Uhusiano kati ya kazi za msingi za trigonometric - sine, cosine, tangent na cotangent - hutolewa fomula za trigonometric. Na kwa kuwa kuna miunganisho mingi kati ya kazi za trigonometric, hii inaelezea wingi fomula za trigonometric. Njia zingine huunganisha kazi za trigonometric za pembe sawa, zingine - kazi za pembe nyingi, zingine - hukuruhusu kupunguza kiwango, nne - kuelezea kazi zote kupitia tangent ya pembe ya nusu, nk.
Katika makala hii tutaorodhesha kwa utaratibu fomula zote za msingi za trigonometric, ambazo zinatosha kutatua matatizo mengi ya trigonometry. Kwa urahisi wa kukariri na matumizi, tutawaweka kwa kusudi na kuwaingiza kwenye meza.
Urambazaji wa ukurasa.
Vitambulisho vya msingi vya trigonometric
Msingi vitambulisho vya trigonometric fafanua uhusiano kati ya sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe moja. Wanafuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent, pamoja na dhana ya mduara wa kitengo. Wanakuruhusu kuelezea kazi moja ya trigonometric kulingana na nyingine yoyote.
Kwa maelezo ya kina ya fomula hizi za trigonometry, derivation yao na mifano ya matumizi, angalia makala.
Fomula za kupunguza
Fomula za kupunguza kufuata kutoka kwa mali ya sine, cosine, tangent na cotangent, yaani, zinaonyesha mali ya upimaji wa kazi za trigonometric, mali ya ulinganifu, pamoja na mali ya kuhama kwa pembe fulani. Fomula hizi za trigonometric hukuruhusu kufanya kazi nazo pembe za kiholela endelea kufanya kazi na pembe kuanzia sifuri hadi digrii 90.
Mantiki ya fomula hizi, sheria ya mnemonic ya kukariri na mifano ya matumizi yao inaweza kusomwa katika kifungu hicho.
Fomula za nyongeza
Njia za kuongeza trigonometric onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za jumla au tofauti za pembe mbili zinavyoonyeshwa kulingana na utendaji wa trigonometriki za pembe hizo. Fomula hizi hutumika kama msingi wa kupata fomula za trigonometriki zifuatazo.
Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe
Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe (pia huitwa fomula za pembe nyingi) zinaonyesha jinsi kazi za trigonometric za mara mbili, tatu, nk. pembe () zinaonyeshwa kwa suala la kazi za trigonometric za pembe moja. Utoaji wao unategemea kanuni za nyongeza.
Maelezo ya kina zaidi yanakusanywa katika kanuni za makala kwa mara mbili, tatu, nk. pembe
Fomula za pembe nusu
Fomula za pembe nusu onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za pembe nusu zinavyoonyeshwa kulingana na kosine ya pembe nzima. Fomula hizi za trigonometric hufuata kutoka kwa fomula za pembe mbili.
Hitimisho lao na mifano ya maombi inaweza kupatikana katika makala.
Fomula za kupunguza shahada
Fomula za trigonometric za kupunguza digrii zimeundwa ili kuwezesha mpito kutoka kwa nguvu za asili za kazi za trigonometric hadi sines na cosines katika shahada ya kwanza, lakini pembe nyingi. Kwa maneno mengine, wanakuwezesha kupunguza nguvu za kazi za trigonometric kwa kwanza.
Fomula za jumla na tofauti za chaguo za kukokotoa za trigonometric
Kusudi kuu fomula za jumla na tofauti za kazi za trigonometric ni kwenda kwa bidhaa ya vitendaji, ambayo ni muhimu sana wakati wa kurahisisha misemo ya trigonometric. Fomula hizi pia hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kwani wanakuruhusu kuainisha jumla na tofauti ya sines na cosines.
Fomula za bidhaa za sines, cosines na sine na kosine
Mpito kutoka kwa bidhaa ya kazi za trigonometric hadi jumla au tofauti hufanywa kwa kutumia fomula za bidhaa za sines, cosines na sine kwa cosine.
Hakimiliki na wanafunzi wajanja
Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya www.site, ikijumuisha vifaa vya ndani Na muundo wa nje, haiwezi kunakiliwa kwa namna yoyote au kutumika bila idhini ya maandishi ya mwenye hakimiliki.
Katika makala hii tutaangalia kwa kina. Vitambulisho vya msingi vya trigonometriki ni usawa ambao huanzisha muunganisho kati ya sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe moja, na kuruhusu mtu kupata mojawapo ya vitendakazi hivi vya trigonometriki kupitia nyingine inayojulikana.
Hebu tuorodhe mara moja vitambulisho kuu vya trigonometric ambavyo tutachambua katika makala hii. Wacha tuandike kwenye jedwali, na hapa chini tutatoa matokeo ya fomula hizi na kutoa maelezo muhimu.
Urambazaji wa ukurasa.
Uhusiano kati ya sine na kosine wa pembe moja
Wakati mwingine hawazungumzi juu ya vitambulisho kuu vya trigonometric vilivyoorodheshwa kwenye jedwali hapo juu, lakini kuhusu moja kitambulisho cha msingi cha trigonometric aina 
. Maelezo ya ukweli huu ni rahisi sana: usawa hupatikana kutoka kwa kitambulisho kikuu cha trigonometric baada ya kugawanya sehemu zake zote mbili na, kwa mtiririko huo, na usawa. 
Na 
kufuata kutoka kwa fasili za sine, kosine, tanjiti na kotanji. Tutazungumza juu ya hili kwa undani zaidi katika aya zifuatazo.
Hiyo ni, ni usawa ambao ni wa maslahi fulani, ambayo ilipewa jina la utambulisho kuu wa trigonometric.
Kabla ya kuthibitisha utambulisho mkuu wa trigonometric, tunatoa uundaji wake: jumla ya mraba ya sine na cosine ya pembe moja ni sawa sawa na moja. Sasa hebu tuthibitishe.
Utambulisho wa msingi wa trigonometric hutumiwa mara nyingi sana wakati kubadilisha usemi wa trigonometric. Inaruhusu jumla ya miraba ya sine na kosine ya pembe moja kubadilishwa na moja. Sio chini ya mara nyingi, kitambulisho cha msingi cha trigonometric hutumiwa kwa mpangilio wa nyuma: kitengo kinabadilishwa na jumla ya miraba ya sine na cosine ya pembe yoyote.
Tanji na kotanjiti kupitia sine na kosine
Vitambulisho vinavyounganisha tanjiti na kotanji na sine na kosine ya pembe moja ya mtazamo na 
fuata mara moja kutoka kwa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent. Hakika, kwa ufafanuzi, sine ni mratibu wa y, cosine ni abscissa ya x, tangent ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa, yaani, 
, na cotangent ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu, yaani, 
.
Shukrani kwa uwazi huo wa utambulisho na Tangenti na cotangent mara nyingi hufafanuliwa si kwa uwiano wa abscissa na kuratibu, lakini kupitia uwiano wa sine na cosine. Kwa hivyo tanjiti ya pembe ni uwiano wa sine na kosine ya pembe hii, na kotanjenti ni uwiano wa kosine na sine.
Kwa kumalizia aya hii, ni lazima ieleweke kwamba utambulisho na hufanyika kwa pembe zote ambazo kazi za trigonometric zilizojumuishwa ndani yao zina maana. Kwa hivyo fomula ni halali kwa any , zaidi ya (vinginevyo denominator itakuwa na sifuri, na hatukufafanua mgawanyiko kwa sifuri), na fomula. - kwa wote, tofauti na, ambapo z ni yoyote.
Uhusiano kati ya tangent na cotangent
Utambulisho dhahiri zaidi wa trigonometriki kuliko hizo mbili zilizopita ni utambulisho unaounganisha tanjiti na kotanji ya pembe moja ya fomu. . Ni wazi kuwa inashikilia kwa pembe zozote zaidi ya , vinginevyo tanjiti au kotanji haijabainishwa.
Uthibitisho wa formula rahisi sana. Kwa ufafanuzi na kutoka wapi 
. Uthibitisho ungeweza kufanywa kwa njia tofauti kidogo. Tangu , Hiyo 
.
Kwa hivyo, tanjiti na cotangent ya pembe sawa ambayo zinafanya maana ni .
Hii ni ya mwisho na zaidi somo kuu, muhimu kutatua matatizo B11. Tayari tunajua jinsi ya kubadilisha pembe kutoka kwa kipimo cha radian hadi kipimo cha digrii (tazama somo "Radian na kipimo cha digrii ya pembe"), na pia tunajua jinsi ya kuamua ishara ya kazi ya trigonometric, ikizingatia robo za kuratibu ( tazama somo "Ishara za kazi za trigonometric").
Kitu pekee kilichobaki kufanya ni kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa yenyewe - nambari ambayo imeandikwa kwenye jibu. Hapa ndipo utambulisho wa msingi wa trigonometric huja kuwaokoa.
Utambulisho wa msingi wa trigonometric. Kwa pembe yoyote α taarifa ifuatayo ni kweli:
dhambi 2 α + cos 2 α = 1.
Fomula hii inahusiana na sine na kosine ya pembe moja. Sasa, kwa kujua sine, tunaweza kupata cosine kwa urahisi - na kinyume chake. Inatosha kuchukua mizizi ya mraba:
Kumbuka ishara "±" mbele ya mizizi. Ukweli ni kwamba kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric haijulikani ni nini sine na cosine ya awali ilikuwa: chanya au hasi. Baada ya yote, kugombana - kazi hata, ambayo "huchoma" hasara zote (ikiwa kulikuwa na).
Ndiyo maana katika matatizo yote B11, ambayo yanapatikana katika Uchunguzi wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kuna lazima hali ya ziada ambayo husaidia kuondokana na kutokuwa na uhakika na ishara. Kawaida hii ni dalili ya robo ya kuratibu, ambayo ishara inaweza kuamua.
Msomaji makini labda atauliza: "Vipi kuhusu tangent na cotangent?" Haiwezekani kuhesabu kazi hizi moja kwa moja kutoka kwa fomula zilizo hapo juu. Hata hivyo, kuna matokeo muhimu kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric, ambayo tayari ina tangents na cotangents. Yaani:
Muhtasari muhimu: kwa pembe yoyote α, kitambulisho cha msingi cha trigonometriki kinaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
Equations hizi zinatokana kwa urahisi kutoka kwa utambulisho kuu - inatosha kugawanya pande zote mbili kwa cos 2 α (kupata tangent) au kwa dhambi 2 α (kupata cotangent).
Hebu tuangalie haya yote mifano maalum. Chini ni shida halisi za B11 ambazo huchukuliwa kutoka chaguzi za majaribio Mtihani wa Jimbo la Umoja katika Hisabati 2012.
Tunajua cosine, lakini hatujui sine. Utambulisho kuu wa trigonometric (katika fomu yake "safi") huunganisha kazi hizi tu, kwa hiyo tutafanya kazi nayo. Tuna:
dhambi 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ dhambi 2 α + 99/100 = 1 ⇒ dhambi 2 α = 1/100 ⇒ dhambi α = ±1/10 = ±0.1.
Ili kutatua tatizo, inabakia kupata ishara ya sine. Kwa kuwa pembe α ∈ (π /2; π ), basi kwa kipimo cha shahada imeandikwa hivi: α ∈ (90°; 180°).
Kwa hivyo, pembe α iko katika robo ya kuratibu ya II - sines zote kuna chanya. Kwa hiyo dhambi α = 0.1.
Kwa hivyo, tunajua sine, lakini tunahitaji kupata cosine. Vipengele hivi vyote viwili viko katika utambulisho wa msingi wa trigonometric. Hebu tubadilishe:
dhambi 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.
Inabakia kukabiliana na ishara mbele ya sehemu. Nini cha kuchagua: plus au minus? Kwa hali, pembe α ni ya muda (π 3π /2). Hebu tubadili pembe kutoka kwa hatua za radian hadi digrii - tunapata: α ∈ (180 °; 270 °).
Kwa wazi, hii ni robo ya kuratibu ya III, ambapo cosine zote ni hasi. Kwa hiyo cos α = -0.5.
Kazi. Tafuta tan α ikiwa yafuatayo yanajulikana:
Tangenti na kosine zinahusiana na mlingano ufuatao kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometriki:
Tunapata: tan α = ±3. Ishara ya tangent imedhamiriwa na angle α. Inajulikana kuwa α ∈ (3π /2; 2π ). Hebu tubadilishe pembe kutoka kwa hatua za radian hadi digrii - tunapata α ∈ (270 °; 360 °).
Kwa wazi, hii ni robo ya kuratibu ya IV, ambapo tangents zote ni hasi. Kwa hiyo tan α = -3.
Kazi. Tafuta cos α ikiwa yafuatayo yanajulikana:
Tena sine inajulikana na cosine haijulikani. Wacha tuandike kitambulisho kikuu cha trigonometric:
dhambi 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.
Ishara imedhamiriwa na pembe. Tunayo: α ∈ (3π /2; 2π ). Hebu tubadilishe pembe kutoka digrii hadi radiani: α ∈ (270°; 360°) ni robo ya kuratibu ya IV, kosini huko ni chanya. Kwa hiyo, cos α = 0.6.
Kazi. Tafuta dhambi α ikiwa yafuatayo yanajulikana:
Hebu tuandike fomula inayofuata kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric na kuunganisha moja kwa moja sine na cotangent:
Kutoka hapa tunapata dhambi hiyo 2 α = 1/25, i.e. dhambi α = ±1/5 = ±0.2. Inajulikana kuwa pembe α ∈ (0; π /2). Katika kipimo cha shahada, hii imeandikwa kama ifuatavyo: α ∈ (0°; 90°) - Ninaratibu robo.
Kwa hivyo, pembe iko kwenye I kuratibu quadrant - kazi zote za trigonometric kuna chanya, kwa hivyo dhambi α = 0.2.
Kifungu kinaelezea kwa undani vitambulisho vya msingi vya trigonometriki hizi huanzisha uhusiano kati ya dhambi, cos, t g, c t g nyuma pembe iliyopewa. Ikiwa kazi moja inajulikana, nyingine inaweza kupatikana kupitia hiyo.
Vitambulisho vya Trigonometric kuzingatiwa katika nakala hii. Hapa chini tunaonyesha mfano wa derivation yao na maelezo.
dhambi 2 α + cos 2 α = 1 t g α = dhambi α cos α , c t g α = cos α dhambi α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 dhambi 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hebu tuzungumze juu ya utambulisho muhimu wa trigonometric, ambayo inachukuliwa kuwa msingi wa trigonometry.
dhambi 2 α + cos 2 α = 1
Usawa uliotolewa t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 dhambi 2 α hutolewa kutoka kwa kuu kwa kugawanya sehemu zote mbili kwa dhambi 2 α na cos 2 α. Baada ya hapo tunapata t g α = dhambi α cos α, c t g α = cos α dhambi α na t g α · c t g α = 1 - hii ni matokeo ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent.
Dhambi ya usawa 2 α + cos 2 α = 1 ndio utambulisho mkuu wa trigonometric. Ili kuthibitisha hilo, unahitaji kurejea kwenye mada ya mzunguko wa kitengo.
Wacha viwianishi vya nukta A (1, 0) vipewe, ambayo baada ya kuzungushwa kwa pembe α inakuwa nukta A 1. Kwa ufafanuzi wa dhambi na cos, hatua A 1 itapokea kuratibu (cos α, sin α). Kwa kuwa A 1 iko ndani ya mduara wa kitengo, hii ina maana kwamba kuratibu lazima kukidhi hali x 2 + y 2 = 1 ya mduara huu. Usemi cos 2 α + sin 2 α = 1 unapaswa kuwa halali. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuthibitisha utambulisho kuu wa trigonometric kwa pembe zote za mzunguko α.
Katika trigonometria, usemi sin 2 α + cos 2 α = 1 hutumiwa kama nadharia ya Pythagorean katika trigonometry. Ili kufanya hivyo, fikiria uthibitisho wa kina.
Kwa kutumia mduara wa kitengo, tunazunguka hatua A na kuratibu (1, 0) karibu na hatua ya kati O kwa pembe α. Baada ya kuzunguka, hatua hubadilisha kuratibu na inakuwa sawa na A 1 (x, y). Tunapunguza mstari wa perpendicular A 1 H hadi O x kutoka kwa uhakika A 1.
Kielelezo kinaonyesha wazi kwamba a pembetatu ya kulia O A 1 N. Moduli ya miguu O A 1 N na O N ni sawa, kuingia itachukua fomu ifuatayo: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Hypotenuse O A 1 ina thamani sawa na radius ya duara ya kitengo, | O A 1 | = 1 . Kwa kutumia usemi huu, tunaweza kuandika usawa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Hebu tuandike usawa huu kama | y | 2 + | x | 2 = 1 2, ambayo ina maana y 2 + x 2 = 1.
Kwa kutumia ufafanuzi wa sin α = y na cos α = x, tunabadilisha data ya pembe badala ya kuratibu za pointi na kuendelea na dhambi ya kutofautiana 2 α + cos 2 α = 1.
Uunganisho wa kimsingi kati ya dhambi na cos ya pembe inawezekana kupitia utambulisho huu wa trigonometric. Kwa hivyo, tunaweza kuhesabu dhambi ya pembe na cos inayojulikana na kinyume chake. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kutatua dhambi 2 α + cos 2 = 1 kwa heshima ya dhambi na cos, basi tunapata maneno ya fomu dhambi α = ± 1 - cos 2 α na cos α = ± 1 - dhambi 2 α , kwa mtiririko huo. Ukubwa wa pembe α huamua ishara mbele ya mzizi wa usemi. Kwa maelezo ya kina, unahitaji kusoma sehemu ya kuhesabu sine, cosine, tangent na cotangent kwa kutumia fomula za trigonometric.
Mara nyingi, fomula ya msingi hutumiwa kubadilisha au kurahisisha misemo ya trigonometric. Inawezekana kuchukua nafasi ya jumla ya mraba wa sine na cosine kwa 1. Ubadilishaji wa kitambulisho unaweza kuwa katika mpangilio wa moja kwa moja au wa kinyume: kitengo kinabadilishwa na usemi wa jumla ya miraba ya sine na kosine.
Tanji na kotanjiti kupitia sine na kosine
Kutoka kwa ufafanuzi wa cosine na sine, tangent na cotangent, ni wazi kwamba wameunganishwa na kila mmoja, ambayo inakuwezesha kubadilisha tofauti kiasi muhimu.
t g α = dhambi α cos α c t g α = cos α dhambi α
Kutoka kwa ufafanuzi, sine ni mratibu wa y, na cosine ni abscissa ya x. Tangenti ni uhusiano kati ya kuratibu na abscissa. Kwa hivyo tunayo:
t g α = y x = sin α cos α , na usemi wa cotangent una maana tofauti, ambayo ni.
c t g α = x y = cos α dhambi α .
Inafuata kwamba vitambulisho vinavyotokana t g α = sin α cos α na c t g α = cos α sin α vimebainishwa kwa kutumia pembe za dhambi na cos. Tangent inachukuliwa kuwa uwiano wa sine na cosine ya pembe kati yao, na cotangent ni kinyume chake.
Kumbuka kuwa t g α = sin α cos α na c t g α = cos α sin α ni kweli kwa thamani yoyote ya pembe α, thamani ambazo zimejumuishwa katika safu. Kutoka kwa fomula t g α = dhambi α cos α thamani ya pembe α ni tofauti na π 2 + π · z, na c t g α = cos α sin α inachukua thamani ya pembe α tofauti na π · z, z inachukua thamani ya nambari yoyote.
Uhusiano kati ya tangent na cotangent
Kuna fomula inayoonyesha uhusiano kati ya pembe kupitia tanjiti na kotanji. Utambulisho huu wa trigonometriki ni muhimu katika trigonometria na unaonyeshwa kama t g α · c t g α = 1. Inaleta maana kwa α iliyo na thamani yoyote isipokuwa π 2 · z, vinginevyo vitendakazi havitafafanuliwa.
Fomula t g α · c t g α = 1 ina sifa zake za kipekee katika uthibitisho. Kutoka kwa ufafanuzi tunayo kwamba t g α = y x na c t g α = x y, kwa hivyo tunapata t g α · c t g α = y x · x y = 1. Kubadilisha usemi na kuweka t g α = dhambi α cos α na c t g α = cos α dhambi α, tunapata t g α · c t g α = dhambi α cos α · cos α dhambi α = 1.
Kisha usemi wa tanjiti na kotanji una maana ya wakati hatimaye tunapata nambari zinazokinzana.
Tangenti na kosine, cotangent na sine
Baada ya kubadilisha vitambulisho kuu, tunafikia hitimisho kwamba tangent inahusiana kupitia kosine, na cotangent kupitia sine. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa fomula t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 dhambi 2 α.
Ufafanuzi ni kama ifuatavyo: jumla ya mraba wa tangent ya pembe na 1 ni sawa na sehemu, ambapo katika nambari tuna 1, na katika denominator mraba wa cosine ya pembe fulani, na jumla. ya mraba ya cotangent ya pembe ni kinyume chake. Shukrani kwa dhambi ya utambulisho wa trigonometric 2 α + cos 2 α = 1, tunaweza kugawanya pande zinazolingana na cos 2 α na kupata t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, ambapo thamani ya cos 2 α haipaswi kuwa sawa na sufuri. Wakati wa kugawanya kwa dhambi 2 α, tunapata utambulisho 1 + c t g 2 α = 1 dhambi 2 α, ambapo thamani ya dhambi 2 α haipaswi kuwa sawa na sifuri.
Kutoka kwa misemo iliyo hapo juu tuligundua kuwa kitambulisho t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α ni kweli kwa maadili yote ya pembe α isiyo ya π 2 + π · z, na 1 + c t g 2 α = 1 dhambi 2 α kwa thamani za α zisizo za muda π · z.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter