Forța gravitației universale: caracteristici și semnificație practică.

DEFINIŢIE

Drept gravitația universală descoperit de I. Newton:

Două corpuri se atrag reciproc cu , direct proporțional cu produsul lor și invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele:

Descrierea legii gravitației universale

Coeficientul este constanta gravitațională. În sistemul SI, constanta gravitațională are semnificația:

Această constantă, după cum se poate observa, este foarte mică, prin urmare forțele gravitaționale dintre corpurile cu mase mici sunt, de asemenea, mici și practic nu se simt. Cu toate acestea, mișcarea corpurilor cosmice este complet determinată de gravitație. Prezența gravitației universale sau, cu alte cuvinte, a interacțiunii gravitaționale explică de ce sunt „susținute” Pământul și planetele și de ce se mișcă în jurul Soarelui de-a lungul anumitor traiectorii și nu zboară departe de acesta. Legea gravitației universale ne permite să determinăm multe caracteristici ale corpurilor cerești - masele planetelor, stelelor, galaxiilor și chiar găurilor negre. Această lege face posibilă calcularea orbitelor planetelor cu mare precizie și crearea unui model matematic al Universului.

Folosind legea gravitației universale, se pot calcula și vitezele cosmice. De exemplu, viteza minimă cu care un corp care se mișcă orizontal deasupra suprafeței Pământului nu va cădea pe el, ci se va deplasa pe o orbită circulară este de 7,9 km/s (prima viteza de evacuare). Pentru a părăsi Pământul, i.e. pentru a-și depăși atracția gravitațională, corpul trebuie să aibă o viteză de 11,2 km/s (viteza a doua de evacuare).

Gravitația este unul dintre cele mai uimitoare fenomene naturale. În absența forțelor gravitaționale, existența Universului ar fi imposibilă, nici măcar nu ar putea apărea. Gravitația este responsabilă pentru multe procese din Univers - nașterea sa, existența ordinii în loc de haos. Natura gravitației nu este încă pe deplin înțeleasă. Până acum, nimeni nu a fost capabil să dezvolte un mecanism decent și un model de interacțiune gravitațională.

Gravitaţie

Un caz special de manifestare a forțelor gravitaționale este forța gravitațională.

Gravitația este întotdeauna îndreptată vertical în jos (spre centrul Pământului).

Dacă forța gravitației acționează asupra unui corp, atunci corpul o face. Tipul de mișcare depinde de direcția și mărimea vitezei inițiale.

Ne confruntăm cu efectele gravitației în fiecare zi. , după un timp se găsește pe pământ. Cartea, eliberată din mâini, cade jos. După ce a sărit, o persoană nu zboară în spatiu deschis, dar cade la pământ.

Luând în considerare căderea liberă a unui corp în apropierea suprafeței Pământului ca urmare a interacțiunii gravitaționale a acestui corp cu Pământul, putem scrie:

de unde vine accelerația căderii libere:

Accelerația gravitației nu depinde de masa corpului, ci depinde de înălțimea corpului deasupra Pământului. Glob ușor aplatizată la poli, astfel încât corpurile situate în apropierea polilor sunt situate puțin mai aproape de centrul Pământului. În acest sens, accelerația gravitației depinde de latitudinea zonei: la pol este puțin mai mare decât la ecuator și alte latitudini (la ecuator m/s, la polul nord ecuatorul m/s.

Aceeași formulă vă permite să găsiți accelerația gravitației pe suprafața oricărei planete cu masă și rază.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLU 1 (problema despre „cântărirea” Pământului)

EXEMPLUL 2

Newton a fost primul care a stabilit că căderea unei pietre pe Pământ, mișcarea planetelor în jurul Soarelui și mișcarea Lunii în jurul Pământului sunt cauzate de forță sau de interacțiunea gravitațională.

Interacțiunea dintre corpurile aflate la distanță are loc prin câmpul gravitațional pe care îl creează. Datorită unui număr de fapte experimentate, Newton a reușit să stabilească dependența forței de atracție a două corpuri de distanța dintre ele. Legea lui Newton, numită legea atracției universale, spune că oricare două corpuri sunt atrase unul de celălalt cu o forță proporțională cu produsul maselor lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Legea se numește universală sau universală, deoarece descrie interacțiunea gravitațională dintre o pereche de corpuri din Univers care au masă. Aceste forțe sunt foarte slabe, dar nu există bariere în calea lor.

Legea în expresie literală arată astfel:

Gravitaţie

Globul oferă aceeași accelerație g = 9,8 m/s2 tuturor corpurilor care cad pe Pământ, numită accelerație gravitațională. Aceasta înseamnă că Pământul acționează, atrage, toate corpurile cu o forță numită gravitație. Acest vedere privată forțele gravitației universale. Forța gravitației este , depinde de masa corporală m, măsurată în kilograme (kg). Valoarea g = 9,8 m/s2 este luată ca valoare aproximativă la diferite latitudini și la diferite longitudini valoarea sa se modifică ușor datorită faptului că:

• raza Pământului se modifică de la pol la ecuator (ceea ce duce la o scădere a valorii lui g la ecuator cu 0,18%);
• efectul centrifugal cauzat de rotaţie depinde de latitudine geografică(reduce valoarea cu 0,34%).

Imponderabilitate

Să presupunem că un corp cade sub influența gravitației. Alte forțe nu acționează asupra ei. Această mișcare se numește cădere liberă. În acea perioadă de timp în care doar F grele acţionează asupra corpului, corpul va fi în imponderabilitate. În cădere liberă, greutatea unei persoane dispare.

Greutatea este forta cu care corpul intinde suspensia sau actioneaza asupra unui suport orizontal.

Starea de imponderabilitate este experimentată de un parașutist în timpul unui salt, de o persoană în timpul unui săritură cu schiurile și de un pasager al avionului care cade într-un buzunar de aer. Simțim imponderabilitate doar pentru un timp foarte scurt, doar câteva secunde. Dar astronauții dintr-o navă spațială care zboară pe orbită cu motoarele oprite experimentează imponderabilitate perioadă lungă de timp. Nava spațială se află într-o stare de cădere liberă, iar corpurile încetează să acționeze asupra suportului sau suspensiei - sunt în imponderabilitate.

Sateliți de pământ artificial

Este posibil să depășiți gravitația Pământului dacă corpul are o anumită viteză. Folosind legea gravitației, putem determina viteza cu care un corp de masă m, care se rotește pe o orbită circulară în jurul planetei, nu va cădea peste el și va deveni satelitul său. Luați în considerare mișcarea unui corp într-un cerc în jurul Pământului. Corpul este acționat de forța gravitațională a Pământului. Din a doua lege a lui Newton avem:

Deoarece un corp se mișcă într-un cerc cu accelerație centripetă:

Unde r este raza orbitei circulare, R = 6400 km este raza Pământului și h este înălțimea deasupra suprafeței Pământului pe care se mișcă satelitul. Forța F care acționează asupra unui corp de masă m este egală cu , unde Mz = 5,98*1024 kg - masa Pământului.
Avem: . Exprimarea vitezei se va numi Prima viteză cosmică este cea mai mică viteză la care este transmis un corp, acesta devine un satelit artificial al Pământului (AES).

Se mai numește și circulară. Luăm înălțimea egală cu 0 și găsim această viteză, este aproximativ egală cu:
Este egală cu viteza unui satelit artificial care se rotește în jurul Pământului pe o orbită circulară în absența rezistenței atmosferice.
Din formulă se poate observa că viteza unui satelit nu depinde de masa acestuia, ceea ce înseamnă că orice corp poate deveni un satelit artificial.
Dacă îi dai unui corp o viteză mai mare, acesta va depăși gravitația Pământului.

A doua viteză cosmică este cea mai mică viteză care permite unui corp, fără influența unor forțe suplimentare, să depășească gravitația și să devină un satelit al Soarelui.

Această viteză a fost numită parabolică; corespunde traiectoriei parabolice a unui corp în câmpul gravitațional al Pământului (dacă nu există rezistență atmosferică). Se poate calcula din formula:

Aici r este distanța de la centrul Pământului până la locul de lansare.
Aproape de suprafața Pământului . Există o altă viteză, cu care un corp poate părăsi sistemul solar și cutreieră întinderile spațiului.

A treia viteză de evacuare, cea mai mică viteză care permite unei nave spațiale să depășească gravitația Soarelui și să părăsească Sistemul Solar.

Această viteză

În natură, există diverse forțe care caracterizează interacțiunea corpurilor. Să luăm în considerare forțele care apar în mecanică.

Forțele gravitaționale. Probabil că prima forță a cărei existență a realizat omul a fost forța gravitației care acționează asupra corpurilor de pe Pământ.

Și au fost nevoie de multe secole pentru ca oamenii să înțeleagă că forța gravitației acționează între orice corp. Și au fost nevoie de multe secole pentru ca oamenii să înțeleagă că forța gravitației acționează între orice corp. Fizicianul englez Newton a fost primul care a înțeles acest fapt. Analizând legile care guvernează mișcarea planetelor (legile lui Kepler), a ajuns la concluzia că legile observate ale mișcării planetelor pot fi îndeplinite numai dacă între ele există o forță de atracție, direct proporțională cu masele lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele.

Newton a formulat legea gravitației universale. Oricare două corpuri se atrag unul pe celălalt. Forța de atracție dintre corpurile punctuale este direcționată de-a lungul dreptei care le leagă, este direct proporțională cu masele ambelor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele:

În acest caz, corpurile punctuale sunt înțelese ca corpuri ale căror dimensiuni sunt de multe ori mai mici decât distanța dintre ele.

Forțele gravitației universale se numesc forțe gravitaționale. Coeficientul de proporționalitate G se numește constantă gravitațională. Valoarea sa a fost determinată experimental: G = 6,7 10¯¹¹ N m²/kg².

Gravitaţie care acţionează în apropierea suprafeţei Pământului este îndreptată spre centrul acestuia şi se calculează prin formula:

unde g este accelerația gravitației (g = 9,8 m/s²).

Rolul gravitației în natura vie este foarte semnificativ, deoarece dimensiunea, forma și proporțiile ființelor vii depind în mare măsură de amploarea acesteia.

Greutatea corporală. Să luăm în considerare ce se întâmplă atunci când o sarcină este plasată pe un plan orizontal (suport). În primul moment după ce sarcina este coborâtă, aceasta începe să se miște în jos sub influența gravitației (Fig. 8).

Planul se îndoaie și apare o forță elastică (reacție de sprijin) îndreptată în sus. După ce forța elastică (Fу) echilibrează forța gravitațională, coborârea corpului și deformarea suportului se vor opri.

Deformarea suportului a apărut sub acțiunea corpului, prin urmare, o anumită forță (P) acționează asupra suportului din partea laterală a corpului, care se numește greutatea corpului (Fig. 8, b). Conform celei de-a treia legi a lui Newton, greutatea unui corp este egală ca mărime cu forța de reacție a solului și este îndreptată în direcția opusă.

P = - Fу = Fheavy.

Greutatea corporală se numește forța P cu care un corp acționează pe un suport orizontal care este nemișcat față de acesta.

Deoarece pe suport se aplică forța gravitației (greutatea), acesta se deformează și, datorită elasticității sale, contracarează forța gravitațională. Forțele dezvoltate în acest caz din partea suportului se numesc forțe de reacție de susținere, iar fenomenul însuși de dezvoltare a contraacțiunii se numește reacție de sprijin. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forța de reacție a suportului este egală ca mărime cu forța de gravitație a corpului și opusă ca direcție.

Dacă o persoană pe un suport se mișcă cu accelerația părților corpului său direcționate de pe suport, atunci forța de reacție a suportului crește cu cantitatea ma, unde m este masa persoanei și este accelerația cu care părți ale corpului lui se mișcă. Aceste efecte dinamice pot fi înregistrate cu ajutorul dispozitivelor de extensometru (dinamograme).

Greutatea nu trebuie confundată cu greutatea corporală. Masa unui corp își caracterizează proprietățile inerte și nu depinde nici de forța gravitațională, nici de accelerația cu care se mișcă.

Greutatea unui corp caracterizează forța cu care acționează asupra suportului și depinde atât de forța gravitațională, cât și de accelerația mișcării.

De exemplu, pe Lună greutatea unui corp este de aproximativ 6 ori mai mică decât greutatea unui corp de pe Pământ. Masa este aceeași în ambele cazuri și este determinată de cantitatea de materie din corp.

În viața de zi cu zi, tehnologie și sport, greutatea este adesea indicată nu în newtoni (N), ci în kilograme de forță (kgf). Trecerea de la o unitate la alta se realizează după formula: 1 kgf = 9,8 N.

Când suportul și corpul sunt nemișcate, atunci masa corpului este egală cu gravitația acestui corp. Când suportul și corpul se mișcă cu o oarecare accelerație, atunci, în funcție de direcția sa, corpul poate experimenta fie imponderabilitate, fie suprasolicitare. Când accelerația coincide în direcție și este egală cu accelerația gravitației, greutatea corpului va fi zero, de aceea apare o stare de imponderabilitate (ISS, lift de mare viteză la coborâre). Când accelerația mișcării de sprijin este opusă accelerației căderii libere, persoana experimentează o suprasarcină (o lansare cu echipaj de pe suprafața Pământului nava spatiala, Lift de mare viteză urcând).

În acest paragraf vă vom aminti despre gravitație, accelerația centripetă și greutatea corporală

Fiecare corp de pe planetă este afectat de gravitația Pământului. Forța cu care Pământul atrage fiecare corp este determinată de formula

Punctul de aplicare este în centrul de greutate al corpului. Gravitaţie întotdeauna îndreptată vertical în jos.

Se numește forța cu care un corp este atras de Pământ sub influența câmpului gravitațional al Pământului gravitaţie. Conform legii gravitației universale, pe suprafața Pământului (sau lângă această suprafață), un corp de masă m este acționat de forța gravitației.

Ft =GMm/R2

unde M este masa Pământului; R este raza Pământului.
Dacă asupra unui corp acționează numai forța gravitației și toate celelalte forțe sunt echilibrate reciproc, corpul suferă cădere liberă. Conform celei de-a doua legi și formule a lui Newton Ft =GMm/R2 modulul de accelerație gravitațională g se găsește prin formula

g=Ft/m=GM/R2.

Din formula (2.29) rezultă că accelerația căderii libere nu depinde de masa m a corpului în cădere, adică. pentru toate corpurile dintr-un loc dat de pe Pământ este la fel. Din formula (2.29) rezultă că Ft = mg. În formă vectorială

Ft = mg

În § 5 s-a observat că, întrucât Pământul nu este o sferă, ci un elipsoid de revoluție, raza sa polară este mai mică decât cea ecuatorială. Din formula Ft =GMm/R2 este clar că din acest motiv forţa gravitaţiei şi acceleraţia gravitaţiei cauzate de aceasta la pol este mai mare decât la ecuator.

Forța gravitației acționează asupra tuturor corpurilor situate în câmpul gravitațional al Pământului, dar nu toate corpurile cad pe Pământ. Acest lucru se explică prin faptul că mișcarea multor corpuri este împiedicată de alte corpuri, de exemplu suporturi, fire de suspensie etc. Corpurile care limitează mișcarea altor corpuri se numesc conexiuni. Sub influența gravitației, legăturile sunt deformate, iar forța de reacție a conexiunii deformate, conform celei de-a treia legi a lui Newton, echilibrează forța gravitației.

Accelerația gravitației este afectată de rotația Pământului. Această influență este explicată după cum urmează. Sistemele de referință asociate cu suprafața Pământului (cu excepția celor două asociate cu polii Pământului) nu sunt, strict vorbind, sisteme de referință inerțiale - Pământul se rotește în jurul axei sale și, împreună cu el, astfel de sisteme de referință se mișcă în cercuri cu accelerație centripetă. Această non-inerțialitate a sistemelor de referință se manifestă, în special, prin faptul că valoarea accelerației gravitației se dovedește a fi diferită în diferite locuri de pe Pământ și depinde de latitudinea geografică a locului în care sistemul de referință asociat cu este situat Pământul, raportat la care se determină accelerația gravitației.

Măsurătorile efectuate la diferite latitudini au arătat că valori numerice accelerațiile de cădere liberă diferă puțin unele de altele. Prin urmare, cu calcule nu foarte precise, putem neglija non-inerțialitatea sistemelor de referință asociate cu suprafața Pământului, precum și diferența de formă a Pământului față de cea sferică și să presupunem că accelerația gravitației oriunde pe Pământ. este aceeași și egală cu 9,8 m/s 2 .

Din legea gravitației universale rezultă că forța gravitației și accelerația gravitației cauzate de aceasta scad odată cu creșterea distanței față de Pământ. La o înălțime h față de suprafața Pământului, modulul de accelerație gravitațională este determinat de formula

g=GM/(R+h) 2.

S-a stabilit că la o altitudine de 300 km deasupra suprafeței Pământului, accelerația gravitației este cu 1 m/s2 mai mică decât la suprafața Pământului.
În consecință, în apropierea Pământului (până la înălțimi de câțiva kilometri) forța gravitației practic nu se modifică și, prin urmare, căderea liberă a corpurilor din apropierea Pământului este o mișcare uniform accelerată.

Greutatea corporală. Imponderabilitate și supraîncărcare

Se numește forța în care, datorită atracției către Pământ, un corp acționează asupra suportului sau suspensiei sale greutatea corporală. Spre deosebire de gravitație, care este o forță gravitațională aplicată unui corp, greutatea este o forță elastică aplicată unui suport sau suspensie (adică, o legătură).

Observațiile arată că greutatea unui corp P, determinată pe o cântar cu arc, este egală cu forța gravitațională F t care acționează asupra corpului numai dacă cântarul cu corpul față de Pământ se află în repaus sau se mișcă uniform și rectiliniu; În acest caz

Р=F t=mg.

Dacă un corp se mișcă cu o rată accelerată, atunci greutatea sa depinde de valoarea acestei accelerații și de direcția sa față de direcția de accelerație a gravitației.

Când un corp este suspendat pe o scară cu arc, asupra lui acţionează două forţe: forţa gravitaţională F t =mg şi forţa elastică F yp a arcului. Dacă în acest caz corpul se mișcă vertical în sus sau în jos față de direcția de accelerație a căderii libere, atunci suma vectorială a forțelor F t și F sus dă o rezultantă, determinând accelerația corpului, adică.

F t + F sus =ma.

Conform definiției de mai sus a conceptului de „greutate”, putem scrie că P = -F yp. Din formula: F t + F sus =ma. ținând cont de faptul că F T =mg, rezultă că mg-ma=-F da . Prin urmare, P=m(g-a).

Forțele Ft și Fup sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte verticale. Prin urmare, dacă accelerația corpului a este îndreptată în jos (adică coincide în direcția cu accelerația căderii libere g), atunci în modul

P=m(g-a)

Dacă accelerația corpului este îndreptată în sus (adică, opusă direcției de accelerație a căderii libere), atunci

P = m = m(g+a).

În consecință, greutatea unui corp a cărui accelerație coincide în direcție cu accelerația căderii libere este mai mică decât greutatea unui corp în repaus, iar greutatea unui corp a cărui accelerație este opusă direcției de accelerație a căderii libere este mai mare. decât greutatea unui corp în repaus. Se numește o creștere a greutății corporale cauzată de mișcarea sa accelerată suprasarcina.

În cădere liberă a=g. Din formula: P=m(g-a)

rezultă că în acest caz P = 0, adică nu există greutate. Prin urmare, dacă corpurile se mișcă numai sub influența gravitației (adică, cad liber), ele sunt într-o stare imponderabilitate. O trăsătură caracteristică a acestei stări este absența deformărilor și a tensiunilor interne în corpurile în cădere liberă, care sunt cauzate de gravitația în corpurile în repaus. Motivul imponderabilității corpurilor este că forța gravitației conferă accelerații egale unui corp în cădere liberă și suportului (sau suspensiei) acestuia.

Absolut toate corpurile din Univers sunt afectate de o forță magică care le atrage cumva către Pământ (mai precis spre miezul său). Nu există unde să scape, unde să te ascunzi de gravitația magică atotcuprinzătoare a planetei noastre. sistem solar sunt atrași nu numai de uriașul Soare, ci și unul de celălalt, toate obiectele, moleculele și cei mai mici atomi sunt, de asemenea, atrași reciproc. cunoscut chiar și copiilor mici, după ce și-a dedicat viața studiului acestui fenomen, a stabilit una dintre cele mai mari legi - legea gravitației universale.

Ce este gravitația?

Definiția și formula sunt cunoscute de mult timp de mulți. Să ne amintim că gravitația este o anumită cantitate, una dintre manifestările naturale ale gravitației universale și anume: forța cu care orice corp este invariabil atras de Pământ.

Gravitația este desemnată cu litera latină F gravitație.

Gravitație: formulă

Cum se calculează direcția anumit corp? Ce alte cantități trebuie să știți pentru asta? Formula de calcul a gravitației este destul de simplă se studiază în clasa a VII-a a unei școli medii, la începutul unui curs de fizică. Pentru a o învăța nu numai, ci și a o înțelege, ar trebui să plecăm de la faptul că forța gravitației, care acționează invariabil asupra unui corp, este direct proporțională cu valoarea sa cantitativă (masa).

Unitatea de gravitație este numită după marele om de știință - Newton.

Forța gravitației (gravitația) este întotdeauna îndreptată strict în jos, spre centrul miezului pământului, datorită influenței sale toate corpurile cad în jos cu accelerație egală. Fenomenele gravitaţiei în viata de zi cu zi Vedem peste tot și în mod constant:

• obiectele, eliberate accidental sau deliberat din mâini, cad în mod necesar pe Pământ (sau pe orice suprafață care împiedică căderea liberă);
• un satelit lansat în spațiu nu zboară departe de planeta noastră la o distanță nedeterminată perpendicular în sus, ci rămâne în rotație pe orbită;
• toate râurile curg din munți și nu pot fi întors înapoi;
• uneori o persoană cade și se rănește;
• pete mici de praf se depun pe toate suprafețele;
• aerul este concentrat aproape de suprafața pământului;
• genți greu de transportat;
• ploaia picură din nori, zăpadă și grindină.

Alături de conceptul de „gravitație” se folosește termenul de „greutate corporală”. Dacă un corp este plasat pe o suprafață orizontală plană, atunci greutatea și gravitația sa sunt egale numeric, astfel, aceste două concepte sunt adesea înlocuite, ceea ce nu este deloc corect.

Accelerația gravitației

Conceptul de „accelerare gravitațională” (cu alte cuvinte, este asociat cu termenul de „forță gravitațională”. Formula arată: pentru a calcula forța gravitațională, trebuie să înmulțiți masa cu g (accelerația gravitațională).

„g” = 9,8 N/kg, aceasta este o valoare constantă. Cu toate acestea, măsurători mai precise arată că, datorită rotației Pământului, valoarea accelerației St. n. nu este același și depinde de latitudine: la Polul Nord = 9,832 N/kg, iar la ecuatorul fierbinte = 9,78 N/kg. Se pare că în diferite locuri de pe planetă, diferite forțe de gravitație sunt îndreptate către corpuri de masă egală (formula mg rămâne încă neschimbată). Pentru calcule practice, s-a decis să se permită erori minore în această valoare și să se utilizeze valoarea medie de 9,8 N/kg.

Proporționalitatea unei astfel de cantități precum gravitația (formula demonstrează acest lucru) vă permite să măsurați greutatea unui obiect cu un dinamometru (similar cu o afacere casnică obișnuită). Vă rugăm să rețineți că dispozitivul arată doar putere, deoarece valoarea g regională trebuie cunoscută pentru a determina greutatea corporală exactă.

Acționează gravitația la orice distanță (atât aproape cât și departe) de centrul pământului? Newton a emis ipoteza că acesta acționează asupra unui corp chiar și la o distanță semnificativă de Pământ, dar valoarea lui scade invers proporțional cu pătratul distanței de la obiect la nucleul Pământului.

Gravitația în Sistemul Solar

Există o definiție și o formulă cu privire la alte planete care rămân relevante. Cu o singură diferență în sensul „g”:

• pe Lună = 1,62 N/kg (de șase ori mai puțin decât pe Pământ);
• pe Neptun = 13,5 N/kg (de aproape o ori și jumătate mai mare decât pe Pământ);
• pe Marte = 3,73 N/kg (de peste două ori și jumătate mai puțin decât pe planeta noastră);
• pe Saturn = 10,44 N/kg;
• pe Mercur = 3,7 N/kg;
• pe Venus = 8,8 N/kg;
• pe Uranus = 9,8 N/kg (aproape la fel ca al nostru);
• pe Jupiter = 24 N/kg (de aproape două ori și jumătate mai mare).