ANGLE KATI YA MIPANGO
Fikiria ndege mbili α 1 na α 2, iliyopewa, mtawaliwa, na equations:
Chini ya pembe kati ya ndege mbili tunamaanisha moja ya pembe za dihedral iliyoundwa na ndege hizi. Kwa wazi, pembe kati ya vectors kawaida na ndege α 1 na α 2 ni sawa na moja ya pembe zilizoonyeshwa za dihedral zilizo karibu au 
... kwa hivyo 
... Kwa sababu 
na 
, basi
.
Mfano. Kuamua pembe kati ya ndege x+2y-3z+ 4 = 0 na 2 x+3y+z+8=0.
Hali ya kufanana kwa ndege mbili.
Ndege mbili α 1 na α 2 ni sawa ikiwa na ikiwa tu vectors zao za kawaida na ni sawa, ambayo inamaanisha 
.
Kwa hivyo, ndege mbili zinafanana kwa kila mmoja ikiwa na ikiwa tu coefficients katika kuratibu zinazofanana ni sawa:
au
Hali ya utaftaji wa ndege.
Ni wazi kwamba ndege mbili ni za moja kwa moja ikiwa na ikiwa tu veta zao za kawaida ni za kawaida, na kwa hivyo, au.
Kwa hivyo,.
Mifano.
SAWA NAFASI.
VIFAA VYA MSTARI WA VECTOR.
VIFAA VYA MFANO WA MSTARI
Msimamo wa laini moja kwa moja katika nafasi imedhamiriwa kabisa kwa kubainisha yoyote ya alama zake zilizowekwa M 1 na vector inayofanana na mstari huu.
Vector inayofanana na laini moja kwa moja inaitwa kuongoza vector ya mstari huu.
Kwa hivyo iwe sawa l hupitia hatua hiyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) amelala kwenye mstari wa moja kwa moja sambamba na vector.
Fikiria hatua ya kiholela M (x, y, z) kwenye mstari ulionyooka. Takwimu inaonyesha hiyo 
.
Vectors na ni collinear, kwa hivyo kuna idadi kama hiyo t, nini, sababu iko wapi t inaweza kuchukua thamani yoyote ya nambari kulingana na nafasi ya uhakika M kwenye mstari ulio sawa. Sababu t inaitwa parameter. Kuonyesha vectors ya eneo la alama M 1 na M mtawaliwa kupitia na, tunapata. Mlinganyo huu unaitwa vector equation ya mstari sawa. Inaonyesha kuwa kwa kila thamani ya parameta t inalingana na vector ya radius ya hatua fulani M amelala kwenye mstari ulio sawa.
Wacha tuandike usawa huu kwa fomu ya kuratibu. Angalia, kwamba, 
na kutoka hapa
Usawa unaosababishwa unaitwa parametri equations ya mstari wa moja kwa moja.
Wakati wa kubadilisha parameter t inaratibu mabadiliko x, y na z na onyesha M huenda kwa mstari ulio sawa.
Usawa sawa wa Canonical
Hebu iwe M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ni hatua iliyolala kwenye laini moja kwa moja l, na 
Je, ni vector ya mwelekeo wake. Tena, chukua hatua ya kiholela kwenye mstari ulio sawa M (x, y, z) na fikiria vector.
Ni wazi kuwa vectors na ni collinear, kwa hivyo kuratibu zao zinazolingana lazima ziwe sawia, kwa hivyo
– kanuni equations ya mstari wa moja kwa moja.
Sema 1. Kumbuka kuwa hesabu za kisheria za laini moja kwa moja zinaweza kupatikana kutoka kwa zile za parametric kwa kuondoa parameter t... Kwa kweli, kutoka kwa hesabu za parametric tunapata 
au .
Mfano. Andika equation ya mstari sawa 
kwa fomu ya parametric.
Tunaashiria 
, kutoka hapa x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Sema 2. Wacha laini moja kwa moja iwe sawa na moja ya shoka za kuratibu, kwa mfano, mhimili Ng'ombe... Kisha vector inayoongoza ni ya kawaida Ng'ombe, Kwa hivyo, m= 0. Kwa hivyo, hesabu za parametric ya laini moja kwa moja huchukua fomu
Kuondoa parameter kutoka kwa equations t, tunapata equations ya mstari wa moja kwa moja kwa fomu
Walakini, katika kesi hii pia, tunakubali kuandika rasmi hesabu za kisheria za laini moja kwa moja katika fomu 
... Kwa hivyo, ikiwa dhehebu la moja ya sehemu ni sifuri, basi hii inamaanisha kuwa mstari huo ni sawa na mhimili unaofanana wa uratibu.
Vivyo hivyo, hesabu za kisheria 
inalingana na mstari wa moja kwa moja sawa na shoka Ng'ombe na Oy au sambamba na mhimili Oz.
Mifano.
VIFAA VYA JUMLA VYA MSTARI KWA AJILI YA UJINGA WA MIPANGO MIWILI
Idadi zisizohesabika za ndege hupita kila mstari wa moja kwa moja angani. Wawili kati yao, wakikatiza, wanafafanua katika nafasi. Kwa hivyo, hesabu za ndege hizo mbili, zinazozingatiwa pamoja, zinawakilisha usawa wa laini hii iliyonyooka.
Kwa ujumla, ndege zozote mbili zisizo sawa zinazotolewa na hesabu za jumla
fafanua mstari wa makutano yao. Hesabu hizi zinaitwa equations jumla sawa.
Mifano.
Jenga laini moja kwa moja iliyotolewa na equations 
Ili kujenga laini moja kwa moja, inatosha kupata alama zake mbili. Njia rahisi ni kuchagua alama za makutano ya mstari na ndege za kuratibu. Kwa mfano, hatua ya makutano na ndege xOy sisi kupata kutoka equations ya mstari wa moja kwa moja, kuweka z= 0:
Baada ya kutatua mfumo huu, tunapata uhakika M 1 (1;2;0).
Vivyo hivyo, kuweka y= 0, tunapata uhakika wa makutano ya mstari ulionyooka na ndege xOz:
Kutoka kwa equations ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, unaweza kwenda kwa hesabu zake za kisheria au za parametric. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata hatua M 1 kwenye mstari wa moja kwa moja na vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.
Kuratibu za uhakika M 1 itapatikana kutoka kwa mfumo huu wa equations kwa kupeana thamani ya kiholela kwa moja ya kuratibu. Ili kupata vector ya mwelekeo, kumbuka kuwa vector hii lazima iwe sawa kwa vectors zote za kawaida 
na 
... Kwa hivyo, nyuma ya vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja l tunaweza kuchukua bidhaa ya msalaba ya vectors kawaida:
.
Mfano. Toa hesabu za jumla za laini iliyonyooka 
kwa fomu ya kisheria.
Pata nukta iliyolala kwenye mstari ulionyooka. Ili kufanya hivyo, sisi huchagua moja ya kuratibu, kwa mfano, y= 0 na utatue mfumo wa equations:
Wataalamu wa kawaida wa ndege wanaofafanua mstari ulio sawa wana kuratibu 
Kwa hivyo, vector inayoongoza ya laini moja kwa moja itakuwa
... Kwa hivyo, l: 
.
ANGLE KATI YA UWANGO
Kona kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe zozote zilizo karibu zilizoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kwa njia ya kiholela inayofanana na data.
Wacha mistari miwili iliyonyooka ipewe katika nafasi:
Kwa wazi, pembe kati ya mistari iliyonyooka inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vector za mwelekeo wao na. Kwa kuwa, basi, kulingana na fomula ya cosine ya pembe kati ya vectors, tunapata
Nitakuwa mfupi. Pembe kati ya mistari miwili ni sawa na pembe kati ya vectors ya mwelekeo wao. Kwa hivyo, ikiwa unaweza kupata kuratibu za vector mwelekeo a = (x 1; y 1; z 1) na b = (x 2; y 2; z 2), unaweza kupata pembe. Kwa usahihi, cosine ya pembe na fomula:
Wacha tuone jinsi fomula hii inafanya kazi na mifano maalum:
Kazi. Pointi E na F zimewekwa alama kwenye mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - alama za katikati za kingo za A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.
Kwa kuwa pembeni ya mchemraba haujaonyeshwa, tunaweka AB = 1. Tambulisha mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko katika hatua A, shoka x, y, z zimeelekezwa kando ya AB, AD na AA 1, mtawaliwa. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Sasa tunapata kuratibu za vector za mwelekeo kwa mistari yetu.
Wacha tupate kuratibu za vector AE. Ili kufanya hivyo, tunahitaji alama A = (0; 0; 0) na E = (0.5; 0; 1). Kwa kuwa kumweka E ni katikati ya sehemu A 1 B 1, kuratibu zake ni sawa na maana ya hesabu ya kuratibu za mwisho. Kumbuka kuwa asili ya vector AE inafanana na asili, kwa hivyo AE = (0.5; 0; 1).
Sasa wacha tushughulikie vector BF. Vivyo hivyo, tunachanganua alama B = (1; 0; 0) na F = (1; 0.5; 1), kwa sababu F - katikati ya sehemu B 1 C 1. Tuna:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Kwa hivyo vector za mwelekeo ziko tayari. Cosine ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni cosine ya pembe kati ya vector mwelekeo, kwa hivyo tuna:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya trihedral ABCA 1 B 1 C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama D na E zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AD na BE.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, mhimili wa x umeelekezwa kando ya AB, z - pamoja na AA 1. Tunaelekeza mhimili wa y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya ABC. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Pata kuratibu za vector za mwelekeo kwa laini zilizotafutwa.
Kwanza, wacha tupate kuratibu za vector ya AD. Fikiria vidokezo: A = (0; 0; 0) na D = (0.5; 0; 1), kwa sababu D - sehemu ya katikati ya sehemu A 1 B 1. Kwa kuwa asili ya vector AD inafanana na asili, tunapata AD = (0.5; 0; 1).
Sasa wacha tupate kuratibu za vector BE. Uhakika B = (1; 0; 0) ni rahisi. Na kumweka E - katikati ya sehemu C 1 B 1 - ni ngumu zaidi. Tuna:
Inabaki kupata cosine ya pembe:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama K na L zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AK na BL.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kiwango cha prism: weka asili ya kuratibu katikati ya msingi wa chini, elekeza mhimili wa x kando ya FC, mhimili wa y kupitia vituo vya sehemu za AB na DE, na z- mhimili wima juu. Sehemu ya kitengo tena ni sawa na AB = 1. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:
Pointi K na L ni alama za katikati za sehemu A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kupitia maana ya hesabu. Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AK na BL:
Sasa wacha tupate cosine ya pembe:
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama E na F zimewekwa alama - alama za katikati za pande za SB na SC, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, shoka za x na y zinaelekezwa kando ya AB na AD, mtawaliwa, na mhimili wa z umeelekezwa wima juu. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1.
Pointi E na F ni alama za katikati za sehemu SB na SC, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kama maana ya hesabu ya mwisho. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AE na BF:
Kuratibu za vector AE sanjari na kuratibu za uhakika E, kwani uhakika A ndio asili. Inabaki kupata cosine ya pembe:
Ufafanuzi. Ikiwa mistari miwili iliyonyooka y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 imepewa, basi pembe ya papo hapo kati ya mistari hii iliyonyooka itafafanuliwa kama
Mistari miwili iliyonyooka ni sawa ikiwa k 1 = k 2. Mistari miwili iliyonyooka ni sawa ikiwa k 1 = -1 / k 2.
Nadharia. Mistari iliyonyooka Ax + Vy + C = 0 na A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ni sawa wakati mgawo wa sawia A 1 = λA, B 1 = λB. Ikiwa pia С 1 = λС, basi mistari inafanana. Uratibu wa hatua ya makutano ya mistari miwili iliyonyooka hupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations wa mistari hii iliyonyooka.
Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita nukta fulani
Inayohusiana na mstari huu
Ufafanuzi. Mstari wa moja kwa moja unapita kupitia hatua M 1 (x 1, y 1) na sawa kwa mstari wa moja kwa moja y = kx + b inawakilishwa na equation:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Nadharia. Ikiwa hatua M (x 0, y 0) imepewa, basi umbali wa mstari wa moja kwa moja Ax + Vy + C = 0 imedhamiriwa kama
.
Uthibitisho. Wacha kumweka M 1 (x 1, y 1) iwe msingi wa kiambatisho kilichoporomoka kutoka kwa alama M kwenda kwenye laini iliyonyooka. Kisha umbali kati ya alama M na M 1:
(1)
Kuratibu x 1 na y 1 zinaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations:
Mlingano wa pili wa mfumo ni equation ya laini moja kwa moja inayopita nukta iliyopewa M 0 kwa njia ya mstari ulionyooka. Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Na 0 + C = 0,
kisha, kutatua, tunapata:
Kubadilisha maneno haya kuwa sawa (1), tunapata:
Theorem imethibitishwa.
Mfano... Tambua pembe kati ya mistari iliyonyooka: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Mfano... Onyesha kuwa mistari iliyonyooka 3x - 5y + 7 = 0 na 10x + 6y - 3 = 0 ni ya moja kwa moja.
Suluhisho... Tunapata: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, kwa hivyo, mistari iliyonyooka ni sawa.
Mfano... Vipeo vya pembetatu A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) hutolewa. Pata equation ya urefu uliochorwa kutoka kwa vertex C.
Suluhisho... Tunapata equation ya upande AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Usawa unaohitajika wa urefu ni: Ax + By + C = 0 au y = kx + b. k =. Kisha y =. Kwa sababu urefu hupita kupitia hatua C, kisha kuratibu zake zinaridhisha usawa huu: 
wapi b = 17. Jumla:. 
Jibu: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Mlinganyo wa laini iliyonyooka kupita kwenye nukta iliyopewa kwa mwelekeo uliopewa. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita alama mbili zilizopewa. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka. Hali ya ulinganifu na upeo wa mistari miwili. Uamuzi wa hatua ya makutano ya mistari miwili
1. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita nukta fulani A(x 1 , y 1) katika mwelekeo uliopewa uliowekwa na mteremko k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Mlingano huu unafafanua kifungu cha mistari iliyonyooka inayopita kwenye hatua hiyo A(x 1 , y 1), ambayo huitwa katikati ya boriti.
2. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita alama mbili: A(x 1 , y 1) na B(x 2 , y 2) imeandikwa kama ifuatavyo:
Mteremko wa laini moja kwa moja unapita kwenye vidokezo viwili umedhamiriwa na fomula
3. Angle kati ya mistari iliyonyooka A na B inaitwa pembe ambayo unahitaji kugeuza laini ya kwanza iliyonyooka A karibu na hatua ya makutano ya mistari hii kinyume cha saa mpaka inalingana na mstari wa pili B... Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja imepewa na equations na mteremko
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
basi pembe kati yao imedhamiriwa na fomula
Kumbuka kuwa katika hesabu ya sehemu, mteremko wa laini ya kwanza moja kwa moja hutolewa kutoka mteremko wa laini ya pili ya moja kwa moja.
Ikiwa equations ya mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa fomu ya jumla
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
pembe kati yao imedhamiriwa na fomula
4. Masharti ya ulinganifu wa mistari miwili:
a) Ikiwa mistari iliyonyooka imepewa na equations (4) na mteremko, basi hali ya lazima na ya kutosha kwa ulinganifu wao iko katika usawa wa mteremko wao:
k 1 = k 2 . (8)
b) Kwa kesi wakati mistari iliyonyooka inapewa na equations kwa jumla (6), hali ya lazima na ya kutosha kwa ulinganifu wao ni kwamba coefficients katika kuratibu zinazofanana za sasa katika hesabu zao ni sawia, i.e.
5. Masharti ya utaftaji wa mistari miwili:
a) Katika kesi wakati mistari iliyonyooka inapewa na equations (4) na mteremko, hali ya lazima na ya kutosha kwa utaftaji wao ni kwamba mteremko wao ni sawa kwa ukubwa na kinyume na ishara, i.e.
Hali hii pia inaweza kuandikwa kama
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ikiwa hesabu za mistari iliyonyooka zimetolewa kwa jumla (6), basi hali ya upeo wao (muhimu na ya kutosha) inajumuisha utimilifu wa usawa
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Uratibu wa hatua ya makutano ya mistari miwili iliyonyooka hupatikana kwa kutatua mfumo wa equations (6). Mistari iliyonyooka (6) inapita ikiwa na ikiwa tu
1. Andika milinganyo ya mistari iliyonyooka inayopitia nukta M, moja ambayo ni sawa na nyingine ni sawa na laini iliyotolewa moja kwa moja l.
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Kwa hivyo, tutaendelea na sehemu ya kwanza, natumai, mwishoni mwa nakala hiyo nitadumisha sura ya kufurahi ya akili.
Msimamo wa jamaa wa mistari miwili iliyonyooka
Kesi wakati watazamaji wanaimba pamoja na kwaya. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:
1) mechi;
2) kuwa sambamba :;
3) au ungana kwa wakati mmoja:.
Msaada kwa Dummies : tafadhali kumbuka ishara ya hisabati ya makutano, itakuwa kawaida sana. Rekodi inaonyesha kwamba mstari unapita na mstari kwa hatua.
Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili iliyonyooka?
Wacha tuanze na kesi ya kwanza:
Mistari miwili ya moja kwa moja inafanana ikiwa na ikiwa tu coefficients zao zinazofanana ni sawia, ambayo ni kwamba, kuna idadi kubwa ya "lambdas" kwamba usawa
Fikiria mistari iliyonyooka na tunga hesabu tatu kutoka kwa coefficients zinazofanana:. Inafuata kutoka kwa kila mlingano kwamba, kwa hivyo, mistari hii inafanana.
Kwa kweli, ikiwa ni coefficients zote za equation 
kuzidisha na -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation 
imepunguzwa na 2, unapata usawa sawa:.
Kesi ya pili, wakati mistari ni sawa:
Mistari miwili ya moja kwa moja ni sawa ikiwa na ikiwa tu coefficients zao za vigezo ni sawa: 
, lakini.
Kama mfano, fikiria mistari miwili. Tunaangalia usawa wa coefficients inayolingana kwa anuwai: 
Walakini, ni wazi kabisa kuwa.
Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:
Mistari miwili iliyonyooka inapita ikiwa na ikiwa tu coefficients zao za vigeuzi HAKIWA sawia, ambayo ni, HAKUNA thamani ya lambda kwamba usawa hutimizwa 
Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutatunga mfumo: 
Kutoka kwa mlingano wa kwanza inafuata hiyo, na kutoka kwa mlinganyo wa pili :, kwa hivyo, mfumo haufanani(hakuna suluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigeuzi sio sawa.
Hitimisho: mistari inapita
Katika shida za kiutendaji, unaweza kutumia mpango wa suluhisho uliozingatiwa tu. Kwa njia, ni sawa na algorithm ya kukagua vectors kwa collinearity, ambayo tumezingatia katika somo Dhana ya utegemezi wa laini (isiyo) ya vectors. Msingi wa vectors... Lakini kuna ufungaji zaidi wa kistaarabu:
Mfano 1
Tafuta msimamo wa jamaa wa mistari iliyonyooka: 
Suluhisho kulingana na utafiti wa vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
a) Kutoka kwa equations tunapata vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
.
, kwa hivyo vectors sio collinear na mistari hupishana.
Ikiwezekana, nitaweka jiwe na viashiria kwenye njia panda:
Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata, moja kwa moja kwa Kashchei the Immortal =)
b) Pata vector za mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
Mistari ina mwelekeo sawa wa vector, ambayo inamaanisha kuwa zinafanana au zinafanana. Hakuna haja ya kuhesabu kitambulisho hapa pia.
Kwa wazi, coefficients ya haijulikani ni sawia, wakati.
Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli: 
Kwa hivyo,
c) Pata vector za mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
Wacha tuhesabu hesabu inayojumuisha kuratibu za vectors hizi: 
kwa hivyo vector za mwelekeo ni koli. Mistari inaweza kuwa sawa au sanjari.
Mgawo wa usawa "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vectors wa mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations wenyewe: 
.
Sasa wacha tujue ikiwa usawa ni kweli. Masharti yote ya bure ni sifuri, kwa hivyo:
Thamani inayosababisha inakidhi equation hii (nambari yoyote kwa ujumla inairidhisha).
Kwa hivyo, mistari inafanana.
Jibu:
Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) jinsi ya kusuluhisha shida inayozingatiwa kwa mdomo kihalisi kwa sekunde chache. Katika suala hili, sioni sababu ya kutoa chochote kwa suluhisho huru, ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:
Jinsi ya kujenga laini moja kwa moja sambamba na ile uliyopewa?
Kwa ujinga wa kazi hii rahisi, Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.
Mfano 2
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Linganisha mstari sawa wa moja kwa moja ambao unapitia hatua.
Suluhisho: Wacha tuonyeshe barua moja kwa moja isiyojulikana. Je! Hali hiyo inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua hiyo. Na ikiwa mistari iliyonyooka ni sawa, basi ni dhahiri kwamba vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ujenzi wa mstari wa moja kwa moja "de".
Tunachukua vector ya mwelekeo kutoka kwa equation:
Jibu:
Jiometri ya mfano inaonekana moja kwa moja: 
Uthibitishaji wa uchanganuzi una hatua zifuatazo:
1) Tunaangalia kuwa mistari ina vector sawa ya mwelekeo (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vectors watakuwa collinear).
2) Angalia ikiwa hatua inakidhi equation iliyopatikana.
Mapitio ya uchambuzi ni katika hali nyingi rahisi kufanya kwa mdomo. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaona haraka ulinganifu wa mistari iliyonyooka bila kuchora yoyote.
Mifano ya suluhisho la kujifanya leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado unapaswa kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.
Mfano 3
Fanya equation ya laini moja kwa moja ikipitia hatua inayofanana na mstari wa moja kwa moja ikiwa
Kuna suluhisho la busara na sio la busara sana. Njia fupi ni mwisho wa somo.
Tumefanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya kushikamana na mistari iliyonyooka haifai sana, kwa hivyo fikiria shida ambayo unajua kwako kutoka kwa mtaala wa shule:
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?
Ikiwa sawa 
intersect kwa uhakika, basi kuratibu zake ni suluhisho mifumo ya usawa sawa 
Jinsi ya kupata uhakika wa makutano ya mistari? Tatua mfumo.
Sana kwako maana ya kijiometri ya mfumo wa equations mbili za mstari katika haijulikani mbili Je! Kuna mistari miwili ya kukatiza (mara nyingi) moja kwa moja kwenye ndege.
Mfano 4
Pata hatua ya makutano ya mistari
Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - picha na uchambuzi.
Njia ya picha ni kuchora tu mistari ya data na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa kuchora: 
Hapa kuna maoni yetu: Kuangalia, unapaswa kuchukua nafasi ya kuratibu zake katika kila equation ya laini moja kwa moja, zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za hoja ni suluhisho la mfumo. Kimsingi, tuliangalia njia ya kusuluhisha mifumo ya usawa sawa na hesabu mbili, mbili zisizojulikana.
Njia ya kielelezo, kwa kweli, sio mbaya, lakini kuna shida kubwa. Hapana, ukweli sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hii, ukweli ni kwamba itachukua muda kupata mchoro sahihi na SAWA. Kwa kuongezea, mistari mingine iliyonyooka sio rahisi sana kujenga, na sehemu ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali pengine katika ufalme thelathini nje ya karatasi ya daftari.
Kwa hivyo, ni muhimu zaidi kutafuta sehemu ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tutatue mfumo: 
Ili kutatua mfumo, njia ya nyongeza ya muda-kwa-muda ya equations ilitumika. Ili kujenga ujuzi unaofaa, tembelea somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?
Jibu:
Hundi ni ndogo - uratibu wa sehemu ya makutano lazima iridhishe kila usawa katika mfumo.
Mfano 5
Pata hatua ya makutano ya mistari ikiwa inapita.
Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Ni rahisi kugawanya kazi hiyo kwa hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kile kinachohitajika:
1) Tengeneza equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Tengeneza equation ya mstari ulio sawa.
3) Tafuta msimamo wa jamaa wa mistari iliyonyooka.
4) Ikiwa mistari inapita, basi pata sehemu ya makutano.
Ukuaji wa algorithm ya vitendo ni kawaida kwa shida nyingi za kijiometri, na nitazingatia hii mara kwa mara.
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa mafunzo:
Jozi ya viatu bado haijachakaa, tulipofika kwenye sehemu ya pili ya somo:
Mistari ya moja kwa moja inayofanana. Umbali kutoka hatua hadi mstari.
Angle kati ya mistari iliyonyooka
Wacha tuanze na kazi ya kawaida na muhimu sana. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga laini moja kwa moja na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitabadilika nyuzi 90:
Jinsi ya kujenga laini moja kwa moja kwa moja?
Mfano 6
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Sawa mstari wa perpendicular kupitia hatua.
Suluhisho: Kwa hali inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja. Kwa kuwa mistari ni ya moja kwa moja, ujanja ni rahisi:
Kutoka kwa equation "ondoa" vector ya kawaida :, ambayo itakuwa vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja.
Wacha tutunge equation ya mstari wa moja kwa moja na hatua na vector ya mwelekeo:
Jibu: 
Wacha tueneze mchoro wa kijiometri:
Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia wa machungwa.
Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:
1) Chukua vector za mwelekeo kutoka kwa equations 
na kwa msaada bidhaa ya dot ya vectors tunafikia hitimisho kwamba mistari iliyonyooka ni ya kweli :.
Kwa njia, unaweza kutumia vectors kawaida, ni rahisi zaidi.
2) Angalia ikiwa hatua inakidhi equation iliyopatikana 
.
Cheki, tena, ni rahisi kufanya kwa maneno.
Mfano 7
Pata hatua ya makutano ya mistari inayoendana ikiwa equation inajulikana 
na onyesha.
Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Kuna vitendo kadhaa katika kazi hiyo, kwa hivyo ni rahisi kuandaa suluhisho kwa hatua.
Safari yetu ya kusisimua inaendelea:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Mbele yetu kuna ukanda wa moja kwa moja wa mto na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vizuizi, na njia bora zaidi itakuwa harakati kando ya moja kwa moja. Hiyo ni, umbali kutoka kwa hatua hadi mstari wa moja kwa moja ni urefu wa mstari wa perpendicular.
Umbali katika jiometri kijadi inaashiria na herufi ya Uigiriki "ro", kwa mfano: - umbali kutoka kwa hatua "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".
Umbali kutoka hatua hadi mstari 
imeonyeshwa na fomula
Mfano 8
Pata umbali kutoka hatua hadi mstari ulionyooka 
Suluhisho: kinachohitajika ni kubadilisha kwa uangalifu nambari kwenye fomula na kutekeleza mahesabu:
Jibu: 
Wacha tutekeleze mchoro: 
Umbali kutoka hatua hadi mstari uliopatikana ni sawa kabisa na urefu wa laini nyekundu. Ikiwa utatengeneza kuchora kwenye karatasi ya cheki kwa kiwango cha kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.
Fikiria kazi nyingine kwa ramani hiyo hiyo:
Kazi ni kupata kuratibu za nukta ambayo ni sawa na hatua kwa heshima na mstari ulionyooka 
... Ninapendekeza kufanya vitendo mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:
1) Tafuta laini iliyo sawa na laini.
2) Tafuta hatua ya makutano ya mistari: 
.
Vitendo vyote viwili vimefunikwa kwa undani katika somo hili.
3) Jambo ni katikati ya sehemu ya mstari. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya ncha. Na fomula za kuratibu katikati ya sehemu tunapata.
Haitakuwa mbaya kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.
Shida hapa zinaweza kutokea kwa mahesabu, lakini kwenye mnara, kikokotoo kidogo husaidia sana, hukuruhusu kuhesabu sehemu ndogo. Mara kwa mara inashauriwa, itashauri na tena.
Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?
Mfano 9
Pata umbali kati ya mistari miwili inayofanana
Huu ni mfano mwingine wa suluhisho la kujitegemea. Wacha nikupe kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kuisuluhisha. Kujadili mwisho wa somo, lakini bora jaribu kujifikiria mwenyewe, nadhani umeweza kutawanya ujanja wako vizuri.
Angle kati ya mistari miwili iliyonyooka
Kila pembe ni jamb: 
Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka inachukuliwa kama pembe ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kuwa haiwezi kufifia. Katika kielelezo, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haihesabiwi kama pembe kati ya mseto wa mistari iliyonyooka. Na jirani yake "kijani" huzingatiwa kama hivyo, au inayoelekezwa kinyume Kona ya "Crimson".
Ikiwa mistari iliyonyooka iko sawa, basi pembe zozote nne zinaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.
Je! Pembe hutofautianaje? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo wa kona "kusogeza" ni muhimu kimsingi. Pili, pembe iliyoelekezwa vibaya imeandikwa na ishara ya kuondoa, kwa mfano, ikiwa.
Kwanini nilikwambia hivi? Inaonekana kwamba dhana ya kawaida ya pembe inaweza kutolewa na. Ukweli ni kwamba katika njia ambazo tutapata pembe, unaweza kupata matokeo mabaya kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya kuondoa sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe hasi, hakikisha kuonyesha mwelekeo wake na mshale (saa moja kwa moja).
Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna kanuni mbili za kufanya kazi:
Mfano 10
Pata pembe kati ya mistari iliyonyooka
Suluhisho na Njia ya kwanza
Fikiria mistari miwili iliyonyooka iliyotolewa na equations kwa jumla: 
Ikiwa sawa sio ya pekee, basi inayoelekezwa pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: 
Wacha tuangalie kwa makini dhehebu - hii ndio haswa bidhaa ya scalar vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
Ikiwa, basi dhehebu la fomula linatoweka, na vector watakuwa wa orthhogonal na mistari iliyonyooka ni sawa. Ndio maana uhifadhi ulifanywa juu ya kutokuwa kwa upana wa mistari iliyonyooka katika uundaji.
Kulingana na yaliyotangulia, ni rahisi kuandaa suluhisho kwa hatua mbili:
1) Mahesabu ya bidhaa ya scalar ya vectors ya mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
, kwa hivyo mistari iliyonyooka sio sawa.
2) Pembe kati ya mistari iliyonyooka inapatikana kwa fomula:
Kutumia kazi ya kugeuza, ni rahisi kupata kona yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):
Jibu: 
Katika jibu, tunaonyesha thamani halisi, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana kwa digrii na katika radians), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.
Kweli, toa, kwa hivyo kuondoa, hiyo ni sawa. Hapa kuna mfano wa kijiometri: 
Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa na mwelekeo hasi, kwa sababu katika taarifa ya shida nambari ya kwanza ni laini moja kwa moja na "kupotosha" kwa pembe kulianza nayo.
Ikiwa kweli unataka kupata pembe nzuri, unahitaji kubadilisha mistari iliyonyooka, ambayo ni kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili 
, na coefficients huchukuliwa kutoka kwa equation ya kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na laini moja kwa moja 
.
Maagizo
Kumbuka
Kipindi cha kazi ya trigonometric ya tangent ni digrii 180, ambayo inamaanisha kuwa mteremko wa mistari iliyonyooka hauwezi, kwa thamani kamili, kuzidi thamani hii.
Ushauri muhimu
Ikiwa mteremko ni sawa na kila mmoja, basi pembe kati ya mistari kama hiyo ni 0, kwani mistari kama hiyo inaambatana au ni sawa.
Kuamua thamani ya pembe kati ya kuvuka mistari iliyonyooka, ni muhimu kusonga mistari miwili ya moja kwa moja (au moja yao) kwenye nafasi mpya kwa kutumia njia inayofanana ya kuhamisha kabla ya kuvuka. Baada ya hapo, unapaswa kupata thamani ya pembe kati ya mistari inayosababishwa ya kuingiliana.
Utahitaji
- Mtawala, pembetatu ya kulia, penseli, protractor.
Maagizo
Kwa hivyo, wacha vekta V = (a, b, c) na ndege A x + B y + C z = 0 itolewe, ambapo A, B na C ni uratibu wa kawaida N. Kisha cosine ya pembe α kati ya vectors V na N ni sawa na: сos α = (a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Ili kuhesabu thamani ya pembe kwa digrii au mionzi, unahitaji kuhesabu kazi inverse kwa cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. cosine inverse: α = arssos ((A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Mfano: pata sindano kati vector(5, -3, 8) na ndege iliyotolewa na equation ya jumla 2 x - 5 y + 3 z = 0 Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N = (2, -5, 3). Badili maadili yote yanayojulikana katika fomula iliyo hapo juu: cos α = (10 + 15 + 24) / -3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.
Video Zinazohusiana
Mstari wa moja kwa moja ambao una nukta moja sawa na duara ni laini kwa duara. Kipengele kingine cha tangent ni kwamba kila wakati ni sawa na eneo linalopatikana kwa ncha tangent, ambayo ni kwamba, tangent na radius huunda laini moja kwa moja. sindano... Ikiwa kutoka hatua moja Tangents mbili hutolewa kwenye mduara AB na AC, basi kila wakati ni sawa na kila mmoja. Kuamua pembe kati ya tangents ( sindano ABC) hutengenezwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.
Maagizo
Kuamua pembe, unahitaji kujua eneo la mduara OB na OS na umbali wa hatua ya kuanza kwa tangent kutoka katikati ya mduara - O. Kwa hivyo, pembe ABO na ASO ni sawa, eneo la OB , kwa mfano, cm 10, na umbali wa katikati ya duara AO ni cm 15. Tambua urefu wa yule aliyekengeuka kando ya fomula kulingana na nadharia ya Pythagorean: AB = mzizi wa mraba wa AO2 - OB2 au 152 - 102 = 225 - 100 = 125;