Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.
Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.
Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații în care o variabilă este conținută sub semnul unei funcții trigonometrice.
Să repetăm forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:
1)Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:
3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk
5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk
Pentru toate formulele k este un număr întreg
Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T(kx+m)=a, T este o funcție trigonometrică.
Exemplu.Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2
Soluţie:
A) Să notăm 3x=t, atunci ne vom rescrie ecuația sub forma:
Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n – minus unu la puterea lui n.
Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.
Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Soluţie:
A) De data aceasta, să trecem direct la calcularea rădăcinilor ecuației:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk
Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.
B) O scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.
Rezolvați ecuațiile: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.
Soluţie:
Să rezolvăm ecuația noastră în formă generală: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. La k La k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat.
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, lovim din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare, evident, nu vom lovi.
Răspuns: x= π/16, x= 9π/16
Două metode principale de soluție.
Ne-am uitat la cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.Să rezolvăm ecuația:
Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notând: t=tg(x).
Ca rezultat al înlocuirii obținem: t 2 + 2t -1 = 0
Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: t=-1 și t=1/3
Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații
Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Soluţie:
Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t=2 și t=-1/2
Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.
Deoarece Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.
Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk
Ecuații trigonometrice omogene.
Definiție: Ecuațiile de forma a sin(x)+b cos(x) se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul I.Ecuații de formă
ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul I, împărțiți-o la cos(x): 
Nu puteți împărți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este cazul:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, obținem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.
Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Soluţie:
Să scoatem factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Apoi trebuie să rezolvăm două ecuații:
Cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 la x= π/2 + πk;
Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!
1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a=0 atunci ecuația noastră va lua forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un exemplu al cărui soluție este pe diapozitivul anterior
2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul pătrat, obținem:
Schimbăm variabila t=tg(x) și obținem ecuația:
Rezolvați exemplul nr.:3
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să împărțim ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus: 
Schimbăm variabila t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1
Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk
Rezolvați exemplul nr.:4
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk
Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk
Rezolvați exemplul nr.:5
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Să introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2
Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Probleme pentru rezolvare independentă.
1) Rezolvați ecuațiaA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].
3) Rezolvați ecuația: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0
4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun asistent.
Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.
Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.
Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.
Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)
Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.
1. Rezolvați ecuația
Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .
Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:
Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:
Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.
Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:
, , - set de numere întregi (1)
În mod similar, a doua serie de soluții are forma:
, Unde , . (2)
După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .
Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:
Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.
Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.
2. Acum să rezolvăm ecuația
Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:
Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:
Să notăm două serii de soluții:
,
,
(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.
Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:
3. Rezolvați ecuația
Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY
Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):
Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:
Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:
4. Rezolvați ecuația
Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.
Să marchem un punct cu abscisă -1 pe linia cotangenților:
Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:
Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:
În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.
Totuși, dacă partea dreaptă a ecuației conține o valoare netabelară, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:
SOLUȚII SPECIALE:
Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:
Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:
Să marchem punctele cercului a cărui abscisă este egală cu 0:
5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:
Și exemple puțin mai complexe:
1.
Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu
Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:
Împărțiți ambele părți ale egalității la 3:
Răspuns:
2.
Cosinusul este zero dacă argumentul cosinusului este
Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:
Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:
Să simplificăm partea dreaptă:
Împărțiți ambele părți la -2:
Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.
Răspuns:
Și, în sfârșit, urmăriți lecția video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”
Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.
Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.
Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.
Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.
Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:
1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.
Să luăm în considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
I. Reducerea la cele mai simple ecuaţii trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.
Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.
Exemplu.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Soluţie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Înlocuire variabilă
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.
Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).
Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.
Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.
Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Exemplu.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Soluţie.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor
Diagrama soluției
Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.
Exemplu.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Soluţie.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuații omogene
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)
sau la vedere
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).
Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
și obțineți ecuația pentru tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.
Exemplu.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Soluţie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Fie tg x = t, atunci
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă
tg x = 1 sau tg x = -4.
Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.
Exemplu.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Soluţie.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;
Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.
Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte 
important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.
Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.
Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și acesta este mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.