Definiție 1. Suprafață prismatică
Teorema 1. Pe secțiuni paralele ale unei suprafețe prismatice
Definiție 2. Secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice
Definiție 3. Prismă
Definiție 4. Înălțimea prismei
Definiție 5. Prismă dreaptă
Teorema 2. Aria suprafeței laterale a prismei

Paralelipiped:
Definiție 6. Paralelepiped
Teorema 3. La intersecția diagonalelor unui paralelipiped
Definiție 7. Paralepiped drept
Definiție 8. Paralepiped dreptunghiular
Definiție 9. Măsurătorile unui paralelipiped
Definiție 10. Cub
Definiție 11. Romboedru
Teorema 4. Pe diagonalele unui paralelipiped dreptunghic
Teorema 5. Volumul unei prisme
Teorema 6. Volumul unei prisme drepte
Teorema 7. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular

Prismă este un poliedru ale cărui două fețe (baze) se află în planuri paralele, iar muchiile care nu se află în aceste fețe sunt paralele între ele.
Se numesc fețe altele decât bazele lateral.
Laturile fețelor laterale și ale bazelor se numesc nervuri prisme, se numesc capetele marginilor vârfurile prismei. Coastele laterale marginile care nu apartin bazelor se numesc. Unirea fețelor laterale se numește suprafata laterala a prismei, iar unirea tuturor fețelor se numește întreaga suprafață a prismei. Înălțimea prismei numită perpendiculară căzută din punctul bazei superioare până în planul bazei inferioare sau lungimea acestei perpendiculare. Prismă directă numită prismă ale cărei nervuri laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. Corecta numită prismă dreaptă (fig. 3), la baza căreia se află un poligon regulat.

Denumiri:
l - coastă laterală;
P - perimetrul bazei;
S o - zona de bază;
H - înălțime;
P^ - perimetrul secțiunii perpendiculare;
S b - suprafata laterala;
V - volum;
S p este aria suprafeței totale a prismei.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definiția 1 . O suprafață prismatică este o figură formată din părți din mai multe plane paralele cu o dreaptă, limitată de acele drepte de-a lungul cărora aceste plane se intersectează succesiv*; aceste drepte sunt paralele între ele și se numesc marginile suprafeţei prismatice.
*Se presupune că fiecare două plane succesive se intersectează și că ultimul plan îl intersectează pe primul

Teorema 1 . Secțiuni ale unei suprafețe prismatice prin plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile acesteia) sunt poligoane egale.
Fie ABCDE și A"B"C"D"E" secțiuni ale unei suprafețe prismatice pe două plane paralele. Pentru a ne asigura că aceste două poligoane sunt egale, este suficient să arătăm că triunghiurile ABC și A"B"C" sunt egale și au același sens de rotație și că același lucru este valabil și pentru triunghiurile ABD și A"B"D", ABE și A"B"E". Dar laturile corespunzătoare ale acestor triunghiuri sunt paralele (de exemplu, AC este paralelă cu AC) ca și linia de intersecție a unui anumit plan cu două plane paralele; rezultă că aceste laturi sunt egale (de exemplu, AC este egal cu A"C"), ca laturile opuse ale unui paralelogram, și că unghiurile formate de aceste laturi sunt egale și au aceeași direcție.

Definiția 2 . O secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice este o secțiune a acestei suprafețe printr-un plan perpendicular pe marginile sale. Pe baza teoremei anterioare, toate secțiunile perpendiculare ale aceleiași suprafețe prismatice vor fi poligoane egale.

Definiția 3 . O prismă este un poliedru delimitat de o suprafață prismatică și două plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile suprafeței prismatice)
Se numesc chipurile situate în aceste ultime planuri baze de prisme; fețe aparținând suprafeței prismatice - fetele laterale; marginile suprafeței prismatice - nervurile laterale ale prismei. În virtutea teoremei anterioare, baza prismei este poligoane egale. Toate fetele laterale prisme - paralelograme; toate coastele laterale sunt egale între ele.
Evident, dacă sunt date baza prismei ABCDE și una dintre muchiile AA" ca dimensiune și direcție, atunci este posibil să se construiască o prismă desenând muchiile BB", CC", ... egale și paralele cu muchia AA" .

Definiția 4 . Înălțimea unei prisme este distanța dintre planele bazelor sale (HH").

Definiția 5 . O prismă se numește dreptă dacă bazele ei sunt secțiuni perpendiculare ale suprafeței prismatice. În acest caz, înălțimea prismei este, desigur, ea coastă laterală; marginile laterale vor fi dreptunghiuri.
Prismele pot fi clasificate în funcție de numărul de fețe laterale, număr egal laturile poligonului care îi servește drept bază. Astfel, prismele pot fi triunghiulare, patrulatere, pentagonale etc.

Teorema 2 . Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul marginii laterale și perimetrul secțiunii perpendiculare.
Fie ABCDEA"B"C"D"E" o prismă dată și abcde secțiunea ei perpendiculară, astfel încât segmentele ab, bc, .. să fie perpendiculare pe marginile sale laterale. Fața ABA"B" este un paralelogram; aria sa este egal cu produsul bazei AA „ cu o înălțime care coincide cu ab; aria feței ВСВ "С" este egală cu produsul bazei ВВ" cu înălțimea bc etc. În consecință, suprafata laterala(adică, suma suprafețelor fețelor laterale) este egală cu produsul muchiei laterale, cu alte cuvinte, lungimea totală a segmentelor AA", BB", .., cu suma ab+bc+cd +de+ea.

Baza prismei poate fi orice poligon - triunghi, patrulater etc. Ambele baze sunt absolut identice și, în consecință, cu care colțurile marginilor paralele sunt conectate între ele, sunt întotdeauna paralele. La baza unei prisme regulate se află un poligon regulat, adică unul în care toate laturile sunt egale. Într-o prismă dreaptă, nervurile dintre fețele laterale sunt perpendiculare pe bază. În acest caz, baza unei prisme drepte poate conține un poligon cu orice număr de unghiuri. O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped. dreptunghi - caz special paralelogram. Dacă această figură se află la bază, iar fețele laterale sunt situate în unghi drept față de bază, paralelipipedul se numește dreptunghiular. Al doilea nume pentru acest corp geometric este dreptunghiular.

Cum arată ea

Prisme dreptunghiulare înconjurate omul modern destul de putini. Acesta este, de exemplu, carton obișnuit pentru pantofi, componente de calculator etc. Privește în jur. Chiar și într-o cameră veți vedea probabil multe prisme dreptunghiulare. Aceasta include o carcasă pentru computer, o bibliotecă, un frigider, un dulap și multe alte articole. Forma este extrem de populară, în principal pentru că vă permite să profitați la maximum de spațiul dvs., indiferent dacă vă decorați interiorul sau împachetați lucrurile în carton înainte de a vă muta.

Proprietățile unei prisme dreptunghiulare

O prismă dreptunghiulară are o serie de proprietăți specifice. Orice pereche de fețe poate servi ca ea, deoarece toate fețele adiacente sunt situate la același unghi una față de cealaltă, iar acest unghi este de 90°. Volumul și aria suprafeței unei prisme dreptunghiulare sunt mai ușor de calculat decât oricare alta. Luați orice obiect care are forma unei prisme dreptunghiulare. Măsurați-i lungimea, lățimea și înălțimea. Pentru a găsi volumul, trebuie doar să înmulțiți aceste măsurători. Adică formula arată astfel: V=a*b*h, unde V este volumul, a și b sunt laturile bazei, h este înălțimea care coincide cu marginea laterală a acestui corp geometric. Aria de bază este calculată folosind formula S1=a*b. Pentru suprafața laterală, trebuie mai întâi să calculați perimetrul bazei folosind formula P=2(a+b), apoi să îl înmulțiți cu înălțimea. Formula rezultată este S2=P*h=2(a+b)*h. Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme dreptunghiulare, adăugați de două ori suprafața de bază și suprafața laterală. Formula rezultată este S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Prismă. Paralelipiped

Prismă este un poliedru ale cărui două fețe sunt n-goni egale (baze) , situate în planuri paralele, iar cele n fețe rămase sunt paralelograme (fețele laterale) . Coastă laterală Latura unei prisme care nu aparține bazei se numește latura prismei.

O prismă ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor se numește direct prismă (fig. 1). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește prisma înclinat . Corecta O prismă este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt poligoane regulate.

Înălţime prisma este distanța dintre planele bazelor. Diagonală O prismă este un segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune diagonală se numește secțiune a unei prisme printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune perpendiculară se numește secțiune a unei prisme de un plan perpendicular pe marginea laterală a prismei.

Suprafata laterala a unei prisme este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor prismei (adică suma ariilor fețelor laterale și a ariilor bazelor).

Pentru o prismă arbitrară următoarele formule sunt adevărate::

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P

Q

partea S

S plin

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru o prismă dreaptă următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H- înălțime.

paralelipiped numită prismă a cărei bază este un paralelogram. Se numește paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze direct (Fig. 2). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește paralelipiped înclinat . Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește dreptunghiular. Se numește paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale cub

Se numesc fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune opus . Lungimile muchiilor care emană de la un vârf se numesc măsurători paralelipiped. Deoarece un paralelipiped este o prismă, elementele sale principale sunt definite în același mod în care sunt definite pentru prisme.

Teoreme.

1. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și îl bisectează.

2. Într-un paralelipiped dreptunghiular, pătratul lungimii diagonalei egal cu suma pătrate cu cele trei dimensiuni ale sale:

3. Toate cele patru diagonale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele.

Pentru un paralelipiped arbitrar sunt valabile următoarele formule:

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P– perimetrul secțiunii perpendiculare;

Q– Aria secțiunii transversale perpendiculare;

partea S– suprafata laterala;

S plin– suprafata totala;

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru un paralelipiped drept următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H– înălțimea unui paralelipiped drept.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular sunt corecte următoarele formule:

(3)

Unde p– perimetrul de bază;

H- inaltimea;

d– diagonala;

a,b,c– măsurători ale unui paralelipiped.

Următoarele formule sunt corecte pentru un cub:

Unde o– lungimea coastei;

d- diagonala cubului.

Exemplul 1. Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este de 33 dm, iar dimensiunile lui sunt în raportul 2: 6: 9. Aflați dimensiunile paralelipipedului.

Soluţie. Pentru a afla dimensiunile paralelipipedului, folosim formula (3), i.e. prin faptul că pătratul ipotenuzei unui cuboid este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Să notăm prin k factor de proporționalitate. Atunci dimensiunile paralelipipedului vor fi egale cu 2 k, 6kși 9 k. Să scriem formula (3) pentru datele problemei:

Rezolvarea acestei ecuații pentru k, obținem:

Aceasta înseamnă că dimensiunile paralelipipedului sunt de 6 dm, 18 dm și 27 dm.

Răspuns: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exemplul 2. Aflați volumul unui înclinat prismă triunghiulară, a cărui bază este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm, dacă marginea laterală este egală cu latura bazei și înclinată la un unghi de 60º față de bază.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 3).

Pentru a găsi volumul unei prisme înclinate, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia. Aria bazei acestei prisme este aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm Să o calculăm:

Înălțimea unei prisme este distanța dintre bazele sale. De sus O 1 al bazei superioare, coborâți perpendiculara pe planul bazei inferioare O 1 D. Lungimea sa va fi înălțimea prismei. Luați în considerare D O 1 AD: deoarece acesta este unghiul de înclinare al marginii laterale O 1 O la planul de bază, O 1 O= 8 cm Din acest triunghi găsim O 1 D:

Acum calculăm volumul folosind formula (1):

Răspuns: 192 cm 3.

Exemplul 3. Marginea laterală a unei prisme hexagonale obișnuite este de 14 cm Aria celei mai mari secțiuni diagonale este de 168 cm 2. Aflați aria suprafeței totale a prismei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 4)

Cea mai mare secțiune diagonală este un dreptunghi A.A. 1 DD 1 din diagonală AD hexagon obișnuit ABCDEF este cel mai mare. Pentru a calcula suprafața laterală a prismei, este necesar să cunoașteți latura bazei și lungimea marginii laterale.

Cunoscând aria secțiunii diagonale (dreptunghi), găsim diagonala bazei.

De atunci

De atunci AB= 6 cm.

Atunci perimetrul bazei este:

Să găsim aria suprafeței laterale a prismei:

Aria unui hexagon regulat cu latura de 6 cm este:

Aflați aria suprafeței totale a prismei:

Răspuns:

Exemplul 4. Baza paralelipipedului drept este un romb. Aria secțiunii transversale diagonale sunt de 300 cm2 și 875 cm2. Găsiți aria suprafeței laterale a paralelipipedului.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5).

Să notăm latura rombului cu O, diagonalele unui romb d 1 și d 2, înălțimea paralelipipedului h. Pentru a găsi aria suprafeței laterale a unui paralelipiped drept, este necesar să înmulțiți perimetrul bazei cu înălțimea: (formula (2)). Perimetrul de bază p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, pentru că ABCD- romb H = AA 1 = h. Că. Trebuie să găsești OŞi h.

Să luăm în considerare secțiunile diagonale. AA 1 SS 1 – un dreptunghi, a cărui latură este diagonala unui romb AC = d 1, a doua – marginea laterală AA 1 = h, Atunci

La fel și pentru secțiune BB 1 DD 1 obținem:

Folosind proprietatea unui paralelogram astfel încât suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale, obținem egalitatea Obținem următoarele.

Diferitele prisme sunt diferite unele de altele. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.

Teoria generala

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.

Prismă triunghiulară

Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla zona bazei în vedere generală, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă doriți să aflați aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.

Prismă patruunghiulară

Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când despre care vorbim despre o prismă patruunghiulară, atunci aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.

Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafata totala Suprafața prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.

Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.

Nr. 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm. În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm. Calculați ariile: baza și suprafața laterală.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula suprafețele lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.

Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.

O ramură a matematicii care se ocupă cu studiul proprietăților diferitelor figuri (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunile și pozițiile relative ale acestora. Pentru ușurința predării, geometria este împărțită în planimetrie și stereometrie. ÎN… … Enciclopedia lui Collier

Geometria spațiilor de dimensiuni mai mari de trei; termenul se aplică acelor spații a căror geometrie a fost dezvoltată inițial pentru cazul celor trei dimensiuni și abia apoi generalizată la numărul de dimensiuni n>3, în primul rând spațiu euclidian, ... ... Enciclopedie matematică

Generalizarea geometriei euclidiene N-dimensionale a geometriei euclidiene în spațiu Mai mult măsurători. Deși spațiul fizic este tridimensional, iar simțurile umane sunt concepute pentru a percepe trei dimensiuni, N este dimensional... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Trebuie să verificați exactitatea faptelor menționate în această secțiune. S-ar putea să fie explicații pe pagina de discuții... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologie utilizată în modelare solide. Geometria blocului constructiv este adesea, dar nu întotdeauna, modalitatea de modelare în grafică 3D și CAD. Vă permite să creați o scenă complexă sau... Wikipedia

Geometria solidă constructivă (CSG) este o tehnologie folosită în modelarea solidelor. Geometria blocului constructiv este adesea, dar nu întotdeauna, modalitatea de modelare în grafică 3D și CAD. Ea... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Volum (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (o măsură) care caracterizează capacitatea zonei de spațiu pe care o ocupă. Inițial a apărut și a fost aplicat fără stricte... ... Wikipedia

Tip de cub Poliedru regulat Față pătrat Varfurile Muchii Fețe ... Wikipedia

Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (o măsură) care caracterizează capacitatea zonei de spațiu pe care o ocupă. Inițial a apărut și a fost aplicat fără o definiție strictă în raport cu corpurile tridimensionale ale spațiului euclidian tridimensional.... ... Wikipedia

O porțiune de spațiu delimitată de o colecție de un număr finit de poligoane plane (vezi GEOMETRIE) conectate în așa fel încât fiecare latură a oricărui poligon să fie o latură a unui alt poligon (numit... ... Enciclopedia lui Collier

Cărți

• Set de mese. Geometrie. clasa a X-a. 14 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton gros tipărit de 680 x 980 mm. Include o brosura cu recomandări metodologice