สูตรลด ผลรวม ผลต่างของไซน์และโคไซน์ การแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของโคไซน์ของมุมทั้งสองให้เป็นผลคูณ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

การแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของโคไซน์ของสองมุมให้เป็นผลคูณ

สำหรับผลรวมและผลต่างของโคไซน์ของมุมสองมุม สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ความแตกต่างระหว่างโคไซน์ของสองมุมเท่ากับลบสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ตัวอย่าง

สูตร (1) และ (2) สามารถรับได้หลายวิธี ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างสูตร (1)

คอส α คอส β = 1 / 2 .

เชื่อในตัวเธอ (α + β) = เอ็กซ์ , (α - β) = ที่เรามาถึงสูตร (1) วิธีนี้คล้ายกับวิธีที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าสูตรสำหรับผลรวมของไซน์ของสองมุม

วิธีที่ 2.ในย่อหน้าก่อนหน้านี้สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

เชื่อในตัวเธอ α = เอ็กซ์ +π/2, β = ที่ + พาย/2, เราได้รับ:

แต่ตามสูตรลดแล้ว บาป( เอ็กซ์+ π / 2) == cos x, บาป (y + π / 2) = เพราะ y;

เพราะฉะนั้น,

Q.E.D.

ขอเชิญนักเรียนพิสูจน์สูตร (2) ด้วยตนเอง พยายามหาวิธีพิสูจน์ที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองวิธี!

การออกกำลังกาย

1. คำนวณโดยไม่มีตาราง โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของโคไซน์ของสองมุม:

ก) คอส 105° + คอส 75° ช) เพราะ 11π / 12-คอส 5π/12..

ข) คอส 105° - คอส 75° ง) เพราะ 15° -ซิน 15°

วี) เพราะ 11π / 12+คอส 5π/12..ฉ) บาป พาย/12+คอส 11π / 12.

2 - ลดความซับซ้อนของนิพจน์เหล่านี้:

ก) เพราะ( พาย/3 + α ) + คอส ( พาย/3 - α ).

ข) เพราะ( พาย/3 + α ) - คอส ( พาย/3 - α ).

3. ตัวตนของแต่ละคน

บาป α +คอส α = \/ 2 บาป( α + พาย/4)

บาป α -คอส α = \/ 2 บาป( α - พาย/4)

พิสูจน์ด้วยวิธีที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองวิธี

4. นำเสนอสำนวนเหล่านี้ในรูปแบบของผลิตภัณฑ์:

ก) \/ 2 +2คอส α - วี) บาป x +คอส ย.

ข) \/ 3 - 2คอส α - ช) บาป x -คอส ย.

5 - ลดความซับซ้อนของนิพจน์ sin 2 ( α - พาย/8) - คอส 2 ( α + พาย/8) .

6 แยกตัวประกอบนิพจน์เหล่านี้ (หมายเลข 1156-1159):

ก) 1 + บาป α -คอส α

ข) บาป α + บาป (α + β) + บาป β .

วี) เพราะ α +คอส 2α+คอส 3α

ช) 1 + บาป α +คอส α

7. พิสูจน์ตัวตนเหล่านี้

8. พิสูจน์ว่าโคไซน์ของมุม α และ β เท่ากับถ้าและถ้าเท่านั้น

α = ± β + 2nπ,

โดยที่ n คือจำนวนเต็ม

สูตรลด

สูตรการลดทำให้สามารถค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมใดก็ได้ (ไม่ใช่แค่ค่าเฉียบพลัน) ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถทำการแปลงที่ทำให้การแสดงนิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น

ภาพที่ 1.

นอกจากสูตรการลดขนาดแล้ว ยังใช้สูตรพื้นฐานต่อไปนี้เมื่อแก้ไขปัญหาอีกด้วย

1) สูตรสำหรับมุมเดียว:

2) การแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่างในแง่ของฟังก์ชันอื่น:

ความคิดเห็น

ในสูตรเหล่านี้ เครื่องหมายกรณฑ์ต้องนำหน้าด้วยเครื่องหมาย $"+"$ หรือ $"-"$ ขึ้นอยู่กับว่ามุมนั้นอยู่ในจตุภาคใด

ผลรวมและผลต่างของไซน์ ผลรวมและผลต่างของโคไซน์

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชัน:

นอกจากสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันแล้ว สูตรสำหรับผลคูณของฟังก์ชันยังมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาด้วย:

ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างองค์ประกอบของสามเหลี่ยมเฉียง

การกำหนด:

$a$, $b$, $c$ - ด้านของรูปสามเหลี่ยม;

$A$, $B$, $C$ - มุมตรงข้ามกับด้านที่ระบุ

$p=\frac(a+b+c)(2) $ - กึ่งปริมณฑล;

$S$ - พื้นที่;

$R$ - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ;

$r$ คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

อัตราส่วนพื้นฐาน:

1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - ทฤษฎีบทไซน์;

2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - ทฤษฎีบทโคไซน์;

3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - ทฤษฎีบทแทนเจนต์;

4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-c\right)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - สูตรพื้นที่

การแก้รูปสามเหลี่ยมเฉียง

การแก้รูปสามเหลี่ยมเฉียงเกี่ยวข้องกับการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมด: ด้านข้างและมุม.

ตัวอย่างที่ 1

ให้สามด้าน $a$, $b$, $c$:

1) ในรูปสามเหลี่ยม สามารถใช้เฉพาะทฤษฎีบทโคไซน์ในการคำนวณมุม เนื่องจากค่าหลักของอาร์กโคไซน์เท่านั้นที่อยู่ภายใน $0\le \arccos x\le +\pi $ ที่สอดคล้องกับรูปสามเหลี่ยม

3) หามุม $B$ โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $, แล้วฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อกำหนดด้าน $a$, $b$ และมุม $C$ ให้กับด้านทั้งสอง:

1) หาด้าน $c$ โดยใช้ทฤษฎีโคไซน์ $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

2) หามุม $A$ โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, แล้วฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) หามุม $B$ โดยใช้สูตร $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$

ตัวอย่างที่ 3

เมื่อพิจารณาสองมุม $A$, $B$ และด้าน $c$:

1) หามุม $C$ โดยใช้สูตร $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;

2) หาด้าน $a$ โดยใช้ทฤษฎีบทของไซน์ $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $;

3) หาด้าน $b$ โดยใช้ทฤษฎีบทของไซน์ $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $

ตัวอย่างที่ 4

ให้ด้าน $a$, $b$ และมุม $B$ ตรงข้ามกับด้าน $b$:

1) เขียนทฤษฎีบทโคไซน์ $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$ โดยใช้ค่าที่กำหนด จากตรงนี้ เราจะได้สมการกำลังสอง $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)= 0$ เทียบกับด้าน $c$;

2) เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ได้แล้วในทางทฤษฎีเราสามารถรับหนึ่งในสามกรณี - ค่าบวกสองค่าสำหรับด้าน $c$, ค่าบวกหนึ่งค่าสำหรับด้าน $c$, ไม่มีค่าบวกสำหรับด้าน $c$; ดังนั้นปัญหาจะมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธีหนึ่งหรือศูนย์

3) โดยใช้ค่าบวกเฉพาะของด้าน $c$ เราจะหามุม $A$ โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2 ) )(2\cdot b\cdot c) $ แล้วฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) หามุม $C$ โดยใช้สูตร $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์สำหรับสองมุม α และ β ช่วยให้เราสามารถย้ายจากผลรวมของมุมเหล่านี้ไปเป็นผลคูณของมุม α + β 2 และ α - β 2 โปรดทราบทันทีว่าคุณไม่ควรสับสนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กับสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่าง ด้านล่างนี้เราแสดงรายการสูตรเหล่านี้ ให้ที่มา และแสดงตัวอย่างการใช้งานสำหรับงานเฉพาะ

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ลองเขียนว่าสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์มีลักษณะอย่างไร

สูตรผลรวมและผลต่างของไซน์

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2

สูตรผลรวมและผลต่างของโคไซน์

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม มุม α + β 2 และ α - β 2 เรียกว่าผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งของมุมอัลฟาและเบตา ตามลำดับ ให้เราให้สูตรสำหรับแต่ละสูตร

คำจำกัดความของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง

ผลต่างของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่ง

ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ผลต่างของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ โดยมีเครื่องหมายลบ

หาสูตรหาผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ในการหาสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะใช้สูตรบวก เราแสดงรายการไว้ด้านล่าง

บาป (α + β) = บาป α · cos β + cos α · บาป β บาป (α - β) = บาป α · cos β - cos α · บาป β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α บาป β cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

ลองจินตนาการว่ามุมต่างๆ เป็นผลรวมของผลรวมครึ่งหนึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่ง

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

เราดำเนินการโดยตรงกับการได้มาของสูตรผลรวมและผลต่างของบาปและคอส

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ในผลรวม sin α + sin β เราแทนที่ α และ β ด้วยนิพจน์สำหรับมุมเหล่านี้ที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้รับ

บาป α + บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2

ตอนนี้เราใช้สูตรการบวกกับนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองใช้สูตรสำหรับไซน์ของผลต่างมุม (ดูสูตรด้านบน)

บาป α + β 2 + α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 เปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกันและรับสูตรที่ต้องการ

บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α + β 2 คอส α - β 2

ขั้นตอนในการรับสูตรที่เหลือจะคล้ายกัน

ที่มาของสูตรผลต่างของไซน์

บาป α - บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 คอส α + β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 cos α + β 2 คอส α - β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลต่างของโคไซน์

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2

ตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ขั้นแรก ให้ตรวจสอบสูตรใดสูตรหนึ่งโดยแทนที่ค่ามุมเฉพาะลงไป ให้ α = π 2, β = π 6 ให้เราคำนวณค่าผลรวมของไซน์ของมุมเหล่านี้ อันดับแรก เราจะใช้ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากนั้นเราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบสูตรหาผลรวมของไซน์ของสองมุม

α = π 2, β = π 6 บาป π 2 + บาป π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 บาป π 2 + บาป π 6 = 2 บาป π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 บาป π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

ให้เราพิจารณากรณีที่ค่ามุมแตกต่างจากค่าพื้นฐานที่แสดงในตาราง ให้ α = 165°, β = 75° ลองคำนวณความแตกต่างระหว่างไซน์ของมุมเหล่านี้กัน

ตัวอย่างที่ 2 การใช้สูตรผลต่างของไซน์

α = 165 °, β = 75 ° sin α - บาป β = บาป 165 ° - บาป 75 ° บาป 165 - บาป 75 = 2 บาป 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 บาป 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถย้ายจากผลรวมหรือผลต่างไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรสำหรับการย้ายจากผลรวมไปสู่ผลคูณ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติและการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หัวข้อบทเรียน ผลรวมและผลต่างของไซน์ ผลรวมและผลต่างของโคไซน์

(บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

การสอน:

หาสูตรสำหรับผลรวมของไซน์และผลรวมของโคไซน์และอำนวยความสะดวกในการดูดซึมในขณะที่แก้ปัญหา

พัฒนาทักษะและความสามารถในการใช้สูตรตรีโกณมิติต่อไป

ตรวจสอบระดับการดูดซึมของเนื้อหาในหัวข้อ

เกี่ยวกับการศึกษา:

ส่งเสริมการพัฒนาทักษะการประยุกต์ใช้ความรู้อย่างอิสระ

พัฒนาทักษะการควบคุมตนเองและการควบคุมซึ่งกันและกัน

ทำงานต่อไปในการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะและคำพูดทางคณิตศาสตร์ในช่องปากเมื่อค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้น

เกี่ยวกับการศึกษา:

สอนความสามารถในการสื่อสารและฟังผู้อื่น

ปลูกฝังความเอาใจใส่และการสังเกต

กระตุ้นแรงจูงใจและความสนใจในการเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติ

อุปกรณ์:การนำเสนอ ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ สูตร

ระหว่างเรียน:

เวลาจัดงาน. - 2 นาที.

การอัพเดตความรู้พื้นฐาน การทำซ้ำ – 12 นาที

ตั้งเป้าหมาย. - 1 นาที.

การรับรู้และความเข้าใจความรู้ใหม่ - 3 นาที

การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ - 20 นาที.

การวิเคราะห์ผลสัมฤทธิ์และการแก้ไขกิจกรรม - 5 นาที.

การสะท้อน. - 1 นาที.

การบ้าน. - 1 นาที.

1. เวลาจัดงาน.(สไลด์ 1)

- สวัสดี! ตรีโกณมิติเป็นส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์ แต่ด้วยเหตุผลบางประการ นักเรียนส่วนใหญ่จึงพบว่าวิชานี้ยากที่สุด สิ่งนี้น่าจะอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามีสูตรในส่วนนี้มากกว่าสูตรอื่นๆ การแก้ปัญหาตรีโกณมิติให้สำเร็จต้องอาศัยความรู้สูตรต่างๆ มากมายอย่างมั่นใจ มีการศึกษาสูตรหลายสูตรแล้ว แต่ปรากฎว่าไม่ใช่ทั้งหมด ดังนั้น คำขวัญของบทเรียนนี้จะเป็นคำพูดของพีทาโกรัสที่ว่า "ผู้ที่เดินเป็นนายแห่งถนน แต่ผู้ที่คิดว่าเป็นนายคณิตศาสตร์" ลองคิดดูสิ!

2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน การทำซ้ำ

1) การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์พร้อมการตรวจสอบร่วมกัน(สไลด์ 2-5)

งานแรก. การใช้สูตรที่เรียนมา คำนวณ:

1 ตัวเลือก

ตัวเลือกที่ 2

บาป 390 0

cos 420 0

1 – คอส 2 30 0

1 – บาป 2 60 0

сos 120 0 ∙cos 30 0 + บาป 120 0 ∙บาป 30 0

บาป 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙บาป 150 0

คำตอบ: ; 1 ; - - - - 1 ; 1 ; - - 0 ; - 3. - การตรวจสอบร่วมกัน

เกณฑ์การให้คะแนน: (ผลงานส่งอาจารย์แล้ว)

"4" - 10 – 11

2) งานที่มีปัญหา(สไลด์ 6) – รายงานของนักเรียน

ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ:

เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ไขปัญหานี้แตกต่างออกไป? (ใช่ ใช้สูตรใหม่)

3. การตั้งเป้าหมาย(สไลด์ 7)

หัวข้อบทเรียน:
ผลรวมและผลต่างของไซน์ ผลรวมและผลต่างของโคไซน์ - เขียนลงในสมุดบันทึก

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

หาสูตรหาผลบวกและผลต่างของไซน์ ผลรวมและผลต่างของโคไซน์

สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้จริง

4. การรับรู้และความเข้าใจความรู้ใหม่ -สไลด์ 8-9)

ลองหาสูตรหาผลรวมของไซน์: - ครู

สูตรที่เหลือได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน: (สูตรสำหรับการแปลงผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์)

กฎการจำ!

สูตรตรีโกณมิติอื่นๆ ใดบ้างที่ใช้พิสูจน์สูตรการบวก

5. การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ(สไลด์ 10-11)

ใช้สูตรใหม่:

1) คำนวณ: (ที่กระดาน) - คำตอบจะเป็นอย่างไร? (ตัวเลข)

การเขียนตามคำบอกกับครู

6. การวิเคราะห์ผลสัมฤทธิ์และการแก้ไขกิจกรรม(สไลด์ 13)

สร้างความแตกต่างให้กับงานอิสระด้วยการทดสอบตัวเอง

คำนวณ:

7. การสะท้อนกลับ(สไลด์ 14)

คุณพอใจกับงานของคุณในชั้นเรียนหรือไม่?

คุณจะให้เกรดตัวเองเท่าไรตลอดบทเรียน?

ช่วงเวลาที่น่าสนใจที่สุดในบทเรียนคืออะไร?

คุณต้องมีสมาธิมากที่สุดตรงไหน?

8. การบ้าน:เรียนรู้สูตรงานแต่ละงานบนการ์ด

- สูตรเหล่านี้ช่วยให้คุณย้ายจากผลรวมหรือผลต่างของไซน์และโคไซน์ของมุมไปเป็นผลคูณของไซน์และ/หรือโคไซน์ของมุม และ ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรเหล่านี้ก่อน จากนั้นจึงแสดงที่มาของสูตร และสุดท้ายจะพิจารณาตัวอย่างการใช้งานหลายตัวอย่าง

การนำทางหน้า

รายการสูตร

ลองเขียนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กัน ดังที่คุณเข้าใจ มีสี่อัน: สองอันสำหรับไซน์ และอีกสองอันสำหรับโคไซน์

ตอนนี้ให้เราให้สูตรของพวกเขา เมื่อกำหนดสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ มุมจะเรียกว่าผลรวมครึ่งหนึ่งของมุม และมุมจะเรียกว่าผลต่างครึ่งหนึ่ง ดังนั้น,

เป็นที่น่าสังเกตว่าสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ใช้ได้กับทุกมุมและ

การหาสูตร

หากต้องการหาสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์ คุณสามารถใช้สูตรบวก โดยเฉพาะสูตรต่างๆ
ไซน์ของผลรวม
ความแตกต่างไซน์
โคไซน์ของผลรวมและ
โคไซน์ของความแตกต่าง

เรายังต้องการการแสดงมุมในรูปแบบด้วย และ - การแสดงนี้ใช้ได้ เนื่องจากสำหรับมุมใดๆ และ

ทีนี้มาดูรายละเอียดกันดีกว่า ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์ของสองมุมใจดี .

อันดับแรก เราจะแทนที่ผลรวมด้วย และต่อไป และเราได้รับ ตอนนี้ถึง ใช้ไซน์ของสูตรผลรวม และถึง - สูตรสำหรับไซน์ของผลต่าง:

หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้วเราก็จะได้ - เป็นผลให้เรามีสูตรสำหรับผลรวมของไซน์ของรูปแบบ

หากต้องการรับสูตรที่เหลือ คุณเพียงแค่ต้องทำตามขั้นตอนที่คล้ายกัน นี่คือที่มาของสูตรสำหรับผลต่างของไซน์ รวมถึงผลรวมและผลต่างของโคไซน์:

สำหรับผลต่างของโคไซน์เราได้ให้สูตรมาสองประเภทหรือ - พวกมันเทียบเท่ากันเพราะว่า ซึ่งตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ของมุมตรงข้าม

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบการพิสูจน์สูตรทั้งหมดเพื่อหาผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ตัวอย่างการใช้งาน

ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์และโคไซน์ รวมถึงผลต่างของไซน์และโคไซน์

ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบความถูกต้องของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์ของแบบฟอร์ม การ และ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คำนวณค่าด้านซ้ายและด้านขวาของสูตรสำหรับมุมที่กำหนด เนื่องจาก และ (หากจำเป็น โปรดดูตารางค่าพื้นฐานของไซน์และโคไซน์) จากนั้น . เมื่อใดและเรามี และ , แล้ว . ดังนั้นค่าของด้านซ้ายและด้านขวาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์สำหรับและตรงกันซึ่งยืนยันความถูกต้องของสูตรนี้

ในบางกรณี การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติเมื่อมุมแตกต่างจากมุมพื้นฐาน ( - ให้เรายกตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ยืนยันแนวคิดนี้

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าที่แน่นอนของความแตกต่างระหว่างไซน์ของ 165 และ 75 องศา

สารละลาย.

เราไม่ทราบค่าที่แน่นอนของไซน์ของ 165 และ 75 องศา ดังนั้นเราจึงไม่สามารถคำนวณค่าของความแตกต่างที่กำหนดได้โดยตรง แต่สูตรสำหรับผลต่างของไซน์ช่วยให้เราสามารถตอบคำถามของปัญหาได้ อันที่จริงผลรวมครึ่งหนึ่งของมุม 165 และ 75 องศาเท่ากับ 120 และผลต่างครึ่งหนึ่งเท่ากับ 45 และทราบค่าที่แน่นอนของไซน์ 45 องศาและโคไซน์ 120 องศา

ดังนั้นเราจึงมี

คำตอบ:

.

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าค่าหลักของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์คือค่าเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากผลรวมและผลต่างไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ด้วยเหตุนี้ สูตรเหล่านี้จึงมักเรียกว่าสูตรสำหรับการย้ายจาก ผลบวกของฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และสิ่งนี้ก็จะมีประโยชน์เช่นกัน เช่น เมื่อใด การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติหรือเมื่อใด การแก้สมการตรีโกณมิติ- แต่หัวข้อเหล่านี้จำเป็นต้องมีการสนทนาแยกต่างหาก

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย