Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.
Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia kanuni za logarithmic kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:
Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.
Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.
Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (iliyoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulishwe ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.
Kwa mujibu wa ufafanuzi, andika b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hiyo weka a x = x.
Logarithm, mifano:
logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8
logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49
logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5
Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.
logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100
Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida ya logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828... - nambari isiyo na mantiki) Inajulikana kama ln.
Inashauriwa kukariri fomula au mali ya logarithm, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logarithms, milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.
- Utambulisho wa msingi wa logarithmic
logi a b = b8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithmu
log a (bc) = log a b + log a cgogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
- Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
- Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kielelezo cha nambari ya logarithmic logi a b m = mlog a b
Kielelezo cha msingi wa logariti logi a n b =1/n*logi a b
logi a n b m = m/n*logi a b,
ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b
gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
- Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1
kisha weka b = 1/logi b a
gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1
Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!
Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.
Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.
\(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)
Hebu tueleze kwa urahisi zaidi. Kwa mfano, \(\logi_(2)(8)\) ni sawa na nguvu ambayo \(2\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(8\). Kutokana na hili ni wazi kuwa \(\log_(2)(8)=3\).
|
Mifano: |
\(\logi_(5)(25)=2\) |
kwa sababu \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\logi_(3)(81)=4\) |
kwa sababu \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\logi_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
kwa sababu \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Hoja na msingi wa logarithm
Logarithm yoyote ina "anatomia" ifuatayo:
Hoja ya logariti kwa kawaida huandikwa kwa kiwango chake, na msingi huandikwa kwa hati karibu na ishara ya logariti. Na ingizo hili linasomeka hivi: "logariti ya ishirini na tano hadi tano."
Jinsi ya kuhesabu logarithm?
Ili kuhesabu logarithm, unahitaji kujibu swali: kwa nguvu gani msingi unapaswa kuinuliwa ili kupata hoja?
Kwa mfano, hesabu logariti: a) \(\logi_(4)(16)\) b) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Ni kwa mamlaka gani lazima \(4\) inyanyuliwe ili kupata \(16\)? Ni wazi ya pili. Ndiyo maana:
\(\logi_(4)(16)=2\)
\(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(5)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(1\)? Ni nguvu gani hufanya nambari yoyote ya kwanza? Sifuri, bila shaka!
\(\logi_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(7)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(\sqrt(7)\)? Kwanza, nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe.
\(\logi_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Ni kwa uwezo gani \(3\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(\sqrt(3)\)? Kutoka tunajua hiyo ni nguvu ya sehemu, ambayo inamaanisha kuwa mzizi wa mraba ni nguvu ya \(\frac(1)(2)\) .
\(\logi_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Mfano : Kokotoa logariti \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Suluhisho :
|
\(\logi_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Tunahitaji kupata thamani ya logariti, wacha tuiashiria kama x. Sasa hebu tutumie ufafanuzi wa logarithm: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Ni nini kinachounganisha \(4\sqrt(2)\) na \(8\)? Mbili, kwa sababu nambari zote mbili zinaweza kuwakilishwa na mbili: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Upande wa kushoto tunatumia sifa za shahada: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) na \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Misingi ni sawa, tunaendelea na usawa wa viashiria |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Mzizi unaotokana ni thamani ya logarithm |
Jibu : \(\logi_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Kwa nini logarithm ilivumbuliwa?
Ili kuelewa hili, hebu tusuluhishe mlinganyo: \(3^(x)=9\). Linganisha tu \(x\) ili kufanya equation ifanye kazi. Bila shaka, \(x=2\).
Sasa suluhisha mlingano: \(3^(x)=8\).x ni sawa na nini? Hiyo ndiyo hatua.
Wenye akili zaidi watasema: "X ni chini kidogo ya mbili." Jinsi ya kuandika nambari hii kwa usahihi? Ili kujibu swali hili, logarithm iligunduliwa. Shukrani kwake, jibu hapa linaweza kuandikwa kama \(x=\log_(3)(8)\).
Ninataka kusisitiza kwamba \(\log_(3)(8)\), kama logarithm yoyote ni nambari tu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini ni fupi. Kwa sababu ikiwa tunataka kuiandika kwa fomu Nukta, basi ingeonekana kama hii: \(1.892789260714.....\)
Mfano : Tatua mlingano \(4^(5x-4)=10\)
Suluhisho :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) na \(10\) haziwezi kuletwa kwenye msingi sawa. Hii inamaanisha kuwa huwezi kufanya bila logarithm. Wacha tutumie ufafanuzi wa logarithm: |
|
|
\(\logi_(4)(10)=5x-4\) |
Wacha tugeuze equation ili X iko upande wa kushoto |
|
|
\(5x-4=\logi_(4)(10)\) |
Mbele yetu. Hebu tusogeze \(4\) kulia. Na usiogope logarithm, ichukue kama nambari ya kawaida. |
|
|
\(5x=\logi_(4)(10)+4\) |
Gawanya mlinganyo kwa 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\logi_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Huu ndio mzizi wetu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini hawachagui jibu. |
Jibu : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logariti za decimal na asili
Kama ilivyoelezwa katika ufafanuzi wa logariti, msingi wake unaweza kuwa nambari yoyote chanya isipokuwa moja \((a>0, a\neq1)\). Na kati ya besi zote zinazowezekana, kuna mbili ambazo hufanyika mara nyingi hivi kwamba nukuu fupi maalum ilizuliwa kwa logarithms nao:
Logariti asilia: logariti ambayo msingi wake ni nambari ya Euler \(e\) (sawa na takriban \(2.7182818…\)), na logariti imeandikwa kama \(\ln(a)\).
Hiyo ni, \(\ln(a)\) ni sawa na \(\logi_(e)(a)\)
Logarithmu ya Desimali: Logariti ambayo msingi wake ni 10 umeandikwa \(\lg(a)\).
Hiyo ni, \(\lg(a)\) ni sawa na \(\logi_(10)(a)\), ambapo \(a\) ni nambari fulani.
Utambulisho wa msingi wa logarithmic
Logarithms ina sifa nyingi. Mmoja wao anaitwa "Kitambulisho cha Msingi cha Logarithmic" na inaonekana kama hii:
| \(a^(\logi_(a)(c))=c\) |
Mali hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi. Wacha tuone jinsi fomula hii ilitokea.
Wacha tukumbuke nukuu fupi ya ufafanuzi wa logarithm:
ikiwa \(a^(b)=c\), basi \(\logi_(a)(c)=b\)
Yaani \(b\) ni sawa na \(\logi_(a)(c)\). Kisha tunaweza kuandika \(\log_(a)(c)\) badala ya \(b\) katika fomula \(a^(b)=c\). Ilibadilika \(a^(\log_(a)(c))=c\) - kitambulisho kikuu cha logarithmic.
Unaweza kupata sifa zingine za logarithms. Kwa msaada wao, unaweza kurahisisha na kuhesabu maadili ya misemo na logarithms, ambayo ni ngumu kuhesabu moja kwa moja.
Mfano : Tafuta thamani ya usemi \(36^(\log_(6)(5))\)
Suluhisho :
Jibu : \(25\)
Jinsi ya kuandika nambari kama logarithm?
Kama ilivyoelezwa hapo juu, logarithm yoyote ni nambari tu. Mazungumzo pia ni kweli: nambari yoyote inaweza kuandikwa kama logarithm. Kwa mfano, tunajua kwamba \(\log_(2)(4)\) ni sawa na mbili. Kisha badala ya mbili unaweza kuandika \(\log_(2)(4)\).
Lakini \(\log_(3)(9)\) pia ni sawa na \(2\), ambayo inamaanisha tunaweza pia kuandika \(2=\log_(3)(9)\) . Vivyo hivyo na \(\logi_(5)(25)\), na \(\log_(9)(81)\), nk. Hiyo ni, inageuka
\(2=\logi_(2)(4)=\logi_(3)(9)=\logi_(4)(16)=\logi_(5)(25)=\logi_(6)(36)=\ kumbukumbu_(7)(49)...\)
Kwa hivyo, ikiwa tunahitaji, tunaweza kuandika mbili kama logariti na msingi wowote mahali popote (iwe katika mlingano, katika usemi, au kwa usawa) - tunaandika tu msingi wa mraba kama hoja.
Ni sawa na mara tatu - inaweza kuandikwa kama \(\logi_(2)(8)\), au kama \(\log_(3)(27)\), au kama \(\logi_(4)( 64) \)... Hapa tunaandika msingi katika mchemraba kama hoja:
\(3=\logi_(2)(8)=\logi_(3)(27)=\logi_(4)(64)=\logi_(5)(125)=\logi_(6)(216)=\ kumbukumbu_(7)(343)...\)
Na nne:
\(4=\logi_(2)(16)=\logi_(3)(81)=\logi_(4)(256)=\logi_(5)(625)=\logi_(6)(1296)=\ kumbukumbu_(7)(2401)...\)
Na minus moja:
\(-1=\) \(\logi_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\logi_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\logi_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\logi_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\logi_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Na theluthi moja:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\logi_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Nambari yoyote \(a\) inaweza kuwakilishwa kama logariti yenye msingi \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Mfano : Tafuta maana ya usemi \(\frac(\logi_(2)(14))(1+\logi_(2)(7))\)
Suluhisho :
Jibu : \(1\)
Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logariti kupitia maadili maalum ya logariti zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja kile logarithm ni sawa - ni sawa na kielelezo. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kukokotoa logariti logi 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Wacha tuandike upya logarithm ya tatu katika fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati chini ya ishara ya logarithm kuna kubwa ya kutosha nambari ya asili, basi haitakuwa na madhara kuijumuisha katika mambo makuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya moja na sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na logi a=logi a a 1 =1. Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithms na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi ni sawa na moja, ambayo ni, lg10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kwamba hesabu ya logariti kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili katika aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logarithmu.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3, na logariti asili, kwa sababu ya sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·logi 60 3.
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. Katika aya inayofuata tutaonyesha jinsi hii inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia na jedwali la logarithm ya desimali. Wakati wa kufanya kazi ndani mfumo wa desimali Kwa calculus, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachambua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali mfano maalum- ni wazi zaidi kwa njia hiyo. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Nambari ya tatu ya nambari 1.256 (tarakimu 5) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezunguka kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari kwenye seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima zilizowekwa alama (nambari hizi zimeangaziwa. machungwa) Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari ndani fomu ya kawaida : 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logariti ya desimali asili ni takriban sawa na logariti ya nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Maagizo
Andika usemi uliopewa wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikiwa kazi ngumu inapewa, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya moja ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika kupewa point y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hivyo, ni tofauti gani kati ya equation isiyo na mantiki na ya busara? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara kipeo, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo, 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo equation hii haina mizizi.
Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kutatua equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya awali.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, ndani upande wa kulia na kisha tumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, kawaida mlinganyo wa quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa wa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Kwa hiyo, kwa msaada wa shughuli rahisi za hesabu, tatizo lililowekwa litatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupi wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili sawa na mraba ya kwanza ikijumlisha mara mbili bidhaa ya ya kwanza kwa ya pili na kujumlisha mraba wa ya pili, yaani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kutoka kwa kitabu cha kiada cha uchanganuzi wa hisabati au hisabati ya juu zaidi ni nini kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho uhakika muhimu kuna kazi ambayo derivative yake inatoa integrand. Kazi hii inaitwa antiderivative. Na kanuni hii na huunda viambajengo kuu.Kuamua kwa aina ya integrand ambayo ya viungo vya meza yanafaa katika kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa integrand ni kazi ya trigonometric ambayo hoja yake ni ya polynomial, basi jaribu kutumia mabadiliko ya mbinu ya vigezo. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Kwa kutofautisha usemi huu, pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo utapata aina mpya ya kiungo cha awali, karibu na au hata kinacholingana na jedwali lolote.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii inaturuhusu kuhama kutoka kwa mtiririko wa rotor wa kazi fulani ya vekta hadi muhimu mara tatu juu ya tofauti ya uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza, badilisha thamani ya kikomo cha juu kwenye usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kazi ya antiderivative ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile usemi unajitahidi.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.
Fikiria equation a x = b, kwa > 0 na si sawa na moja. Mlinganyo huu hauna suluhu wakati b ni chini ya au sawa na sifuri. Na ina suluhisho la kipekee kwa b > 0. Suluhisho hili linaitwa logarithm ya b kuweka msingi wa b na inaonyeshwa kama ifuatavyo:
logi(b)
Logariti ya nambari b hadi msingi f inaitwa kielelezo, ambayo nambari a lazima iongezwe ili kupata nambari b.
a(logi a(b)) = b.
Fomula hii inaitwa kitambulisho cha msingi cha logarithmic. Ni kweli kwa chanya yoyote sawa na moja a, na chochote chanya b.
Mifano ya logarithms
Hebu tuangalie mifano michache:
1. Pata thamani ya logi 2 (32). 32 inaweza kuwakilishwa kama 2 5. Hiyo ni, ili kupata nambari 32, tunahitaji kuongeza nguvu mbili hadi tano. Kwa hivyo, logi 2 (32) = 5.
2. Tafuta logariti ya 1/9 hadi msingi √3. Kwa kuwa (√3) 4 = 1/9, tunapata logi hiyo √3 (1/9) = -4.
3. Tafuta x kiasi kwamba ukosefu wa usawa ni kweli: logi 8 (x) = 1/3. Wacha tutumie kitambulisho cha msingi cha logarithmic:
x = 8 (logi 8 (x)) = 8 (1/8) = 2.
Tabia za logarithm
Logarithms zina mali kadhaa zinazofuata moja kwa moja kutoka kwa mali utendaji wa kielelezo. Tabia kuu za logarithm:
1. logi a (1) = 0;
2. logi a (a) = 1;
3. logi a (x*y) = logi a (x) + logi a (x) - logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti;
4. logi x (x/y) = logi a (x) - logi a (y) - logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti;
5. logi a (x p) = p* logi a (x) - logariti ya shahada itakuwa sawa na bidhaa kielelezo kwa logariti ya msingi wa nguvu hiyo.
Sifa zilizo hapo juu zitakuwa halali kwa nambari yoyote chanya A, si sawa na moja, x na y chochote chanya, na p yoyote halisi.
Kwa logarithm, kuna fomula ya kuhamia msingi mpya:
logi a (x) = (logi b (x))/(logi b (a)).
Fomula hii itakuwa na maana ikiwa sehemu zake zote mbili zina maana. Hiyo ni, masharti yafuatayo lazima yakamilishwe:
x > 0, a > 0, b > 0, a si sawa na moja b si sawa na moja.
Logarithmu ambazo msingi wake ni nambari 10 huitwa logariti za desimali . Logarithmu ambazo msingi wake ni nambari e huitwa logarithms asili.