Определение 1. Ломаной линией называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т. п.

Отрезки, составляющие ломаную линию, называются звеньями. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Если концы ломаной совпадают, то она называется замкнутой . Ломаная может пересекать сама себя, касаться сама себя и налегать сама на себя. Если таких особенностей у ломаной нет, то она называется простой .

Определение 2. Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

Сама ломаная при этом называется границей многоугольника, звенья ломаной – сторонами многоугольника, концы звеньев – вершинами многоугольника. Две соседних стороны многоугольника образуют угол. Число углов в многоугольнике равно числу сторон. У каждого многоугольника есть углы меньше 180°. Стороны и углы многоугольника называют элементами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю. В любом n-угольнике можно провести n-2 диагонали.

Определение 3. Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Многоугольники, не отвечающие этому условию, называются невыпуклыми.

Свойства выпуклых многоугольников.

Свойство 1. У выпуклого многоугольника все углы меньше 180°.

Доказательство: Возьмем любой угол А выпуклого многоугольника Р и его сторону а, идущую из вершины А. Пусть l - прямая, содержащая сторону а. Так как многоугольник Р выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой l. Поэтому угол А лежит по одну сторону от прямой l. Следовательно, угол А меньше развернутого, т. е. ÐA < 180°.

Свойство 2. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, содержится в этом многоугольнике.

Доказательство: Возьмем любые две точки М и N выпуклого многоугольника Р. Многоугольник Р является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок MN лежит в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике Р.

Свойство 3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n – 2)∙180°.

Доказательство: Возьмем внутри выпуклого многоугольника Р произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами многоугольника. Образуется n треугольников, сумма углов каждого из которых равна 180°. Углы при вершине О в сумме дают 360° = 2∙180°. Поэтому сумма углов многоугольника равна n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Понятие параллелограмма. Свойства параллелограмма.

Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными . У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Свойства параллелограмма.

Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;

ÐВАС = ÐАСD (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС);

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);

Þ DАВС = DАDС (по 2 признаку).

АВ = CD; BC = AD; ÐВ = ÐD.

ÐА = ÐВАС + ÐСAD; ÐС = ÐАСB + ÐАСD; Þ ÐА = ÐС.

Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Доказательство:

ÐВ + ÐА =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей АB).

ÐB + ÐС =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей BC).

ÐD + ÐC =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).

ÐA + ÐD =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей AD).

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.

АВ = СD (по первому св-ву параллелограмма);

ÐAВO = ÐODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);

ÐВАO = ÐOСD (внутренние накрест лежащие при АB II CD и секущей АС);

Þ DАВO = DODС (по 2 признаку).

ВO = OD; AO = OC.

Признаки параллелограмма.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АD II BC,

Выпуклое множество точек на плоскости.

Множество точек на плоскости или в трехмерном пространстве называется выпуклым , если любые две точки этого множества можно соединить отрезком прямой, полностью лежащим в данном множестве.

Теорема 1 . Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Следствие. Пересечение конечного числа выпуклых множеств – выпуклое множество.

Угловые точки.

Граничная точка выпуклого множества называется угловой , если через нее можно провести отрезок, все точки которого не принадлежат данному множеству.

Различные по форме множества могут иметь конечное или бесконечное количество угловых точек.

Выпуклый многоугольник.

Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема: Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180˚ *(n-2)

6) Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными

Дана система т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

которая является граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.

Определение 15. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j =), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР - пустое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: х1 + 3x2 ≥ 3. Построим граничную прямую х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения неравенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР - точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

УПРАЖНЕНИЯ

Найти ОР и ОДР систем неравенств

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Определение выпуклости многоугольника.

Алгоритм Кируса–Бэка предполагает наличие выпуклого многоугольника, используемого в качестве окна.

Однако на практике весьма часто возникает задача отсечения многоугольником, а информация о том, является он выпуклым или нет изначально не задается. В таком случае, прежде чем начать процедуру отсечения необходимо определить какой задан многоугольник – выпуклый или нет.

Дадим некотрые определения выпуклости многоугольника

Выпуклым считается многоугольник, для которого выполняется одно из ниже перечисленных условий:

1)в выпуклом многоугольнике все вершины располагаются по одну сторону от линии, несущей любое ребро (по внутреннюю сторону относительно данного ребра);

2)все внутренние углы многоугольника меньше 180 о;

3)все диагонали, связывающие вершины многоугольника, лежат внутри этого многоугольника;

4)все углы многоугольника обходятся в одном направлении (Рис. 3.3‑1).

Для выработки аналитического представление последнего критерия выпуклости, используем векторное произведение.

Векторное произведение W двух векторов a и b (Рис. 3.3‑2 а) определяется как:

A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z являются проекциями на оси координат X ,Y ,Z , соответственно, векторов – сомножителей a и b ,

- i , j , k – единичные векторы по координатным осям X , Y , Z .

Рис. 3.3 ‑ 1

Рис. 3.3 ‑ 2

Если рассматривать двумерное представление многоугольника как представление его в координатной плоскости XY трехмерной системе координат X ,Y ,Z (Рис. 3.3‑2 b ), то выражение для формирования векторного произведения векторов U и V , где векторы U и V являются соседними ребрами, образующими угол многоугольника, можно записать в виде определитель:

Вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости, в которой находятся вектора-сомножители. Направление вектора произведения определяется по правилу буравчика или по правилу винта с правой нарезкой.

Для случая, представленного на Рис. 3.3‑2 b ), вектор W , соответствующий векторному произведению векторов V , U , будет иметь ту же направленность, что и направленность координатной оси Z .

Учитывая то, что проекции на ось Z векторов –сомножителей в этом случае равны нулю, векторное произведение можно представить в виде:

(3.3-1)

Единичный вектор k всегда положительный, следовательно, знак вектора w векторного произведения будет определяться только знаком определителя D в выше приведенном выражении. Отметим, что на основании свойства векторного произведения, при перестановке местами векторов-сомножителей U и V знак вектора w будет меняться на противоположный.

Отсюда следует, что, если в качестве векторов V и U рассматривать два соседних ребра многоугольника, то порядок перечисления векторов в векторном произведении можно поставить в соответствие c обходом рассматриваемого угла многоугольника или ребер, образующих этот угол. Это позволяет использовать в качестве критерия определения выпуклости многоугольника правило:

если для всех пар ребер многоугольника выполняется условие:

Если знаки векторных произведений для отдельных углов не совпадают, то многоугольник не выпуклый.

Так как ребра многоугольник задаются в виде координат их концевых точек, то для определения знака векторного произведения удобнее использовать определитель.

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника , а их концы - вершинами многоугольника .

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).

Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Теорема доказана.

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]

Теорема доказана.

Ломаная

Определение

Ломаной линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Виды ломаной

Ломаная называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.

Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой .

Многоугольники

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником .

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым .

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.

Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Следствие

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$.

Обозначим сумму его улов $S$.

Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.