ez az, ami a módszer lényege az egyik változótól való megszabadulás.
Utasítás
Hozzáadás módja.
Kettőt kell szigorúan egymás alá írni:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Egy tetszőlegesen választott (a rendszerből) egyenletbe illessze be a 11-es számot a már megtalált „játék” helyett, és számítsa ki a második ismeretlent:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A válasz erre az egyenletrendszerre x=116, y=11.
Grafikus módszer.
Ez abból áll, hogy gyakorlatilag megtaláljuk annak a pontnak a koordinátáit, ahol az egyenesek matematikailag fel vannak írva egy egyenletrendszerbe. Mindkét egyenes grafikonját külön-külön, ugyanabban a koordinátarendszerben kell megrajzolni. Általános nézet: – y=khx+b. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pont koordinátáit megkeresni, és x-et tetszőlegesen választjuk ki.
Legyen adott a rendszer: 2x – y=4
I=-3x+1.
Az elsőből egyenest készítünk, a kényelem kedvéért fel kell írni: y=2x-4. Találjon ki (könnyebb) értékeket x-hez, helyettesítse be az egyenletbe, oldja meg, és keresse meg y-t. Két pontot kapunk, amelyek mentén egyenest szerkesztünk. (Lásd a képen)
x 0 1
y -4 -2
A második egyenlet segítségével egy egyenest szerkesztünk: y=-3x+1.
Készítsen egy egyenest is. (Lásd a képen)
y 1 -5
Keresse meg a grafikonon két megszerkesztett egyenes metszéspontjának koordinátáit (ha az egyenesek nem metszik egymást, akkor az egyenletrendszernek nincs - tehát).
Videó a témáról
Ha ugyanazt az egyenletrendszert hárommal oldjuk meg különböző utak, a válasz ugyanaz lesz (ha a megoldás helyes).
Források:
- 8. osztályos algebra
- oldjon meg egy egyenletet két ismeretlennel online
- Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására kettővel
Rendszer egyenletek matematikai rekordok gyűjteménye, amelyek mindegyike számos változót tartalmaz. Megoldásukat többféleképpen is meg lehet oldani.
Szükséged lesz
- - Vonalzó és ceruza;
- -számológép.
Utasítás
Tekintsük a rendszer megoldási sorozatát, amely a következő alakú lineáris egyenletekből áll: a1x + b1y = c1 és a2x + b2y = c2. Ahol x és y ismeretlen változók, b,c pedig szabad tagok. A módszer alkalmazásakor minden rendszer az egyes egyenleteknek megfelelő pontok koordinátáit reprezentálja. Először minden esetben fejezze ki az egyik változót egy másikkal. Ezután állítsa be az x változót tetszőleges számú értékre. Kettő elég. Helyettesítse be az egyenletet, és keresse meg y-t. Szerkesszünk egy koordináta-rendszert, jelöljük meg rajta a kapott pontokat, és húzzuk át egy vonalat. Hasonló számításokat kell végezni a rendszer többi része esetében is.
Egyedülálló megoldása van a rendszernek, ha a megszerkesztett egyenesek metszik egymást és egy közös pontjuk van. Nem kompatibilis, ha párhuzamosak egymással. És végtelenül sok megoldása van, amikor a vonalak összeolvadnak egymással.
Ez a módszer nagyon vizuálisnak tekinthető. A fő hátrány az, hogy a számított ismeretlenek hozzávetőleges értékkel rendelkeznek. Több pontos eredmény adjunk úgynevezett algebrai módszereket.
Az egyenletrendszer bármely megoldását érdemes ellenőrizni. Ehhez helyettesítse be a kapott értékeket a változók helyett. Megoldását több módszerrel is megtalálhatja. Ha a rendszer megoldása helyes, akkor mindenkinek egyforma kell lennie.
Gyakran előfordulnak olyan egyenletek, amelyekben az egyik kifejezés ismeretlen. Egy egyenlet megoldásához emlékeznie kell és végre kell hajtania egy bizonyos műveletsort ezekkel a számokkal.
Szükséged lesz
- - papír;
- - toll vagy ceruza.
Utasítás
Képzeld el, hogy 8 nyúl van előtted, és csak 5 sárgarépa van. Gondoljon bele, még mindig több sárgarépát kell vásárolnia, hogy minden nyúl kapjon egyet.
Mutassuk be ezt a problémát egyenlet formájában: 5 + x = 8. Helyettesítsük x helyett 3-at. Valóban, 5 + 3 = 8.
Amikor egy számot helyettesített x-szel, ugyanazt csinálta, mint amikor 8-ból kivont 5-öt. ismeretlen tag, vonja ki az ismert tagot az összegből.
Tegyük fel, hogy van 20 nyúl és csak 5 sárgarépa. Tegyük fel. Az egyenlet egy egyenlőség, amely csak a benne szereplő betűk bizonyos értékeire érvényes. Azokat a betűket, amelyek jelentését meg kell találni, nevezzük. Írj fel egy egyenletet egy ismeretlennel, nevezd x-nek. A nyúlfeladatunk megoldása során a következő egyenletet kapjuk: 5 + x = 20.
Határozzuk meg a 20 és 5 közötti különbséget. Kivonáskor az a szám, amelyikből kivonjuk, az a szám, amelyet csökkentünk. A kivont számot nevezzük, a végeredményt pedig különbségnek. Tehát x = 20 – 5; x = 15. 15 sárgarépát kell vásárolnia a nyulak számára.
Ellenőrzés: 5 + 15 = 20. Az egyenlet helyesen van megoldva. Persze mikor arról beszélünk az ilyen egyszerűekről nem szükséges ellenőrzést végezni. Ha azonban háromjegyű, négyjegyű stb. számokat tartalmazó egyenletei vannak, feltétlenül ellenőriznie kell, hogy teljesen biztos legyen a munkája eredményében.
Videó a témáról
Hasznos tanács
Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.
Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.
4. tipp: Hogyan oldjunk meg három egyenletrendszert három ismeretlennel
Egy három egyenletből álló rendszernek három ismeretlennel előfordulhat, hogy nincs megoldása, annak ellenére, hogy elegendő számú egyenlet van. Megpróbálhatja megoldani helyettesítési módszerrel vagy Cramer módszerével. A Cramer-módszer a rendszer megoldása mellett lehetővé teszi annak értékelését, hogy a rendszer megoldható-e, mielőtt megtalálná az ismeretlenek értékét.
Utasítás
A helyettesítési módszer abból áll, hogy szekvenciálisan szekvenciálisan egy ismeretlent két másikon át, és a kapott eredményt behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe. Adjunk meg egy három egyenletrendszert Általános nézet:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Fejezd ki x-et az első egyenletből: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - és helyettesítsd be a második és harmadik egyenletbe, majd fejezd ki y-t a második egyenletből és helyettesítsd be a harmadikba. A rendszeregyenletek együtthatóin keresztül z lineáris kifejezését kapja. Most menjen „visszafelé”: cserélje be z-t a második egyenletbe, és keresse meg y-t, majd cserélje be z-t és y-t az elsőbe, és oldja meg x-et. A folyamat általában az ábrán látható a z megtalálása előtt. Az általános formában történő további írás a gyakorlatban túl nehézkes lesz, a helyettesítéssel meglehetősen könnyen megtalálhatja mindhárom ismeretlent.
Cramer módszere egy rendszermátrix felépítéséből és ennek a mátrixnak a determinánsának kiszámításából áll, valamint három további segédmátrixból. A rendszermátrix az egyenletek ismeretlen tagjainak együtthatóiból áll. Az egyenletek jobb oldalán lévő számokat tartalmazó oszlop, a jobb oldali oszlopok oszlopa. A rendszerben nem, de a rendszer megoldása során használják.
Videó a témáról
jegyzet
A rendszerben lévő összes egyenletnek további információkat kell szolgáltatnia, függetlenül a többi egyenlettől. Ellenkező esetben a rendszer aluldefiniált lesz, és nem lehet egyértelmű megoldást találni.
Hasznos tanács
Az egyenletrendszer megoldása után cserélje be a talált értékeket az eredeti rendszerbe, és ellenőrizze, hogy az összes egyenletet kielégíti-e.
Magától az egyenlet hárommal ismeretlen sok megoldása van, ezért leggyakrabban két további egyenlettel vagy feltétellel egészül ki. A kiinduló adatoktól függően nagyban függ a döntés menete.
Szükséged lesz
- - három egyenletrendszer három ismeretlennel.
Utasítás
Ha a három rendszer közül kettőnek csak kettője van a három ismeretlen közül, próbáljon meg néhány változót a többivel kifejezni, és helyettesítse őket az egyenlet hárommal ismeretlen. A cél ebben az esetben az, hogy normálissá változtassa az egyenlet egy ismeretlen személlyel. Ha ez , akkor a további megoldás meglehetősen egyszerű - a talált értéket helyettesítse más egyenletekkel, és keresse meg az összes többi ismeretlent.
Egyes egyenletrendszerek kivonhatók egyik egyenletből a másikkal. Nézze meg, meg lehet-e szorozni az egyik vagy egy változót úgy, hogy két ismeretlen egyszerre törlődik. Ha van ilyen lehetőség, akkor nagy valószínűséggel a későbbi megoldás nem lesz nehéz. Ne feledje, hogy számmal való szorzáskor a bal és a jobb oldalt is meg kell szoroznia. Hasonlóképpen, az egyenletek kivonása során emlékezni kell arra jobb rész is le kell vonni.
Ha az előző módszerek nem segítettek, használja általános módon bármely hárommal rendelkező egyenlet megoldása ismeretlen. Ehhez írjuk át az egyenleteket a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 alakba. Most készítsünk együtthatómátrixot x-hez (A), ismeretlenek mátrixát (X) és szabad változók mátrixát (B). Vegye figyelembe, hogy az együtthatók mátrixát megszorozva az ismeretlenek mátrixával, szabad tagok mátrixát kapjuk, azaz A*X=B.
Keresse meg az A mátrixot a (-1) hatványhoz úgy, hogy először megtalálja , vegye figyelembe, hogy nem lehet egyenlő nullával. Ezt követően a kapott mátrixot megszorozzuk B mátrixszal, ennek eredményeként megkapjuk a kívánt X mátrixot, amely az összes értéket jelzi.
Három egyenletrendszerre is találhatunk megoldást Cramer módszerével. Ehhez keressük meg a rendszermátrixnak megfelelő ∆ harmadrendű determinánst. Ezután keressen meg egymás után három további determinánst: ∆1, ∆2 és ∆3, a megfelelő oszlopok értékei helyett a szabad tagok értékeit helyettesítve. Most keresse meg x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Források:
- három ismeretlent tartalmazó egyenletek megoldása
Amikor elkezd egy egyenletrendszer megoldását, derítse ki, milyen egyenletek ezek. A lineáris egyenletek megoldásának módszereit elég jól tanulmányozták. A nemlineáris egyenleteket legtöbbször nem oldják meg. Csak egy speciális eset van, amelyek mindegyike gyakorlatilag egyedi. Ezért a megoldási technikák tanulmányozását lineáris egyenletekkel kell kezdeni. Az ilyen egyenletek akár tisztán algoritmikusan is megoldhatók.
Utasítás
Kezdje a tanulási folyamatot azzal, hogy megtanulja, hogyan kell megoldani egy két lineáris egyenletrendszert két ismeretlen X és Y eliminációval. a11*X+a12*Y=bl (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Az egyenletek együtthatóit a helyüket jelző indexek jelzik. Így az a21 együttható azt a tényt hangsúlyozza, hogy a második egyenletben az első helyen szerepel. Az általánosan elfogadott jelölés szerint a rendszert egymás alatt elhelyezkedő egyenletek írják fel, és a jobb vagy bal oldali zárójelben együttesen jelölik (további részletekért lásd az 1a. ábrát).
Az egyenletek számozása tetszőleges. Válassza ki a legegyszerűbbet, például olyat, amelyben az egyik változó előtt 1-es együttható vagy legalább egy egész szám szerepel. Ha ez az (1) egyenlet, akkor a következőképpen fejezzük ki mondjuk az ismeretlen Y-t X-ben (Y kizárásának esete). Ehhez alakítsa át az (1)-et a12*Y=b1-a11*X (vagy X kizárása esetén a11*X=b1-a12*Y) alakra, majd Y=(b1-a11*X)/a12 . Ez utóbbit behelyettesítve a (2) egyenletbe, írjuk fel a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Oldja meg ezt az egyenletet X-re.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) vagy X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Az Y és X között talált kapcsolatot felhasználva végül megkapjuk a második ismeretlen Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).
Ha a rendszer meghatározott numerikus együtthatókkal lenne megadva, akkor a számítások kevésbé volnának körülményesek. De az általános megoldás lehetővé teszi annak a ténynek a figyelembevételét, hogy a talált ismeretlenek pontosan ugyanazok. Igen, és a számlálók bizonyos mintákat mutatnak a felépítésükben. Ha az egyenletrendszer dimenziója nagyobb lenne kettőnél, akkor az eliminációs módszer igen nehézkes számításokhoz vezetne. Ezek elkerülésére tisztán algoritmikus megoldásokat fejlesztettek ki. Ezek közül a legegyszerűbb a Cramer-algoritmus (Cramer-képletek). Mert ki kellene deríteni általános rendszer egyenletek n egyenletből.
Rendszer n lineáris algebrai egyenletek n ismeretlennel az alakja van (lásd 1a. ábra). Ebben az aij a rendszer együtthatói,
xj – ismeretlenek, bi – szabad tagok (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Egy ilyen rendszer kompaktan felírható AX=B mátrix formában. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, X az ismeretlenek oszlopmátrixa, B a szabad tagok oszlopmátrixa (lásd 1b. ábra). Cramer módszere szerint minden ismeretlen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Az együtthatómátrix determinánsát ∆ főnek, ∆i-t pedig segédnek nevezzük. Minden ismeretlen esetében a segéddeterminánst úgy találjuk meg, hogy a fődetermináns i-edik oszlopát szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük. A másod- és harmadrendű rendszerek esetében a Cramer-módszert részletesen az ábra mutatja be. 2.
A rendszer két vagy több egyenlőség kombinációja, amelyek mindegyike két vagy több ismeretlent tartalmaz. A felhasznált lineáris egyenletrendszerek megoldásának két fő módja van iskolai tananyag. Az egyiket módszernek, a másikat összeadási módszernek nevezik.
Két egyenletrendszer standard alakja
Nál nél alapforma az első egyenlet alakja a1*x+b1*y=c1, a második egyenlet alakja a2*x+b2*y=c2 és így tovább. Például a rendszer két része esetén mindkettő adott a1, a2, b1, b2, c1, c2 numerikus együttható, amely meghatározott egyenletekben van ábrázolva. Az x és y viszont olyan ismeretleneket jelöl, amelyek értékét meg kell határozni. A szükséges értékek mindkét egyenletet egyidejűleg valódi egyenlőséggé alakítják.A rendszer megoldása összeadásos módszerrel
A rendszer megoldásához, vagyis az x és y azon értékeinek megtalálásához, amelyek valódi egyenlőséggé alakítják őket, több egyszerű lépést kell megtennie. Ezek közül az első az, hogy bármelyik egyenletet úgy transzformáljuk, hogy az x vagy y változó numerikus együtthatói mindkét egyenletben azonos nagyságrendűek legyenek, de előjelükben eltérőek legyenek.Például tegyük fel, hogy egy két egyenletből álló rendszer adott. Közülük az első 2x+4y=8, a második 6x+2y=6 alakú. A feladat elvégzésének egyik lehetősége, hogy a második egyenletet megszorozzuk -2-es együtthatóval, ami a -12x-4y=-12 alakba vezeti. Az együttható helyes megválasztása az egyik kulcsfontosságú feladat az összeadásos módszerrel történő rendszermegoldás során, mivel ez határozza meg az ismeretlenek keresési eljárásának teljes további menetét.
Most össze kell adni a rendszer két egyenletét. Nyilvánvalóan az egyenlő értékű, de ellentétes előjelű együtthatójú változók kölcsönös megsemmisítése -10x=-4 alakot eredményez. Ezek után meg kell oldani ezt az egyszerű egyenletet, amiből egyértelműen következik, hogy x = 0,4.
A megoldási folyamat utolsó lépéseként az egyik változó talált értékét behelyettesítjük a rendszerben elérhető bármely eredeti egyenlőségbe. Például az x=0,4 behelyettesítésével az első egyenletbe a 2*0,4+4y=8 kifejezést kaphatjuk, amelyből y=1,8. Így x=0,4 és y=1,8 a példarendszer gyökerei.
Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a gyököket helyesen találta meg, célszerű ellenőrizni úgy, hogy a talált értékeket behelyettesíti a rendszer második egyenletébe. Például ebben az esetben 0,4*6+1,8*2=6 alakú egyenlőséget kapunk, ami helyes.
Videó a témáról
Megbízhatóbb, mint az előző bekezdésben tárgyalt grafikus módszer.
Helyettesítő módszer
Ezt a módszert 7. osztályban alkalmaztuk lineáris egyenletrendszerek megoldására. A 7. osztályban kidolgozott algoritmus nagyon alkalmas tetszőleges két egyenletrendszer (nem feltétlenül lineáris) két x és y változós rendszerének megoldására (természetesen a változókat más betűkkel is jelölhetjük, ami nem számít). Valójában ezt az algoritmust használtuk az előző bekezdésben, amikor egy kétjegyű szám problémája egy matematikai modellhez vezetett, amely egyenletrendszer. Ezt a fenti egyenletrendszert helyettesítő módszerrel oldottuk meg (lásd a 4. § 1. példáját).
Algoritmus a helyettesítési módszer használatához két x, y változós egyenletrendszer megoldása során.
1. Fejezzük ki y-t x-ig a rendszer egyik egyenletéből.
2. Helyettesítse be a kapott kifejezést y helyett a rendszer egy másik egyenletébe.
3. Oldja meg a kapott egyenletet x-re!
4. Helyettesítsük be egymás után a harmadik lépésben talált egyenlet gyökeinek mindegyikét x helyett az első lépésben kapott y–x kifejezésbe.
5. Írja le a választ értékpárok formájában (x; y), amelyeket a harmadik, illetve a negyedik lépésben talált meg!
4) Helyettesítse be egyenként az y talált értékét az x = 5 - 3 képletbe. Ha akkor 
5) Adott egyenletrendszer párjai (2; 1) és megoldásai.
Válasz: (2; 1);
Algebrai összeadás módszere
Ezt a módszert a helyettesítési módszerhez hasonlóan a 7. osztályos algebra tantárgyból ismeri, ahol lineáris egyenletrendszerek megoldására használták. Emlékezzünk vissza a módszer lényegére a következő példa segítségével.
2. példa Egyenletrendszer megoldása
Szorozzuk meg a rendszer első egyenletének összes tagját 3-mal, a második egyenletet pedig hagyjuk változatlanul: 
Vonja ki a rendszer második egyenletét az első egyenletéből:
Az eredeti rendszer két egyenletének algebrai összeadása eredményeként egy olyan egyenletet kaptunk, amely egyszerűbb, mint az adott rendszer első és második egyenlete. Ezzel az egyszerűbb egyenlettel jogunk van egy adott rendszer bármely egyenletét helyettesíteni, például a másodikat. Ekkor az adott egyenletrendszert egy egyszerűbb rendszerrel helyettesítjük:
Ez a rendszer helyettesítési módszerrel oldható meg. A második egyenletből ezt a kifejezést y helyett a rendszer első egyenletébe behelyettesítve azt kapjuk
Marad az x talált értékei behelyettesítése a képletbe
Ha x = 2, akkor
Így két megoldást találtunk a rendszerre: 
Új változók bevezetésének módszere
A 8. osztályos algebra tanfolyamon megismerkedtél egy változós racionális egyenletek megoldásánál új változó bevezetésének módszerével. Ennek az egyenletrendszer-megoldási módszernek a lényege ugyanaz, de technikai szempontból van néhány jellemző, amelyeket a következő példákban tárgyalunk.
3. példa Egyenletrendszer megoldása
Vezessünk be egy új változót. Ekkor a rendszer első egyenlete átírható egy többre egyszerű formában: Oldjuk meg ezt az egyenletet a t változóra:
Mindkét érték teljesíti a feltételt, ezért a t változójú racionális egyenlet gyökerei. De ez azt jelenti, hogy hol találjuk meg, hogy x = 2y, vagy
Így egy új változó bevezetésének módszerével sikerült a rendszer első, meglehetősen összetett egyenletét két egyszerűbb egyenletre „rétegezni”:
x = 2 y; y - 2x.
Mi a következő lépés? Aztán mind a kettő megkapta egyszerű egyenletek egyenként kell figyelembe venni az x 2 - y 2 = 3 egyenletű rendszerben, amelyre még nem emlékeztünk. Más szavakkal, a probléma két egyenletrendszer megoldásán múlik:
Megoldásokat kell találnunk az első rendszerre, a második rendszerre, és a válaszba bele kell foglalnunk az eredményül kapott értékpárokat. Oldjuk meg az első egyenletrendszert:
Használjuk a helyettesítési módszert, főleg, hogy itt minden készen áll rá: a rendszer második egyenletébe cseréljük be az x helyett a 2y kifejezést. Kapunk
Mivel x = 2y, rendre x 1 = 2, x 2 = 2. Így az adott rendszer két megoldását kapjuk: (2; 1) és (-2; -1). Oldjuk meg a második egyenletrendszert:
Használjuk ismét a helyettesítési módszert: a rendszer második egyenletébe az y helyett 2x kifejezést cseréljük be. Kapunk
Ennek az egyenletnek nincs gyökere, ami azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai. Így csak az első rendszer megoldásait kell a válaszban szerepeltetni.
Válasz: (2; 1); (-2;-1).
Az új változók bevezetésének módszere két változós egyenletrendszer megoldása során két változatban használatos. Első lehetőség: egy új változó kerül bevezetésre, és csak a rendszer egy egyenletében kerül felhasználásra. Pontosan ez történt a 3. példában. Második lehetőség: két új változót vezetünk be és használunk egyszerre a rendszer mindkét egyenletében. Ez lesz a helyzet a 4. példában.
4. példa Egyenletrendszer megoldása
Vezessünk be két új változót:
Akkor ezt vegyük figyelembe
Ez lehetővé teszi az újraírást ezt a rendszert sokkal egyszerűbb formában, de viszonylag új a és b változók:
Mivel a = 1, akkor az a + 6 = 2 egyenletből a következőt kapjuk: 1 + 6 = 2; 6=1. Így az a és b változókra egy megoldást kaptunk:
Visszatérve az x és y változókra, egy egyenletrendszert kapunk
Alkalmazzuk az algebrai összeadás módszerét ennek a rendszernek a megoldására:
Azóta a 2x + y = 3 egyenletből a következőket kapjuk:
Így az x és y változókra egy megoldást kaptunk:
Ezt a bekezdést egy rövid, de meglehetősen komoly elméleti vitával zárjuk. Ön már szerzett némi tapasztalatot különféle egyenletek megoldásában: lineáris, másodfokú, racionális, irracionális. Tudod, hogy egy egyenlet megoldásának fő gondolata az, hogy fokozatosan lépjünk át az egyik egyenletről a másikra, egyszerűbbre, de egyenértékűre az adott egyenlettel. Az előző bekezdésben bemutattuk az ekvivalencia fogalmát a kétváltozós egyenletek esetében. Ezt a fogalmat egyenletrendszereknél is használják.
Meghatározás.
Két x és y változós egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha ugyanazok a megoldások, vagy ha mindkét rendszernek nincs megoldása.
Mindhárom módszer (helyettesítés, algebrai összeadás és új változók bevezetése), amelyet ebben a részben tárgyaltunk, teljesen helyes az ekvivalencia szempontjából. Más szóval, ezekkel a módszerekkel egy egyenletrendszert helyettesítünk egy másik, egyszerűbb, de az eredeti rendszerrel egyenértékű egyenletrendszerrel.
Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására
Megtanultuk már, hogyan lehet egyenletrendszereket megoldani olyan általános és megbízható módszerekkel, mint a helyettesítés, az algebrai összeadás és az új változók bevezetése. Most emlékezzünk arra a módszerre, amelyet az előző leckében már tanultál. Vagyis ismételjük meg, amit a grafikus megoldási módszerről tud.
Módszer egyenletrendszerek megoldására grafikusan egy gráf felépítését jelenti minden egyes egyenlethez, amelyek egy adott rendszerben szerepelnek és egyben vannak Koordináta sík, és azt is, hogy hol kell megtalálni ezen grafikonok pontjainak metszéspontjait. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásához adjuk meg ennek a pontnak a koordinátáit (x; y).
Emlékeztetni kell arra, hogy azért grafikus rendszer Az egyenletek általában vagy egyetlen helyes megoldást tartalmaznak, vagy végtelen számú megoldást tartalmaznak, vagy egyáltalán nincsenek megoldások.
Most nézzük meg részletesebben mindegyik megoldást. Tehát egy egyenletrendszernek lehet egyedi megoldása, ha a rendszer egyenleteinek grafikonjait képező egyenesek metszik egymást. Ha ezek az egyenesek párhuzamosak, akkor egy ilyen egyenletrendszernek egyáltalán nincs megoldása. Ha a rendszer egyenleteinek direkt gráfjai egybeesnek, akkor egy ilyen rendszer sok megoldást tesz lehetővé.
Nos, most nézzük meg az algoritmust egy két egyenletrendszer 2 ismeretlennel grafikus módszerrel történő megoldására:
Először is, először elkészítjük az 1. egyenlet grafikonját;
A második lépés a második egyenlethez kapcsolódó gráf megalkotása;
Harmadszor, meg kell találnunk a grafikonok metszéspontjait.
És ennek eredményeként megkapjuk az egyes metszéspontok koordinátáit, ami az egyenletrendszer megoldása lesz.
Nézzük meg ezt a módszert részletesebben egy példa segítségével. Kapunk egy egyenletrendszert, amelyet meg kell oldani:
Egyenletek megoldása
1. Először elkészítjük ennek az egyenletnek a grafikonját: x2+y2=9.
De meg kell jegyezni, hogy ez az egyenletgrafikon egy kör lesz, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig három.
2. Következő lépésünk egy egyenlet ábrázolása lesz, például: y = x – 3.
Ebben az esetben egy egyenest kell készítenünk, és meg kell keresnünk a (0;−3) és (3;0) pontokat.
3. Lássuk, mit kaptunk. Látjuk, hogy az egyenes két A és B pontjában metszi a kört.
Most ezeknek a pontoknak a koordinátáit keressük. Látjuk, hogy a koordináták (3;0) az A pontnak, a koordináták (0;−3) pedig a B pontnak felelnek meg.
És mit kapunk ennek eredményeként?
Azok a (3;0) és (0;−3) számok, amelyeket akkor kapunk, amikor az egyenes metszi a kört, pontosan a rendszer mindkét egyenletének megoldásai. Ebből pedig az következik, hogy ezek a számok ennek az egyenletrendszernek a megoldásai is.
Vagyis erre a megoldásra a (3;0) és (0;−3) számok adják a választ.
Lineáris egyenletrendszerek.Egy egyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha a rendszerben szereplő összes egyenlet lineáris. Szokásos egyenletrendszert kapcsos zárójelekkel írni, például:
Meghatározás:Azt a változóértékpárt, amely a rendszerben szereplő két változót tartalmazó egyenleteket valódi egyenlőséggé alakítja, az ún. egyenletrendszer megoldása.
Oldja meg a rendszert- azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások.
Lineáris egyenletrendszer megoldása során a következő három eset lehetséges:
a rendszernek nincsenek megoldásai;
a rendszernek pontosan egy megoldása van;
a rendszernek végtelen sok megoldása van.
én . Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
Ezt a módszert nevezhetjük „helyettesítési módszernek” vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerének is.
Itt egy két egyenletrendszert adunk meg két ismeretlennel. Vegye figyelembe, hogy a szabad kifejezések (-5 és -7 számok) az egyenlet bal oldalán találhatók. Írjuk fel a rendszert a szokásos formában.
Ne felejtse el, hogy amikor egy kifejezést részről részre mozgat, meg kell változtatnia az előjelét.
Mit jelent lineáris egyenletrendszer megoldása? Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy olyan változóértékeket találunk, amelyek a rendszer minden egyenletét helyes egyenlőséggé alakítják. Ez az állítás tetszőleges számú ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerre igaz.
Döntsük el.
A rendszer első egyenletéből a következőket fejezzük ki:
. Ez egy helyettesítés. A kapott kifejezést behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe a változó helyett
Oldjuk meg ezt az egyenletet egy változóra.
Nyissa ki a zárójeleket, adjon hozzá hasonló kifejezéseket, és keresse meg az értéket 
:
4) Ezután visszatérünk a helyettesítéshez
az érték kiszámításához 
.Az értéket már ismerjük, csak meg kell találni:
5) Pár 
az egyetlen megoldás egy adott rendszerre.
Válasz: (2,4; 2,2).
Bármilyen egyenletrendszer bármilyen módon történő megoldása után erősen javaslom, hogy ellenőrizze a vázlaton. Ez egyszerűen és gyorsan megtörténik.
1) Helyettesítsd be a talált választ az első egyenletbe: 
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
2) Helyettesítsd be a talált választ a második egyenletbe: 
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
A vizsgált megoldási módszer nem az egyetlen, amelyet az első egyenletből ki lehetett fejezni, és nem.
Megteheti az ellenkezőjét is – fejezzen ki valamit a második egyenletből, és helyettesítse be az első egyenletbe. A helyettesítést azonban úgy kell értékelni, hogy az a lehető legkevesebb törtkifejezést tartalmazzon. A négy módszer közül a leghátrányosabb, ha a második vagy az első egyenletből fejezzük ki:
vagy 
Néhány esetben azonban továbbra sem nélkülözheti a törteket. Törekednie kell arra, hogy minden feladatot a legracionálisabb módon hajtson végre. Ez időt takarít meg, és csökkenti a hiba valószínűségét.
2. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!
II. A rendszer megoldása a rendszeregyenletek algebrai összeadás (kivonás) módszerével
Lineáris egyenletrendszerek megoldása során nem a helyettesítési módszert, hanem a rendszer egyenletek algebrai összeadását (kivonását) használhatja. Ez a módszer időt takarít meg és leegyszerűsíti a számításokat, de most minden világosabb lesz.
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:
Vegyük ugyanazt a rendszert, mint az első példában.
1) Az egyenletrendszert elemezve azt látjuk, hogy az y változó együtthatói nagyságrendjükben azonosak, előjelük pedig ellentétes (–1 és 1). Ilyen helyzetben az egyenleteket tagonként össze lehet adni:
2) Oldjuk meg ezt az egyenletet egy változóra.
Amint láthatja, a távonkénti összeadás eredményeként elvesztettük a változót. Valójában ez a módszer lényege - hogy megszabaduljunk az egyik változótól.
3) Most minden egyszerű: 
– behelyettesítheti a rendszer első egyenletébe (a másodikba is):
A végső megoldásnak valahogy így kell kinéznie:
Válasz: (2,4; 2,2).
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:
BAN BEN ebben a példában használhatjuk a helyettesítési módszert, de nagy hátránya, hogy amikor bármilyen egyenletből bármilyen változót kifejezünk, akkor megoldást kapunk közönséges törtek. Kevesen szeretnek törtekkel dolgozni, ami azt jelenti, hogy ez időpocsékolás, és nagy az esély a hibára.
Ezért célszerű az egyenletek tagonkénti összeadását (kivonását) alkalmazni. Elemezzük a megfelelő változók együtthatóit:
Amint látjuk, a (14 és 7), (-9 és –2) párokban lévő számok eltérőek, ezért ha most összeadjuk (kivonjuk) az egyenleteket, nem szabadulunk meg a változótól. Így az egyik párban olyan számokat szeretnék látni, amelyek abszolút értékben azonosak, például 14 és -14 vagy 18 és -18.
Figyelembe vesszük a változó együtthatóit.
14x – 9 év = 24;
7x – 2 év = 17.
Olyan számot választunk, amely 14-gyel és 7-tel is osztható, és a lehető legkisebb legyen. A matematikában ezt a számot a legkisebb közös többszörösnek nevezik. Ha nehéznek találja a kiválasztást, egyszerűen megszorozhatja az együtthatókat.
A második egyenletet megszorozzuk 14-gyel: 7 =2.
Ennek eredményeként:
Most az első egyenletből tagonként vonjuk ki a másodikat.
Meg kell jegyezni, hogy megteheti az ellenkezőjét is - vonja ki az elsőt a második egyenletből, ez nem változtat semmit.
Most behelyettesítjük a talált értéket valamelyik rendszeregyenletbe, például az elsőbe: 
Válasz: (3:2)
Oldjuk meg a rendszert másképp. Tekintsük a változó együtthatóit.
14x – 9 év = 24;
7x – 2 év = 17.
Nyilvánvaló, hogy egy pár (-9 és –3) helyett 18-at és –18-at kell kapnunk.
Ehhez szorozza meg az első egyenletet (-2), a második egyenletet szorozza meg 9-cel:
Összeadjuk az egyenleteket tagonként, és megkeressük a változók értékeit:
Most behelyettesítjük az x talált értékét a rendszer egyik egyenletébe, például az elsőbe:
Válasz: (3:2)
A második módszer valamivel racionálisabb, mint az első, mivel az összeadás könnyebb és kellemesebb, mint a kivonás. A rendszerek megoldása során leggyakrabban az ember inkább összead és szoroz, nem pedig kivon és oszt.
5. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:
Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz az előadás végén).
6. példa.
Egyenletrendszer megoldása
Megoldás. A rendszernek nincs megoldása, mivel a rendszer két egyenlete nem teljesíthető egyszerre (az első egyenlettől 
a másodiktól pedig 
Válasz: Nincsenek megoldások.
7. példa.
egyenletrendszer megoldása
Megoldás. A rendszernek végtelen sok megoldása van, hiszen a második egyenletet az elsőből kapjuk 2-vel szorozva (vagyis valójában csak egy egyenlet van két ismeretlennel).
Válasz: Végtelenül sok megoldás létezik.
III. A rendszer megoldása mátrixok segítségével.
Ennek a rendszernek a determinánsa az ismeretlenek együtthatóiból álló determináns. Ez a meghatározó
Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditálásra, adatelemzésre és különféle tanulmányok az általunk nyújtott szolgáltatások javítása és a szolgáltatásainkkal kapcsolatos ajánlások biztosítása érdekében.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik felek számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.