การพิสูจน์.พื้นที่ฉายภาพของรูปสามเหลี่ยม
ก) ให้ด้านใดด้านหนึ่งเช่น AC ของสามเหลี่ยม ABC ที่ฉายไว้ขนานกับเส้นตรง l=α∩π (รูปที่ 9) หรือนอนทับไว้

ตามทฤษฎีบทของเส้นตั้งฉากสามเส้น เส้น B 1 H 1 - เส้นโครงตั้งฉากของเส้น BH - ตั้งฉากกับเส้น l ดังนั้นส่วน B 1 H 1 คือความสูงของสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 . นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ดังนั้น, .
b) ไม่มีด้านใดของสามเหลี่ยม ABC ที่ออกแบบไว้ขนานกับเส้นตรง l (รูปที่ 10) ผมจะลากเส้นผ่านแต่ละจุดยอดของสามเหลี่ยมขนานกับเส้น l เส้นหนึ่งอยู่ระหว่างอีกสองเส้น (ในรูปคือเส้น m) ดังนั้น จึงแยกสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสามเหลี่ยม ABD และ ACD โดยมีความสูง BH และ CE ตามลำดับ โดยลากไปที่ด้านร่วมของ AD (หรือเส้นต่อเนื่อง) ซึ่งขนานกัน l เส้น m 1 - เส้นโครงตั้งฉากของเส้น m - ยังแยกสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 - เส้นโครงตั้งฉากของสามเหลี่ยม ABC - เป็นรูปสามเหลี่ยม A 1 B 1 D 1 และ A 1 C 1 D 1 โดยที่ เมื่อพิจารณา (9) และ (10) แล้ว ฉันก็เข้าใจแล้ว

ขอให้เราระลึกว่ามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบคือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับเส้นโครงบนระนาบ (รูปที่ 164)

ทฤษฎีบท. พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉายภาพคูณด้วยโคไซน์ของมุมที่เกิดจากระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉายภาพ

รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมซึ่งผลรวมของพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของรูปสามเหลี่ยม

ให้ \(\Delta\)ABC ถูกฉายลงบนเครื่องบิน ร- ลองพิจารณาสองกรณี:

a) ด้านใดด้านหนึ่ง \(\Delta\)ABC ขนานกับระนาบ ร;

b) ไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของ \(\Delta\)ABC ที่ขนานกัน ร.

ลองพิจารณาดู กรณีแรก: ให้ [AB] || ร.

ให้เราวาดระนาบผ่าน (AB) ร 1 - รและฉายภาพ \(\Delta\)ABC ตั้งฉากลงบน ร 1 และต่อไป ร(รูปที่ 165); เราได้รับ \(\Delta\)ABC 1 และ \(\Delta\)ABC

โดยคุณสมบัติการฉายภาพ เรามี \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC ดังนั้น

S \(\เดลต้า\)ABC1 = ส \(\เดลต้า\)เอบีซี

มาวาด ⊥ และส่วน D 1 C 1 กัน จากนั้น ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ คือค่าของมุมระหว่างระนาบ \(\Delta\) ABC และระนาบ ร 1. นั่นเป็นเหตุผล

S \(\เดลต้า\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |ค 1 วัน 1 | = 1/2 |เอบี| |ซีดี1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

และด้วยเหตุนี้ S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ

เรามาพิจารณากันต่อไป กรณีที่สอง- มาวาดเครื่องบินกันเถอะ ร 1 || รผ่านจุดยอดนั้น \(\Delta\)ABC ซึ่งเป็นระยะห่างจากจุดนั้นถึงระนาบ รที่เล็กที่สุด (ให้นี่คือจุดยอด A)

มาออกแบบ \(\Delta\)ABC บนเครื่องบินกันดีกว่า ร 1 และ ร(รูปที่ 166); ให้เส้นโครงเป็น \(\Delta\)AB 1 C 1 และ \(\Delta\)ABC ตามลำดับ

ให้ (BC)\(\cap\) พี 1 = ง. จากนั้น

S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

งาน.ระนาบถูกลากผ่านด้านฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่มุม φ = 30° ไปยังระนาบของฐาน ค้นหาพื้นที่ของหน้าตัดที่เกิดหากด้านข้างของฐานปริซึม ก= 6 ซม.

ให้เราพรรณนาถึงภาพตัดขวางของปริซึมนี้ (รูปที่ 167) เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ขอบด้านข้างจึงตั้งฉากกับระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่า \(\Delta\)ABC เป็นการฉายภาพของ \(\Delta\)ADC ดังนั้น
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
หรือ
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

หลักฐานโดยละเอียดของทฤษฎีบทการฉายภาพหลายเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเป็นการฉายภาพแบบแฟลต n -ไปที่ระนาบ แล้วมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับอยู่ที่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉายและโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบฉายภาพและระนาบของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉาย

การพิสูจน์. ฉัน เวที. เรามาพิสูจน์สามเหลี่ยมกันก่อน ลองพิจารณา 5 กรณี

1 เคส. นอนอยู่ในระนาบการฉายภาพ .

อนุญาต เป็นเส้นโครงของจุดบนระนาบ ตามลำดับ ในกรณีของเรา สมมุติว่า. อนุญาต ให้เป็นความสูง จากนั้นตามทฤษฎีบทของสามตั้งฉากเราสามารถสรุปได้ว่า - ความสูง (- การฉายภาพของความเอียง - ฐานและเส้นตรงตัดผ่านฐานของความเอียง และ)

ลองพิจารณาดู มันเป็นสี่เหลี่ยม. ตามคำจำกัดความของโคไซน์:

ในทางกลับกัน เนื่องจาก และ จากนั้น ตามคำจำกัดความคือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดขึ้นจากระนาบครึ่งหนึ่งของระนาบและมีเส้นตรงที่มีขอบเขต ดังนั้น การวัดของมันคือการวัดมุมระหว่าง ระนาบของการฉายภาพสามเหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง

ลองหาอัตราส่วนของพื้นที่ต่อ:

โปรดทราบว่าสูตรยังคงเป็นจริงแม้ว่าเมื่อใดก็ตาม ในกรณีนี้

กรณีที่ 2 อยู่ในระนาบการฉายภาพเท่านั้น และขนานกับระนาบการฉายภาพ .

อนุญาต เป็นเส้นโครงของจุดบนระนาบ ตามลำดับ ในกรณีของเรา

ลองวาดเส้นตรงผ่านจุด ในกรณีของเรา เส้นตรงตัดกับระนาบการฉายภาพ ซึ่งหมายความว่าด้วยบทแทรก เส้นตรงจะตัดกับระนาบการฉายภาพด้วย ให้สิ่งนี้อยู่ที่จุด เนื่องจากจุดนั้นอยู่ในระนาบเดียวกัน และเนื่องจากมันขนานกับระนาบการฉายภาพ ดังนั้นเนื่องจากสัญญาณของความขนานของเส้นตรงและระนาบจึงเป็นไปตามนั้น ดังนั้นจึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลองพิจารณาและ. พวกมันเท่ากันทั้งสามด้าน (ด้านร่วมเหมือนด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) โปรดทราบว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมีขนาดเท่ากัน (ที่ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก) ดังนั้นทั้งสามด้านจึงเท่ากัน นั่นเป็นเหตุผล

สำหรับกรณีที่ 1: เช่น...

กรณีที่ 3 อยู่ในระนาบการฉายภาพเท่านั้น และไม่ขนานกับระนาบการฉายภาพ .

ให้จุดนั้นเป็นจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบการฉายภาพ สังเกตว่าและ. ใน 1 กรณี: ฉัน. ดังนั้นเราจึงได้สิ่งนั้น

กรณีที่ 4 จุดยอดไม่อยู่ในระนาบการฉายภาพ - ลองดูตั้งฉากกัน ลองหาอันที่เล็กที่สุดในบรรดาตั้งฉากเหล่านี้กัน ให้มันตั้งฉาก. อาจกลายเป็นว่าเป็นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น แล้วเราจะเอายังไงก็ได้..

ให้เราแยกจุดออกจากจุดบนเซ็กเมนต์ เพื่อจุดนั้น และจากจุดบนเซกเมนต์ จุด เช่นนั้น โครงสร้างนี้เป็นไปได้เนื่องจากเป็นเส้นตั้งฉากที่เล็กที่สุด โปรดทราบว่าเป็นการประมาณการและโดยการก่อสร้าง ให้เราพิสูจน์สิ่งนั้นและเท่าเทียมกัน

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ตามเงื่อนไข - ตั้งฉากกับระนาบเดียว ดังนั้น ตามทฤษฎีบท ดังนั้น เนื่องจากโดยการก่อสร้าง จากนั้นจึงขึ้นอยู่กับลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (โดยด้านขนานและด้านตรงข้ามที่เท่ากัน) เราสามารถสรุปได้ว่ามันคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน วิธี, . ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า . ดังนั้นและเท่ากันทั้งสามด้าน นั่นเป็นเหตุผล โปรดสังเกตว่า และ เนื่องจากด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น ตามความขนานของระนาบ . เนื่องจากระนาบเหล่านี้ขนานกัน พวกมันจึงสร้างมุมเดียวกันกับระนาบฉายภาพ

กรณีก่อนหน้านี้มีผลบังคับใช้:.

กรณีที่ 5 ระนาบการฉายภาพตัดกันด้านข้าง - ลองดูเส้นตรง. พวกมันตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ ดังนั้นตามทฤษฎีบทพวกมันจึงขนานกัน สำหรับรังสีโคไดนามิกที่มีต้นกำเนิดที่จุด เราจะพล็อตส่วนที่เท่ากันตามลำดับ เพื่อให้จุดยอดอยู่นอกระนาบการฉายภาพ โปรดทราบว่าเป็นการประมาณการและโดยการก่อสร้าง ให้เราแสดงว่ามันเท่ากัน.

ตั้งแต่นั้นมาและโดยการก่อสร้างแล้ว ดังนั้น ตามลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สองด้านเท่ากันและขนานกัน) จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันว่า และ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่แล้ว และ (ในฐานะด้านตรงข้าม) จึงเท่ากันทั้งสามด้าน วิธี, .

นอกจากนี้และด้วยเหตุนี้จึงขึ้นอยู่กับความขนานของระนาบ เนื่องจากระนาบเหล่านี้ขนานกัน พวกมันจึงสร้างมุมเดียวกันกับระนาบฉายภาพ

สำหรับกรณีที่ 4:.

ครั้งที่สอง เวที. ลองแบ่งรูปหลายเหลี่ยมแบนออกเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยใช้เส้นทแยงมุมที่ดึงมาจากจุดยอด: จากนั้น ตามกรณีก่อนหน้าสำหรับรูปสามเหลี่ยม: .

Q.E.D.