Matematiikka on melko monimutkainen tiede. Sitä opiskellessa sinun ei tarvitse ratkaista vain esimerkkejä ja ongelmia, vaan myös työskennellä erilaisten kuvioiden ja jopa tasojen kanssa. Yksi matematiikassa käytetyimmistä on koordinaattijärjestelmä tasossa. Oikea työ lastensa kanssa opetetaan yli vuoden ajan. Siksi on tärkeää tietää, mikä se on ja kuinka työskennellä sen kanssa oikein.
Selvitetään mikä on tämä järjestelmä, mitä toimia voidaan suorittaa sen avulla, ja selvittää myös sen tärkeimmät ominaisuudet ja ominaisuudet.
Käsitteen määritelmä
Koordinaattitaso on taso, jolle tietty koordinaattijärjestelmä on määritelty. Tällainen taso on määritelty kahdella suoralla, jotka leikkaavat suorassa kulmassa. Näiden viivojen leikkauspiste on koordinaattien origo. Jokainen piste päällä koordinaattitaso on annettu numeroparilla, joita kutsutaan koordinaatteiksi.
AT koulun kurssi Matematiikassa koululaisten on työskenneltävä melko tiiviisti koordinaattijärjestelmän kanssa - rakennettava siihen kuvioita ja pisteitä, määritettävä, mihin tasoon tietty koordinaatti kuuluu, ja myös määritettävä pisteen koordinaatit ja kirjoitettava tai nimettävä ne. Siksi puhutaan yksityiskohtaisemmin kaikista koordinaattien ominaisuuksista. Mutta ensin kosketetaan luomisen historiaa, ja sitten puhutaan kuinka työskennellä koordinaattitasolla.
Historiallinen viittaus
Ideat koordinaattijärjestelmän luomisesta olivat Ptolemaioksen päivinä. Jo silloin tähtitieteilijät ja matemaatikot miettivät, kuinka oppia asettamaan pisteen sijainti tasossa. Valitettavasti tuolloin meille ei tiedetty koordinaattijärjestelmää, ja tutkijoiden oli käytettävä muita järjestelmiä.
Aluksi he asettavat pisteet määrittämällä leveys- ja pituusasteen. Pitkä aika se oli yksi käytetyimmistä tavoista kartoittaa tämä tai tuo tieto. Mutta vuonna 1637 Rene Descartes loi oman koordinaatistonsa, joka nimettiin myöhemmin "Cartesialaisen" mukaan.
Jo XVII vuosisadan lopussa. "koordinaattitason" käsite on tullut laajalti käyttöön matematiikan maailmassa. Huolimatta siitä, että tämän järjestelmän luomisesta on kulunut useita vuosisatoja, sitä käytetään edelleen laajalti matematiikassa ja jopa elämässä.
Esimerkkejä koordinaattitasosta
Ennen kuin puhumme teoriasta, katsotaanpa muutamia hyviä esimerkkejä koordinoi taso, jotta voit visualisoida sen. Koordinaatistoa käytetään pääasiassa shakissa. Laudalla jokaisella ruudulla on omat koordinaattinsa - yksi kirjainkoordinaatti, toinen - digitaalinen. Sen avulla voit määrittää tietyn nappulan sijainnin laudalla.
toiseksi eniten loistava esimerkki voi toimia pelinä, jota monet rakastavat" meritaistelua". Muista, kuinka pelatessasi nimeät koordinaatin, esimerkiksi B3, osoittaen näin tarkalleen mihin tähtäät. Samaan aikaan laivoja sijoittaessasi asetat pisteet koordinaattitasolle.
Tätä koordinaattijärjestelmää käytetään laajalti paitsi matematiikassa, logiikkapeleissä, myös sotilasasioissa, tähtitiedessä, fysiikassa ja monissa muissa tieteissä.
Koordinaattiakselit
Kuten jo mainittiin, koordinaattijärjestelmässä erotetaan kaksi akselia. Puhutaanpa niistä hieman, sillä niillä on suuri merkitys.
Ensimmäinen akseli - abskissa - on vaakasuora. Se on merkitty ( Härkä). Toinen akseli on ordinaatta, joka kulkee pystysuunnassa vertailupisteen läpi ja on merkitty ( Oy). Nämä kaksi akselia muodostavat koordinaattijärjestelmän jakaen tason neljään neljännekseen. Origo sijaitsee näiden kahden akselin leikkauspisteessä ja saa arvon 0 . Vain jos taso muodostuu kahdesta kohtisuorassa leikkaavasta akselista, joilla on vertailupiste, se on koordinaattitaso.
Huomaa myös, että jokaisella akselilla on oma suunta. Yleensä koordinaattijärjestelmää rakennettaessa on tapana osoittaa akselin suunta nuolen muodossa. Lisäksi koordinaattitasoa rakennettaessa jokainen akseli merkitään.
neljännekset
Sanotaan nyt muutama sana sellaisesta käsitteestä kuin koordinaattitason neljännekset. Taso on jaettu kahdella akselilla neljään neljään osaan. Jokaisella niistä on oma numeronsa, kun taas tasojen numerointi on vastapäivään.
Jokaisella neljänneksellä on omat ominaisuutensa. Joten ensimmäisellä neljänneksellä abskissa ja ordinaatti ovat positiivisia, toisella neljänneksellä abskissa on negatiivinen, ordinaatta on positiivinen, kolmannella sekä abskissa että ordinaatta ovat negatiivisia, neljännellä abskissa on positiivinen ja ordinaatta negatiivinen.
Muistamalla nämä ominaisuudet voit helposti määrittää, mihin neljännekseen tietty piste kuuluu. Lisäksi näistä tiedoista voi olla hyötyä, jos joudut tekemään laskelmia käyttämällä karteesista järjestelmää.
Työskentely koordinaattitason kanssa
Kun selvitimme tason käsitteen ja puhuimme sen neljänneksistä, voimme siirtyä sellaiseen ongelmaan kuin työskentely tämän järjestelmän kanssa, ja puhua myös siitä, kuinka siihen asetetaan pisteitä, kuvioiden koordinaatteja. Koordinaattitasolla tämä ei ole niin vaikeaa kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää.
Ensinnäkin itse järjestelmä on rakennettu, kaikki tärkeät nimitykset sovelletaan siihen. Sitten työskennellään suoraan pisteiden tai lukujen kanssa. Tässä tapauksessa jopa kuvioita rakennettaessa pisteet asetetaan ensin tasoon ja sitten kuviot on jo piirretty.
Lentokoneen rakentamisen säännöt
Jos päätät alkaa merkitä muotoja ja pisteitä paperille, tarvitset koordinaattitason. Pisteiden koordinaatit piirretään siihen. Koordinaattitason rakentamiseen tarvitset vain viivaimen ja kynän tai lyijykynän. Ensin piirretään vaaka-abskissa, sitten pystysuora ordinaatta. On tärkeää muistaa, että akselit leikkaavat suorassa kulmassa.
Seuraava pakollinen kohta on merkintä. Yksiköt-segmentit on merkitty ja merkitty kullekin akselille molempiin suuntiin. Tämä tehdään, jotta voit työskennellä koneen kanssa mahdollisimman mukavasti.
Pisteen merkitseminen
Puhutaan nyt siitä, kuinka piirretään pisteiden koordinaatit koordinaattitasolle. Nämä ovat perusasiat, jotka sinun on tiedettävä, jotta voit sijoittaa onnistuneesti lentokoneeseen. erilaisia hahmoja, ja jopa merkitse yhtälöt.
Pisteitä rakennettaessa tulee muistaa, kuinka niiden koordinaatit on tallennettu oikein. Joten yleensä pisteen asettamiseksi kaksi numeroa kirjoitetaan suluissa. Ensimmäinen numero osoittaa pisteen koordinaatin abskissa-akselia pitkin, toinen - ordinaatta-akselia pitkin.
Kohde pitäisi rakentaa tällä tavalla. Merkitse ensin akselille Härkä annettu piste, ja merkitse sitten piste akselille Oy. Seuraavaksi piirrä kuvitteelliset viivat näistä nimityksistä ja etsi niiden leikkauspaikka - tämä on annettu piste.
Sinun tarvitsee vain merkitä se ja allekirjoittaa se. Kuten näet, kaikki on melko yksinkertaista eikä vaadi erityisiä taitoja.
Muodon asettaminen
Siirrytään nyt sellaiseen kysymykseen kuin kuvioiden rakentaminen koordinaattitasolle. Jotta voisit rakentaa minkä tahansa kuvion koordinaattitasolle, sinun tulee osata sijoittaa siihen pisteitä. Jos tiedät kuinka tehdä tämä, hahmon asettaminen tasolle ei ole niin vaikeaa.
Ensinnäkin tarvitset kuvan pisteiden koordinaatit. Juuri niihin sovellemme valitsemiasi koordinaattijärjestelmäämme. Harkitsemme suorakulmion, kolmion ja ympyrän piirtämistä.
Aloitetaan suorakulmiosta. Sen soveltaminen on melko helppoa. Ensin tasoon lisätään neljä pistettä, jotka osoittavat suorakulmion kulmat. Sitten kaikki pisteet yhdistetään peräkkäin toisiinsa.
Kolmion piirtäminen ei ole eri asia. Ainoa asia on, että siinä on kolme kulmaa, mikä tarkoittaa, että tasoon sovelletaan kolme pistettä, jotka osoittavat sen huippuja.
Mitä tulee ympyrään, tässä sinun pitäisi tietää kahden pisteen koordinaatit. Ensimmäinen piste on ympyrän keskipiste, toinen piste, joka ilmaisee sen säteen. Nämä kaksi pistettä on piirretty tasolle. Sitten otetaan kompassi, mitataan kahden pisteen välinen etäisyys. Kompassin piste sijoitetaan keskustaa osoittavaan pisteeseen ja kuvataan ympyrää.
Kuten näette, tässä ei myöskään ole mitään monimutkaista, tärkeintä on, että viivain ja kompassi on aina käsillä.
Nyt tiedät kuinka piirtää muotokoordinaatit. Koordinaattitasolla tämä ei ole niin vaikeaa tehdä, kuin se saattaa vaikuttaa ensi silmäyksellä.
löydöksiä
Joten, olemme pohtineet kanssasi yhtä mielenkiintoisimmista ja peruskäsitteistä matematiikan kannalta, jota jokaisen opiskelijan on käsiteltävä.
Olemme havainneet, että koordinaattitaso on taso, joka muodostuu kahden akselin leikkauspisteestä. Sen avulla voit asettaa pisteiden koordinaatit, laittaa siihen muotoja. Kone on jaettu neljään osaan, joista jokaisella on omat ominaisuutensa.
Tärkein taito, jota tulisi kehittää koordinaattitason kanssa työskennellessä, on kyky soveltaa oikein annettuja pisteitä. Tätä varten sinun on tiedettävä oikea sijainti akselit, neljännesten ominaisuudet sekä säännöt, joilla pisteiden koordinaatit asetetaan.
Toivomme, että tarjoamamme tiedot olivat saatavilla ja ymmärrettäviä ja hyödyllisiä myös sinulle ja auttoivat ymmärtämään tätä aihetta paremmin.
"Toiminnot luokka 9" - Y \u003d x3. Funktio voidaan määrittää kaavalla, esimerkiksi: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Perustoiminnot sisältävät lähes kaikki koulun oppikirjan toiminnot. Johtaja Kryuchkova Tatyana Borisovna opettaja, matematiikan. Sisällysluettelo: Liite 3. K=x2 K=3x2. Y=x2. Sovellus4. Y = 0,3x2. Liite 1.
"Funktion ominaisuudet" - 0. 1. Funktion määritelmä. 3.Arvojen laajuus. y=0, x=0 6. Vakiomerkin y > 0 intervallit päälle (0; +). 5. Nollatoiminto. Toiminnan ominaisuudet. 7. Kasvu- ja laskuvälit. y= x, n=2 2. Laajuus D(y)=. Tällaisia suureita kutsutaan vastaavasti vakioiksi ja muuttujiksi. -s. T. y = f(x). -yksi. Edelleen.
"Funktiontutkimus" - Suorita tehtävä funktiotutkimuskaavion avulla: s. 24; nro 296 (a; b), nro 299 (a; b). Varmistustyö: Vastaus: D(f)=R, pariton, kasvava. Suorita sanallisesti: Määritä funktiolle f(x)=х3 D(f), pariteetti, lisäys, vähennys. Osoita, että funktio f(x)=x5+4x kasvaa joukossa R. 2) Esimerkki funktion tutkimuksesta.
"Koordinaattitaso" - Suoran yhtälö sisään. Muodostaa kyky ratkaista ongelmia koordinaattitasolla. Koordinaattiviiva, koordinaattikulma. Tehtävä numero 1. Koordinaattien lukemisen sääntö. koordinoi neljännekset. Kuinka pisteet merkitään tasoon. (2-suuntainen). Viivayhtälö a. Tuntisuunnitelma. Akseleilla sijaitsevien pisteiden koordinaatit.
"Funktion lisäys" - Algoritmi funktion ääripisteen löytämiseksi. Epäyhtälön ratkaisu suoritetaan analyyttisesti tai intervallimenetelmällä. Etsi f / (x) Määritä kriittiset kohdat funktiot f(x), ts. pisteet, joissa f / (x)=0 tai f / (x) ei ole olemassa. Johdannainen. Sisältö. Tg(a)=k, k-kosketuskerroin. Johdannaistaulukko.
Aiheessa on yhteensä 19 esitystä
AT Jokapäiväinen elämä voit usein kuulla lauseen: "Jätä minulle koordinaattisi." Vastauksena henkilö jättää yleensä osoitteensa tai puhelinnumeronsa, eli tiedot, joista hänet voidaan löytää.
Koordinaatit voidaan ilmaista useilla numero- tai kirjainsarjoilla.
Esimerkiksi auton numero on koordinaatit, koska auton numerosta voi päätellä mistä kaupungista se on ja kuka sen omistaja on.
Koordinaatit on tietojoukko, joka määrittää kohteen sijainnin.
Esimerkkejä koordinaateista ovat: auton ja paikkojen lukumäärä junassa, leveys- ja pituusaste päällä maantieteellinen kartta, tallentaa nappulan sijainnin shakkilaudalla, pisteen paikan numeerisella akselilla jne.
Aina kun tiettyjen sääntöjen mukaan määrittelemme yksiselitteisesti jonkin objektin kirjaimilla, numeroilla tai muilla symboleilla, asetamme kohteen koordinaatit.
Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä
Ranskalainen matemaatikko Rene Descartes (1596 - 1650) ehdotti pisteen paikan asettamista tasossa käyttämällä kahta koordinaattia.
Koordinaattien löytämiseksi tarvitset maamerkkejä, joista lähtölaskenta suoritetaan.
- Tasossa kaksi numeerista akselia toimii vertailupisteinä. Piirustuksessa ensimmäinen akseli on yleensä piirretty vaakasuoraan, sitä kutsutaan ABSCISS:ksi ja merkitään kirjaimella X, Ox-akseli on kirjoitettu. Positiivinen suunta x-akselilla valitaan vasemmalta oikealle ja osoitetaan nuolella.
- Toinen akseli on piirretty pystysuoraan, sitä kutsutaan ORDINATE-akseliksi ja sitä merkitään kirjaimella Y, Oy-akseli kirjoitetaan. Positiivinen suunta y-akselilla valitaan alhaalta ylöspäin ja osoitetaan nuolella.
Akselit ovat keskenään kohtisuorassa (eli niiden välinen kulma on 90°) ja leikkaavat pisteessä, jota merkitään O:lla. Piste O on kunkin akselin origo.
Koordinaattijärjestelmä- nämä ovat kaksi keskenään kohtisuoraa koordinaattiviivaa, jotka leikkaavat pisteessä, joka on kunkin origo.
Koordinaattiakselit ovat suoria viivoja, jotka muodostavat koordinaattijärjestelmän.
abskissa(Ox) - vaaka-akseli.
Y-akseli(Oy) - pystyakseli.
Koordinaattitaso - taso, johon koordinaattijärjestelmä on rakennettu. Kone on merkitty x0y:llä.
Kiinnitämme huomiosi yksittäisten segmenttien pituuden valintaan akseleita pitkin.
Numerot osoittavat numeerisia arvoja akseleilla voidaan sijoittaa sekä Oy-akselin oikealle että vasemmalle puolelle. Ox-akselin numerot kirjoitetaan yleensä akselin alle.
Tyypillisesti yksikköviivasegmentti 0y-akselilla on yhtä suuri kuin yksikköviivasegmentti 0x-akselilla. Mutta on aikoja, jolloin he eivät ole tasa-arvoisia keskenään.
Koordinaattiakselit jakavat tason 4 kulmaan, joita kutsutaan koordinoi neljännekset. Positiivisten puoliakselien muodostamaa neljännestä (oikea yläkulma) pidetään ensimmäisenä (I).
Laskemme neljännekset (tai koordinaattikulmat) vastapäivään.
Jos sijoitat yksikkönumeroympyrän koordinaattitasolle, voit löytää sen pisteiden koordinaatit. Numeerinen ympyrä sijoitetaan siten, että sen keskipiste osuu tason alkupisteeseen eli pisteeseen O (0; 0).
Yleensä sinkkuna numero ympyrä merkitse ympyrään origoa vastaavat pisteet
- neljännekset - 0 tai 2π, π/2, π, (2π)/3,
- keskimmäiset neljännekset - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- kolmannet neljännekset - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Koordinaattitasolta, jolla on yllä oleva yksikköympyrän järjestely, löytyy näitä ympyrän pisteitä vastaavat koordinaatit.
Neljännesten päiden koordinaatit on erittäin helppo löytää. Ympyrän pisteessä 0 x-koordinaatti on 1 ja y on 0. Voidaan kirjoittaa A (0) = A (1; 0).
Ensimmäisen vuosineljänneksen loppu sijoittuu positiiviselle y-akselille. Siksi B (t/2) = B (0; 1).
Toisen neljänneksen loppu on negatiivisella abskissalla: C (π) = C (-1; 0).
Kolmannen neljänneksen loppu: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Mutta kuinka löytää neljännesten keskipisteiden koordinaatit? Tätä varten he rakentavat suorakulmainen kolmio. Sen hypotenuusa on jana ympyrän keskustasta (tai origosta) neljännesympyrän keskipisteeseen. Tämä on ympyrän säde. Koska ympyrä on yksikkö, hypotenuusa on yhtä suuri kuin 1. Seuraavaksi piirretään kohtisuora ympyrän pisteestä mihin tahansa akseliin. Olkoon se x-akselilla. Siitä tulee suorakulmainen kolmio, jonka jalkojen pituudet ovat ympyrän pisteen x- ja y-koordinaatit.
Neljännesympyrä on 90º. Ja puoli neljäsosaa on 45º. Koska hypotenuusa vedetään neljänneksen puoliväliin, hypotenuusan ja origosta lähtevän jalan välinen kulma on 45º. Mutta minkä tahansa kolmion kulmien summa on 180º. Siksi hypotenuusan ja toisen jalan välinen kulma pysyy myös 45º. Osoittautuu tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
Pythagoraan lauseesta saadaan yhtälö x 2 + y 2 = 1 2 . Koska x = y ja 1 2 = 1, yhtälö yksinkertaistuu muotoon x 2 + x 2 = 1. Kun se ratkaistaan, saadaan x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Siten pisteen M 1 (π/4) koordinaatit = M 1 (√2/2; √2/2).
Muiden neljännesten keskipisteiden pisteiden koordinaateissa vain merkit muuttuvat ja arvomoduulit pysyvät samoina, koska suorakulmainen kolmio vain kääntyy. Saamme:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Ympyrän neljännesten kolmansien osien koordinaatteja määritettäessä rakennetaan myös suorakulmainen kolmio. Jos otamme pisteen π/6 ja piirretään kohtisuora x-akseliin nähden, niin hypotenuusan ja x-akselilla olevan jalan välinen kulma on 30º. Tiedetään, että 30º kulman vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta. Joten olemme löytäneet y-koordinaatin, se on yhtä suuri kuin ½.
Kun tiedämme hypotenuusan ja yhden jalan pituudet, Pythagoraan lauseen perusteella löydämme toisen jalan:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Siten T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Ensimmäisen neljänneksen toisen kolmanneksen pisteelle (π / 3) on parempi piirtää kohtisuora akseliin nähden y-akseliin. Tällöin origon kulma on myös 30º. Tässä x-koordinaatti on jo yhtä suuri kuin ½ ja y, vastaavasti, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Muissa kolmannen neljänneksen pisteissä koordinaattiarvojen etumerkit ja järjestys muuttuvat. Kaikkien pisteiden, jotka ovat lähempänä x-akselia, x-koordinaatin moduloarvo on √3/2. Pisteiden, jotka ovat lähempänä y-akselia, modulo y -arvo on √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)