Utafiti wa kitu kama hicho cha uchambuzi wa hisabati kama kazi ni muhimu sana maana na katika maeneo mengine ya sayansi. Kwa mfano, katika uchambuzi wa kiuchumi tabia inahitajika kutathminiwa kila wakati kazi faida, yaani kuamua kubwa yake maana na kuandaa mkakati wa kuifanikisha.
Maagizo
Utafiti wa tabia yoyote unapaswa kuanza na utaftaji wa kikoa cha ufafanuzi. Kawaida, kulingana na hali ya shida fulani, ni muhimu kuamua kubwa zaidi maana kazi ama juu ya eneo hili lote, au kwa muda maalum wake na mipaka iliyo wazi au iliyofungwa.
Kulingana na , kubwa zaidi ni maana kazi y(x0), ambapo kwa nukta yoyote katika kikoa cha ufafanuzi y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) inashikilia kwa uhakika wowote. Kielelezo, hatua hii itakuwa ya juu zaidi ikiwa maadili ya hoja yamewekwa kando ya mhimili wa abscissa, na kazi yenyewe kwenye mhimili wa kuratibu.
Ili kuamua kubwa zaidi maana kazi, fuata algorithm ya hatua tatu. Tafadhali kumbuka kuwa lazima uweze kufanya kazi na upande mmoja na , pamoja na kuhesabu derivative. Kwa hivyo, acha kazi fulani y(x) itolewe na unahitaji kupata kubwa zaidi maana kwa muda fulani na maadili ya mipaka A na B.
Jua ikiwa muda huu uko ndani ya wigo wa ufafanuzi kazi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuipata kwa kuzingatia vikwazo vyote vinavyowezekana: kuwepo kwa sehemu, mizizi ya mraba, nk katika kujieleza. Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya maadili ya hoja ambayo kazi yake inaeleweka. Amua ikiwa muda uliotolewa ni sehemu yake ndogo. Ikiwa ndio, basi nenda kwa hatua inayofuata.
Tafuta derivative kazi na kutatua mlinganyo unaotokana kwa kusawazisha derivative kwa sifuri. Kwa njia hii utapata maadili ya kinachojulikana kama alama za stationary. Tathmini ikiwa angalau moja kati yao ni ya muda A, B.
Katika hatua ya tatu, fikiria vidokezo hivi na ubadilishe maadili yao kwenye kazi. Kulingana na aina ya muda, fanya hatua zifuatazo za ziada. Ikiwa kuna sehemu ya fomu [A, B], pointi za mpaka zinajumuishwa katika muda; Hesabu Maadili kazi kwa x = A na x = B. Ikiwa muda umefunguliwa (A, B), maadili ya mipaka yamepigwa, i.e. hazijajumuishwa ndani yake. Tatua vikomo vya upande mmoja vya x→A na x→B. Muda wa pamoja wa fomu [A, B) au (A, B), ambayo moja ya mipaka yake ni yake, nyingine haipati kikomo cha upande mmoja kwani x inaelekea thamani iliyochomwa, na ubadilishe nyingine muda usio na kikomo wa pande mbili (-∞, +∞) au vipindi visivyo na mwisho vya upande mmoja wa fomu: , (-∞, B) Kwa kikomo halisi A na B, endelea kulingana na kanuni zilizoelezwa tayari, na kwa zisizo na kikomo, tafuta mipaka ya x→-∞ na x→+∞, mtawalia.
Jukumu katika hatua hii
Na ili kutatua utahitaji ujuzi mdogo wa mada. Inayofuata inaisha mwaka wa masomo, kila mtu anataka kwenda likizo, na kuleta wakati huu karibu, mara moja nitafikia hatua:
Wacha tuanze na eneo. Eneo linalotajwa katika hali hiyo ni mdogo imefungwa seti ya pointi kwenye ndege. Kwa mfano, seti ya pointi imefungwa na pembetatu, ikiwa ni pamoja na pembetatu nzima (ikiwa kutoka mipaka"chomoa" angalau nukta moja, basi eneo halitafungwa tena). Katika mazoezi, pia kuna maeneo ya maumbo ya mstatili, pande zote na ngumu zaidi. Ikumbukwe kwamba katika nadharia ya uchambuzi wa hisabati ufafanuzi mkali hutolewa mapungufu, kutengwa, mipaka, nk., lakini nadhani kila mtu anafahamu dhana hizi kwa kiwango cha angavu, na sasa hakuna kitu zaidi kinachohitajika.
Sehemu ya gorofa inaonyeshwa kwa kawaida na barua, na, kama sheria, imeainishwa kwa uchanganuzi - kwa hesabu kadhaa. (sio lazima mstari); mara chache ukosefu wa usawa. Kitenzi cha kawaida: "eneo lililofungwa lililofungwa kwa mistari."
Sehemu muhimu ya kazi inayozingatiwa ni ujenzi wa eneo katika kuchora. Jinsi ya kufanya hivyo? Unahitaji kuchora mistari yote iliyoorodheshwa (katika kesi hii 3 moja kwa moja) na kuchambua kilichotokea. Eneo lililotafutwa huwa na kivuli kidogo, na mpaka wake umewekwa alama ya mstari mnene: 
Eneo sawa linaweza pia kuweka usawa wa mstari: , ambayo kwa sababu fulani mara nyingi huandikwa kama orodha iliyoorodheshwa badala ya mfumo.
Kwa kuwa mpaka ni wa mkoa, basi usawa wote, kwa kweli, mlegevu.
Na sasa kiini cha kazi. Fikiria kwamba mhimili unatoka moja kwa moja kuelekea wewe kutoka asili. Fikiria kipengele ambacho kuendelea kwa kila eneo la uhakika. Grafu ya chaguo hili la kukokotoa inawakilisha baadhi uso, na furaha ndogo ni kwamba kutatua tatizo la leo hatuhitaji kujua jinsi uso huu unavyoonekana. Inaweza kuwa iko juu, chini, kuingilia ndege - yote haya haijalishi. Na yafuatayo ni muhimu: kulingana na Nadharia za Weierstrass, kuendelea V mdogo imefungwa eneo kitendakazi hufikia thamani yake kuu ("ya juu") na mdogo zaidi ("chini zaidi") maadili ambayo yanahitaji kupatikana. Maadili kama haya yanapatikana au V pointi za stationary, mali ya mkoaD , au katika sehemu ambazo ziko kwenye mpaka wa eneo hili. Hii inasababisha algorithm rahisi na ya uwazi ya suluhisho:
Mfano 1
Katika mdogo eneo lililofungwa
Suluhisho: Kwanza kabisa, unahitaji kuonyesha eneo kwenye mchoro. Kwa bahati mbaya, ni vigumu kitaalam kwangu kutengeneza kielelezo shirikishi cha tatizo, na kwa hiyo nitawasilisha mara moja kielelezo cha mwisho, ambacho kinaonyesha mambo yote "ya kutiliwa shaka" yaliyopatikana wakati wa utafiti. Kawaida zimeorodheshwa moja baada ya nyingine kama inavyogunduliwa: 
Kulingana na utangulizi, ni rahisi kuvunja uamuzi katika mambo mawili:
I) Tafuta vituo vya kusimama. Hii hatua ya kawaida ambayo tulifanya mara kwa mara darasani kuhusu extrema ya vigezo kadhaa:
Kupatikana stationary uhakika ni mali maeneo: (weka alama kwenye mchoro), ambayo inamaanisha tunapaswa kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua fulani:
- kama katika makala Thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu, nitaangazia matokeo muhimu kwa herufi nzito. Ni rahisi kuwafuata kwenye daftari na penseli.
Zingatia furaha yetu ya pili - hakuna maana katika kuangalia hali ya kutosha kwa hali ya juu. Kwa nini? Hata kama kwa hatua kazi inafikia, kwa mfano, kima cha chini cha ndani, basi hii HAIMAANISHI kuwa thamani inayotokana itakuwa Ndogo mkoa mzima (tazama mwanzo wa somo kuhusu kupindukia bila masharti) .
Nini cha kufanya ikiwa eneo la stationary SI mali ya mkoa? Karibu hakuna chochote! Ikumbukwe kwamba na kuendelea na hatua inayofuata.
II) Tunachunguza mpaka wa kanda.
Kwa kuwa mpaka una pande za pembetatu, ni rahisi kugawanya utafiti katika vifungu 3. Lakini ni bora kutofanya hivyo hata hivyo. Kwa mtazamo wangu, kwanza ni faida zaidi kuzingatia sehemu zinazofanana na shoka za kuratibu, na kwanza kabisa, zile zinazolala kwenye shoka zenyewe. Ili kufahamu mlolongo mzima na mantiki ya vitendo, jaribu kusoma mwisho "kwa pumzi moja":
1) Hebu tushughulike na upande wa chini wa pembetatu. Ili kufanya hivyo, badilisha moja kwa moja kwenye kitendakazi:
Vinginevyo, unaweza kuifanya kama hii: 
Kijiometri hii ina maana kwamba kuratibu ndege (ambayo pia hutolewa na equation)"huchonga" nje ya nyuso parabola "ya anga", ambayo juu yake mara moja inakuja chini ya tuhuma. Hebu tujue yuko wapi:
- thamani iliyosababishwa "ilianguka" kwenye eneo hilo, na inaweza kugeuka kuwa kwa uhakika (iliyowekwa alama kwenye mchoro) chaguo za kukokotoa hufikia thamani kubwa au ndogo zaidi katika eneo zima. Njia moja au nyingine, wacha tufanye mahesabu:
"Wagombea" wengine ni, bila shaka, mwisho wa sehemu. Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye vidokezo 
(iliyowekwa alama kwenye mchoro):
Hapa, kwa njia, unaweza kufanya ukaguzi mdogo wa mdomo kwa kutumia toleo la "kuvuliwa": 
2) Kusoma upande wa kulia wa pembetatu, ibadilishe kwa kazi na "weka vitu kwa mpangilio":
Hapa tutafanya ukaguzi mbaya mara moja, "tukipigia" mwisho uliochakatwa wa sehemu:
, Kubwa.
Hali ya kijiometri inahusiana na hatua ya awali:
- thamani iliyosababishwa pia "ilikuja katika nyanja ya masilahi yetu," ambayo inamaanisha tunahitaji kuhesabu ni kazi gani katika sehemu inayoonekana ni sawa na:
Wacha tuchunguze mwisho wa pili wa sehemu:
Kwa kutumia kipengele 
, wacha tufanye ukaguzi wa udhibiti: 
3) Pengine kila mtu anaweza nadhani jinsi ya kuchunguza upande uliobaki. Tunaibadilisha katika kazi na kufanya kurahisisha:
Mwisho wa sehemu 
tayari zimefanyiwa utafiti, lakini katika rasimu bado tunaangalia kama tumepata kazi kwa usahihi 
:
- sanjari na matokeo ya kifungu kidogo cha 1;
- sanjari na matokeo ya aya ndogo ya 2.
Inabakia kujua ikiwa kuna kitu chochote cha kuvutia ndani ya sehemu hiyo:
- Kuna! Kubadilisha mstari wa moja kwa moja kwenye equation, tunapata uratibu wa "kuvutia" hii:
Tunaweka alama kwenye mchoro na kupata thamani inayolingana ya kazi:
Hebu tuangalie mahesabu kwa kutumia toleo la "bajeti". 
:
, agizo.
Na hatua ya mwisho: Tunaangalia kwa uangalifu nambari zote "za ujasiri", ninapendekeza kwamba wanaoanza hata watengeneze orodha moja: 
ambayo tunachagua maadili makubwa na madogo zaidi. Jibu Hebu tuandike kwa mtindo wa tatizo la kutafuta thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu:
Ikiwezekana, nitatoa maoni tena juu ya maana ya kijiometri ya matokeo:
- hapa ni sehemu ya juu ya uso katika kanda;
- hapa ni hatua ya chini kabisa ya uso katika eneo hilo.
Katika kazi iliyochambuliwa, tulitambua pointi 7 za "tuhuma", lakini idadi yao inatofautiana kutoka kwa kazi hadi kazi. Kwa kanda ya triangular, kiwango cha chini cha "seti ya utafiti" kina pointi tatu. Hii hutokea wakati kazi, kwa mfano, inabainisha ndege- ni wazi kabisa kuwa hakuna alama za kusimama, na kazi inaweza kufikia maadili yake ya juu / ndogo tu kwenye wima ya pembetatu. Lakini kuna mfano mmoja tu au mbili zinazofanana - kawaida lazima ushughulike na zingine uso wa utaratibu wa 2.
Ukisuluhisha kazi kama hizo kidogo, basi pembetatu zinaweza kugeuza kichwa chako, na ndiyo sababu nimekuandalia mifano isiyo ya kawaida ili kuifanya iwe mraba :))
Mfano 2
Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa 
katika eneo lililofungwa, mdogo kwa mistari
Mfano 3
Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo dogo lililofungwa.
Tahadhari maalum Zingatia mpangilio wa busara na mbinu ya kusoma mpaka wa mkoa, na pia kwa mlolongo wa ukaguzi wa kati, ambao karibu utaepuka kabisa makosa ya hesabu. Kwa ujumla, unaweza kuitatua kwa njia yoyote unayopenda, lakini katika baadhi ya matatizo, kwa mfano, katika Mfano wa 2, kuna kila nafasi ya kufanya maisha yako kuwa magumu zaidi. Sampuli ya takriban ya kazi za mwisho mwishoni mwa somo.
Wacha tupange algorithm ya suluhisho, vinginevyo kwa bidii yangu kama buibui, kwa njia fulani ilipotea kwenye safu ndefu ya maoni ya mfano wa 1:
- Katika hatua ya kwanza, tunajenga eneo, ni vyema kuifanya kivuli na kuonyesha mpaka kwa mstari wa ujasiri. Wakati wa suluhisho, pointi zitaonekana ambazo zinahitajika kuweka alama kwenye kuchora.
- Pata alama za stationary na uhesabu maadili ya kazi tu katika hao ambayo ni ya mkoa. Tunaangazia maadili yanayotokana katika maandishi (kwa mfano, duru kwa penseli). Iwapo sehemu tuliyosimama SI ya eneo, basi tunatia alama ukweli huu kwa ikoni au kwa maneno. Ikiwa hakuna alama za stationary kabisa, basi tunatoa hitimisho lililoandikwa kwamba hawapo. Kwa hali yoyote, hatua hii haiwezi kuruka!
- Tunachunguza mpaka wa mkoa. Kwanza, ni vyema kuelewa mistari iliyonyooka ambayo ni sambamba na shoka za kuratibu (ikiwa kuna yoyote). Pia tunaangazia maadili ya kazi yaliyohesabiwa katika sehemu za "tuhuma". Mengi yamesemwa hapo juu juu ya mbinu ya suluhisho na kitu kingine kitasemwa hapa chini - soma, soma tena, chunguza ndani yake!
- Kutoka kwa nambari zilizochaguliwa, chagua maadili makubwa na madogo na upe jibu. Wakati mwingine hutokea kwamba kazi hufikia maadili hayo kwa pointi kadhaa mara moja - katika kesi hii, pointi hizi zote zinapaswa kuonyeshwa kwenye jibu. Hebu, kwa mfano, 
na ikawa hivyo thamani ndogo. Kisha tunaandika hilo
Mifano ya mwisho imejitolea kwa wengine mawazo yenye manufaa ambayo itakuwa muhimu katika mazoezi:
Mfano 4
Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo lililofungwa 
.
Nimehifadhi uundaji wa mwandishi, ambapo eneo limetolewa kwa njia ya usawa mara mbili. Hali hii inaweza kuandikwa na mfumo sawa au katika hali ya kitamaduni zaidi kwa tatizo hili: 
Nakukumbusha na isiyo ya mstari tulikumbana na ukosefu wa usawa kwenye , na ikiwa huelewi maana ya kijiometri ya nukuu, basi tafadhali usicheleweshe na ueleze hali sasa hivi;-)
Suluhisho, kama kawaida, huanza na kujenga eneo ambalo linawakilisha aina ya "pekee": 
Hmm, wakati mwingine lazima utafuna sio tu granite ya sayansi ...
I) Tafuta vidokezo vya kusimama: 
Mfumo ni ndoto ya idiot :) 
Sehemu ya stationary ni ya mkoa, ambayo ni, iko kwenye mpaka wake.
Na kwa hivyo, ni sawa ... somo lilienda vizuri - hii ndio inamaanisha kunywa chai inayofaa =)
II) Tunachunguza mpaka wa kanda. Bila ado zaidi, wacha tuanze na mhimili wa x:
1) Ikiwa, basi
Wacha tupate ambapo vertex ya parabola iko:
- thamini wakati kama huo - "unapiga" hadi mahali ambapo kila kitu kiko wazi. Lakini bado hatusahau kuhusu kuangalia: 
Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu: 
2) C chini Wacha tuchunguze "chini" "katika kikao kimoja" - tunazibadilisha kwa kazi bila muundo wowote, na tutapendezwa tu na sehemu hiyo:
Udhibiti:
Hii tayari huleta msisimko fulani kwa uendeshaji wa gari la kustaajabisha kwenye njia iliyosonga. Hebu tupate pointi muhimu:
Hebu tuamue mlinganyo wa quadratic, unakumbuka kitu kingine chochote kuhusu hili? ...Hata hivyo, kumbuka, bila shaka, vinginevyo haungekuwa unasoma mistari hii =) Ikiwa katika mifano miwili iliyopita mahesabu katika desimali(ambayo, kwa njia, ni nadra), basi wale wa kawaida wanatungojea hapa sehemu za kawaida. Tunapata mizizi ya "X" na kutumia mlinganyo ili kubainisha viwianishi vya "mchezo" vinavyolingana vya pointi za "mgombea": 
Wacha tuhesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizopatikana: 
Angalia utendaji mwenyewe.
Sasa tunasoma kwa uangalifu nyara zilizoshinda na kuandika jibu:
Hawa ni "wagombea", hawa ni "wagombea"!
Mfano 5
Pata thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa 
katika eneo lililofungwa 
Ingizo lililo na brashi zilizopinda husomeka kama hii: "seti ya vidokezo kama hivyo."
Wakati mwingine ndani mifano inayofanana kutumia Njia ya kuzidisha lagrange, lakini kuna uwezekano wa kuwa na hitaji la kweli la kuitumia. Kwa hiyo, kwa mfano, ikiwa kazi yenye eneo sawa "de" inatolewa, basi baada ya kuingizwa ndani yake - na derivative kutoka kwa matatizo yoyote; Kwa kuongezea, kila kitu kimeundwa kwa "mstari mmoja" (na ishara) bila hitaji la kuzingatia semicircle za juu na chini kando. Lakini, bila shaka, pia kuna kesi ngumu zaidi, ambapo bila kazi ya Lagrange (ambapo, kwa mfano, ni equation sawa ya duara) ni ngumu kuvumilia - kama vile ni ngumu kuishi bila pumzika zuri!
Kuwa na wakati mzuri kila mtu na kukuona hivi karibuni msimu ujao!
Suluhisho na majibu:
Mfano 2: Suluhisho: Wacha tuonyeshe eneo kwenye mchoro:
Ukurasa wa 1
Ukweli wa kinadharia:
Utatu wa mraba = ax2+ bx + c una thamani ya kupita kiasi ambayo inachukua wakati
Thamani hii ndiyo ndogo zaidi ikiwa > 0, na kubwa zaidi ikiwa a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
Nambari 1. Gawanya nambari chanya uliyopewa katika maneno mawili ili bidhaa zao ziwe kubwa zaidi.
Suluhisho. Wacha tuonyeshe moja ya masharti yanayohitajika kwa x. Kisha muda wa pili utakuwa sawa na A - x, na bidhaa zao 
au. 
Kwa hivyo, swali lilisababisha kupata thamani ya x ambapo trinomia hii ya quadratic itapokea thamani kubwa zaidi. Kwa mujibu wa Theorem 4, thamani hiyo hakika ipo (kwani hapa mgawo unaoongoza ni sawa na - 1, yaani hasi) na ni sawa na Katika kesi hii, na, kwa hiyo, maneno yote mawili yanapaswa kuwa sawa na kila mmoja.
Kwa mfano, nambari 30 inaruhusu upanuzi ufuatao:
Bidhaa zote zilizopokelewa ni chini ya
Nambari 2. Kuna waya wa urefu wa L. Unahitaji kuinama ili upate mstatili unaopunguza eneo kubwa iwezekanavyo.
Suluhisho. Hebu tuonyeshe (Mchoro 1) moja ya pande za mstatili kwa x. Kisha, ni wazi, upande wake mwingine utakuwa eneo 
au 
. Chaguo hili la kukokotoa linachukua thamani yake ya juu, ambayo itakuwa thamani inayotakiwa ya moja ya pande za mstatili. Kisha upande wake mwingine utakuwa , yaani mstatili wetu unageuka kuwa mraba. Suluhisho linalotokana na tatizo linaweza kufupishwa kwa namna ya theorem ifuatayo.
Kati ya mistatili yote ambayo ina mzunguko sawa, mraba una eneo kubwa zaidi.
Maoni.
Tatizo letu pia linaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia matokeo yaliyopatikana wakati wa kutatua Tatizo la 1.
Kwa kweli, tunaona kwamba eneo la mstatili tunalopendezwa nalo Kwa maneno mengine, kuna bidhaa ya mambo mawili x na Lakini jumla ya mambo haya ni 
,T. yaani nambari ambayo haitegemei chaguo la x. Hii inamaanisha kuwa jambo linakuja kwa kuoza nambari katika maneno mawili ili bidhaa zao ziwe kubwa zaidi. Kama tunavyojua, bidhaa hii itakuwa bora zaidi wakati maneno yote mawili ni sawa, i.e.
Nambari ya 3. Kutoka kwa bodi zilizopo unaweza kujenga uzio wa urefu wa m 200 Unahitaji kuifunga yadi ya mstatili na uzio huu eneo kubwa zaidi, kwa kutumia ukuta wa kiwanda kwa upande mmoja wa yadi.
utendakazi wa derivative ya nadharia ya utatu
Suluhisho. Hebu tuonyeshe (Mchoro 2) moja ya pande za yadi kwa x. Kisha upande wake mwingine utakuwa sawa na eneo lake litakuwa
Kwa mujibu wa nadharia, thamani kubwa zaidi ya kazi hii inapatikana kwa wakati
Kwa hivyo, upande wa yadi perpendicular kwa ukuta wa kiwanda unapaswa kuwa sawa na m 50, kutoka ambapo thamani ya upande unaofanana na ukuta ni 100 m, i.e. yadi inapaswa kuwa na sura ya nusu ya mraba.
Kwa mtazamo wa vitendo, jambo linalovutia zaidi ni kutumia derivative kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa. Je, hii inahusiana na nini? Kuongeza faida, kupunguza gharama, kuamua mzigo mzuri wa vifaa ... Kwa maneno mengine, katika maeneo mengi ya maisha tunapaswa kutatua shida za kuongeza vigezo vingine. Na hizi ni kazi za kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi.
Ikumbukwe kwamba maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kawaida hutafutwa kwa muda fulani X, ambayo ni kikoa kizima cha kazi au sehemu ya kikoa cha ufafanuzi. Muda X yenyewe inaweza kuwa sehemu, muda wazi 
, muda usio na kikomo.
Katika makala hii tutazungumza juu ya kupata maadili makubwa na madogo kwa uwazi kazi iliyopewa tofauti moja y=f(x) .
Urambazaji wa ukurasa.
Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa - ufafanuzi, vielelezo.
Hebu tuangalie kwa ufupi ufafanuzi kuu.
Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa 
hiyo kwa mtu yeyote 
usawa ni kweli.
Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye muda X inaitwa thamani kama hiyo 
hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.
Ufafanuzi huu ni angavu: thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa ni thamani kubwa zaidi (ndogo) inayokubalika kwa muda unaozingatiwa kwenye abscissa.
Pointi za stationary- hizi ni maadili ya hoja ambayo derivative ya kazi inakuwa sifuri.
Kwa nini tunahitaji alama za stationary wakati wa kupata maadili makubwa na madogo? Jibu la swali hili limetolewa na nadharia ya Fermat. Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba ikiwa kazi inayoweza kutofautishwa ina upeo (kiwango cha chini cha ndani au kiwango cha juu cha ndani) kwa wakati fulani, basi hatua hii ni ya stationary. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa mara nyingi huchukua thamani yake kubwa zaidi (ndogo) kwenye muda wa X katika mojawapo ya pointi za kusimama kutoka kwa muda huu.
Pia, chaguo la kukokotoa mara nyingi linaweza kuchukua maadili yake makubwa na madogo zaidi katika sehemu ambazo derivative ya kwanza ya kazi hii haipo, na kazi yenyewe inafafanuliwa.
Hebu tujibu mara moja moja ya maswali ya kawaida juu ya mada hii: "Je, inawezekana kila wakati kuamua thamani kubwa (ndogo) ya kazi"? Hapana sio kila wakati. Wakati mwingine mipaka ya muda wa X inafanana na mipaka ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, au muda wa X hauna mwisho. Na baadhi ya kazi kwa ukomo na katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi zinaweza kuchukua maadili makubwa na ndogo sana. Katika matukio haya, hakuna kitu kinachoweza kusema kuhusu thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.
Kwa uwazi, tutatoa mchoro wa picha. Angalia picha na mengi yatakuwa wazi.
Kwenye sehemu
Katika takwimu ya kwanza, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani ya sehemu [-6;6].
Fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu ya pili. Wacha tubadilishe sehemu kuwa . Katika mfano huu, thamani ndogo zaidi ya kazi inapatikana katika hatua ya stationary, na kubwa zaidi katika hatua na abscissa sambamba na mpaka wa kulia wa muda.
Katika Mchoro 3, pointi za mipaka ya sehemu [-3;2] ni abscissas ya pointi zinazofanana na thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.
Kwa muda wazi
Katika takwimu ya nne, kazi inachukua maadili makubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani ya muda wazi (-6; 6).
Kwa muda, hakuna hitimisho linaloweza kutolewa kuhusu thamani kubwa zaidi.
Katika infinity
Katika mfano uliowasilishwa katika takwimu ya saba, kazi inachukua thamani kubwa zaidi (max y) katika hatua ya stationary na abscissa x = 1, na thamani ndogo zaidi (min y) inafanikiwa kwenye mpaka wa kulia wa muda. Katika minus infinity, thamani za chaguo za kukokotoa zinakaribia y=3 bila dalili.
Kwa muda, chaguo la kukokotoa halifikii thamani ndogo au kubwa zaidi. Kadiri x=2 inavyokaribia kutoka kulia, thamani za chaguo za kukokotoa huwa na minus infinity (mstari x=2 ni asymptoti wima), na kadiri abscissa inavyoelekea kujumlisha infinity, thamani za chaguo za kukokotoa hukaribia y=3 bila dalili. Kielelezo cha picha cha mfano huu kinaonyeshwa kwenye Mchoro 8.
Algorithm ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu.
Wacha tuandike algorithm ambayo inaruhusu sisi kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.
- Tunapata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na kuangalia ikiwa ina sehemu nzima.
- Tunapata pointi zote ambazo derivative ya kwanza haipo na ambayo iko katika sehemu (kawaida pointi kama hizo hupatikana katika kazi na hoja chini ya ishara ya moduli na katika kazi za nguvu na kipeo cha busara cha sehemu). Ikiwa hakuna pointi hizo, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
- Tunaamua alama zote za stationary zinazoanguka ndani ya sehemu. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha na sifuri, suluhisha usawa unaosababishwa na uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hakuna pointi za kusimama au hakuna hata mmoja wao anayeanguka kwenye sehemu, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
- Tunahesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizochaguliwa za stationary (ikiwa zipo), katika sehemu ambazo derivative ya kwanza haipo (ikiwa ipo), na vile vile kwa x=a na x=b.
- Kutoka kwa maadili yaliyopatikana ya kazi, tunachagua kubwa zaidi na ndogo zaidi - watakuwa maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi, mtawaliwa.
Wacha tuchambue algorithm ya kusuluhisha mfano ili kupata maadili makubwa na madogo ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.
Mfano.
Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa
- kwenye sehemu;
- kwenye sehemu [-4;-1] .
Suluhisho.
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti nzima ya nambari halisi, isipokuwa sifuri, yaani. Sehemu zote mbili ziko ndani ya kikoa cha ufafanuzi.
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na: 
Ni wazi, derivative ya chaguo za kukokotoa inapatikana katika sehemu zote za sehemu na [-4;-1].
Tunaamua pointi za stationary kutoka kwa equation. Mzizi pekee halisi ni x=2. Sehemu hii ya kusimama iko katika sehemu ya kwanza.
Kwa kesi ya kwanza, tunahesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na mahali pa kusimama, ambayo ni, kwa x=1, x=2 na x=4: 
Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya kazi 
inafikiwa kwa x=1, na thamani ndogo zaidi 
- kwa x=2.
Kwa kisa cha pili, tunahesabu thamani za chaguo la kukokotoa tu katika miisho ya sehemu [-4;-1] (kwani haina nukta moja ya kusimama): 
Wakati mwingine katika matatizo B15 kuna kazi "mbaya" ambayo ni vigumu kupata derivative. Hapo awali, hii ilifanyika tu wakati wa vipimo vya sampuli, lakini sasa kazi hizi ni za kawaida sana kwamba haziwezi tena kupuuzwa wakati wa kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja.
Katika kesi hii, mbinu zingine hufanya kazi, moja ambayo ni monotone.
Chaguo za kukokotoa f (x) inasemekana kuongezeka kwa monotoni kwenye sehemu ikiwa kwa pointi zozote x 1 na x 2 za sehemu hii zifuatazo zinashikilia:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Chaguo za kukokotoa f (x) inasemekana kupungua kimonotoni kwenye sehemu ikiwa kwa pointi zozote x 1 na x 2 za sehemu hii zifuatazo zinashikilia:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Kwa maneno mengine, kwa kazi inayoongezeka, kubwa x, kubwa f(x). Kwa kazi inayopungua kinyume chake ni kweli: kubwa x, the kidogo f(x).
Kwa mfano, logariti huongezeka monotonically ikiwa msingi a > 1, na monotonically hupungua ikiwa 0.< a < 1. Не забывайте про область maadili yanayokubalika logarithm: x > 0.
f (x) = logi a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Mzizi wa mraba wa hesabu (na sio mraba pekee) huongezeka kimonotonically juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi:
Utendakazi wa kielelezo hufanya sawa na logariti: huongezeka kwa > 1 na hupungua kwa 0.< a < 1. Но в отличие от логарифма, utendaji wa kielelezo imefafanuliwa kwa nambari zote, sio tu x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Hatimaye, digrii zilizo na kipeo hasi. Unaweza kuziandika kama sehemu. Wana sehemu ya mapumziko ambapo monotoni imevunjwa.
Kazi hizi zote hazipatikani kamwe katika fomu yao safi. Wanaongeza polynomials, sehemu na upuuzi mwingine, ambayo inafanya kuwa ngumu kuhesabu derivative. Wacha tuangalie kile kinachotokea katika kesi hii.
Kuratibu za vertex ya Parabola
Mara nyingi hoja ya chaguo za kukokotoa hubadilishwa na quadratic trinomial ya umbo y = shoka 2 + bx + c. Grafu yake ni parabola ya kawaida ambayo tunavutiwa nayo:
- Matawi ya parabola yanaweza kwenda juu (kwa > 0) au chini (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Kipeo cha parabola ni sehemu ya mwisho ya kitendakazi cha quadratic ambapo kitendakazi hiki huchukua kima cha chini kabisa (kwa > 0) au kiwango cha juu zaidi (a.< 0) значение.
Ya riba kubwa ni vertex ya parabola, abscissa ambayo imehesabiwa na formula:
Kwa hivyo, tumepata hatua ya mwisho ya kazi ya quadratic. Lakini ikiwa kazi ya asili ni monotonic, kwa hiyo uhakika x 0 pia itakuwa hatua ya mwisho. Kwa hivyo, wacha tutengeneze kanuni kuu:
Pointi za hali ya juu quadratic trinomial na kazi changamano ambamo imejumuishwa sanjari. Kwa hiyo, unaweza kutafuta x 0 kwa trinomial ya quadratic, na kusahau kuhusu kazi.
Kutoka kwa hoja hapo juu, bado haijulikani ni hatua gani tunapata: kiwango cha juu au cha chini. Walakini, kazi zimeundwa mahsusi ili hii haijalishi. Jihukumu mwenyewe:
- Hakuna sehemu katika taarifa ya tatizo. Kwa hiyo, hakuna haja ya kuhesabu f(a) na f(b). Inabakia kuzingatia tu pointi kali;
- Lakini kuna hatua moja tu kama hiyo - hii ni vertex ya parabola x 0, kuratibu ambazo zinahesabiwa kwa mdomo na bila derivatives yoyote.
Kwa hivyo, kutatua shida ni rahisi sana na huja kwa hatua mbili tu:
- Andika mlinganyo wa parabola y = shoka 2 + bx + c na utafute kipeo chake kwa kutumia fomula: x 0 = -b /2a;
- Pata thamani ya chaguo za kukokotoa asilia katika hatua hii: f (x 0). Ikiwa hakuna masharti ya ziada, hii itakuwa jibu.
Kwa mtazamo wa kwanza, algorithm hii na mantiki yake inaweza kuonekana kuwa ngumu. Sijachapisha kwa makusudi mchoro wa suluhisho "wazi", kwani utumiaji usio na mawazo wa sheria kama hizo umejaa makosa.
Wacha tuangalie shida za kweli kutoka jaribio la Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati - hapa ndipo mbinu hii inapatikana mara nyingi. Wakati huo huo, tutahakikisha kwamba kwa njia hii matatizo mengi ya B15 huwa karibu ya mdomo.
Chini ya mzizi kuna kazi ya quadratic y = x 2 + 6x + 13. Grafu ya kazi hii ni parabola na matawi juu, kwani mgawo a = 1 > 0.
Upeo wa parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Kwa kuwa matawi ya parabola yanaelekezwa juu, kwa hatua x 0 = -3 kazi y = x 2 + 6x + 13 inachukua thamani yake ya chini.
Mzizi huongezeka monotonically, ambayo ina maana x 0 ni hatua ya chini ya kazi nzima. Tuna:
Kazi. Pata thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa:
y = logi 2 (x 2 + 2x + 9)
Chini ya logarithm kuna tena kazi ya quadratic: y = x 2 + 2x + 9. Grafu ni parabola na matawi juu, kwa sababu a = 1 > 0.
Upeo wa parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Kwa hiyo, katika hatua x 0 = -1 kazi ya quadratic inachukua thamani yake ya chini. Lakini kazi y = logi 2 x ni monotonic, kwa hivyo:
y dakika = y (−1) = gogo 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) = ... = logi 2 8 = 3
Kipeo kina kazi ya quadratic y = 1 - 4x - x 2 . Hebu tuiandike upya katika hali ya kawaida: y = −x 2 - 4x + 1.
Kwa wazi, grafu ya chaguo hili la kukokotoa ni kifanani, matawi chini (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (-1)) = 4/(-2) = −2
Chaguo za kukokotoa asilia ni za kielelezo, ni monotonic, kwa hivyo thamani kubwa zaidi itakuwa katika sehemu inayopatikana x 0 = -2:
Msomaji makini labda atagundua kuwa hatukuandika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya mzizi na logarithm. Lakini hii haikuhitajika: ndani kuna kazi ambazo maadili yake ni chanya kila wakati.
Mifuatano kutoka kwa kikoa cha chaguo za kukokotoa
Wakati mwingine kupata tu vertex ya parabola haitoshi kutatua Tatizo B15. Thamani unayotafuta inaweza kusema uongo mwishoni mwa sehemu, na sio kabisa katika hatua ya mwisho. Ikiwa tatizo halionyeshi sehemu kabisa, angalia anuwai ya maadili yanayokubalika kazi asilia. Yaani:
Tafadhali kumbuka tena: sufuri inaweza kuwa chini ya mzizi, lakini kamwe isiwe katika logarithm au denominator ya sehemu. Wacha tuone jinsi hii inavyofanya kazi na mifano maalum:
Kazi. Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa:
Chini ya mzizi ni tena kazi ya quadratic: y = 3 - 2x - x 2. Grafu yake ni parabola, lakini ina matawi chini kwa sababu a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kipeo ya nambari hasi haipo.
Tunaandika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; 1]
Sasa hebu tupate kipeo cha parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (-1)) = 2/(-2) = −1
Pointi x 0 = -1 ni ya sehemu ya ODZ - na hii ni nzuri. Sasa tunahesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua x 0, na vile vile katika miisho ya ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Kwa hivyo, tulipata nambari 2 na 0. Tunaulizwa kutafuta kubwa zaidi - hii ndio nambari 2.
Kazi. Pata thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa:
y = logi 0.5 (6x − x 2 − 5)
Ndani ya logariti kuna kazi ya quadratic y = 6x - x 2 - 5. Hii ni parabola yenye matawi chini, lakini katika logarithm haiwezi kuwa. nambari hasi, kwa hivyo tunaandika ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Tafadhali kumbuka: usawa ni mkali, hivyo mwisho sio wa ODZ. Hii inatofautiana logarithm kutoka mizizi, ambapo mwisho wa sehemu inafaa sisi vizuri kabisa.
Tunatafuta kipeo cha parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(-2) = 3
Vertex ya parabola inafaa kulingana na ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Lakini kwa kuwa hatupendezwi na miisho ya sehemu, tunahesabu thamani ya chaguo la kukokotoa tu katika hatua x 0:
y dakika = y (3) = gogo 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = gogo 0.5 (18 - 9 - 5) = gogo 0.5 4 = -2