Nambari tatu 12x, x 2-5 na 4 kwa mpangilio huo huunda ukuaji unaoongezeka wa hesabu https://youtu.be/U0VO_N9udpI Chagua taarifa sahihi HISABATI ZFTSH MIPT Taasisi ya Fizikia na Teknolojia ya Moscow (Chuo Kikuu cha Jimbo) Shule ya Mawasiliano ya Fizikia na Teknolojia. http://pin.it/9w-GqGp Tafuta zote x, y na z ili nambari 5x + 3, y2 na 3z + 5 zitengeneze maendeleo ya hesabu kwa mpangilio huo. Tafuta x na uonyeshe tofauti ya mwendelezo huu. Tatua mfumo wa milinganyo ya Hisabati ya Mtihani wa Jimbo Moja. Mafunzo ya video. Mgawanyiko wa nambari kamili. Utendakazi wa mstari. Matatizo ya mgawanyiko. Nadharia ya Vieta, nadharia ya mazungumzo, kanuni za Vieta. wajanja #wanafunzi #milinganyo #nadharia_ya_vietas #nadharia Ifuatayo, tunazingatia nadharia inayozungumza na nadharia ya Vieta. Baada ya hayo, tutachambua suluhisho kwa mifano ya kawaida zaidi. Hii inathibitisha uhusiano wa kwanza wa nadharia ya Vieta kwa jumla ya mizizi ya mlingano wa quadratic. Hebu tuendelee kwa pili. Jinsi ya kudhibitisha mazungumzo ya nadharia ya Vieta? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) =0 (x-M ) (x-N) =0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. Hivi ndivyo tulivyothibitisha katika darasa maalum na upendeleo wa hisabati. Majibu: kusaidia kuelewa nadharia ya kinyume ya nadharia ya Vieta shukrani kwa mifano maalum Nadharia kinyume cha nadharia ya Vieta husaidia kutatua suluhisho: Ikiwa mgawo a ni nambari ambayo ni rahisi kutoa mzizi wa mraba wa nambari kamili, basi Jumla ya x1 na x2 itakuwa sawa na nambari Thibitisha nadharia inverse Vieta - tazama jinsi ya kulalamika juu ya uthibitisho wa nadharia ya Vieta. Unda na uthibitishe nadharia ya Vieta, na vile vile nadharia ya mazungumzo, na utumie nadharia kutatua milinganyo na shida. Thibitisha mazungumzo ya nadharia ya Vieta. Uchunguzi wa Jimbo la Umoja katika hisabati kwa pointi 100: siri ambazo walimu wa shule hawakuambii, matatizo kwenye derivatives. Waombaji wengi wanafikiri kwamba hawana haja ya kujiandaa kwa matatizo kumi na nne ya kwanza, wakifikiri kuwa ni rahisi sana, lakini hii sivyo! Wafanya mtihani wengi hufanya makosa rahisi zaidi ya hesabu, na hivyo kufunika suluhisho bora kwa matatizo ya sehemu ya C. Hali kama hizo hutokea mara nyingi sana, kwa hiyo, hupaswi kupuuza kujiandaa kwa matatizo ya kwanza, lakini kujiandaa kama ungefanya wakati wa mafunzo ya michezo: ikiwa unaomba kwa pointi 90-100 - fanya mazoezi ya kutatua kizuizi cha kwanza katika dakika 20-25, ikiwa kwa pointi 70-80 - kama dakika 30, hakuna zaidi. Njia bora ya kufundisha ni kutatua katika kampuni ya mwalimu, katika kozi ambapo hali fulani zitawekwa: kwa mfano, unasuluhisha kabla ya kosa la kwanza, kisha uingie kazi; Chaguo jingine ni kwamba kwa kila kosa unalofanya, unatoa pesa kwenye rejista ya jumla ya fedha. Haijalishi jinsi ya ajabu inaweza kuonekana, hatupendekeza tovuti rasmi, kwa kuwa vipimo vyote vilivyopo vimechanganywa sana kwamba haiwezekani kuitumia. Uumbizaji wa majukumu ya Sehemu ya C ni muhimu. Ikiwa suluhisho halijaandaliwa kwa uangalifu, basi maendeleo ya kutatua kazi hayatakuwa wazi, na kwa hiyo, mchunguzi hakika atapata kosa na hili na kupunguza alama yako. Inaweza kuonekana kuwa tulizungumza juu ya mambo rahisi sana, lakini kwa kufuata ushauri wetu, utahakikisha kuwa umefaulu kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja! Viungo vya siri vinavyojadiliwa katika Darasa la Uzamili vinaweza kupatikana hapa - hivi ni viungo vya kozi za Video za kujiandaa kwa ajili ya Mtihani wa Jimbo Pamoja. Matokeo yaliyopatikana yanaitwa nadharia ya Vieta. Kwa trinomial ya mraba iliyopunguzwa 2 x px q, nadharia ya Vieta inaonekana kama hii: ikiwa kuna mizizi, basi inverse ya nadharia ya Vieta pia inashikilia: ikiwa nambari zinakidhi masharti, basi nambari hizi ni mizizi ya equation. Uthibitisho wa nadharia hii ni mojawapo ya maswali ya udhibiti wa Kazi. Wakati mwingine, kwa ufupi, nadharia zote mbili za Vieta (moja kwa moja na kinyume) huitwa theorem ya Vieta.
Mojawapo ya njia za kutatua equation ya quadratic ni kutumia Fomula za VIET, ambayo ilipewa jina la FRANCOIS VIETTE.
Alikuwa mwanasheria maarufu ambaye alimtumikia mfalme wa Ufaransa katika karne ya 16. Katika muda wake wa ziada alisoma elimu ya nyota na hisabati. Alianzisha uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic.
Faida za formula:
1 . Kwa kutumia formula, unaweza kupata suluhisho haraka. Kwa sababu hakuna haja ya kuingiza mgawo wa pili kwenye mraba, kisha uondoe 4ac kutoka kwayo, pata kibaguzi, na ubadilishe thamani yake kwenye fomula ili kupata mizizi.
2 . Bila suluhisho, unaweza kuamua ishara za mizizi na kuchagua maadili ya mizizi.
3 . Baada ya kutatua mfumo wa rekodi mbili, si vigumu kupata mizizi yenyewe. Katika mlinganyo wa juu wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na thamani ya mgawo wa pili na ishara ya minus. Bidhaa ya mizizi katika equation ya juu ya quadratic ni sawa na thamani ya mgawo wa tatu.
4 . Kwa kutumia mizizi hii, andika equation ya quadratic, yaani, kutatua tatizo la kinyume. Kwa mfano, njia hii hutumiwa wakati wa kutatua matatizo katika mechanics ya kinadharia.
5 . Ni rahisi kutumia fomula wakati mgawo wa kuongoza ni sawa na moja.
Mapungufu:
1
. Fomula sio ya ulimwengu wote.
Nadharia ya Vieta daraja la 8
Mfumo
Ikiwa x 1 na x 2 ndio mizizi ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 + px + q = 0, basi:
Mifano
x 1 = -1; x 2 = 3 - mizizi ya equation x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Nadharia ya mazungumzo
Mfumo
Ikiwa nambari x 1, x 2, p, q zinahusiana na masharti:
Kisha x 1 na x 2 ndio mizizi ya equation x 2 + px + q = 0.
Mfano
Wacha tuunda equation ya quadratic kwa kutumia mizizi yake:
X 1 = 2 - ? 3 na x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3 )(2 +? 3) = 4 - 3 = 1.
Mlinganyo unaohitajika una fomu: x 2 - 4x + 1 = 0.
Nadharia ya Vieta
Hebu na uonyeshe mizizi ya equation iliyopunguzwa ya quadratic
(1)
.
Kisha jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa , kuchukuliwa na ishara kinyume. Bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure:
;
.
Ujumbe kuhusu mizizi mingi
Ikiwa kibaguzi cha equation (1) ni sifuri, basi mlingano huu una mzizi mmoja. Lakini, ili kuzuia uundaji mbaya, inakubalika kwa ujumla kuwa katika kesi hii, equation (1) ina mizizi miwili mingi, au sawa:
.
Ushahidi mmoja
Wacha tupate mizizi ya equation (1). Ili kufanya hivyo, tumia formula ya mizizi ya equation ya quadratic:
;
;
.
Tafuta jumla ya mizizi:
.
Ili kupata bidhaa, tumia formula:
.
Kisha
.
Nadharia imethibitishwa.
Ushahidi wa pili
Ikiwa nambari ni mizizi ya equation ya quadratic (1), basi
.
Kufungua mabano.
.
Kwa hivyo, equation (1) itachukua fomu:
.
Kwa kulinganisha na (1) tunapata:
;
.
Nadharia imethibitishwa.
Nadharia ya mazungumzo ya Vieta
Wacha ziwe na nambari za kiholela. Kisha na ni mizizi ya equation ya quadratic
,
Wapi
(2)
;
(3)
.
Uthibitisho wa nadharia ya mazungumzo ya Vieta
Fikiria equation ya quadratic
(1)
.
Tunahitaji kuthibitisha kwamba ikiwa na , basi na ni mizizi ya equation (1).
Hebu tubadilishe (2) na (3) katika (1):
.
Tunaweka masharti kwenye upande wa kushoto wa equation:
;
;
(4)
.
Wacha tubadilishe katika (4):
;
.
Wacha tubadilishe katika (4):
;
.
Equation inashikilia. Hiyo ni, nambari ni mzizi wa equation (1).
Nadharia imethibitishwa.
Nadharia ya Vieta ya mlingano kamili wa quadratic
Sasa fikiria mlinganyo kamili wa quadratic
(5)
,
wapi, na kuna nambari kadhaa. Aidha.
Wacha tugawanye equation (5) kwa:
.
Hiyo ni, tulipata equation iliyotolewa
,
Wapi;
.
Kisha nadharia ya Vieta ya mlingano kamili wa quadratic ina fomu ifuatayo.
.
Hebu na uonyeshe mizizi ya equation kamili ya quadratic
;
.
Kisha jumla na bidhaa ya mizizi imedhamiriwa na fomula:
Nadharia ya Vieta ya mlinganyo wa ujazo
(6)
,
Kwa njia sawa, tunaweza kuanzisha uhusiano kati ya mizizi ya equation ya cubic. Fikiria equation ya cubic
ambapo ,, , ni baadhi ya nambari. Aidha.
(7)
,
Wacha tugawanye equation hii kwa:
Wapi,,.
.
Hebu , , iwe mizizi ya equation (7) (na equation (6)). Kisha
;
;
.
Kwa kulinganisha na equation (7) tunapata:
Nadharia ya Vieta ya mlingano wa shahada ya nth
.
Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata miunganisho kati ya mizizi , , ... , , kwa equation ya shahada ya nth.
;
;
;
.
Nadharia ya Vieta ya equation ya shahada ya nth ina fomu ifuatayo:
.
Ili kupata fomula hizi, tunaandika equation kama ifuatavyo:
Kisha tunalinganisha coefficients kwa , , , ... , na kulinganisha neno la bure.
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.
SENTIMITA. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: Kitabu cha maandishi cha darasa la 8 katika taasisi za elimu ya jumla, Moscow, Elimu, 2006.
Nadharia ya Vieta mara nyingi hutumiwa kuangalia mizizi ambayo tayari imepatikana. Ikiwa umepata mizizi, unaweza kutumia fomula \(\anza(kesi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(kesi)\) kukokotoa thamani za \(p) \) na \(q\ ). Na ikiwa zinageuka kuwa sawa na katika equation ya awali, basi mizizi hupatikana kwa usahihi.
Kwa mfano, hebu, kwa kutumia , kutatua equation \(x^2+x-56=0\) na kupata mizizi: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Wacha tuangalie ikiwa tulifanya makosa katika mchakato wa suluhisho. Kwa upande wetu, \(p=1\), na \(q=-56\). Kwa nadharia ya Vieta tunayo:
\(\anza(kesi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\mwisho(kesi)\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\anza(kesi)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\mwisho(kesi)\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\anza(kesi)-1=-1\\-56=-56\mwisho(kesi)\ )
Taarifa zote mbili ziliunganishwa, ambayo inamaanisha tulitatua mlinganyo kwa usahihi.
Ukaguzi huu unaweza kufanywa kwa mdomo. Itachukua sekunde 5 na itakuokoa kutokana na makosa ya kijinga.
Nadharia ya mazungumzo ya Vieta
Ikiwa \(\anza(kesi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\mwisho(kesi)\), basi \(x_1\) na \(x_2\) ndio mizizi ya mlinganyo wa quadratic \ (x^ 2+px+q=0\).
Au kwa njia rahisi: ikiwa una mlinganyo wa fomu \(x^2+px+q=0\), kisha kusuluhisha mfumo \(\anza(kesi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(kesi)\) utapata mizizi yake.
Shukrani kwa nadharia hii, unaweza kupata haraka mizizi ya equation ya quadratic, hasa ikiwa mizizi hii ni . Ustadi huu ni muhimu kwa sababu unaokoa muda mwingi.
Mfano . Tatua mlingano \(x^2-5x+6=0\).
Suluhisho
: Kwa kutumia nadharia ya kinyume ya Vieta, tunapata kwamba mizizi inakidhi masharti: \(\anza(kesi)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\mwisho(kesi)\).
Angalia mlingano wa pili wa mfumo \(x_1 \cdot x_2=6\). Nambari \(6\) inaweza kugawanywa kuwa nini mbili? Mnamo \(2\) na \(3\), \(6\) na \(1\) au \(-2\) na \(-3\), na \(-6\) na \(- 1\). Mlinganyo wa kwanza wa mfumo utakuambia ni jozi gani ya kuchagua: \(x_1+x_2=5\). \(2\) na \(3\) zinafanana, kwani \(2+3=5\).
Jibu
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Mifano
. Kwa kutumia mazungumzo ya nadharia ya Vieta, tafuta mizizi ya mlingano wa quadratic:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Suluhisho
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - ni vipengele gani \(14\) hutengana ndani yake? \(2\) na \(7\), \(-2\) na \(-7\), \(-1\) na \(-14\), \(1\) na \(14\) ) Je, ni jozi gani za nambari zinazojumuisha hadi \(15\)? Jibu: \(1\) na \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - ni mambo gani \(-4\) hutengana ndani? \(-2\) na \(2\), \(4\) na \(-1\), \(1\) na \(-4\). Je, ni jozi gani za nambari zinazojumuisha hadi \(-3\)? Jibu: \(1\) na \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) hupanuka katika vipengele gani? \(4\) na \(5\), \(-4\) na \(-5\), \(2\) na \(10\), \(-2\) na \(-10\) ), \(-20\) na \(-1\), \(20\) na \(1\). Je, ni jozi gani za nambari zinazojumuisha hadi \(-9\)? Jibu: \(-4\) na \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) hutengana ndani ya vipengele gani? \(390\) na \(2\). Je, watajumlisha hadi \(88\)? Hapana. \(780\) ina vizidishi vipi vingine? \(78\) na \(10\). Je, watajumlisha hadi \(88\)? Ndiyo. Jibu: \(78\) na \(10\).
Sio lazima kupanua muda wa mwisho katika mambo yote yanayowezekana (kama katika mfano wa mwisho). Unaweza kuangalia mara moja ikiwa jumla yao inatoa \(-p\).
Muhimu! Nadharia ya Vieta na nadharia ya mazungumzo hufanya kazi tu na , yaani, moja ambayo mgawo wa \(x^2\) ni sawa na moja. Ikiwa hapo awali tulipewa equation isiyopunguzwa, basi tunaweza kuifanya ipunguzwe kwa kugawanya tu na mgawo mbele ya \(x^2\).
Kwa mfano, acha equation \(2x^2-4x-6=0\) itolewe na tunataka kutumia mojawapo ya nadharia za Vieta. Lakini hatuwezi, kwa kuwa mgawo wa \(x^2\) ni sawa na \(2\). Wacha tuiondoe kwa kugawa equation nzima na \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Tayari. Sasa unaweza kutumia nadharia zote mbili.
Majibu ya maswali yanayoulizwa mara kwa mara
Swali:
Kwa kutumia nadharia ya Vieta, unaweza kutatua yoyote?
Jibu:
Kwa bahati mbaya hapana. Ikiwa equation haina nambari kamili au equation haina mizizi kabisa, basi nadharia ya Vieta haitasaidia. Katika kesi hii, unahitaji kutumia kibaguzi
. Kwa bahati nzuri, 80% ya milinganyo katika hisabati ya shule ina masuluhisho kamili.
Utendaji wa Quadratic.
Chaguo za kukokotoa zinazotolewa na fomula y = ax2 + bx + c, ambapo x na y ni viambajengo na a, b, c hupewa nambari, na a si sawa na 0.
kuitwa kazi ya quadratic
Kuchagua mraba kamili.
Utoaji wa formula kwa mizizi ya equation ya quadratic, masharti ya kuwepo kwao na nambari.
- kibaguzi wa equation ya quadratic.
Nadharia za moja kwa moja na kinyume za Vieta.
Mtengano wa trinomia ya quadratic katika vipengele vya mstari.
Nadharia. Hebu
x 1 na x 2 - mizizi ya trinomial ya mrabax 2 + px + q. Kisha trinomial hii imetenganishwa katika mambo ya mstari kama ifuatavyo:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).Ushahidi. Hebu badala yake
uk Na qmaneno yao kupitiax 1 na x 2 na tumia njia ya kuweka vikundi:x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Nadharia imethibitishwa.
Mlinganyo wa Quadratic.
Grafu ya trinomial ya quadratic
Mlinganyo wa fomu
inayoitwa quadratic equation. Nambari D = b 2 - 4ac ndiyo kibaguzi cha mlingano huu.
Kama
ni mizizi (au suluhu) za mlinganyo wa quadratic. Ikiwa D = 0, basi mizizi ni sawa:
Ikiwa D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Fomula halali:
- Vieta formula; A
shoka 2 + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) -
formulaization.
Grafu ya kazi ya quadratic (quadratic trinomial) y = shoka 2 + bx + c ni parabola. Mahali pa parabola kulingana na ishara za mgawo a na D ya kibaguzi imeonyeshwa kwenye Mtini.
Nambari x 1 na x 2 kwenye mhimili wa abscissa ni mizizi ya shoka ya quadratic equation 2 + bx + + c = 0; kuratibu za vertex ya parabola (kumweka A) katika matukio yote
hatua ya makutano ya parabola na mhimili wa kuratibu ina kuratibu (0; c).
Kama mstari wa moja kwa moja na mduara, parabola hugawanya ndege katika sehemu mbili. Katika moja ya sehemu hizi, kuratibu za pointi zote hukidhi usawa y > ax 2 + bx + c, na kwa upande mwingine, kinyume chake. Tunaamua ishara ya usawa katika sehemu iliyochaguliwa ya ndege kwa kuipata wakati wowote katika sehemu hii ya ndege.
Wacha tuzingatie wazo la tangent kwa parabola (au duara). Tutaita mstari wa moja kwa moja y - kx + 1 tangent kwa parabola (au mduara) ikiwa ina hatua moja ya kawaida na curve hii.
Katika hatua ya kuwasiliana M(x; y), kwa parabola usawa kx +1 = shoka 2 + bx + c hushikilia (kwa duara - usawa (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) ) 2 - R 2). Kusawazisha kibaguzi cha equation ya quadratic inayotokana na sifuri (kwa vile equation lazima iwe na suluhisho la kipekee), tunafikia masharti ya kuhesabu coefficients ya tangent.