Cum să găsiți un unghi ascuțit între linii drepte. Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numește un vector paralel cu o dreaptă ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate accepta orice valoare numerică in functie de pozitia punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale liniei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul vectorial al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Voi fi scurt. Unghiul dintre două linii drepte egal cu unghiulîntre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a = (x 1 ; y 1 ; z 1) și b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:

Să vedem cum funcționează această formulă folosind exemple specifice:

Sarcină. În cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sunt marcate punctele E și F - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Deoarece muchia cubului nu este specificată, punem AB = 1. Introducem sistem standard coordonate: originea este în punctul A, axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.

Să găsim coordonatele vectorului AE. Pentru aceasta avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1, coordonatele sale sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea coordonatelor, deci AE = (0,5; 0; 1).

Acum să ne uităm la vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F este mijlocul segmentului B 1 C 1. Avem:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre drepte este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:

Sarcină. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.

Să introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este direcționată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1. Să direcționăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile necesare.

Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1. Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea coordonatelor, obținem AD = (0,5; 0; 1).

Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - este puțin mai complicat. Avem:

Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1 . Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.

Să introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, axa x este îndreptată de-a lungul FC, axa y este direcționată prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și z axa este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:

Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:

Acum să găsim cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, sunt marcate punctele E și F - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Să introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Să notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:

Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghi ascuțitîntre aceste linii drepte se va defini ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin acest punct

Perpendicular pe o dreaptă dată

Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat O(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct O(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: O(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte OŞi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Oîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații cu pantă

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei linii este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei drepte sunt date în vedere generală

O 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

O 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea coeficienților lor unghiulari:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții pentru coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formă

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile de drepte sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este să satisfacă egalitatea

O 1 O 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă și cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

Oh-oh-oh-oh-oh... ei bine, e greu, de parcă și-ar fi citit o propoziție =) Cu toate acestea, relaxarea va ajuta mai târziu, mai ales că astăzi mi-am cumpărat accesoriile potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi menține o dispoziție veselă.

Poziția relativă a două linii drepte

Acesta este cazul când publicul cântă în cor. Două linii drepte pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : Vă rugăm să rețineți semnul matematic de intersecție, acesta va apărea foarte des. Notația înseamnă că linia se intersectează cu linia în punctul .

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, adică există un număr „lambda” astfel încât egalitățile sunt satisfăcute

Să luăm în considerare liniile drepte și să creăm trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu –1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației tăiat cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz, când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor sunt proporționali: , Dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este destul de evident că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o astfel de valoare a „lambda” încât egalitățile să fie satisfăcute

Deci, pentru linii drepte vom crea un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, puteți utiliza schema de soluții tocmai discutată. Apropo, amintește foarte mult de algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am uitat în clasă Conceptul de (in)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorilor. Dar există un ambalaj mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatoare la răscruce:

Restul sar peste piatra si urmeaza mai departe, direct catre Kashchei Nemuritorul =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie coincidente. Nu este nevoie să numărăm determinantul aici.

Este evident că coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, iar .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Astfel,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul format din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincidente.

Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curand vei invata (sau chiar ai invatat deja) sa rezolvi problema discutata verbal la propriu in cateva secunde. În acest sens, nu văd niciun rost să ofer ceva pentru decizie independentă, ar fi bine să punem altul cărămidă importantăîntr-o fundație geometrică:

Cum se construiește o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestui lucru cea mai simplă sarcină Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Să notăm linia necunoscută cu litera . Ce spune starea despre ea? Linia dreaptă trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „tse” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Testarea analitică constă din următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

În cele mai multe cazuri, testarea analitică poate fi efectuată cu ușurință pe cale orală. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi veți determina rapid paralelismul liniilor fără nici un desen.

Exemplele de soluții independente de astăzi vor fi creative. Pentru că tot va trebui să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu atât de rațională de a o rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este familiară programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

Poftim semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute- acestea sunt două linii care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.

Metoda grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a dreptei; acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt o soluție a sistemului. În esență, ne-am uitat la o soluție grafică sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică nu este, desigur, rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a șaptea decid astfel, ideea este că va dura timp pentru a crea un desen corect și EXACT. În plus, unele linii drepte nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi situat undeva în al treizecilea regat, în afara foii caietului.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție metoda analitica. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilități relevante, luați o lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este convenabil să împărțiți sarcina în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația dreptei.
2) Scrieți ecuația dreptei.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției:

Nici măcar o pereche de pantofi nu a fost uzată înainte de a ajunge la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă.
Unghiul dintre liniile drepte

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se construiește o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație perpendiculară pe dreapta care trece prin punctul.

Soluţie: După condiţie se ştie că . Ar fi bine să găsiți vectorul de direcție al liniei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Să compunem ecuația unei drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să extindem schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Scoatem vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produsul scalar al vectorilor ajungem la concluzia că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Testul, din nou, este ușor de efectuat pe cale orală.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Există mai multe acțiuni în problemă, așa că este convenabil să se formuleze punct cu punct soluția.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

Avem în fața noastră o fâșie dreaptă de râu și sarcina noastră este să ajungem la ea pe calea cea mai scurtă. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea pe perpendiculară. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie este în mod tradițional indicată Literă greacă„ro”, de exemplu: – distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să efectuați calculele:

Răspuns:

Să facem desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă întocmești un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. = 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Să luăm în considerare o altă sarcină bazată pe același desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric față de punctul relativ la dreapta . Vă sugerez să efectuați singur pașii, dar voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment găsim .

Ar fi bine sa verificati ca distanta sa fie si de 2,2 unitati.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar un microcalculator este de mare ajutor în turn, permițându-vă să calculați fracții comune. Te-am sfătuit de multe ori și te voi recomanda din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru a vă decide singur. Vă dau un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva acest lucru. Debriefing la sfârșitul lecției, dar este mai bine să încerci să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost bine dezvoltată.

Unghiul dintre două linii drepte

Fiecare colț este un gheț:


În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este considerat unghiul MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul „zmeură”.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția în care unghiul este „defilat” este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu dacă .

De ce ți-am spus asta? Se pare că ne putem descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că formulele prin care vom găsi unghiuri pot duce cu ușurință la un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsiți unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

SoluţieŞi Metoda unu

Să considerăm două drepte definite de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, Asta orientat Unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs punctual vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei devine zero, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea dreptelor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, este convenabil să formalizați soluția în doi pași:

1) Să calculăm produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor:
, ceea ce înseamnă că liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind formula:

Prin utilizarea functie inversa Este ușor să găsești colțul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns indicăm valoarea exacta, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, minus, nu mare lucru. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a început tocmai cu ea.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Instrucţiuni

Vă rugăm să rețineți

Perioada tangentei funcției trigonometrice este egală cu 180 de grade, ceea ce înseamnă că unghiurile de pantă ale dreptelor nu pot depăși, în valoare absolută, această valoare.

Sfaturi utile

Dacă coeficienții unghiulari sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina valoarea unghiului dintre liniile care se intersectează, este necesar să mutați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție folosind metoda translației paralele până când se intersectează. După aceasta, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

vei avea nevoie

• Riglă, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instrucţiuni

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α dintre vectorii V și N este egal cu: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pentru a calcula unghiul în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă față de cosinus din expresia rezultată, i.e. arccosin:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți colţîntre vector(5, -3, 8) și avion, dată de ecuația generală 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiește totul valori cunoscuteîn formula dată: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video pe tema

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. colţ. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la un cerc AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Determinarea unghiului dintre tangente ( colţ ABC) se realizează folosind teorema lui Pitagora.

Instrucţiuni

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de pornire al tangentei de la centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ACO sunt egale, raza OB este, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei folosind formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = rădăcină pătrată din AO2 – OB2 sau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;