ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคืออะไร? ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

หลักฐาน

ปล่อยให้เป็น เอบีซี " - สามเหลี่ยมตามอำเภอใจ พาคุณผ่านจุดสูงสุด ข เส้นตรงขนานกับเส้นตรง AC (เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นยุคลิด) มาทำเครื่องหมายจุดนั้น ง เพื่อให้คะแนน ก และ ง วางด้านตรงข้ามของเส้นตรง ค. ศ. มุม DBC และ ACB เท่ากับการไขว้ภายในที่สร้างขึ้นโดยซีแคนท์ ค. ศ ด้วยเส้นตรงคู่ขนาน AC และ BD... ดังนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด ข และ จาก เท่ากับมุม ABDผลรวมของมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ บัค... เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นด้านเดียวภายในสำหรับขนาน AC และ BD ที่ secant ABจากนั้นผลรวมของพวกเขาคือ 180 ° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

ทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมใด ๆ มีมุมแหลมสองมุม อันที่จริงการใช้การพิสูจน์โดยความขัดแย้งสมมติว่าสามเหลี่ยมมีมุมแหลมเพียงมุมเดียวหรือไม่มีมุมแหลมเลย จากนั้นสามเหลี่ยมนี้มีมุมอย่างน้อยสองมุมซึ่งแต่ละมุมมีค่าอย่างน้อย 90 ° ผลรวมของมุมเหล่านี้ไม่น้อยกว่า 180 ° และนี่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180 ° ถาม.

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีซิมเพล็กซ์

มุมระหว่าง i และ j ใบหน้าของซิมเพล็กซ์อยู่ที่ไหน

หมายเหตุ (แก้ไข)

• บนทรงกลมผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 °เสมอความแตกต่างนี้เรียกว่าส่วนเกินทรงกลมและเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของสามเหลี่ยม
• ในระนาบ Lobachevsky ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 °เสมอ ความแตกต่างยังเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย พ.ศ. 2553.

ดูว่า "ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

สมบัติของรูปหลายเหลี่ยมในเรขาคณิตยุคลิด: ผลรวมของมุม n ของ gon คือ 180 ° (n 2) สารบัญ 1 หลักฐาน 2 หมายเหตุ ... Wikipedia

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก สารบัญ 1 ... Wikipedia

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก สารบัญ 1 ข้อความ 2 หลักฐาน ... Wikipedia

ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำลังสองของด้านข้างของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านโดยไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้เป็นสองเท่าด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง สำหรับสามเหลี่ยมแบนที่มีด้าน a, b, c และมุมα ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่นดูที่สามเหลี่ยม (ความหมาย) รูปสามเหลี่ยม (ในปริภูมิยุคลิด) เป็นรูปเรขาคณิตที่เกิดจากส่วนของเส้นสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรง สามจุด, ... ... Wikipedia

สัญกรณ์มาตรฐานสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดโดยมีจุดยอด 3 จุด (มุม) และ 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่ จุดยอดของสามเหลี่ยม ...

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ เขาทำงานในเมืองอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 3 ค. ศ จ. ผลงานหลักของ "Beginning" (15 เล่ม) ที่มีรากฐานของคณิตศาสตร์โบราณของเรขาคณิตเบื้องต้นทฤษฎีจำนวนทฤษฎีความสัมพันธ์ทั่วไปและวิธีการกำหนดพื้นที่และปริมาตร ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

- (เสียชีวิตระหว่าง 275 ถึง 270 ปีก่อนคริสตกาล) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ข้อมูลเกี่ยวกับเวลาและสถานที่เกิดของเขายังไม่มาถึงเรา แต่เป็นที่ทราบกันดีว่ายูคลิดอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรียและความรุ่งเรืองของกิจกรรมของเขาตรงกับช่วงเวลาแห่งการปกครองของปโตเลมีที่ 1 ในอียิปต์ ... พจนานุกรมสารานุกรมใหญ่

รูปทรงเรขาคณิตคล้ายกับเรขาคณิตแบบยูคลิดตรงที่กำหนดการเคลื่อนที่ของตัวเลข แต่แตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดตรงที่หนึ่งในห้าสมมุติฐาน (ที่สองหรือห้า) จะถูกแทนที่ด้วยการปฏิเสธ การปฏิเสธหนึ่งในสมมุติฐานของยุคลิด ... ... สารานุกรมของถ่านหิน

เป้าหมายและวัตถุประสงค์:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ทำซ้ำและสรุปความรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยม
• พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
• ตรวจสอบความถูกต้องของคำแถลงของทฤษฎีบทจริง
• เรียนรู้ที่จะใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหา

กำลังพัฒนา:

• พัฒนาการคิดทางเรขาคณิตความสนใจในเรื่องกิจกรรมความรู้ความเข้าใจและความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียนการพูดทางคณิตศาสตร์ความสามารถในการรับความรู้อย่างอิสระ

เกี่ยวกับการศึกษา:

• พัฒนาคุณสมบัติส่วนบุคคลของนักเรียนเช่นความทุ่มเทความเพียรความถูกต้องความสามารถในการทำงานเป็นทีม

อุปกรณ์: เครื่องฉายมัลติมีเดียสามเหลี่ยมกระดาษสีศูนย์การศึกษา "คณิตศาสตร์มีชีวิต" คอมพิวเตอร์หน้าจอ

ขั้นตอนการเตรียมการ: ครูสั่งให้นักเรียนเตรียมพื้นหลังทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีบท "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม"

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

คำอวยพร. ทัศนคติทางจิตวิทยาของนักเรียนในการทำงาน

II. อุ่นเครื่อง

เราได้ทำความคุ้นเคยกับ "สามเหลี่ยม" รูปทรงเรขาคณิตในบทเรียนก่อนหน้านี้ ขอย้ำสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยม?

นักเรียนทำงานเป็นกลุ่ม พวกเขาได้รับโอกาสในการสื่อสารซึ่งกันและกันเพื่อสร้างกระบวนการแห่งความรู้ความเข้าใจอย่างอิสระ

เกิดอะไรขึ้น? แต่ละกลุ่มเสนอข้อเสนอแนะครูเขียนไว้บนกระดาน มีการหารือเกี่ยวกับผลลัพธ์:

ภาพที่ 1

สาม. เรากำหนดภารกิจของบทเรียน

ดังนั้นเราจึงรู้มากเกี่ยวกับสามเหลี่ยมแล้ว แต่ไม่ใช่ทั้งหมด แต่ละคนมีสามเหลี่ยมและไม้โปรแทรกเตอร์อยู่บนโต๊ะทำงาน คุณคิดว่าเราสามารถกำหนดงานอะไรได้บ้าง?

นักเรียนกำหนดภารกิจของบทเรียน - หาผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

IV. คำอธิบายของวัสดุใหม่

ส่วนปฏิบัติ(มีส่วนช่วยในการปรับปรุงความรู้และทักษะความรู้ด้วยตนเอง) ทำการวัดมุมโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และหาผลรวม เขียนผลลัพธ์ลงในสมุดบันทึก (ฟังคำตอบที่ได้รับ) เราพบว่าผลรวมของมุมนั้นแตกต่างกันสำหรับทุกคน (อาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากไม้โปรแทรกเตอร์ติดไม่ถูกต้องการคำนวณประมาท ฯลฯ )

โค้งงอตามเส้นประและค้นหาว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับอะไร:

และ)
รูปที่ 2

ข)
รูปที่ 3

ใน)
รูปที่ 4

ง)
รูปที่ 5

จ)
รูปที่ 6

หลังจากทำงานภาคปฏิบัติเสร็จแล้วนักเรียนจะกำหนดคำตอบ: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับการวัดองศาของมุมที่กางออกนั่นคือ 180 °

ครู: ในวิชาคณิตศาสตร์การปฏิบัติจริงทำให้สามารถพูดได้เพียงบางส่วน แต่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ คำสั่งความถูกต้องซึ่งกำหนดโดยการพิสูจน์เรียกว่าทฤษฎีบท ทฤษฎีบทใดที่เราสามารถกำหนดและพิสูจน์ได้?

นักเรียน: มุมของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา

การอ้างอิงประวัติศาสตร์:คุณสมบัติของผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมถูกกำหนดขึ้นในอียิปต์โบราณ ข้อพิสูจน์ที่ระบุไว้ในหนังสือเรียนสมัยใหม่มีอยู่ในข้อคิดเห็นของ Proclus เกี่ยวกับหลักการของยุคลิด Proclus อ้างว่าหลักฐานนี้ (รูปที่ 8) ถูกค้นพบโดยชาวพีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือเล่มแรกขององค์ประกอบ Euclid ได้กำหนดข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมซึ่งง่ายต่อการเข้าใจด้วยความช่วยเหลือของรูปวาด (รูปที่ 7):

รูปที่ 7

รูปที่ 8

ภาพวาดจะแสดงบนหน้าจอผ่านโปรเจ็กเตอร์

ครูแนะนำให้ใช้ภาพวาดเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท

จากนั้นทำการพิสูจน์โดยใช้ CMK "Living Mathematics"... ครูฉายการพิสูจน์ทฤษฎีบทบนคอมพิวเตอร์

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม: "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 °"

รูปที่ 9

หลักฐาน:

และ)

รูปที่ 10

ข)

รูปที่ 11

ใน)

รูปที่ 12

นักเรียนในสมุดบันทึกจดบันทึกสั้น ๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบท: มุมของสามเหลี่ยมรวมกันได้ถึง 180 °

รูปที่ 13

ให้:Δ ABC

พิสูจน์: A + B + C \u003d 180 °

หลักฐาน:

สิ่งที่ต้องพิสูจน์

V. ร่างกาย นาที.

Vi. คำอธิบายเนื้อหาใหม่ (ต่อ)

ข้อสรุปจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมถูกอนุมานโดยนักเรียนโดยอิสระสิ่งนี้ก่อให้เกิดการพัฒนาความสามารถในการกำหนดมุมมองของตนเองแสดงออกและโต้แย้ง:

ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ มุมทั้งหมดเป็นมุมแหลมหรือมุมแหลมสองมุมและมุมที่สามเป็นมุมป้านหรือตรง.

หากมุมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยมมีความคมจะเรียกว่า มุมแหลม.

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมป้านจะเรียกว่า ป้าน.

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมเป็นเส้นตรงจะเรียกว่า สี่เหลี่ยม.

ทฤษฎีบทผลรวมสามเหลี่ยมช่วยให้คุณจำแนกรูปสามเหลี่ยมไม่เพียง แต่ตามด้านข้างเท่านั้น แต่ยังแบ่งตามมุมด้วย (ในการแนะนำประเภทของรูปสามเหลี่ยมให้นักเรียนกรอกข้อมูลในตาราง)

ตารางที่ 1

มุมมองสามเหลี่ยม	หน้าจั่ว	ด้านเท่ากัน	อเนกประสงค์
สี่เหลี่ยม
ป้าน
มุมแหลม

vii. การรวมวัสดุที่ศึกษา

1. แก้ปัญหาด้วยปากเปล่า:

(ภาพวาดจะแสดงบนหน้าจอผ่านโปรเจ็กเตอร์)

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ในบทเรียนเรื่องเรขาคณิตที่โรงเรียนนักเรียนจะได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมนูนก่อน ในไม่ช้าพวกเขาจะพบว่าตัวเลขนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก ไม่ว่ามันจะซับซ้อนแค่ไหนผลรวมของมุมทั้งภายในและภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเป็นค่าที่กำหนดอย่างเคร่งครัด ในบทความนี้ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์และฟิสิกส์จะพูดถึงผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับเท่าใด

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน

คุณจะพิสูจน์สูตรนี้ได้อย่างไร?

ก่อนดำเนินการพิสูจน์ข้อความนี้ขอให้เราจำรูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่านูน รูปหลายเหลี่ยมนูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ด้านหนึ่งของเส้นที่มีด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่นที่แสดงในรูปนี้:

หากรูปหลายเหลี่ยมไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุจะเรียกว่าไม่นูน ตัวอย่างเช่นสิ่งนี้:

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ไหน

การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมซึ่งเด็กนักเรียนทุกคนรู้จักกันดี ฉันแน่ใจว่าทฤษฎีบทนี้คุ้นเคยกับคุณเช่นกัน ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ

แนวคิดคือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลาย ๆ ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี หลักฐานจะแตกต่างกันเล็กน้อยขึ้นอยู่กับวิธีที่เราเลือก

1. แบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งดึงมาจากจุดยอดบางจุด เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่า n-gon ของเราจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม:

ยิ่งไปกว่านั้นผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมที่ได้ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของมุมของ n-gon ของเรา ท้ายที่สุดแล้วแต่ละมุมในรูปสามเหลี่ยมที่ได้คือมุมบางส่วนของบางมุมในรูปหลายเหลี่ยมนูนของเรา นั่นคือจำนวนเงินที่ต้องการจะเท่ากับ

2. คุณยังสามารถเลือกจุดภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนและเชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมด จากนั้น n-gon ของเราจะถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม:

ยิ่งไปกว่านั้นผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมในกรณีนี้จะเท่ากับผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้ลบด้วยมุมกลางซึ่งเท่ากับ นั่นคือจำนวนเงินที่ต้องการจะเท่ากับอีกครั้ง

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ตอนนี้ให้เราถามตัวเองว่า: อะไรคือผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน? คำตอบสำหรับคำถามนี้มีดังนี้ มุมด้านนอกแต่ละมุมติดกับมุมด้านในที่ตรงกัน ดังนั้นจึงเท่ากับ:

จากนั้นผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดคือ นั่นคือมันมีค่าเท่ากัน

นั่นคือได้ผลลัพธ์ที่ตลกมาก ถ้าเราวางมุมด้านนอกทั้งหมดของ n-gon ที่นูนตามลำดับทีละมุมดังนั้นผลที่ได้คือระนาบทั้งหมด

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจนี้สามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ มาลดสัดส่วนทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมนูนจนรวมกันเป็นจุด หลังจากสิ่งนี้เกิดขึ้นมุมด้านนอกทั้งหมดจะถูกเลื่อนออกจากกันและทำให้เต็มระนาบทั้งหมด

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจไม่ใช่เหรอ? และมีข้อเท็จจริงมากมายในรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นเรียนรู้เรขาคณิตนักเรียนที่รัก!

วัสดุเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับที่จัดทำโดย Sergey Valerievich

ส่วน: คณิตศาสตร์

การนำเสนอ . (สไลด์ 1)

ประเภทบทเรียน:บทเรียนในการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• เกี่ยวกับการศึกษา:
  • พิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
  • แสดงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในการแก้ปัญหา
• เกี่ยวกับการศึกษา:
  • ส่งเสริมทัศนคติที่ดีของนักเรียนต่อความรู้
  • ให้ความรู้แก่นักเรียนโดยใช้บทเรียนด้วยความมั่นใจในตนเอง
• กำลังพัฒนา:
  • การพัฒนาการคิดวิเคราะห์
  • การพัฒนา "ทักษะการเรียนรู้": ใช้ความรู้ทักษะและความสามารถในกระบวนการศึกษา
  • การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะความสามารถในการกำหนดความคิดของตนอย่างชัดเจน

อุปกรณ์:ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบการนำเสนอการ์ด

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

- วันนี้ในบทเรียนเราจะนึกถึงคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยมด้านเท่า มาดูคุณสมบัติของมุมสามเหลี่ยมกันอีกครั้ง การใช้คุณสมบัติของมุมตัดด้านเดียวและด้านในเราพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

II. ปากเปล่า(สไลด์ 2)

1) ค้นหารูปสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามเหลี่ยมด้านเท่าในรูป
2) กำหนดรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้
3) กำหนดคุณสมบัติของมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าและหน้าจั่ว

4) ในรูป KE II NH (สไลด์ 3)

- ระบุซีแคนต์สำหรับบรรทัดเหล่านี้
- ค้นหามุมด้านเดียวภายในมุมไขว้ภายในตั้งชื่อคุณสมบัติ

สาม. คำอธิบายของวัสดุใหม่

ทฤษฎีบท.ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 °

ตามการกำหนดของทฤษฎีบทพวกเขาสร้างภาพวาดเขียนเงื่อนไขข้อสรุป การตอบคำถามพวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างอิสระ

ให้: พิสูจน์:

หลักฐาน:

1. ลากเส้น BD II AC ผ่านจุดยอด B ของสามเหลี่ยม
2. ระบุซีแคนต์สำหรับเส้นขนาน
3. แล้วมุม CBD และ ACB ล่ะ? (ทำบันทึก)
4. เรารู้อะไรบ้างเกี่ยวกับมุม CAB และ ABD? (ทำบันทึก)
5. แทนที่มุม CBD ด้วยมุม ACB
6. ทำข้อสรุป

IV. เติมประโยคให้สมบูรณ์(สไลด์ 4)

1. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ ...
2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมหนึ่งเท่ากันอีกมุมที่สามของสามเหลี่ยมเท่ากับ ...
3. ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ ...
4. มุมของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ ...
5. มุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ ...
6. ถ้ามุมระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับ 1000 มุมที่ฐานคือ ...

V. ประวัติเล็กน้อย(สไลด์ 5-7)

ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180 0 นี่เป็นหนึ่งในสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตของยุคลิด เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่นักเรียนศึกษา เรขาคณิตถูกกำหนดโดยวิทยาศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง

อะไรกระตุ้นให้ชาวกรีกโบราณพัฒนารูปทรงเรขาคณิต? ความจำเป็นในการวัดสนามทุ่งหญ้า - พื้นที่ของพื้นผิวโลก ในเวลาเดียวกันชาวกรีกโบราณยอมรับว่าพื้นผิวของโลกเป็นแนวนอนและแบน เมื่อคำนึงถึงสมมติฐานนี้สัจพจน์ของ Euclid ถูกสร้างขึ้นรวมถึงผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมใน 180 0

สัจพจน์ถูกเข้าใจว่าเป็นคำสั่งที่ไม่ต้องการการพิสูจน์ สิ่งนี้ควรเข้าใจอย่างไร? มีการแสดงความปรารถนาที่เหมาะสมกับบุคคลนั้นจากนั้นจะได้รับการยืนยันด้วยภาพประกอบ แต่ทุกสิ่งที่พิสูจน์ไม่ได้คือนิยายซึ่งไม่ได้อยู่ในความเป็นจริง

การที่พื้นผิวโลกเป็นแนวนอนชาวกรีกโบราณจึงใช้รูปแบบของโลกแบนโดยอัตโนมัติ แต่มีลักษณะแตกต่างกัน - เป็นทรงกลม ไม่มีระนาบแนวนอนและเส้นตรงในธรรมชาติเลยเนื่องจากแรงโน้มถ่วงทำให้อวกาศโค้งงอ เส้นตรงและระนาบแนวนอนพบเฉพาะในสมองของศีรษะมนุษย์

ดังนั้นรูปทรงเรขาคณิตของ Euclid ซึ่งอธิบายถึงรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกสมมติจึงเป็นแบบจำลอง - สำเนาที่ไม่มีต้นฉบับ

สัจพจน์ประการหนึ่งของ Euclid กล่าวว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 0 ในความเป็นจริงในอวกาศโค้งจริงหรือบนพื้นผิวทรงกลมของโลกผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 0 เสมอ

เราให้เหตุผลเช่นนี้ เส้นเมริเดียนใด ๆ บนโลกตัดกับเส้นศูนย์สูตรที่มุม 90 0 เพื่อให้ได้รูปสามเหลี่ยมคุณต้องย้ายเส้นเมริเดียนอีกเส้นหนึ่งให้ห่างจากเส้นเมริเดียน ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมระหว่างเส้นเมอริเดียนและด้านข้างของเส้นศูนย์สูตรจะเท่ากับ 180 0 แต่จะยังมีมุมที่เสา. ดังนั้นผลรวมของมุมทั้งหมดจะมากกว่า 180 0

หากที่เสาด้านข้างตัดกันที่มุม 90 0 ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็น 270 0 เส้นเมอริเดียนสองเส้นที่ตัดกับเส้นศูนย์สูตรที่มุมฉากในสามเหลี่ยมนี้จะขนานกันและที่ขั้วตัดกันที่มุม 90 0 จะกลายเป็นเส้นตั้งฉาก ปรากฎว่าเส้นขนานสองเส้นบนระนาบเดียวกันไม่เพียง แต่ตัดกัน แต่ฉันสามารถตั้งฉากที่ขั้วได้ด้วย

แน่นอนว่าด้านข้างของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะไม่เป็นเส้นตรง แต่เป็นรูปนูนซึ่งทำซ้ำรูปทรงกลมของโลก แต่นี่คือโลกแห่งอวกาศที่แท้จริง

รูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่จริงโดยคำนึงถึงความโค้งในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1820-1866) แต่เด็กนักเรียนไม่ได้รับแจ้งเกี่ยวกับเรื่องนี้

ดังนั้นเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งอยู่ในรูปแบบของโลกที่ราบเรียบโดยมีพื้นผิวแนวนอนซึ่งในความเป็นจริงไม่มีอยู่จริงจึงเป็นแบบจำลอง Nootic คือรูปทรงเรขาคณิตของ Riemann โดยคำนึงถึงความโค้งของพื้นที่ ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมในนั้นมากกว่า 180 0