Milinganyo ya Trigonometric ni mifano ya kuongezeka kwa utata. Njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric

Somo katika matumizi jumuishi ya maarifa.

Malengo ya somo.

1. Fikiria mbinu mbalimbali kutatua milinganyo ya trigonometric.
2. Maendeleo ubunifu wanafunzi kwa kutatua milinganyo.
3. Kuwahimiza wanafunzi kujidhibiti, kudhibiti pamoja, na kujichanganua shughuli zao za elimu.

Vifaa: skrini, projekta, nyenzo za kumbukumbu.

Wakati wa madarasa

Mazungumzo ya utangulizi.

Njia kuu ya kutatua milinganyo ya trigonometric ni kupunguza kwa fomu yao rahisi. Katika kesi hii, wanaomba njia za kawaida, kama vile uwekaji alama, na pia mbinu zinazotumika kutatua milinganyo ya trigonometriki. Kuna mengi ya mbinu hizi, kwa mfano, mbadala mbalimbali za trigonometric, mabadiliko ya pembe, mabadiliko ya kazi za trigonometric. Utumiaji kiholela wa mageuzi yoyote ya trigonometriki kwa kawaida haurahisishi mlinganyo, lakini unaifanya kuwa ngumu sana. Kufanya kazi ndani muhtasari wa jumla kupanga kwa ajili ya kutatua equation, muhtasari wa njia ya kupunguza equation kwa rahisi zaidi, lazima kwanza kuchambua pembe - hoja za kazi trigonometric ni pamoja na katika equation.

Leo tutazungumza juu ya njia za kutatua hesabu za trigonometric. Njia iliyochaguliwa kwa usahihi mara nyingi inaweza kurahisisha suluhisho, kwa hivyo njia zote ambazo tumesoma zinapaswa kukumbukwa kila wakati ili kutatua milinganyo ya trigonometric kwa kutumia njia inayofaa zaidi.

II. (Kwa kutumia projekta, tunarudia njia za kutatua hesabu.)

1. Mbinu ya kupunguza mlingano wa trigonometric hadi algebraic.

Inahitajika kuelezea kazi zote za trigonometric kupitia moja, kwa hoja sawa. Hii inaweza kufanyika kwa kutumia utambulisho wa msingi wa trigonometric na matokeo yake. Tunapata equation na kazi moja ya trigonometric. Tukichukulia kama jambo jipya lisilojulikana, tunapata mlinganyo wa aljebra. Tunapata mizizi yake na kurudi kwa haijulikani zamani, kutatua equations rahisi zaidi ya trigonometric.

2. Factorization mbinu.

Ili kubadilisha pembe, fomula za kupunguza, jumla na tofauti za hoja mara nyingi ni muhimu, pamoja na kanuni za kubadilisha jumla (tofauti) ya kazi za trigonometric kuwa bidhaa na kinyume chake.

dhambi x + dhambi 3x = dhambi 2x + sin4x

3. Njia ya kuanzisha angle ya ziada.

4. Njia ya kutumia uingizwaji wa ulimwengu wote.

Milinganyo ya umbo F(sinx, cosx, tanx) = 0 hupunguzwa hadi aljebra kwa kutumia kibadala cha trigonometriki zima.

Kuonyesha sine, kosine na tanjiti kwa mujibu wa tanjiti ya pembe ya nusu. Mbinu hii inaweza kusababisha equation ya juu zaidi. Suluhisho ambalo ni ngumu.

Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, milinganyo ya mstari na quadratic, usawa wa mstari na quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya kusuluhisha kwa mafanikio kila moja ya shida zilizotajwa ni kama ifuatavyo: unahitaji kuanzisha aina gani ya shida unayosuluhisha, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.

Ni dhahiri kwamba mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi kwa usahihi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake hutolewa tena. Bila shaka, ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko ya utambulisho na kompyuta.

Hali ni tofauti na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu hata kidogo kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.

Na mwonekano equation, wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.

Ili kutatua equation ya trigonometric, unahitaji kujaribu:

1. kuleta utendaji wote uliojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi zinazofanana";
3. kipengele upande wa kushoto wa equation, nk.

Hebu tuzingatie njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Eleza utendaji wa trigonometric kulingana na vipengele vinavyojulikana.

Hatua ya 2. Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dhambi x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hatua ya 3. Tafuta tofauti isiyojulikana.

Mfano.

2 cos(3x - π/4) = -√2.

Suluhisho.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Uingizwaji unaobadilika

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza mlingano kuwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.

Hatua ya 2. Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).

Hatua ya 3. Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.

Hatua ya 4. Fanya uingizwaji wa nyuma.

Hatua ya 5. Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric.

Mfano.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Suluhisho.

1) 2(1 – dhambi 2 (x/2)) – 5dhambi (x/2) – 5 = 0;

2dhambi 2 (x/2) + 5dhambi (x/2) + 3 = 0.

2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 au e = -3/2, haikidhi masharti |t| ≤ 1.

4) dhambi(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari, kwa kutumia fomula ya kupunguza digrii:

dhambi 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hatua ya 2. Tatua mlingano unaotokana kwa kutumia njia I na II.

Mfano.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Suluhisho.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Milinganyo ya homogeneous

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza equation hii kwa fomu

a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)

au kwa mtazamo

b) dhambi 2 x + b dhambi x · cos x + c cos 2 x = 0 (equation homogeneous ya shahada ya pili).

Hatua ya 2. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

na upate equation ya tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tani 2 x + b arctan x + c = 0.

Hatua ya 3. Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Suluhisho.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

dhambi 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hebu tg x = t, basi

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 au t = -4, ambayo ina maana

tg x = 1 au tg x = -4.

Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Kutumia kila aina ya fomula za trigonometric, punguza mlinganyo huu kwa mlinganyo unaotatuliwa kwa mbinu I, II, III, IV.

Hatua ya 2. Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

dhambi x + dhambi 2x + dhambi 3x = 0.

Suluhisho.

1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;

2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.

2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;

dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.

Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

Matokeo yake, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Uwezo na ustadi wa kutatua milinganyo ya trigonometric ni sana muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na kwa upande wa mwalimu.

Matatizo mengi ya sterometry, fizikia, nk yanahusishwa na ufumbuzi wa equations trigonometric Mchakato wa kutatua matatizo hayo unajumuisha ujuzi na ujuzi mwingi unaopatikana kwa kujifunza vipengele vya trigonometry.

Milinganyo ya Trigonometric kuchukua mahali muhimu katika mchakato wa kufundisha hisabati na ukuzaji wa utu kwa ujumla.

Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikibidi - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, mashauri ya kisheria, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Milinganyo ya trigonometric sio mada rahisi. Zinatofautiana sana.) Kwa mfano, hizi:

dhambi 2 x + cos3x = ctg5x

dhambi(5x+π /4) = kitanda(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Na kadhalika...

Lakini hawa (na wengine wote) monsters trigonometric wana mambo mawili kwa pamoja: sifa za lazima. Kwanza - hutaamini - kuna utendaji wa trigonometric katika milinganyo.) Pili: misemo yote yenye x hupatikana. ndani ya kazi hizi hizo. Na hapo tu! Ikiwa X inaonekana mahali fulani nje, Kwa mfano, sin2x + 3x = 3, hii tayari itakuwa equation ya aina mchanganyiko. Equations kama hizo zinahitaji mbinu ya mtu binafsi. Hatutazingatia hapa.

Hatutatua milinganyo miovu katika somo hili pia.) Hapa tutashughulikia milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Kwa nini? Ndio kwa sababu suluhisho yoyote milinganyo ya trigonometric ina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, equation mbaya hupunguzwa hadi rahisi kupitia mabadiliko anuwai. Kwa pili, equation hii rahisi zaidi inatatuliwa. Hakuna njia nyingine.

Kwa hivyo, ikiwa una shida katika hatua ya pili, hatua ya kwanza haina maana sana.)

Je, milinganyo ya msingi ya trigonometric inaonekanaje?

dhambi = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hapa A inasimama kwa nambari yoyote. Yoyote.

Kwa njia, ndani ya kazi kunaweza kusiwe na X safi, lakini aina fulani ya usemi, kama:

cos(3x+π /3) = 1/2

na kadhalika. Hii inachanganya maisha, lakini haiathiri njia ya kutatua equation ya trigonometric.

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric?

Milinganyo ya trigonometric inaweza kutatuliwa kwa njia mbili. Njia ya kwanza: kutumia mantiki na mduara wa trigonometric. Tutaangalia njia hii hapa. Njia ya pili - kutumia kumbukumbu na fomula - itajadiliwa katika somo linalofuata.

Njia ya kwanza ni ya wazi, ya kuaminika, na ni ngumu kusahau.) Ni nzuri kwa kutatua milinganyo ya trigonometric, ukosefu wa usawa, na kila aina ya mifano gumu isiyo ya kawaida. Mantiki ni nguvu kuliko kumbukumbu!)

Kutatua milinganyo kwa kutumia mduara wa trigonometric.

Tunajumuisha mantiki ya msingi na uwezo wa kutumia mduara wa trigonometric. Je, hujui jinsi gani? Hata hivyo ... Utakuwa na wakati mgumu katika trigonometry ...) Lakini haijalishi. Angalia masomo "Trigonometric circle...... Ni nini?" na "Kupima pembe kwenye mduara wa trigonometric." Kila kitu ni rahisi huko. Tofauti na vitabu vya kiada ...)

Oh, unajua!? Na hata kujua "Kazi ya vitendo na mduara wa trigonometric"!? Hongera sana. Mada hii itakuwa karibu na kueleweka kwako.) Kinachopendeza hasa ni kwamba mzunguko wa trigonometric haijalishi ni mlinganyo gani unasuluhisha. Sine, cosine, tangent, cotangent - kila kitu ni sawa kwake. Kuna kanuni moja tu ya suluhisho.

Kwa hivyo tunachukua mlinganyo wowote wa msingi wa trigonometric. Angalau hii:

cosx = 0.5

Tunahitaji kupata X. Kuzungumza kwa lugha ya kibinadamu, unahitaji pata pembe (x) ambayo kosini yake ni 0.5.

Tulitumiaje duara hapo awali? Tulichora pembe juu yake. Katika digrii au radiani. Na mara moja saw kazi za trigonometric za pembe hii. Sasa tufanye kinyume. Hebu tuchore cosine kwenye mduara sawa na 0.5 na mara moja tutaona kona. Kilichobaki ni kuandika jibu.) Ndiyo, ndiyo!

Chora duara na uweke alama ya cosine sawa na 0.5. Kwenye mhimili wa cosine, bila shaka. Kama hii:

Sasa hebu tuchore pembe ambayo cosine hii inatupa. Weka kipanya chako juu ya picha (au gusa picha kwenye kompyuta yako ndogo), na utaona kona hii X.

Kosini ya pembe gani ni 0.5?

x = π /3

cos 60°= maana ( π /3) = 0,5

Watu wengine watacheka kwa wasiwasi, ndiyo ... Kama, ilikuwa ni thamani ya kufanya mduara wakati kila kitu tayari ni wazi ... Unaweza, bila shaka, chuckle ...) Lakini ukweli ni kwamba hii ni jibu la makosa. Au tuseme, haitoshi. Wajuzi wa duara wanaelewa kuwa kuna rundo zima la pembe zingine hapa ambazo pia hutoa cosine ya 0.5.

Ukigeuza upande wa kusonga OA zamu kamili, hatua A itarudi kwenye nafasi yake ya awali. Na cosine sawa na 0.5. Wale. pembe itabadilika kwa 360° au 2π radiani, na cosine - hapana. Pembe mpya 60 ° + 360 ° = 420 ° pia itakuwa suluhisho kwa mlinganyo wetu, kwa sababu.

Idadi isiyo na kikomo ya mapinduzi kamili kama haya yanaweza kufanywa ... Na pembe hizi zote mpya zitakuwa suluhisho kwa mlingano wetu wa trigonometric. Na wote wanahitaji kuandikwa kwa namna fulani kwa kujibu. Wote. Vinginevyo, uamuzi hauhesabu, ndio ...)

Hisabati inaweza kufanya hivyo kwa urahisi na kifahari. Andika kwa jibu moja fupi seti isiyo na mwisho maamuzi. Hivi ndivyo inavyoonekana kwa mlinganyo wetu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Nitaifafanua. Bado kuandika kwa maana Inafurahisha zaidi kuliko kuchora kwa ujinga herufi kadhaa za kushangaza, sivyo?)

π /3 - hii ni kona sawa na sisi saw kwenye duara na kuamua kulingana na jedwali la cosine.

2p ni mapinduzi moja kamili katika radiani.

n - hii ni idadi ya kamili, i.e. mzima rpm Ni wazi kwamba n inaweza kuwa sawa na 0, ±1, ±2, ±3.... na kadhalika. Kama inavyoonyeshwa na ingizo fupi:

n ∈ Z

n ni mali ( ∈ ) seti ya nambari kamili ( Z ) Kwa njia, badala ya barua n barua inaweza kutumika vizuri k, m, t na kadhalika.

Nukuu hii inamaanisha unaweza kuchukua nambari yoyote kamili n . Angalau -3, angalau 0, angalau +55. Chochote unachotaka. Ukibadilisha nambari hii kwenye jibu, utapata pembe maalum, ambayo bila shaka itakuwa suluhisho la mlinganyo wetu mkali.)

Au, kwa maneno mengine, x = π /3 ndio mzizi pekee wa seti isiyo na mwisho. Ili kupata mizizi mingine yote, inatosha kuongeza idadi yoyote ya mapinduzi kamili kwa π /3 ( n ) katika radiani. Wale. 2p n radian.

Wote? Hapana. Ninaongeza furaha kwa makusudi. Ili kukumbuka vyema.) Tulipokea sehemu tu ya majibu ya mlingano wetu. Nitaandika sehemu hii ya kwanza ya suluhisho kama hii:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sio mizizi moja tu, lakini mfululizo mzima wa mizizi, iliyoandikwa kwa fomu fupi.

Lakini pia kuna pembe ambazo pia hutoa cosine ya 0.5!

Wacha turudi kwenye picha yetu ambayo tuliandika jibu. Huyu hapa:

Hover mouse yako juu ya picha na tunaona pembe nyingine hiyo pia inatoa cosine ya 0.5. Unafikiri ni sawa na nini? Pembetatu ni sawa ... Ndiyo! Yeye sawa na pembe X , imechelewa tu katika mwelekeo mbaya. Hii ndio kona -X. Lakini tayari tumehesabu x. π /3 au 60°. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama:

x 2 = - π /3

Kweli, kwa kweli, tunaongeza pembe zote ambazo hupatikana kupitia mapinduzi kamili:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hiyo ndiyo yote sasa.) Kwenye mduara wa trigonometric sisi saw(nani anaelewa, bila shaka)) Wote pembe zinazotoa kosini ya 0.5. Na tuliandika pembe hizi kwa fomu fupi ya hisabati. Jibu lilisababisha safu mbili zisizo na mwisho za mizizi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ndilo jibu sahihi.

Tumaini, kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya trigonometric kutumia mduara ni wazi. Tunaweka alama ya cosine (sine, tangent, cotangent) kutoka kwa equation iliyotolewa kwenye mduara, chora pembe zinazolingana nayo na uandike jibu. Kwa kweli, tunahitaji kujua ni pembe gani sisi ni saw kwenye mduara. Wakati mwingine sio wazi sana. Kweli, nilisema kwamba mantiki inahitajika hapa.)

Kwa mfano, hebu tuangalie equation nyingine ya trigonometric:

Tafadhali zingatia kwamba nambari 0.5 sio nambari pekee inayowezekana katika milinganyo!) Ni rahisi zaidi kwangu kuiandika kuliko mizizi na sehemu.

Tunafanya kazi kulingana na kanuni ya jumla. Tunatoa mduara, alama (kwenye mhimili wa sine, bila shaka!) 0.5. Tunatoa pembe zote zinazofanana na sine hii mara moja. Tunapata picha hii:

Wacha tushughulike na pembe kwanza X katika robo ya kwanza. Tunakumbuka meza ya sines na kuamua thamani ya pembe hii. Ni jambo rahisi:

x = π /6

Tunakumbuka kuhusu mapinduzi kamili na, pamoja dhamiri safi, tunaandika mfululizo wa kwanza wa majibu:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Nusu ya kazi imekamilika. Lakini sasa tunahitaji kuamua kona ya pili... Ni ngumu zaidi kuliko kutumia cosines, ndio ... Lakini mantiki itatuokoa! Jinsi ya kuamua angle ya pili kupitia x? Ndiyo Rahisi! Pembetatu kwenye picha ni sawa, na kona nyekundu X sawa na pembe X . Ni tu inayohesabiwa kutoka kwa pembe π katika mwelekeo mbaya. Ndiyo sababu ni nyekundu.) Na kwa jibu tunahitaji angle, iliyopimwa kwa usahihi, kutoka kwa OX ya nusu-axis chanya, i.e. kutoka kwa pembe ya digrii 0.

Tunaelekeza mshale juu ya mchoro na kuona kila kitu. Niliondoa kona ya kwanza ili sio ngumu picha. Pembe tunayovutiwa nayo (iliyochorwa kwa kijani kibichi) itakuwa sawa na:

π - x

X tunajua hili π /6 . Kwa hivyo, pembe ya pili itakuwa:

π - π /6 = 5π /6

Tena tunakumbuka juu ya kuongeza mapinduzi kamili na kuandika safu ya pili ya majibu:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ni hayo tu. Jibu kamili lina safu mbili za mizizi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Milinganyo ya tanji na kotanji inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya jumla sawa ya kutatua milinganyo ya trigonometriki. Ikiwa, bila shaka, unajua jinsi ya kuteka tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric.

Katika mifano hapo juu, nilitumia thamani ya meza ya sine na cosine: 0.5. Wale. mojawapo ya maana hizo ambazo mwanafunzi anazijua lazima. Sasa tupanue uwezo wetu maadili mengine yote. Amua, kwa hivyo amua!)

Kwa hivyo, wacha tuseme tunahitaji kutatua equation hii ya trigonometric:

Thamani kama hiyo ya cosine ndani meza fupi Hapana. Tunapuuza ukweli huu mbaya. Chora mduara, alama 2/3 kwenye mhimili wa cosine na uchora pembe zinazofanana. Tunapata picha hii.

Wacha tuangalie, kwanza, kwa pembe katika robo ya kwanza. Laiti tungejua x ni sawa na nini, tungeandika jibu mara moja! Hatujui ... Kushindwa!? Tulia! Hisabati haiwaachi watu wake kwenye matatizo! Alikuja na arc cosines kwa kesi hii. Sijui? Kwa bure. Jua, Ni rahisi sana kuliko unavyofikiria. Hakuna herufi moja ya hila kuhusu "utendaji kinyume cha trigonometric" kwenye kiungo hiki... Hili ni jambo la ziada katika mada hii.

Ikiwa unafahamu, jiambie tu: "X ni pembe ambayo cosine ni sawa na 2/3." Na mara moja, kwa ufafanuzi wa arc cosine, tunaweza kuandika:

Tunakumbuka juu ya mapinduzi ya ziada na kwa utulivu tunaandika safu ya kwanza ya mizizi ya equation yetu ya trigonometric:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Mfululizo wa pili wa mizizi kwa pembe ya pili ni karibu moja kwa moja imeandikwa. Kila kitu ni sawa, X pekee (arccos 2/3) itakuwa na minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Na ndivyo hivyo! Hili ndilo jibu sahihi. Hata rahisi kuliko na maadili ya meza. Hakuna haja ya kukumbuka chochote.) Kwa njia, makini zaidi ataona kwamba picha hii inaonyesha suluhisho kupitia arc cosine. kwa asili, hakuna tofauti na picha kwa equation cosx = 0.5.

Hasa! Kanuni ya jumla Ndiyo maana ni kawaida! Nilichora kwa makusudi picha mbili karibu zinazofanana. Mduara unatuonyesha pembe X kwa cosine yake. Ikiwa ni cosine ya tabular au la haijulikani kwa kila mtu. Hii ni pembe ya aina gani, π /3, au arc cosine ni nini - ni juu yetu kuamua.

Wimbo sawa na sine. Kwa mfano:

Chora mduara tena, alama sine sawa na 1/3, chora pembe. Hii ndio picha tunayopata:

Na tena picha ni karibu sawa na kwa equation sinx = 0.5. Tena tunaanza kutoka kona katika robo ya kwanza. X ni sawa na nini ikiwa sine yake ni 1/3? Hakuna shida!

Sasa pakiti ya kwanza ya mizizi iko tayari:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Wacha tushughulike na pembe ya pili. Katika mfano na thamani ya jedwali ya 0.5, ilikuwa sawa na:

π - x

Itakuwa sawa kabisa hapa pia! x pekee ni tofauti, arcsin 1/3. Kwa hiyo!? Unaweza kuandika kwa usalama pakiti ya pili ya mizizi:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ni jibu sahihi kabisa. Ingawa haionekani kujulikana sana. Lakini ni wazi, natumai.)

Hivi ndivyo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa kwa kutumia duara. Njia hii ni wazi na inaeleweka. Ni yeye anayehifadhi katika milinganyo ya trigonometric na uteuzi wa mizizi kwa muda fulani, in usawa wa trigonometric- hizo kwa ujumla hutatuliwa karibu kila mara katika mduara. Kwa kifupi, katika kazi yoyote ambayo ni ngumu zaidi kuliko ile ya kawaida.

Wacha tutumie maarifa kwa vitendo?)

Tatua milinganyo ya trigonometric:

Kwanza, rahisi zaidi, moja kwa moja kutoka kwa somo hili.

Sasa ni ngumu zaidi.

Kidokezo: hapa itabidi ufikirie juu ya duara. Binafsi.)

Na sasa ni rahisi nje ... Pia huitwa kesi maalum.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Kidokezo: hapa unahitaji kufikiri katika mduara ambapo kuna mfululizo wa majibu mawili na ambapo kuna moja ... Na jinsi ya kuandika moja badala ya mfululizo wa majibu mawili. Ndio, ili hakuna mzizi mmoja kutoka kwa nambari isiyo na kikomo inayopotea!)

Kweli, rahisi sana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Kidokezo: hapa unahitaji kujua arcsine na arccosine ni nini? arctangent ni nini, arccotangent? Ufafanuzi rahisi zaidi. Lakini huna haja ya kukumbuka maadili yoyote ya meza!)

Majibu ni, bila shaka, fujo):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Je! si kila kitu kitafanya kazi? Hutokea. Soma somo tena. Pekee kwa kufikiri(kuna vile neno la kizamani...) Na fuata viungo. Viungo kuu ni kuhusu mduara. Bila hivyo, trigonometria ni kama kuvuka barabara ukiwa umefumba macho. Wakati mwingine inafanya kazi.)

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Milinganyo changamano zaidi ya trigonometriki

Milinganyo

dhambi x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ndio milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Katika aya hii mifano maalum Tutaangalia milinganyo changamano zaidi ya trigonometriki. Suluhisho lao, kama sheria, linakuja chini ya kutatua hesabu rahisi zaidi za trigonometric.

Mfano 1 . Tatua mlinganyo

dhambi 2 X=cos X dhambi 2 x.

Kuhamisha masharti yote ya equation hii kwa upande wa kushoto na kuzingatia usemi unaosababishwa, tunapata:

dhambi 2 X(1 - kos X) = 0.

Bidhaa ya misemo miwili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri, na nyingine inachukua yoyote. thamani ya nambari, mradi tu imefafanuliwa.

Kama dhambi 2 X = 0 , kisha 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Kama 1 - cos X = 0 , kisha cos X = 1; X = 2kπ .

Kwa hivyo, tulipata vikundi viwili vya mizizi: X = π / 2 n; X = 2kπ . Kundi la pili la mizizi ni dhahiri zilizomo katika kwanza, kwani kwa n = 4k usemi X = π / 2 n inakuwa
X = 2kπ .

Kwa hivyo, jibu linaweza kuandikwa kwa fomula moja: X = π / 2 n, Wapi n- nambari yoyote.

Kumbuka kwamba mlingano huu haungeweza kutatuliwa kwa kupunguza kwa dhambi 2 x. Hakika, baada ya kupunguzwa tungepata 1 - cos x = 0, kutoka wapi X= 2k π . Kwa hivyo tungepoteza mizizi kadhaa, kwa mfano π / 2 , π , 3π / 2 .

Mfano 2. Tatua mlinganyo

Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa tu nambari yake ni sawa na sifuri.
Ndiyo maana dhambi 2 X = 0 , kutoka wapi 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Kutoka kwa maadili haya X unahitaji kutupa nje kama za nje maadili hayo ambayo dhambiX huenda hadi sifuri (sehemu zilizo na madhehebu ya sifuri hazina maana: mgawanyiko kwa sifuri haujafafanuliwa). Thamani hizi ni nambari ambazo ni nyingi π . Katika fomula
X = π / 2 n zinapatikana kwa usawa n. Kwa hiyo, mizizi ya equation hii itakuwa namba

X = π / 2 (k 2 + 1),

ambapo k ni nambari yoyote.

Mfano 3 . Tatua mlinganyo

2 dhambi 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Hebu tueleze dhambi 2 X kupitia cosx : dhambi 2 X = 1 - cos 2x . Kisha equation hii inaweza kuandikwa upya kama

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , au

2 kos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Uteuzi cosx kupitia katika, tunakuja mlinganyo wa quadratic

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ambao mizizi yake ni nambari 1/2 na 3. Hii ina maana kwamba ama cos x= 1/2, au cos X= 3. Hata hivyo, mwisho huo hauwezekani, kwani cosine ya angle yoyote haizidi 1 kwa thamani kamili.

Inabakia kukubali hilo cos x = 1 / 2 , wapi

x = ± 60° + 360° n.

Mfano 4 . Tatua mlinganyo

2 dhambi X+ 3cos x = 6.

Tangu dhambi x na cos x kwa thamani kamili usizidi 1, kisha usemi
2 dhambi X+ 3cos x haiwezi kuchukua maadili makubwa kuliko 5 . Kwa hiyo, equation hii haina mizizi.

Mfano 5 . Tatua mlinganyo

dhambi X+cos x = 1

Kwa kugawanya pande zote mbili za equation hii, tunapata:

dhambi 2 X+ 2 dhambi x cos x+ cos 2 x = 1,

Lakini dhambi 2 X + kos 2 x = 1 . Ndiyo maana 2 dhambi x cos x = 0 . Kama dhambi x = 0 , Hiyo X = nπ ; kama
cos x , Hiyo X = π / 2 + kπ . Vikundi hivi viwili vya suluhisho vinaweza kuandikwa kwa fomula moja:

X = π / 2 n

Kwa kuwa tuliweka pande zote mbili za mlinganyo huu, inawezekana kwamba kuna mizizi ya nje kati ya mizizi tuliyopata. Ndiyo maana katika mfano huu, tofauti na wale wote uliopita, ni muhimu kufanya hundi. Maana zote

X = π / 2 n inaweza kugawanywa katika vikundi 4

	1) X = 2 kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2 kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2 kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2 kπ .	(n = 4k + 3)

Katika X = 2kp dhambi x+cos x= 0 + 1 = 1. Kwa hiyo, X = 2kp ndio mizizi ya equation hii.

Katika X = π / 2 + 2kp. dhambi x+cos x= 1 + 0 = 1 Hivyo X = π / 2 + 2kp- pia mizizi ya equation hii.

Katika X = π + 2kp dhambi x+cos x= 0 - 1 = - 1. Kwa hiyo, maadili X = π + 2kp sio mizizi ya equation hii. Vile vile inaonyeshwa kuwa X = 3π / 2 + 2kp. sio mizizi.

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi ifuatayo: X = 2kp Na X = π / 2 + 2 mp., wapi k Na m- nambari yoyote.