Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie număr pozitiv, nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că logaritmul la baza -2 a lui 4 este egal cu 2.
Identitatea logaritmică de bază
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definit pentru orice b, dar nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.
Două consecințe evidente ale definiției logaritmului
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.
Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.
Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f (x) și g (x) sunt ambele mai mici decât zero.
Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Are loc o îngustare a zonei valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).
Gradul poate fi scos din semnul logaritmului
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.
Formula pentru trecerea la o nouă fundație
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.
Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un important caz special formule (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Câteva exemple simple cu logaritmi
Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.
Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).
Tabel de formule legate de logaritmi
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele vine de la limba greacă de la cuvântul „număr” sau „putere” și înseamnă gradul în care numărul din bază trebuie ridicat pentru a găsi numărul final.
Tipuri de logaritmi
- log a b – logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – logaritm zecimal (logaritm la baza 10, a = 10);
- ln b – logaritm natural (logaritm la baza e, a = e).
Cum se rezolvă logaritmii?
Logaritmul lui b la baza a este un exponent care necesită ca b să fie ridicat la baza a. Rezultatul obținut se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați puterea dată în numere din numerele specificate. Există câteva reguli de bază pentru a determina sau rezolva logaritmul, precum și pentru a converti notația în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt formulele și proprietățile de bază:
Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.
- a log a b = b – identitate logaritmică de bază
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formulă pentru trecerea la o nouă bază
- log a x = 1/log x a
Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare
- Mai întâi, scrieți ecuația necesară.
Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci intrarea este scurtată, rezultând un logaritm zecimal. Dacă merită număr natural e, apoi îl notăm, reducându-l la logaritmul natural. Aceasta înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care este ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.
Direct, soluția constă în calcularea acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.
Adunarea și scăderea logaritmilor cu doi numere diferite, dar cu aceleași baze, înlocuiți cu un logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula pentru mutarea la o altă bază (vezi mai sus).
Dacă utilizați expresii pentru a simplifica un logaritm, există câteva limitări de luat în considerare. Și adică: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unu. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.
Sunt cazuri în care, prin simplificarea unei expresii, nu veți putea calcula logaritmul numeric. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe puteri sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.
După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.
Definiție în matematică
Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care este necesar să se ridice baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.
Tipuri de logaritmi
Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:
- Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
- Decimală a, unde baza este 10.
- Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.
Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.
Reguli și unele restricții
În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți o rădăcină pară din numere negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:
- Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
- dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.
Cum se rezolvă logaritmii?
De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.
Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.
Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:
După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus numere este valoarea puterii c la care se ridică numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!
Ecuații și inegalități
Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.
Dată o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.
Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică unul sau mai multe răspunsuri specifice. valori numerice, în timp ce la rezolvarea inegalității, sunt determinate atât intervalul de valori permise, cât și punctele de întrerupere ale acestei funcții. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.
Teoreme de bază despre logaritmi
La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, atunci când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu, să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate în detaliu.
- Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
- Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
- Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.
Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.
Fie log a b = t, rezultă a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;
dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.
Exemple de probleme și inegalități
Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece examenele de admitere la matematică, trebuie să știi cum să rezolvi corect astfel de sarcini.
Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau duce la aspectul general. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.
Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.
Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.
Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții
Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.
- Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare valoare numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.
Teme de la examenul de stat unificat
Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte de testare examen), dar și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.
Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.
- Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
- Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.
Ce este un logaritm?
Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. În special ecuații cu logaritmi.
Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu mă crezi? Amenda. Acum, în doar 10 - 20 de minute:
1. Vei intelege ce este un logaritm.
2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit nimic despre ei.
3. Învață să calculezi logaritmi simpli.
Mai mult, pentru asta va trebui doar să cunoști tabla înmulțirii și cum să ridici un număr la o putere...
Simt că ai îndoieli... Ei bine, bine, marchează timpul! Să mergem!
Mai întâi, rezolvă această ecuație în capul tău:
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.
Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.
Adunarea și scăderea logaritmilor
Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log o xși log o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:
- jurnal o x+ jurnal o y=log o (x · y);
- jurnal o x− jurnal o y=log o (x : y).
Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punct cheie Aici - temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt numărate (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:
Jurnalul 6 4 + jurnalul 6 9.
Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.
Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.
Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt teste. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.
Extragerea exponentului din logaritm
Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:
Este ușor de observat asta ultima regula urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.
Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: o > 0, o ≠ 1, x> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .
Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
[Legatură pentru imagine]
Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:
[Legatură pentru imagine] cred ca ultimul exemplu clarificarea necesară. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.
Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.
Tranziția la o nouă fundație
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?
Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:
Să fie dat jurnalul de logaritm o x. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:
[Legatură pentru imagine]
În special, dacă punem c = x, obținem:
[Legatură pentru imagine]
Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.
Aceste formule se găsesc rar în mod convențional expresii numerice. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.
Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.
Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Acum să „inversăm” al doilea logaritm:
[Legatură pentru imagine]Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.
Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:
[Legatură pentru imagine]Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:
[Legatură pentru imagine]Identitatea logaritmică de bază
Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:
În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.
A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.
De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul o? Așa este: obțineți același număr o. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.
Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
[Legatură pentru imagine]
Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Legatură pentru imagine]Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)
Unitate logaritmică și zero logaritmic
În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.
- jurnal o o= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază o chiar din această bază este egal cu unu.
- jurnal o 1 = 0 este zero logaritmic. Baza o poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece o 0 = 1 este o consecință directă a definiției.
Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.