ANGLE KATI YA NDEGE
Fikiria ndege mbili α 1 na α 2, zinazofafanuliwa kwa mtiririko huo na milinganyo:
Chini ya pembe kati ya ndege mbili tutaelewa moja ya pembe za dihedral zinazoundwa na ndege hizi. Ni dhahiri kwamba pembe kati ya vekta za kawaida na ndege α 1 na α 2 ni sawa na moja ya pembe za dihedral zilizoonyeshwa zilizo karibu. 
. Ndiyo maana 
. Kwa sababu 
Na 
, Hiyo
.
Mfano. Tambua pembe kati ya ndege x+2y-3z+4=0 na 2 x+3y+z+8=0.
Masharti ya usawa wa ndege mbili.
Ndege mbili α 1 na α 2 zinalingana ikiwa na tu ikiwa vekta zao za kawaida zinafanana, na kwa hivyo. 
.
Kwa hivyo, ndege mbili zinafanana ikiwa na tu ikiwa coefficients ya kuratibu zinazolingana ni sawia:
au
Hali ya perpendicularity ya ndege.
Ni wazi kwamba ndege mbili ni perpendicular ikiwa na tu ikiwa vectors zao za kawaida ni perpendicular, na kwa hiyo, au.
Hivyo,.
Mifano.
MOJA KWA MOJA KATIKA NAFASI.
VETOR EQUATION KWA MSTARI.
PARAMETRIC DIRECT EQUATIONS
Nafasi ya mstari katika nafasi imedhamiriwa kabisa kwa kubainisha pointi zake zozote zilizowekwa M 1 na vekta sambamba na mstari huu.
Vector sambamba na mstari inaitwa viongozi vekta ya mstari huu.
Hivyo basi mstari wa moja kwa moja l hupitia hatua M 1 (x 1 , y 1 , z 1), amelazwa kwenye mstari sambamba na vekta.
Fikiria hoja ya kiholela M(x,y,z) kwenye mstari wa moja kwa moja. Kutoka kwa takwimu ni wazi kwamba 
.
Vekta na ni collinear, kwa hivyo kuna nambari kama hiyo t, nini, iko wapi kizidishi t anaweza kukubali yoyote thamani ya nambari kulingana na nafasi ya uhakika M kwenye mstari wa moja kwa moja. Sababu t inayoitwa parameter. Baada ya kuteua vekta za radius ya pointi M 1 na M kwa mtiririko huo, kupitia na, tunapata. Equation hii inaitwa vekta equation ya mstari wa moja kwa moja. Inaonyesha kwamba kwa kila thamani ya parameter t inalingana na vekta ya radius ya hatua fulani M, amelala kwenye mstari ulionyooka.
Wacha tuandike mlingano huu kwa njia ya kuratibu. Angalia, kwamba, 
na kutoka hapa
Equations zinazotokana zinaitwa parametric equations ya mstari wa moja kwa moja.
Wakati wa kubadilisha parameter t kuratibu mabadiliko x, y Na z na kipindi M husogea kwa mstari ulionyooka.
EQUATIONS ZA KANUNI ZA Direct
Hebu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - hatua iko kwenye mstari wa moja kwa moja l, Na 
ni mwelekeo wake vector. Hebu tena tuchukue hatua ya kiholela kwenye mstari M(x,y,z) na fikiria vekta.
Ni wazi kwamba vekta pia ni collinear, kwa hivyo kuratibu zao zinazolingana lazima ziwe sawia, kwa hivyo,
– kisheria equations ya mstari wa moja kwa moja.
Kumbuka 1. Kumbuka kuwa milinganyo ya kisheria ya mstari inaweza kupatikana kutoka kwa zile za parametric kwa kuondoa kigezo. t. Hakika, kutoka kwa hesabu za parametric tunapata 
au .
Mfano. Andika equation ya mstari 
katika fomu ya parametric.
Hebu kuashiria 
, kutoka hapa x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Kumbuka 2. Hebu mstari wa moja kwa moja uwe perpendicular kwa moja ya axes ya kuratibu, kwa mfano mhimili Ng'ombe. Kisha vector ya mwelekeo wa mstari ni perpendicular Ng'ombe, kwa hivyo, m=0. Kwa hivyo, equations za parametric za mstari zitachukua fomu
Ukiondoa kigezo kutoka kwa milinganyo t, tunapata equations ya mstari katika fomu
Walakini, katika kesi hii pia, tunakubali kuandika rasmi milinganyo ya kisheria ya mstari katika fomu 
. Kwa hivyo, ikiwa dhehebu la moja ya sehemu ni sifuri, hii inamaanisha kuwa mstari wa moja kwa moja ni sawa na mhimili wa kuratibu unaofanana.
Sawa na milinganyo ya kisheria 
inalingana na mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa shoka Ng'ombe Na Oy au sambamba na mhimili Oz.
Mifano.
MILIngano YA JUMLA YA MSTARI ILIYONYOOKA KAMA MISTARI YA MKUTANO WA NDEGE MBILI.
Kupitia kila mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi kuna ndege nyingi. Yoyote mawili kati yao, yakiingiliana, hufafanua katika nafasi. Kwa hivyo, milinganyo ya ndege zozote mbili kama hizo, ikizingatiwa pamoja, inawakilisha milinganyo ya mstari huu.
Kwa ujumla, ndege zozote mbili zisizo za sambamba zinazotolewa na milinganyo ya jumla
kuamua mstari wa moja kwa moja wa makutano yao. Equations hizi zinaitwa milinganyo ya jumla moja kwa moja.
Mifano.
Tengeneza mstari uliotolewa na milinganyo 
Ili kujenga mstari wa moja kwa moja, inatosha kupata pointi zake mbili. Njia rahisi ni kuchagua pointi za makutano ya mstari na kuratibu ndege. Kwa mfano, hatua ya makutano na ndege xOy tunapata kutoka kwa equations ya mstari wa moja kwa moja, tukizingatia z= 0:
Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tunapata uhakika M 1 (1;2;0).
Vile vile, kudhani y= 0, tunapata hatua ya makutano ya mstari na ndege xOz:
Kutoka kwa milinganyo ya jumla ya mstari wa moja kwa moja mtu anaweza kuendelea na milinganyo yake ya kisheria au parametric. Ili kufanya hivyo unahitaji kupata uhakika fulani M 1 kwenye mstari wa moja kwa moja na vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja.
Viratibu vya pointi M 1 tunapata kutoka kwa mfumo huu wa milinganyo, tukipa moja ya viwianishi thamani ya kiholela. Ili kupata vekta ya mwelekeo, kumbuka kuwa vekta hii lazima iwe ya kawaida kwa vekta zote za kawaida 
Na 
. Kwa hiyo, zaidi ya vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja l unaweza kuchukua bidhaa ya vekta ya vekta za kawaida:
.
Mfano. Toa milinganyo ya jumla ya mstari 
kwa fomu ya kisheria.
Wacha tupate hoja iliyo kwenye mstari. Ili kufanya hivyo, tunachagua kiholela moja ya kuratibu, kwa mfano, y= 0 na kutatua mfumo wa equations:
Vekta za kawaida za ndege zinazofafanua mstari zina kuratibu 
Kwa hiyo, vector ya mwelekeo itakuwa sawa
. Kwa hivyo, l: 
.
ANGLE KATI YA NYOKA
Pembe kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe zozote zilizo karibu zinazoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kupitia sehemu ya kiholela sambamba na data.
Acha mistari miwili itolewe kwenye nafasi:
Kwa wazi, pembe φ kati ya mistari ya moja kwa moja inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vekta zao za mwelekeo na . Tangu , basi kwa kutumia formula ya cosine ya pembe kati ya vekta tunayopata
Nitakuwa mfupi. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka sawa na pembe kati ya veta zao za mwelekeo. Kwa hivyo, ikiwa utaweza kupata kuratibu za vekta za mwelekeo a = (x 1; y 1; z 1) na b = (x 2; y 2}; z 2), basi unaweza kupata pembe. Kwa usahihi zaidi, cosine ya pembe kulingana na formula:
Wacha tuone jinsi fomula hii inavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:
Kazi. Katika mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pointi E na F ni alama - midpoints ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AE na BF.
Kwa kuwa makali ya mchemraba hayajainishwa, tunaweka AB = 1. Tunaanzisha mfumo wa kawaida kuratibu: asili iko kwenye hatua A, mihimili ya x, y, z imeelekezwa kando ya AB, AD na AA 1, mtawalia. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Sasa hebu tupate kuratibu za vectors za mwelekeo kwa mistari yetu.
Wacha tupate kuratibu za vector AE. Kwa hili tunahitaji pointi A = (0; 0; 0) na E = (0.5; 0; 1). Kwa kuwa hatua E ni katikati ya sehemu A 1 B 1, kuratibu zake ni sawa na maana ya hesabu ya kuratibu za mwisho. Kumbuka kwamba asili ya vector AE inafanana na asili ya kuratibu, hivyo AE = (0.5; 0; 1).
Sasa hebu tuangalie vekta ya BF. Vile vile, tunachambua pointi B = (1; 0; 0) na F = (1; 0.5; 1), kwa sababu F ni katikati ya sehemu B 1 C 1. Tuna:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Kwa hivyo, veta za mwelekeo ziko tayari. Cosine ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni cosine ya pembe kati ya veta za mwelekeo, kwa hivyo tunayo:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya triangular ABCA 1 B 1 C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi D na E zimewekwa alama - katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AD na BE.
Wacha tuanzishe mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko katika hatua A, mhimili wa x unaelekezwa kando ya AB, z - kando ya AA 1. Wacha tuelekeze mhimili y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya ABC. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Hebu tupate kuratibu za vectors za mwelekeo kwa mistari inayohitajika.
Kwanza, hebu tupate kuratibu za vector AD. Fikiria mambo haya: A = (0; 0; 0) na D = (0.5; 0; 1), kwa sababu D - katikati ya sehemu A 1 B 1. Tangu mwanzo wa vector AD inafanana na asili ya kuratibu, tunapata AD = (0.5; 0; 1).
Sasa hebu tupate kuratibu za vector BE. Pointi B = (1; 0; 0) ni rahisi kukokotoa. Kwa uhakika E - katikati ya sehemu C 1 B 1 - ni ngumu zaidi kidogo. Tuna:
Inabakia kupata cosine ya pembe:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi K na L zimewekwa alama - katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. . Tafuta pembe kati ya mistari AK na BL.
Wacha tuanzishe mfumo wa kawaida wa kuratibu kwa prism: tunaweka asili ya kuratibu katikati ya msingi wa chini, mhimili wa x unaelekezwa kando ya FC, mhimili wa y unaelekezwa kupitia sehemu za katikati za sehemu AB na DE, na z. mhimili huelekezwa wima kwenda juu. Sehemu ya kitengo ni sawa tena na AB = 1. Hebu tuandike kuratibu za pointi za maslahi kwetu:
Pointi K na L ni sehemu za kati za sehemu A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo, hivyo kuratibu zao zinapatikana kupitia maana ya hesabu. Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vekta za mwelekeo AK na BL:
Sasa hebu tupate cosine ya pembe:
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi E na F zimewekwa alama - katikati ya pande SB na SC, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AE na BF.
Wacha tuanzishe mfumo wa kawaida wa kuratibu: asili iko katika hatua A, shoka za x na y zimeelekezwa kando ya AB na AD, mtawaliwa, na mhimili wa z unaelekezwa juu kwa wima. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1.
Pointi E na F ndio sehemu za kati za sehemu za SB na SC, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao zinapatikana kama maana ya hesabu ya ncha. Wacha tuandike kuratibu za vidokezo vya kupendeza kwetu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vekta za mwelekeo AE na BF:
Kuratibu za vekta AE sanjari na kuratibu za uhakika E, kwa kuwa nukta A ndiyo asili. Inabakia kupata cosine ya pembe:
Ufafanuzi. Ikiwa mistari miwili imetolewa y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, basi kona kali kati ya mistari hii iliyonyooka itafafanuliwa kama
Mistari miwili inalingana ikiwa k 1 = k 2. Mistari miwili ni ya pembeni ikiwa k 1 = -1/ k 2.
Nadharia. Mistari Ax + Bу + C = 0 na A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ni sambamba wakati viambatanisho A 1 = λA, B 1 = λB ni sawia. Ikiwa pia C 1 = λC, basi mistari inalingana. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili hupatikana kama suluhisho la mfumo wa hesabu za mistari hii.
Mlinganyo wa mstari unaopita hatua hii
Perpendicular kwa mstari fulani
Ufafanuzi. Mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua M 1 (x 1, y 1) na perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja y = kx + b inawakilishwa na equation:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Nadharia. Ikiwa hatua M(x 0, y 0) imetolewa, basi umbali wa mstari Ax + Bу + C = 0 imedhamiriwa kama
.
Ushahidi. Hebu hatua M 1 (x 1, y 1) iwe msingi wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika M hadi mstari wa moja kwa moja uliopewa. Kisha umbali kati ya alama M na M 1:
(1)
Kuratibu x 1 na y 1 zinaweza kupatikana kwa kutatua mfumo wa equations:
Equation ya pili ya mfumo ni equation ya mstari unaopita kupewa point M 0 ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja uliopewa. Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Kwa 0 + C = 0,
basi, kutatua, tunapata:
Kubadilisha misemo hii katika equation (1), tunapata:
Nadharia imethibitishwa.
Mfano. Kuamua angle kati ya mistari: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= uk /4.
Mfano. Onyesha kwamba mistari 3x - 5y + 7 = 0 na 10x + 6y - 3 = 0 ni perpendicular.
Suluhisho. Tunapata: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, kwa hiyo, mistari ni perpendicular.
Mfano. Imetolewa ni vipeo vya pembetatu A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Tafuta mlinganyo wa urefu uliochorwa kutoka kwenye kipeo C.
Suluhisho. Tunapata equation ya upande AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Mlinganyo wa urefu unaohitajika una fomu: Ax + By + C = 0 au y = kx + b. k = . Kisha y = . Kwa sababu urefu hupitia hatua C, basi kuratibu zake zinakidhi equation hii: 
kutoka wapi b = 17. Jumla:. 
Jibu: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Mlinganyo wa mstari unaopita katika sehemu fulani katika mwelekeo fulani. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili ulizopewa. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka. Hali ya usawa na perpendicularity ya mistari miwili iliyonyooka. Kuamua hatua ya makutano ya mistari miwili
1. Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye sehemu fulani A(x 1 , y 1) katika mwelekeo fulani, uliowekwa na mteremko k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Mlinganyo huu unafafanua penseli ya mistari inayopita kwenye nukta A(x 1 , y 1), ambayo inaitwa kituo cha boriti.
2. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili: A(x 1 , y 1) na B(x 2 , y 2), imeandikwa kama hii:
Mgawo wa angular wa mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizopewa imedhamiriwa na formula
3. Pembe kati ya mistari iliyonyooka A Na B ni pembe ambayo mstari wa kwanza wa moja kwa moja lazima uzungushwe A karibu na sehemu ya makutano ya mistari hii kinyume cha saa hadi inalingana na mstari wa pili B. Ikiwa mistari miwili iliyonyooka inatolewa na milinganyo yenye mteremko
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
basi angle kati yao imedhamiriwa na formula
Ikumbukwe kwamba katika nambari ya sehemu, mteremko wa mstari wa kwanza hutolewa kutoka kwenye mteremko wa mstari wa pili.
Ikiwa milinganyo ya mstari imetolewa mtazamo wa jumla
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
pembe kati yao imedhamiriwa na formula
4. Masharti ya usawa wa mistari miwili:
a) Ikiwa mistari inatolewa na equations (4) na mgawo wa angular, basi hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wao ni usawa wa coefficients zao za angular:
k 1 = k 2 . (8)
b) Kwa kesi wakati mistari inatolewa na equations kwa fomu ya jumla (6), hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wao ni kwamba coefficients kwa kuratibu zinazofanana za sasa katika equations zao ni sawia, i.e.
5. Masharti ya perpendicularity ya mistari miwili:
a) Katika kesi wakati mistari inatolewa na equations (4) na mgawo wa angular, hali ya lazima na ya kutosha kwa perpendicularity yao ni kwamba coefficients yao ya angular ni inverse kwa ukubwa na kinyume katika ishara, i.e.
Hali hii inaweza pia kuandikwa kwa fomu
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ikiwa milinganyo ya mistari imetolewa kwa fomu ya jumla (6), basi sharti la ukamilifu wao (lazima na la kutosha) ni kukidhi usawa.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili hupatikana kwa kutatua mfumo wa equations (6). Mistari ya (6) inakatiza ikiwa na iwapo tu
1. Andika milinganyo ya mistari inayopita kwenye nukta M, moja ambayo ni sambamba na nyingine inayolingana na mstari uliopewa l.
Oh-oh-oh-oh-oh ... vizuri, ni ngumu, kana kwamba alikuwa akijisomea sentensi =) Hata hivyo, kupumzika kutasaidia baadaye, hasa tangu leo nilinunua vifaa vinavyofaa. Kwa hivyo, wacha tuendelee kwenye sehemu ya kwanza, natumai kuwa mwisho wa kifungu nitadumisha hali ya furaha.
Nafasi ya jamaa ya mistari miwili
Hivi ndivyo hali ya hadhira inapoimba kwa pamoja. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:
1) mechi;
2) kuwa sambamba:;
3) au vuka katika sehemu moja: .
Msaada kwa dummies : Tafadhali kumbuka ishara ya makutano ya hisabati, itaonekana mara nyingi sana. Nukuu inamaanisha kuwa mstari unaingiliana na mstari kwa uhakika.
Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?
Wacha tuanze na kesi ya kwanza:
Mistari miwili inalingana ikiwa na ikiwa tu migawo inayolingana ni sawia, yaani, kuna nambari "lambda" kiasi kwamba usawa unaridhika
Hebu fikiria mistari ya moja kwa moja na kuunda equations tatu kutoka kwa coefficients sambamba:. Kutoka kwa kila equation inafuata kwamba, kwa hiyo, mistari hii inafanana.
Hakika, ikiwa coefficients yote ya equation 
zidisha kwa -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation 
kata na 2, unapata equation sawa:.
Kesi ya pili, wakati mistari inafanana:
Mistari miwili ni sambamba ikiwa na ikiwa tu mgawo wao wa vigeuzo ni sawia: 
,Lakini.
Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Tunaangalia uwiano wa coefficients sambamba kwa vigezo: 
Hata hivyo, ni dhahiri kabisa kwamba.
Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:
Mistari miwili huingiliana ikiwa na ikiwa tu migawo yao ya vigeuzo HAINA uwiano, yaani, HAKUNA thamani kama hiyo ya "lambda" ambayo usawa unaridhika 
Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutaunda mfumo: 
Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , na kutoka kwa equation ya pili: , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigezo si sawia.
Hitimisho: mistari huingiliana
Katika matatizo ya vitendo, unaweza kutumia mpango wa ufumbuzi uliojadiliwa hivi karibuni. Kwa njia, inawakumbusha sana algorithm ya kuangalia veta kwa collinearity, ambayo tuliiangalia darasani. Wazo la utegemezi wa mstari (katika) wa vekta. Msingi wa vectors. Lakini kuna kifurushi cha kistaarabu zaidi:
Mfano 1
Jua msimamo wa jamaa wa mistari: 
Suluhisho kwa msingi wa utafiti wa kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:
a) Kutoka kwa hesabu tunapata veta za mwelekeo wa mistari: 
.
, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear na mistari intersect.
Ikiwezekana, nitaweka jiwe lenye ishara kwenye njia panda:
Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata zaidi, moja kwa moja hadi Kashchei the Immortal =)
b) Tafuta vekta za mwelekeo wa mistari: 
Mistari hiyo ina vekta ya mwelekeo sawa, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa au sanjari. Hakuna haja ya kuhesabu kiashiria hapa.
Ni dhahiri kwamba coefficients ya haijulikani ni sawia, na.
Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli: 
Hivyo,
c) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari: 
Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za veta hizi: 
, kwa hiyo, vekta za mwelekeo ni collinear. Mistari ni ama sambamba au sanjari.
Mgawo wa uwiano "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vekta za mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations zenyewe: 
.
Sasa hebu tujue kama usawa ni kweli. Masharti yote mawili ya bure ni sifuri, kwa hivyo:
Thamani inayotokana inatosheleza mlingano huu (nambari yoyote kwa ujumla inatosheleza).
Kwa hivyo, mistari inalingana.
Jibu:
Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua tatizo lililojadiliwa kwa maneno halisi katika suala la sekunde. Katika suala hili, sioni umuhimu wa kutoa chochote uamuzi wa kujitegemea, afadhali tuweke mwingine matofali muhimu katika msingi wa kijiometri:
Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?
Kwa kutojua hili kazi rahisi zaidi Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.
Mfano 2
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika mlinganyo wa mstari sambamba unaopita kwenye nukta.
Suluhisho: Hebu tuonyeshe mstari usiojulikana kwa herufi. Je, hali inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua. Na ikiwa mistari inafanana, basi ni dhahiri kwamba vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ajili ya kujenga mstari wa moja kwa moja "de".
Tunachukua vekta ya mwelekeo kutoka kwa equation:
Jibu:
Mfano wa jiometri inaonekana rahisi: 
Mtihani wa uchambuzi unajumuisha hatua zifuatazo:
1) Tunaangalia kuwa mistari ina vekta ya mwelekeo sawa (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vekta zitakuwa collinear).
2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana.
Katika hali nyingi, uchunguzi wa uchambuzi unaweza kufanywa kwa mdomo kwa urahisi. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka usawa wa mistari bila kuchora yoyote.
Mifano ya ufumbuzi wa kujitegemea leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado utalazimika kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.
Mfano 3
Andika mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta sambamba na mstari kama
Kuna njia ya busara na sio ya busara ya kuisuluhisha. Njia fupi zaidi iko mwisho wa somo.
Tulifanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya mistari inayolingana haipendezi sana, kwa hivyo hebu tuzingatie shida ambayo unaifahamu kutoka. mtaala wa shule:
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?
Ikiwa moja kwa moja 
intersect at point , basi kuratibu zake ndio suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari 
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari? Tatua mfumo.
Haya basi maana ya kijiometri ya mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana- hizi ni mistari miwili inayoingiliana (mara nyingi) kwenye ndege.
Mfano 4
Tafuta mahali pa makutano ya mistari
Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - graphical na uchambuzi.
Mbinu ya picha ni kuchora tu mistari uliyopewa na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa mchoro: 
Hapa kuna hoja yetu:. Kuangalia, unapaswa kubadilisha viwianishi vyake katika kila mlinganyo wa mstari zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za uhakika ni suluhisho kwa mfumo. Kimsingi, tuliangalia suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari na equations mbili, mbili haijulikani.
Njia ya graphical ni, bila shaka, si mbaya, lakini kuna hasara zinazoonekana. Hapana, suala sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivi, uhakika ni kwamba itachukua muda kuunda mchoro sahihi na SAHIHI. Kwa kuongeza, baadhi ya mistari ya moja kwa moja si rahisi sana kujenga, na hatua ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali fulani katika ufalme wa thelathini nje ya karatasi ya daftari.
Kwa hiyo, ni afadhali zaidi kutafuta sehemu ya makutano njia ya uchambuzi. Wacha tusuluhishe mfumo: 
Ili kutatua mfumo, njia ya kuongeza muda kwa muda wa equations ilitumiwa. Ili kukuza ustadi unaofaa, chukua somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?
Jibu:
Cheki ni ndogo - viwianishi vya sehemu ya makutano lazima vikidhi kila equation ya mfumo.
Mfano 5
Tafuta sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inaingiliana.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ni rahisi kugawanya kazi katika hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kuwa ni muhimu:
1) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Jua msimamo wa jamaa wa mistari.
4) Ikiwa mistari inaingiliana, basi pata hatua ya makutano.
Uendelezaji wa algorithm ya hatua ni ya kawaida kwa matatizo mengi ya kijiometri, na nitazingatia mara kwa mara juu ya hili.
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo:
Hata jozi ya viatu haikuchakaa kabla ya kufika sehemu ya pili ya somo:
Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka
Hebu tuanze na kazi ya kawaida na muhimu sana. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga mstari wa moja kwa moja sambamba na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitageuka digrii 90:
Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?
Mfano 6
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika equation perpendicular kwa mstari unaopita kwenye uhakika.
Suluhisho: Kwa sharti inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector inayoongoza ya mstari. Kwa kuwa mistari ni ya perpendicular, hila ni rahisi:
Kutoka kwa equation sisi "kuondoa" vector ya kawaida: , ambayo itakuwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.
Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:
Jibu: 
Wacha tupanue mchoro wa kijiometri:
Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia ya machungwa.
Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:
1) Tunachukua vekta za mwelekeo kutoka kwa hesabu 
na kwa msaada bidhaa ya scalar ya vekta tunafikia hitimisho kwamba mistari ni ya kawaida: .
Kwa njia, unaweza kutumia vectors ya kawaida, ni rahisi zaidi.
2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana 
.
Mtihani, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.
Mfano 7
Pata hatua ya makutano ya mistari ya perpendicular ikiwa equation inajulikana 
na kipindi.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kuna vitendo kadhaa katika shida, kwa hivyo ni rahisi kuunda suluhisho kwa hatua.
Safari yetu ya kusisimua inaendelea:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Mbele yetu kuna ukanda ulionyooka wa mto na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vikwazo, na njia bora zaidi itakuwa kusonga kando ya perpendicular. Hiyo ni, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa sehemu ya perpendicular.
Umbali katika jiometri unaonyeshwa jadi Barua ya Kigiriki"ro", kwa mfano: - umbali kutoka kwa uhakika "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".
Umbali kutoka hatua hadi mstari 
iliyoonyeshwa na fomula
Mfano 8
Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari 
Suluhisho: unachohitaji kufanya ni kubadilisha nambari kwa uangalifu kwenye fomula na kufanya mahesabu:
Jibu: 
Wacha tufanye mchoro: 
Umbali uliopatikana kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari ni urefu kamili wa sehemu nyekundu. Ikiwa utachora mchoro kwenye karatasi iliyotiwa alama kwenye mizani ya kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.
Wacha tuchunguze kazi nyingine kulingana na mchoro sawa:
Kazi ni kupata kuratibu za hatua ambayo ni ulinganifu kwa uhakika kuhusiana na mstari wa moja kwa moja 
. Ninapendekeza kufanya hatua mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:
1) Tafuta mstari ambao ni perpendicular kwa mstari.
2) Tafuta mahali pa makutano ya mistari: 
.
Vitendo vyote viwili vimejadiliwa kwa kina katika somo hili.
3) Hatua ni katikati ya sehemu. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya mwisho. Na fomula za kuratibu za sehemu ya kati ya sehemu tunapata.
Itakuwa wazo nzuri kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.
Ugumu unaweza kutokea katika mahesabu hapa, lakini microcalculator ni msaada mkubwa katika mnara, kuruhusu wewe kuhesabu. sehemu za kawaida. Nimekushauri mara nyingi na nitakupendekeza tena.
Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?
Mfano 9
Tafuta umbali kati ya mistari miwili inayofanana
Huu ni mfano mwingine kwako kuamua mwenyewe. Nitakupa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kutatua hili. Kujadiliana mwishoni mwa somo, lakini ni bora kujaribu kujikisia mwenyewe, nadhani ujanja wako ulikuzwa vizuri.
Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka
Kila kona ni jamb: 
Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inachukuliwa kuwa angle ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kwamba haiwezi kuwa butu. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mistari ya kuingiliana. Na jirani yake "kijani" au yenye mwelekeo kinyume kona ya "raspberry".
Ikiwa mistari ni perpendicular, basi yoyote ya pembe 4 inaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.
Je, pembe ni tofautije? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo ambao pembe "imezungushwa" ni muhimu sana. Pili, pembe yenye mwelekeo hasi imeandikwa kwa ishara ya kuondoa, kwa mfano ikiwa .
Kwa nini nilikuambia hivi? Inaonekana kwamba tunaweza kupata na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba fomula ambazo tutapata pembe zinaweza kusababisha matokeo hasi kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya minus sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe mbaya, hakikisha unaonyesha mwelekeo wake na mshale (saa ya saa).
Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna fomula mbili za kufanya kazi:
Mfano 10
Tafuta pembe kati ya mistari
Suluhisho Na Mbinu ya kwanza
Wacha tuchunguze mistari miwili iliyonyooka iliyofafanuliwa na hesabu kwa fomu ya jumla: 
Ikiwa moja kwa moja sio perpendicular, Hiyo iliyoelekezwa Pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: 
Hebu tuzingalie kwa makini denominator - hii ni hasa bidhaa ya scalar kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:
Ikiwa , basi denominator ya formula inakuwa sifuri, na vectors itakuwa orthogonal na mistari itakuwa perpendicular. Ndio maana uhifadhi ulifanywa kuhusu kutokuwa na usawa wa mistari iliyonyooka katika uundaji.
Kulingana na hapo juu, ni rahisi kurasimisha suluhisho katika hatua mbili:
1) Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar ya veta za mwelekeo wa mistari:
, ambayo ina maana kwamba mistari sio perpendicular.
2) Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka kwa kutumia formula:
Kwa kutumia utendaji wa kinyume Ni rahisi kupata kona yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia hali isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):
Jibu: 
Katika jibu tunaonyesha thamani halisi, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana katika digrii zote mbili na radiani), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.
Kweli, toa, toa, hakuna jambo kubwa. Hapa kuna kielelezo cha kijiometri: 
Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa ya mwelekeo mbaya, kwa sababu katika taarifa ya tatizo nambari ya kwanza ni mstari wa moja kwa moja na "kufungua" kwa pembe ilianza kwa usahihi.
Ikiwa unataka kupata pembe chanya, unahitaji kubadilishana mistari, ambayo ni, kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili. 
, na uchukue coefficients kutoka kwa mlinganyo wa kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na moja kwa moja 
.
Maagizo
Kumbuka
Kipindi cha tangent ya kazi ya trigonometric ni sawa na digrii 180, ambayo ina maana kwamba pembe za mteremko wa mistari ya moja kwa moja haziwezi, kwa thamani kamili, kuzidi thamani hii.
Ikiwa mgawo wa angular ni sawa kwa kila mmoja, basi pembe kati ya mistari hiyo ni 0, kwa kuwa mistari hiyo inafanana au inafanana.
Kuamua thamani ya pembe kati ya mistari ya kuingiliana, ni muhimu kuhamisha mistari yote miwili (au moja yao) kwenye nafasi mpya kwa kutumia njia ya kutafsiri sambamba mpaka inapoingiliana. Baada ya hayo, unapaswa kupata pembe kati ya mistari ya kuingiliana inayosababisha.
Utahitaji
- Mtawala, pembetatu ya kulia, penseli, protractor.
Maagizo
Kwa hiyo, basi vector V = (a, b, c) na ndege A x + B y + C z = 0 itolewe, ambapo A, B na C ni kuratibu za N ya kawaida. Kisha cosine ya pembe. α kati ya vekta V na N ni sawa na: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Ili kuhesabu angle katika digrii au radiani, unahitaji kuhesabu inverse kwa kazi ya cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. arccosine:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Mfano: kupata kona kati vekta(5, -3, 8) na ndege, iliyotolewa na equation ya jumla 2 x - 5 y + 3 z = 0. Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N = (2, -5, 3). Badilisha kila kitu maadili yanayojulikana katika fomula iliyotolewa: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.
Video kwenye mada
Mstari wa moja kwa moja ambao una sehemu moja ya kawaida na duara ni tangent kwa duara. Kipengele kingine cha tangent ni kwamba daima ni perpendicular kwa radius inayotolewa kwa uhakika wa kuwasiliana, yaani, tangent na radius huunda mstari wa moja kwa moja. kona. Ikiwa tanjenti mbili kwa mduara AB na AC hutolewa kutoka kwa hatua moja A, basi daima ni sawa kwa kila mmoja. Kuamua angle kati ya tangents ( kona ABC) imetengenezwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.
Maagizo
Kuamua angle, unahitaji kujua radius ya mduara OB na OS na umbali wa hatua ya kuanzia ya tangent kutoka katikati ya mduara - O. Kwa hiyo, pembe ABO na ACO ni sawa, radius OB ni, kwa mfano, 10 cm, na umbali wa katikati ya mduara AO ni 15 cm Tambua urefu wa tangent kwa kutumia formula kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean: AB =. Kipeo kutoka kwa AO2 - OB2 au 152 - 102 = 225 - 100 = 125;