Permiteți-mi să analizez problema formulei pentru proiecțiile fețelor unui tetraedru dreptunghiular. În primul rând, voi lua în considerare designul ortogonal al unui segment situat în planul α, evidențiind două cazuri de localizare a acestui segment în raport cu linia dreaptă l=α∩π.
Cazul 1.
AB∥l(Fig. 8). Segmentul A 1 B 1, care este o proiecție ortogonală a segmentului AB, este egal și paralel cu segmentul AB.
Orez. 8
Cazul 2.
CD⊥l(Fig. 8). După teorema celor trei perpendiculare, dreapta C 1 D 1, care este proiecția ortogonală a dreptei CD, este de asemenea perpendiculară pe dreapta l. Prin urmare, ∠CEC 1 este unghiul dintre planul α și planul de proiecție π, adică unde C0D=C1D1. Prin urmare |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Acum voi lua în considerare problema designului ortogonal al unui triunghi.
Aria proiecției ortogonale a unui triunghi pe un plan este egală cu aria triunghiului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului dintre planul triunghiului și planul de proiecție.
Dovada. Aria de proiecție a unui triunghi. Conform teoremei celor trei perpendiculare, dreapta B 1 H 1 - proiecția ortogonală a dreptei BH - este perpendiculară pe dreapta l, prin urmare, segmentul B 1 H 1 este înălțimea triunghiului A 1 B 1 C 1 . De aceea . Astfel, .
a) Fie una dintre laturile, de exemplu AC, ale triunghiului proiectat ABC să fie paralelă cu dreapta l=α∩π (Fig. 9) sau să se așeze pe ea.
Atunci înălțimea sa VN este perpendiculară pe dreapta l, iar aria sa este egală cu, i.e.
Orez. 9
b) Niciuna dintre laturile triunghiului proiectat ABC nu este paralelă cu dreapta l (Fig. 10). Voi trasa o linie prin fiecare vârf al triunghiului paralel cu linia l. Una dintre aceste linii se află între celelalte două (în figură este linia m) și, prin urmare, împarte triunghiul ABC în triunghiuri ABD și ACD cu înălțimile BH și, respectiv, CE, trasate pe latura lor comună AD (sau continuarea acesteia) , care este paralela l. Linia m 1 - proiecția ortogonală a dreptei m - desparte și triunghiul A 1 B 1 C 1 - proiecția ortogonală a triunghiului ABC - în triunghiuri A 1 B 1 D 1 și A 1 C 1 D 1, unde. Ținând cont de (9) și (10), obțin
Să ne amintim că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig. 164).
Teorema. Aria proiecției ortogonale a unui poligon pe un plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.
Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri a căror sumă de suprafețe este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.
Să fie proiectat \(\Delta\)ABC pe plan r. Să luăm în considerare două cazuri:
a) una dintre laturile \(\Delta\)ABC este paralelă cu planul r;
b) niciuna dintre laturile lui \(\Delta\)ABC nu este paralelă r.
Să luăm în considerare primul caz: lasă [AB] || r.
Să desenăm un plan prin (AB) r 1 || rși proiectați ortogonal \(\Delta\)ABC pe r 1 și mai departe r(Fig. 165); obţinem \(\Delta\)ABC 1 şi \(\Delta\)ABC.
Prin proprietatea proiecției avem \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC și, prin urmare
S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC
Să desenăm ⊥ și segmentul D 1 C 1 . Atunci ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ este valoarea unghiului dintre planul \(\Delta\) ABC și planul r 1. De aceea
S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| |CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
și, prin urmare, S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.
Să trecem la considerare al doilea caz. Să desenăm un avion r 1 || r prin acel vârf \(\Delta\)ABC, distanța de la care până la plan r cel mai mic (fie acesta să fie vârful A).
Să proiectăm \(\Delta\)ABC în avion r 1 și r(Fig. 166); fie proiecțiile sale \(\Delta\)AB 1 C 1 și, respectiv, \(\Delta\)ABC.
Fie (BC)\(\cap\) p 1 = D. Atunci
S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
Sarcină. Un plan este trasat prin latura bazei unei prisme triunghiulare regulate la un unghi φ = 30° față de planul bazei sale. Găsiți aria secțiunii transversale rezultate dacă partea bazei prismei O= 6 cm.
Să descriem secțiunea transversală a acestei prisme (Fig. 167). Deoarece prisma este regulată, marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Aceasta înseamnă că \(\Delta\)ABC este o proiecție a \(\Delta\)ADC, prin urmare
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
sau
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$
Dovada detaliată a teoremei proiecției ortogonale a poligonului
Dacă este proiecția unui apartament n -gon la un plan, atunci unde este unghiul dintre planele poligoanelor și. Cu alte cuvinte, aria de proiecție a unui poligon plan este egală cu produsul dintre aria poligonului proiectat și cosinusul unghiului dintre planul de proiecție și planul poligonului proiectat.
Dovada. eu etapă. Să facem mai întâi demonstrația pentru un triunghi. Să luăm în considerare 5 cazuri.
1 caz. se află în planul de proiecție .
Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru. Să presupunem că. Fie înălțimea, apoi prin teorema a trei perpendiculare putem concluziona că - înălțimea (- proiecția înclinului, - baza lui și dreapta trece prin baza înclinului, și).
Să luăm în considerare. Este dreptunghiulară. Prin definiția cosinusului:
Pe de altă parte, întrucât și, atunci, prin definiție, este unghiul liniar al unghiului diedru format din semiplanele planurilor și cu linia dreaptă limită și, prin urmare, măsura sa este și măsura unghiului dintre planuri ale proiecției triunghiului și triunghiului însuși, adică.
Să găsim raportul dintre suprafață și:
Rețineți că formula rămâne adevărată chiar și atunci când. În acest caz
Cazul 2. Se află doar în planul de proiecție și este paralel cu planul de proiecție .
Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru.
Să tragem o linie dreaptă prin punct. În cazul nostru, linia dreaptă intersectează planul de proiecție, ceea ce înseamnă că, după lemă, linia dreaptă intersectează și planul de proiecție. Fie acesta în punctul Deoarece, atunci punctele se află în același plan și, deoarece este paralel cu planul de proiecție, atunci, prin semnul de paralelism al dreptei și al planului, rezultă că. Prin urmare, este un paralelogram. Să luăm în considerare și. Ele sunt egale pe trei laturi (latura comună este ca laturile opuse ale unui paralelogram). Rețineți că un patrulater este un dreptunghi și este egal (de-a lungul catetei și ipotenuzei), prin urmare, egal pe trei laturi. De aceea.
Pentru cazul aplicabil 1: , adică...
Cazul 3. Se află doar în planul de proiecție și nu este paralel cu planul de proiecție .
Fie punctul de punctul de intersecție al dreptei cu planul de proiecție. Rețineți că și. În 1 caz: i. Astfel obținem asta
Cazul 4 Vârfurile nu se află în planul de proiecție . Să ne uităm la perpendiculare. Să o luăm pe cea mai mică dintre aceste perpendiculare. Lasă-l să fie perpendicular. Se poate dovedi că este fie numai, fie numai. Atunci o vom lua oricum.
Să lăsăm deoparte un punct dintr-un punct pe un segment, astfel încât, și dintr-un punct pe un segment, un punct, astfel încât. Această construcție este posibilă deoarece este cea mai mică dintre perpendiculare. Rețineți că este o proiecție a și, prin construcție. Să demonstrăm că și suntem egali.
Luați în considerare un patrulater. Conform condiției - perpendiculare pe un plan, deci, conform teoremei, deci. Deoarece prin construcție, apoi pe baza caracteristicilor unui paralelogram (prin laturi opuse paralele și egale), putem concluziona că este un paralelogram. Înseamnă, . În mod similar, se demonstrează că, . Prin urmare, și sunt egale pe trei părți. De aceea. Rețineți că și, ca laturi opuse ale paralelogramelor, prin urmare, pe baza paralelismului planelor, . Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.
Se aplică cazurile anterioare:.
Cazul 5. Planul de proiecție intersectează laturile . Să ne uităm la liniile drepte. Ele sunt perpendiculare pe planul de proiecție, deci prin teoremă sunt paralele. Pe raze codirecționale cu origini în puncte, vom reprezenta, respectiv, segmente egale, astfel încât vârfurile să se afle în afara planului de proiecție. Rețineți că este o proiecție a și, prin construcție. Să arătăm că este egal.
De când și, prin construcție, atunci. Prin urmare, după criteriul unui paralelogram (pe două laturi egale și paralele), este un paralelogram. Se dovedește în mod similar că și sunt paralelograme. Dar atunci, și (ca laturi opuse), sunt, prin urmare, egale pe trei laturi. Înseamnă, .
În plus, și deci, pe baza paralelismului planurilor. Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.
Pentru cazul aplicabil 4:.
II etapă. Să împărțim un poligon plat în triunghiuri folosind diagonalele desenate din vârf: Apoi, conform cazurilor anterioare pentru triunghiuri: .
Q.E.D.
GEOMETRIE
Planuri de lecție pentru clasa a X-a
Lecția 56
Subiect. Aria de proiecție ortogonală a unui poligon
Scopul lecției: studierea teoremei pe aria proiecției ortogonale a unui poligon, dezvoltarea abilităților elevilor în aplicarea teoremei învățate la rezolvarea problemelor.
Echipament: set stereometric, model cub.
Progresul lecției
I. Verificarea temelor
1. Doi elevi reproduc pe tablă soluții la problemele nr. 42, 45.
2. Interogarea frontală.
1) Definiți unghiul dintre două plane care se intersectează.
2) Care este unghiul dintre:
a) plane paralele;
b) planuri perpendiculare?
3) În ce limite se poate schimba unghiul dintre două plane?
4) Este adevărat că un plan care intersectează plane paralele le intersectează la aceleași unghiuri?
5) Este adevărat că un plan care intersectează planuri perpendiculare le intersectează în unghiuri egale?
3. Verificarea corectitudinii soluționării problemelor nr. 42, 45, pe care elevii le-au recreat pe tablă.
II. Percepția și conștientizarea noului material
Temă pentru studenți
1. Demonstrați că aria de proiecție a unui triunghi, a cărui latură este în planul de proiecție, este egală cu produsul ariei sale și cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.
2. Demonstrați teorema pentru cazul în care un triunghi reticulat este unul în care o latură este paralelă cu planul de proiecție.
3. Demonstrați teorema pentru cazul în care un triunghi reticulat este unul în care niciuna dintre laturi nu este paralelă cu planul de proiecție.
4. Demonstrați teorema oricărui poligon.
Rezolvarea problemelor
1. Aflați aria proiecției ortogonale a unui poligon a cărui zonă este de 50 cm2, iar unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 60°.
2. Aflați aria poligonului dacă aria proiecției ortogonale a acestui poligon este de 50 cm2, iar unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 45°.
3. Aria poligonului este de 64 cm2, iar aria proiecției ortogonale este de 32 cm2. Aflați unghiul dintre planele poligonului și proiecția acestuia.
4. Sau poate aria proiecției ortogonale a unui poligon este egală cu aria acestui poligon?
5. Muchia unui cub este egală cu a. Găsiți aria secțiunii transversale a cubului printr-un plan care trece prin partea superioară a bazei la un unghi de 30 ° față de această bază și care intersectează toate marginile laterale. (Răspuns.)
6. Problema nr. 48 (1, 3) din manual (p. 58).
7. Problema nr. 49 (2) din manual (p. 58).
8. Laturile dreptunghiului sunt de 20 și 25 cm Proiecția lui pe plan este similară cu acesta. Găsiți perimetrul proiecției. (Răspuns: 72 cm sau 90 cm.)
III. Teme pentru acasă
§4, paragraful 34; întrebarea test nr. 17; probleme nr. 48 (2), 49 (1) (p. 58).
IV. Rezumând lecția
Întrebare pentru clasă
1) Prezentați o teoremă asupra aria proiecției ortogonale a unui poligon.
2) Poate aria proiecției ortogonale a unui poligon să fie mai mare decât aria poligonului?
3) Prin ipotenuza AB a triunghiului dreptunghic ABC se trasează un plan α la un unghi de 45° pe planul triunghiului și o perpendiculară CO pe planul α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Indicați care dintre următoarele afirmații sunt corecte și care sunt incorecte:
a) unghiul dintre planele ABC și α este egal cu unghiul SMO, unde punctul H este baza înălțimii CM a triunghiului ABC;
b) CO = 2,4 cm;
c) triunghiul AOC este o proiecție ortogonală a triunghiului ABC pe planul α;
d) aria triunghiului AOB este de 3 cm2.
(Răspuns: a) Corect; b) greșit; c) incorectă; d) corect.)
Recent, în sarcina C2 au apărut probleme în care este necesară construirea unei secțiuni a unui poliedru cu un plan și găsirea aria acestuia. Această sarcină este propusă în versiunea demo. Este adesea convenabil să găsiți zona secțiunii transversale prin zona proiecției sale ortogonale. Prezentarea oferă o formulă pentru o astfel de soluție și o analiză detaliată a problemei, care este însoțită de o serie de desene.
Descărcați:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat 2014 la matematică. Găsirea ariei secțiunii transversale prin zona proiecției sale ortogonale. Sarcina C2 Profesor de matematică MBOU Școala Gimnazială Nr. 143 din Krasnoyarsk Knyazkina T.V.
Să considerăm soluția următoarei probleme: Într-un paralelipiped dreptunghic, . Secțiunea paralelipipedului trece prin punctele B și D și formează un unghi cu planul ABC. Găsiți aria secțiunii transversale. Este adesea convenabil să găsiți zona secțiunii transversale prin zona proiecției sale ortogonale. Găsirea ariei unui triunghi prin aria proiecției sale ortogonale este ușor ilustrată de următoarea figură:
CH este înălțimea triunghiului ABC, C 'H este înălțimea triunghiului ABC ", care este proiecția ortogonală a triunghiului ABC. Din triunghiul dreptunghic CHC ": aria triunghiului ABC " este aria triunghiului ABC este Prin urmare, aria triunghiului ABC este egală cu aria triunghiului ABC ' împărțită la cosinusul unghiului dintre planele triunghiului ABC și triunghiului ABC", care este proiecția ortogonală a triunghiului ABC.
Deoarece aria oricărui poligon poate fi reprezentată ca suma ariilor triunghiurilor, aria poligonului este egală cu aria proiecției sale ortogonale pe plan împărțită la cosinusul unghiului dintre planurile poligonului și proiecția acestuia. Folosim acest fapt pentru a ne rezolva problema (vezi diapozitivul 2 Planul de soluție este următorul: A) Construiți o secțiune. B) Aflați proiecția sa ortogonală pe planul bazei. C) Aflați aria proiecției ortogonale. D) Aflați aria secțiunii transversale.
1. Mai întâi trebuie să construim această secțiune. Evident, segmentul BD aparține planului de secțiune și planului de bază, adică aparține liniei de intersecție a planurilor:
Unghiul dintre două plane este unghiul dintre două perpendiculare care sunt trasate pe linia de intersecție a planurilor și se află în aceste plane. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor bazei. OC – perpendicular pe linia de intersecție a planurilor, care se află în planul bazei:
2. Determinați poziția perpendicularei, care se află în planul de secțiune. (Rețineți că dacă o dreaptă este perpendiculară pe proiecția unei oblice, atunci este și perpendiculară pe cea oblică. Căutăm cea oblică după proiecția ei (OC) și unghiul dintre proiecție și cea oblică) . Să găsim tangenta unghiului COC ₁ dintre OC ₁ și OC
Prin urmare, unghiul dintre planul de tăiere și planul de bază este mai mare decât cel dintre OC₁ și OC. Adică, secțiunea este situată cam așa: K este punctul de intersecție al lui OP și A ₁C₁, LM||B₁D₁ .
Deci, iată secțiunea noastră: 3. Să găsim proiecția secțiunii BLMD pe planul de bază. Pentru a face acest lucru, găsim proiecțiile punctelor L și M.
Quadrangle BL ₁M₁D – proiecția secțiunii pe planul de bază. 4. Aflați aria patrulaterului BL ₁M₁D. Pentru a face acest lucru, scădeți aria triunghiului L ₁CM₁ din aria triunghiului BCD Găsiți aria triunghiului L ₁CM₁. Triunghiul L ₁CM₁ este similar cu triunghiul BCD. Să găsim coeficientul de similitudine.
Pentru a face acest lucru, luați în considerare triunghiurile OPC și OKK₁: În consecință, aria triunghiului L₁CM₁ este 4/25 din aria triunghiului BCD (raportul ariilor figurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine) . Atunci aria patrulaterului BL₁M₁D este egală cu 1-4/25=21/25 din aria triunghiului BCD și este egală cu
5. Acum să găsim 6. Și în sfârșit obținem: Răspuns: 112
Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note
Lucrarea de testare la disciplina „Inginerie grafică computerizată” constă în patru sarcini de testare pentru a stabili conformitatea. 15-20 de minute sunt alocate pentru finalizarea sarcinilor....
Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat 2014 la matematică. Aplicarea de derivate și antiderivate (prototipuri B8 din banca deschisă a sarcinilor de examinare unificată de stat)
Prezentare cu un scurt curs de teorie și soluții la diferite prototipuri B8 din bancul de activități deschis Unified State Exam. Poate fi folosit pe o tablă interactivă sau pe computerele elevilor pentru auto-pregătire....
Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat 2014 la matematică. Rezolvarea sarcinii C1.
Materialul oferă soluții la sarcina C1 (ecuația trigonometrică) și 4 moduri de selectare a rădăcinilor aparținând intervalului: folosind un cerc trigonometric, folosind un grafic al unei funcții, enumerare...