Seosed trigonomeetriliste põhifunktsioonide - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens - vahel on toodud trigonomeetrilised valemid. Ja kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel on üsna palju seoseid, siis see seletab küllust trigonomeetrilised valemid. Mõned valemid ühendavad sama nurga trigonomeetrilisi funktsioone, teised - mitme nurga funktsioonid, teised - võimaldavad kraadi vähendada, neljandad - väljendavad kõiki funktsioone poolnurga puutuja kaudu jne.
Selles artiklis loetleme järjekorras kõik põhilised trigonomeetrilised valemid, millest piisab enamiku trigonomeetriaülesannete lahendamiseks. Meeldejäämise ja kasutamise hõlbustamiseks rühmitame need eesmärgi järgi ja sisestame tabelitesse.
Leheküljel navigeerimine.
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Põhiline trigonomeetrilised identiteedid defineerida seos ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel. Need tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist ning ühikringi mõistest. Need võimaldavad teil väljendada ühte trigonomeetrilist funktsiooni mis tahes teise funktsioonina.
Nende trigonomeetria valemite üksikasjalikku kirjeldust, nende tuletamist ja rakendusnäiteid leiate artiklist.
Vähendamise valemid
Vähendamise valemid tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest, see tähendab, et need peegeldavad trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse omadust, sümmeetria omadust, samuti antud nurga võrra nihke omadust. Need trigonomeetrilised valemid võimaldavad teil töötada suvalised nurgad liikuge edasi nullist kuni 90 kraadini nurkadega töötamisse.
Artiklis saab uurida nende valemite põhjendusi, nende meeldejätmise mnemoloogilist reeglit ja näiteid nende kasutamise kohta.
Lisamise valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid näidata, kuidas kahe nurga summa või erinevuse trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse nende nurkade trigonomeetriliste funktsioonidena. Need valemid on aluseks järgmiste trigonomeetriliste valemite tuletamisel.
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk (neid nimetatakse ka mitme nurga valemiteks) näitavad, kuidas topelt-, kolmik- jne trigonomeetrilised funktsioonid. nurgad () on väljendatud ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonidena. Nende tuletamine põhineb liitmisvalemitel.
Täpsem teave on kogutud artiklite valemitesse topelt-, kolmik- jne. nurk
Poolnurga valemid
Poolnurga valemid näidata, kuidas poolnurga trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse täisnurga koosinusena. Need trigonomeetrilised valemid tulenevad topeltnurga valemitest.
Nende järeldused ja rakendusnäited leiate artiklist.
Kraadide vähendamise valemid
Trigonomeetrilised valemid kraadide vähendamiseks on loodud selleks, et hõlbustada üleminekut trigonomeetriliste funktsioonide loomulikelt võimsustelt siinustele ja koosinustele esimese astme, kuid mitme nurga all. Teisisõnu, need võimaldavad teil vähendada trigonomeetriliste funktsioonide võimsusi esimesele.
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid
Peamine eesmärk trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid on minna funktsioonide korrutisele, mis on väga kasulik trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel. Neid valemeid kasutatakse laialdaselt ka lahendamisel trigonomeetrilised võrrandid, kuna need võimaldavad siinuste ja koosinuste summat ja erinevust faktoriseerida.
Siinuse, koosinuse ja siinuse korrutise valemid koosinuse kaupa
Üleminek trigonomeetriliste funktsioonide korrutiselt summale või erinevusele toimub siinuste, koosinuste ja siinuse koosinuse korrutise valemitega.
Autoriõigus nutikatele õpilastele
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ükski osa www.saidist, sealhulgas sisemised materjalid Ja väline disain, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.
Käesolevas artiklis vaatleme kõike põhjalikult. Põhilised trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad ühenduse ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel ning võimaldavad leida mis tahes neist trigonomeetrilistest funktsioonidest tuntud teise nurga kaudu.
Loetleme kohe peamised trigonomeetrilised identiteedid, mida selles artiklis analüüsime. Kirjutame need tabelisse ja allpool anname nende valemite väljundi ja anname vajalikud selgitused.
Leheküljel navigeerimine.
Ühe nurga siinuse ja koosinuse suhe
Mõnikord ei räägita ülaltoodud tabelis loetletud peamistest trigonomeetrilistest identiteetidest, vaid ühest üksikust põhiline trigonomeetriline identiteet lahke 
. Selle fakti seletus on üsna lihtne: võrdsused saadakse peamise trigonomeetrilise identiteedi põhjal pärast selle mõlema osa jagamist vastavalt ja võrdustega. 
Ja 
tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Sellest räägime üksikasjalikumalt järgmistes lõikudes.
See tähendab, et erilist huvi pakub võrdsus, millele anti peamise trigonomeetrilise identiteedi nimi.
Enne peamise trigonomeetrilise identiteedi tõestamist anname selle sõnastuse: ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on identselt võrdne ühega. Nüüd tõestame seda.
Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutatakse väga sageli siis, kui trigonomeetriliste avaldiste teisendamine. See võimaldab ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa asendada ühega. Mitte vähem sageli kasutatakse põhilist trigonomeetrilist identiteeti vastupidises järjekorras: ühik asendatakse mis tahes nurga siinuse ja koosinuse ruutude summaga.
Puutuja ja kotangens siinuse ja koosinuse kaudu
Identiteedid, mis ühendavad puutujat ja kotangensi ühe vaatenurga siinuse ja koosinusega ning 
järgneb koheselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Tõepoolest, definitsiooni järgi on siinus y ordinaat, koosinus on x abstsiss, puutuja on ordinaadi ja abstsissi suhe, see tähendab, 
, ja kootangens on abstsisstelje ja ordinaadi suhe, see tähendab, 
.
Tänu sellisele identiteetide ilmselgele ja Puutujat ja kotangenti defineeritakse sageli mitte abstsisside ja ordinaadi suhte, vaid siinuse ja koosinuse suhte kaudu. Seega on nurga puutuja siinuse suhe selle nurga koosinuse ja koosinuse suhe ning kootangens on koosinuse ja siinuse suhe.
Selle punkti kokkuvõtteks tuleb märkida, et identiteedid ja toimuvad kõigi nurkade puhul, mille all nendes sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid on mõistlikud. Nii et valem kehtib mis tahes muu jaoks kui (muidu on nimetaja null ja me ei määratlenud nulliga jagamist) ja valem - kõigi jaoks , erineb , kus z on mis tahes .
Tangensi ja kotangensi vaheline seos
Eelmistest kahest veelgi ilmsem trigonomeetriline identsus on vormi ühe nurga puutuja ja kotangensi ühendav identiteet . On selge, et see kehtib kõigi muude nurkade puhul peale , vastasel juhul ei ole puutuja ega kootangens määratletud.
Valemi tõestus väga lihtne. Määratluse järgi ja kust 
. Tõestust oleks võinud teha veidi teisiti. Alates , See 
.
Niisiis, sama nurga puutuja ja kotangens, mille all neil on mõte, on .
See on viimane ja kõige rohkem peamine õppetund, vajalik probleemide lahendamiseks B11. Teame juba, kuidas teisendada nurki radiaanist kraadimõõtudeks (vt õppetundi "Nurga radiaan ja kraadimõõt"), samuti teame, kuidas määrata trigonomeetrilise funktsiooni märki, keskendudes koordinaatveeranditele ( vaata õppetundi “Trigonomeetriliste funktsioonide märgid”).
Jääb vaid välja arvutada funktsiooni enda väärtus – just see arv, mis vastuses kirjas on. Siin tuleb appi trigonomeetriline põhiidentiteet.
Põhiline trigonomeetriline identiteet. Iga nurga α korral kehtib järgmine väide:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
See valem seob ühe nurga siinuse ja koosinuse. Nüüd, teades siinust, leiame koosinuse hõlpsalt – ja vastupidi. Piisab ruutjuure võtmisest:
Pange tähele "±" märki juurte ees. Fakt on see, et trigonomeetrilise põhiidentiteedi põhjal pole selge, mis olid algsed siinus ja koosinus: positiivne või negatiivne. Lõppude lõpuks, kvadratuur - ühtlane funktsioon, mis “põletab” kõik miinused (kui neid oli).
Seetõttu on kõigis matemaatika ühtse riigieksami ülesannetes B11 tingimata lisatingimused, mis aitavad märkide abil ebakindlusest vabaneda. Tavaliselt on see koordinaatveerandi märge, mille järgi saab märgi määrata.
Tähelepanelik lugeja küsib tõenäoliselt: "Aga puutuja ja kotangens?" Neid funktsioone on võimatu ülaltoodud valemitest otseselt välja arvutada. Siiski on olulisi tagajärgi trigonomeetrilisest põhiidentiteedist, mis sisaldab juba puutujaid ja kotangente. Nimelt:
Oluline järeldus: mis tahes nurga α korral saab põhilise trigonomeetrilise identiteedi ümber kirjutada järgmiselt:
Need võrrandid on hõlpsasti tuletatavad põhiidentiteedist – piisab, kui jagada mõlemad pooled cos 2 α-ga (puutuja saamiseks) või sin 2 α-ga (kotangensi saamiseks).
Vaatame seda kõike konkreetsed näited. Allpool on toodud tegelikud B11 probleemid, mis on võetud proovivõimalused Matemaatika ühtne riigieksam 2012.
Me teame koosinust, aga me ei tea siinust. Peamine trigonomeetriline identiteet (selle "puhtal" kujul) ühendab just neid funktsioone, nii et me töötame sellega. Meil on:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Probleemi lahendamiseks jääb üle leida siinuse märk. Kuna nurk α ∈ (π /2; π ), siis kraadimõõdus kirjutatakse see järgmiselt: α ∈ (90°; 180°).
Järelikult asub nurk α II koordinaatveerandis – kõik siinused on positiivsed. Seetõttu sin α = 0,1.
Niisiis, me teame siinust, kuid peame leidma koosinuse. Mõlemad funktsioonid on trigonomeetrilises põhiidentiteedis. Asendame:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Jääb üle tegeleda märgiga murdosa ees. Mida valida: pluss või miinus? Tingimuse järgi kuulub nurk α intervalli (π 3π /2). Teisendame nurgad radiaanimõõtudest kraadideks – saame: α ∈ (180°; 270°).
Ilmselgelt on see III koordinaatveerand, kus kõik koosinused on negatiivsed. Seetõttu cos α = −0,5.
Ülesanne. Leidke tan α, kui on teada järgmine:
Tangens ja koosinus on seotud põhitrigonomeetrilisest identiteedist tuleneva võrrandiga:
Saame: tan α = ±3. Puutuja märgi määrab nurk α. On teada, et α ∈ (3π /2; 2π ). Teisendame nurgad radiaanimõõtudest kraadideks – saame α ∈ (270°; 360°).
Ilmselgelt on see IV koordinaatveerand, kus kõik puutujad on negatiivsed. Seetõttu tan α = −3.
Ülesanne. Leidke cos α, kui on teada järgmine:
Siinus on jälle teada ja koosinus tundmatu. Kirjutame üles peamise trigonomeetrilise identiteedi:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Märk määratakse nurga järgi. Meil on: α ∈ (3π /2; 2π ). Teisendame nurgad kraadidest radiaanideks: α ∈ (270°; 360°) on IV koordinaatveerand, sealsed koosinused on positiivsed. Seetõttu cos α = 0,6.
Ülesanne. Leidke sin α, kui on teada:
Kirjutame üles valem, mis tuleneb trigonomeetrilisest põhiidentiteedist ja ühendab otseselt siinuse ja kotangensi:
Siit saame, et patt 2 α = 1/25, s.o. sin α = ±1/5 = ±0,2. On teada, et nurk α ∈ (0; π /2). Kraadimõõdus kirjutatakse see järgmiselt: α ∈ (0°; 90°) - I koordinaatveerand.
Seega on nurk I koordinaatkvadrandis - kõik trigonomeetrilised funktsioonid on positiivsed, seega sin α = 0,2.
Artiklis kirjeldatakse üksikasjalikult põhilisi trigonomeetrilisi identiteete. Need võrdsused loovad seose sin, cos, t g, c t g vahel taga antud nurk. Kui üks funktsioon on teada, saab selle kaudu leida teise.
Selles artiklis käsitletavad trigonomeetrilised identiteedid. Allpool näitame nende tuletamise näidet koos selgitusega.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α g, 1 + 2 ct α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Räägime olulisest trigonomeetrilisest identiteedist, mida peetakse trigonomeetria aluseks.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Antud võrrandid t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α tuletatakse peamisest, jagades mõlemad osad sin 2 α ja cos 2 α. Mille järel saame t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ja t g α · c t g α = 1 – see on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide tagajärg.
Võrdsus sin 2 α + cos 2 α = 1 on peamine trigonomeetriline identsus. Selle tõestamiseks tuleb pöörduda ühikaringi teema poole.
Olgu antud punkti A koordinaadid (1, 0), mis pärast nurga α võrra pööramist muutub punktiks A 1. Sin ja cos definitsiooni järgi saab punkt A 1 koordinaadid (cos α, sin α). Kuna A 1 asub ühikringi sees, tähendab see, et koordinaadid peavad täitma selle ringi tingimust x 2 + y 2 = 1. Avaldis cos 2 α + sin 2 α = 1 peaks kehtima. Selleks on vaja tõestada kõigi pöördenurkade α peamine trigonomeetriline identsus.
Trigonomeetrias kasutatakse trigonomeetrias Pythagorase teoreemina avaldist sin 2 α + cos 2 α = 1. Selleks kaaluge üksikasjalikku tõendit.
Ühikringi kasutades pöörame punkti A koordinaatidega (1, 0) ümber keskpunkti O nurga α võrra. Pärast pööramist muudab punkt koordinaate ja võrdub A 1 (x, y). Alandame risti A 1 H punktist A 1 punktist O x.
Joonis näitab selgelt, et a täisnurkne kolmnurk O A 1 N. Jalgade O A 1 N ja O N moodulid on võrdsed, kirje on järgmisel kujul: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Hüpotenuusil O A 1 on väärtus, mis on võrdne ühikuringi raadiusega | O A 1 | = 1. Seda avaldist kasutades saame Pythagorase teoreemi abil kirjutada võrdsuse: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Kirjutame selle võrdsuse kui | y | 2 + | x | 2 = 1 2, mis tähendab y 2 + x 2 = 1.
Kasutades sin α = y ja cos α = x definitsiooni, asendame punktide koordinaatide asemel nurgaandmed ja liigume edasi võrratuse sin 2 α + cos 2 α = 1 juurde.
Selle trigonomeetrilise identiteedi kaudu on võimalik põhiline seos nurga sini ja cos-i vahel. Seega saame teadaoleva cos-iga nurga patu arvutada ja vastupidi. Selleks on vaja lahendada sin 2 α + cos 2 = 1 sin ja cos suhtes, siis saame avaldised kujul sin α = ± 1 - cos 2 α ja cos α = ± 1 - sin 2 α , vastavalt. Nurga α suurus määrab avaldise juure ees oleva märgi. Üksikasjaliku selgituse saamiseks peate lugema peatükki siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi arvutamise kohta trigonomeetriliste valemite abil.
Kõige sagedamini kasutatakse põhivalemit trigonomeetriliste avaldiste teisendamiseks või lihtsustamiseks. Siinuse ja koosinuse ruutude summa on võimalik asendada 1-ga. Identiteedi asendamine võib toimuda nii otseses kui ka vastupidises järjekorras: ühik asendatakse siinuse ja koosinuse ruutude summa avaldisega.
Puutuja ja kotangens siinuse ja koosinuse kaudu
Koosinuse ja siinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist on selge, et need on omavahel seotud, mis võimaldab vajalikke suurusi eraldi teisendada.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Definitsiooni järgi on siinus y ordinaat ja koosinus x abstsiss. Tangens on ordinaadi ja abstsissside suhe. Seega on meil:
t g α = y x = sin α cos α ja kotangensi avaldisel on vastupidine tähendus, see on
c t g α = x y = cos α sin α .
Sellest järeldub, et saadud identiteedid t g α = sin α cos α ja c t g α = cos α sin α määratakse sin ja cos nurkade abil. Puutujaks loetakse siinuse ja nendevahelise nurga koosinuse suhet ning kootangens on vastupidine.
Pange tähele, et t g α = sin α cos α ja c t g α = cos α sin α on tõesed nurga α mis tahes väärtuse puhul, mille väärtused sisalduvad vahemikus. Valemist t g α = sin α cos α on nurga α väärtus erinev π 2 + π · z ja c t g α = cos α sin α võtab nurga α väärtuse, mis erineb π · z, z võtab mis tahes täisarvu väärtus.
Tangensi ja kotangensi vaheline seos
On olemas valem, mis näitab nurkade vahelist suhet puutuja ja kotangensi kaudu. See trigonomeetriline identsus on trigonomeetrias oluline ja seda tähistatakse kui t g α · c t g α = 1. α puhul on mõtet kasutada mis tahes muud väärtust peale π 2 · z, vastasel juhul funktsioone ei määratleta.
Valemil t g α · c t g α = 1 on tõestuses oma eripärad. Definitsioonist saame, et t g α = y x ja c t g α = x y, seega saame t g α · c t g α = y x · x y = 1. Avaldise teisendamisel ja t g α = sin α cos α ja c t g α = cos α sin α asendamisel saame t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.
Siis puutuja ja kotangensi avaldis on tähendus, millal me lõpuks saame vastastikku pöördarvud.
Puutuja ja koosinus, kotangens ja siinus
Olles teisendanud peamised identiteedid, jõuame järeldusele, et puutuja on seotud koosinuse kaudu ja kotangens siinuse kaudu. Seda on näha valemitest t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Definitsioon on järgmine: nurga puutuja ja 1 ruudu summa võrdsustatakse murdosaga, kus lugejas on 1 ja nimetajas antud nurga koosinuse ruut ja summa nurga kotangensi ruudust on vastupidine. Tänu trigonomeetrilisele identiteedile sin 2 α + cos 2 α = 1 saame vastavad küljed jagada cos 2 α-ga ja saada t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, kus cos 2 α väärtus ei tohiks olla võrdne null. Sin 2 α-ga jagamisel saame identiteedi 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, kus sin 2 α väärtus ei tohiks olla võrdne nulliga.
Ülaltoodud avaldiste põhjal leidsime, et identsus t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α kehtib kõigi nurga α väärtuste puhul, mis ei kuulu π 2 + π · z, ja 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α α väärtuste jaoks, mis ei kuulu intervalli π · z.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter