Vietova veta pre kvadratické a iné rovnice. FizMat: Kvadratická funkcia

Tri čísla 12x, x 2-5 a 4 v tomto poradí tvoria rastúci aritmetický postup https://youtu.be/U0VO_N9udpI Vyberte správny výrok MATEMATIKA ZFTSH MIPT Moskovský inštitút fyziky a technológie (Štátna univerzita) Korešpondenčná škola fyziky a technológie. http://pin.it/9w-GqGp Nájdite všetky x, y a z také, aby čísla 5x + 3, y2 a 3z + 5 tvorili aritmetickú postupnosť v tomto poradí. Nájdite x a označte rozdiel tohto postupu. Vyriešte sústavu rovníc Matematika Jednotnej štátnej skúšky. Video tutoriály. Deliteľnosť celých čísel. Lineárna funkcia. Problémy s deliteľnosťou. Vietov teorém, konverzný teorém, Vietove vzorce. šikovný #študenti #rovnice #vietas_theorem #teorém Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najtypickejších príkladov. To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému. Ako dokázať opak Vietovej vety? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) = 0 (x-M (x-N) = 0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. Takto sme to dokázali na špecializovanej hodine s matematickým zaujatím. Odpovede: pomôžte pochopiť inverznú vetu Vietovej vety vďaka konkrétnym príkladom Inverzná veta Vietovej vety pomáha riešiť riešenie: Ak je koeficient a číslo, z ktorého je ľahké získať druhú odmocninu racionálneho celého čísla, potom súčet x1 a x2 sa bude rovnať číslu Dokážte inverznú vetu Vieta - pozri, ako sa sťažovať na dôkaz Vietovej vety. Formulujte a dokážte Vietovu vetu, ako aj opačnú vetu a aplikujte vety na riešenie rovníc a problémov. Dokážte opak Vietovej vety. Jednotná štátna skúška z matematiky za 100 bodov: tajomstvá, ktoré vám učitelia nepovedia, problémy s odvodeninami. Mnohí žiadatelia si myslia, že sa nemusia pripravovať na prvých štrnásť problémov, myslia si, že sú veľmi ľahké, ale nie je to tak! Väčšina testujúcich robí tie najjednoduchšie aritmetické chyby, čím zatieňuje vynikajúce riešenie problémov časti C. Takéto situácie sa vyskytujú veľmi často, preto by ste nemali zanedbávať prípravu na prvé problémy, ale pripravte sa ako počas športového tréningu: ak uchádzate sa o 90-100 bodov - riešenie prvého bloku nacvičte za 20-25 minút, ak za 70-80 bodov - cca 30 minút, viac nie. Výborným spôsobom školenia je riešenie v spoločnosti lektora, na kurzoch, kde budú stanovené určité podmienky: napríklad pred prvou chybou vyriešite, potom prácu odovzdáte; Ďalšou možnosťou je, že za každú chybu, ktorú urobíte, darujete peniaze do obecnej pokladne. Bez ohľadu na to, aké zvláštne sa to môže zdať, neodporúčame oficiálnu webovú stránku, pretože všetky testy sú také zmiešané, že ich nie je možné použiť. Formátovanie úloh časti C je dôležité. Ak nie je riešenie pripravené starostlivo, postup riešenia úlohy bude nejasný, a preto skúšajúci určite nájde chybu a zníži vaše skóre. Zdalo by sa, že sme hovorili o veľmi jednoduchých veciach, ale dodržiavaním našich rád zaistíte úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky! Tajné odkazy, o ktorých sa hovorilo v Master Class, nájdete tu – sú to odkazy na Video kurzy na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku. Získaný výsledok sa nazýva Vietova veta. Pre redukovanú štvorcovú trojčlenku 2 x px q vyzerá Vietova veta takto: ak existujú korene, potom platí aj inverzná hodnota Vietovej vety: ak čísla spĺňajú podmienky, potom tieto čísla sú koreňmi rovnice. Dôkaz tejto vety je jednou z kontrolných otázok Zadania. Niekedy sa pre stručnosť obe Vietove vety (priama aj inverzná) nazývajú jednoducho Vietova veta.

Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je použitie Vzorce VIET, ktorá bola pomenovaná po FRANCOIS VIETTE.

Bol to slávny právnik, ktorý slúžil francúzskemu kráľovi v 16. storočí. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.

Výhody vzorca:

1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nie je potrebné zadávať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant a dosadiť jeho hodnotu do vzorca na nájdenie koreňov.

2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov a vybrať hodnoty koreňov.

3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.

4 . Pomocou týchto koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverzný problém. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.

5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.

nedostatky:

1 . Vzorec nie je univerzálny.

Vietova veta 8. ročník

Vzorec
Ak x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0, potom:

Príklady
xi = -1; x 2 = 3 - korene rovnice x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Konverzná veta

Vzorec
Ak čísla x 1, x 2, p, q súvisia podľa podmienok:

Potom x 1 a x 2 sú korene rovnice x 2 + px + q = 0.

Príklad
Vytvorme kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov:

X1 = 2 - ? 3 a x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - A 3) (2 + A 3) = 4 - 3 = 1.

Požadovaná rovnica má tvar: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vietov teorém

Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1) .
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu , branému s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.

Poznámka o viacerých koreňoch

Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.

Dôkaz jeden

Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.

Nájdite súčet koreňov:
.

Ak chcete nájsť produkt, použite vzorec:
.
Potom

.

Veta bola dokázaná.

Dôkaz dva

Ak sú čísla koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otváranie zátvoriek.

.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.

Veta bola dokázaná.

Vietova konverzná veta

Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
Kde
(2) ;
(3) .

Dôkaz Vietovej konverznej vety

Zvážte kvadratickú rovnicu
(1) .
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).

Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme pojmy na ľavej strane rovnice:
;
;
(4) .

Nahradíme v (4):
;
.

Nahradíme v (4):
;
.
Rovnica platí. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).

Veta bola dokázaná.

Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu

Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5) ,
kde , a sú nejaké čísla. Navyše.

Rozdeľme rovnicu (5) takto:
.
To znamená, že sme dostali danú rovnicu
,
Kde ; .

Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.

Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.

Vietova veta pre kubickú rovnicu

Podobným spôsobom môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6) ,
kde , , , sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7) ,
Kde, ,.
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom

.

Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa

Rovnakým spôsobom môžete nájsť spojenia medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;

.

Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu takto:
.
Potom srovnáme koeficienty pre , , , ... a porovnáme voľný člen.

Použitá literatúra:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vo všeobecných vzdelávacích inštitúciách, Moskva, Vzdelávanie, 2006.

Vietov teorém sa často používa na kontrolu koreňov, ktoré už boli nájdené. Ak ste našli korene, môžete použiť vzorce \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) na výpočet hodnôt \(p \) a \(q\ ). A ak sa ukáže, že sú rovnaké ako v pôvodnej rovnici, korene sa nájdu správne.

Napríklad pomocou , vyriešime rovnicu \(x^2+x-56=0\) a získajme korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Skontrolujme, či sme v procese riešenia neurobili chybu. V našom prípade \(p=1\) a \(q=-56\). Podľa Vietovej vety máme:

\(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\koniec (prípadov)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)-1=-1\\-56=-56\koniec (prípady)\ )

Obidva výroky konvergovali, čo znamená, že sme rovnicu vyriešili správne.

Túto kontrolu je možné vykonať ústne. Bude to trvať 5 sekúnd a ušetrí vás to od hlúpych chýb.

Vietova konverzná veta

Ak \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\), potom \(x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi kvadratickej rovnice \ (x^ 2+px+q=0\).

Alebo jednoduchým spôsobom: ak máte rovnicu v tvare \(x^2+px+q=0\), tak vyriešte sústavu \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) nájdete jeho korene.

Vďaka tejto vete môžete rýchlo nájsť korene kvadratickej rovnice, najmä ak sú tieto korene . Táto zručnosť je dôležitá, pretože šetrí veľa času.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(x^2-5x+6=0\).

Riešenie : Pomocou Vietovej inverznej vety zistíme, že korene spĺňajú podmienky: \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\koniec(prípady)\).
Pozrite sa na druhú rovnicu systému \(x_1 \cdot x_2=6\). Na aké dve sa dá rozložiť číslo \(6\)? Na \(2\) a \(3\), \(6\) a \(1\) alebo \(-2\) a \(-3\) a \(-6\) a \(- 1\). Prvá rovnica systému vám povie, ktorý pár si vybrať: \(x_1+x_2=5\). \(2\) a \(3\) sú podobné, pretože \(2+3=5\).
Odpoveď : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Príklady . Pomocou premeny Vietovej vety nájdite korene kvadratickej rovnice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Riešenie :
a) \(x^2-15x+14=0\) – na aké faktory sa \(14\) rozkladá? \(2\) a \(7\), \(-2\) a \(-7\), \(-1\) a \(-14\), \(1\) a \(14\ ). Aké dvojice čísel tvoria \(15\)? Odpoveď: \(1\) a \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – na aké faktory sa \(-4\) rozkladá? \(-2\) a \(2\), \(4\) a \(-1\), \(1\) a \(-4\). Aké dvojice čísel tvoria \(-3\)? Odpoveď: \(1\) a \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na aké faktory sa rozkladá \(20\)? \(4\) a \(5\), \(-4\) a \(-5\), \(2\) a \(10\), \(-2\) a \(-10\ ), \(-20\) a \(-1\), \(20\) a \(1\). Aké dvojice čísel tvoria \(-9\)? Odpoveď: \(-4\) a \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – na aké faktory sa \(780\) rozkladá? \(390\) a \(2\). Dosiahnu súčet \(88\)? Nie Aké ďalšie multiplikátory má \(780\)? \(78\) a \(10\). Dosiahnu súčet \(88\)? áno. Odpoveď: \(78\) a \(10\).

Nie je potrebné rozširovať posledný výraz na všetky možné faktory (ako v poslednom príklade). Môžete okamžite skontrolovať, či ich súčet dáva \(-p\).

Dôležité! Vietova veta a opačná veta pracujú iba s , teda s takou, pre ktorú je koeficient \(x^2\) rovný jednej. Ak sme na začiatku dostali neredukovanú rovnicu, potom ju môžeme zredukovať jednoduchým delením koeficientom pred \(x^2\).

Napríklad, nech je daná rovnica \(2x^2-4x-6=0\) a chceme použiť jednu z Vietových viet. Ale nemôžeme, pretože koeficient \(x^2\) sa rovná \(2\). Zbavme sa toho tak, že celú rovnicu vydelíme \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Pripravený. Teraz môžete použiť obe vety.

Odpovede na často kladené otázky

otázka: Pomocou Vietovej vety môžete vyriešiť akýkoľvek ?
odpoveď: Bohužiaľ nie. Ak rovnica neobsahuje celé čísla alebo rovnica nemá žiadne korene, potom Vietova veta nepomôže. V tomto prípade musíte použiť diskriminačný . Našťastie 80 % rovníc v školskej matematike má celočíselné riešenia.

Kvadratická funkcia.

Funkcia daná vzorcom y = ax2 + bx + c, kde x a y sú premenné a a, b, c sú dané čísla a a sa nerovná 0.
volal kvadratickej funkcie

Výber celého štvorca.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice, podmienky ich existencie a čísla.

– diskriminant kvadratickej rovnice.

Priame a inverzné Vietovy vety.

Rozklad kvadratického trinomu na lineárne faktory.

Veta. Nechaj

Dôkaz. Poďme namiesto toho nahradiť

x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Veta bola dokázaná.

sú korene (alebo riešenia) kvadratickej rovnice. Ak D = 0, korene sú rovnaké: