이차 방정식. 판별자. 솔루션, 예.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

이차 방정식의 유형

이차 방정식이란 무엇입니까? 그것은 어떻게 생겼나요? 학기 중 이차 방정식키워드는 "정사각형".이는 방정식에서 반드시 x제곱이 있어야 합니다. 게다가 방정식에는 X(1제곱)와 숫자만 포함될 수도 있고 포함되지 않을 수도 있습니다. (무료 회원).그리고 2보다 큰 거듭제곱에는 X가 있어서는 안 됩니다.

수학적인 용어로 이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기 a, b, c- 몇 가지 숫자. b와 c-절대 그렇지만, 에이– 0이 아닌 모든 것. 예를 들어:

여기 에이 =1; 비 = 3; 기음 = -4

여기 에이 =2; 비 = -0,5; 기음 = 2,2

여기 에이 =-3; 비 = 6; 기음 = -18

글쎄요, 이해하시겠죠...

왼쪽의 이차 방정식에는 다음이 있습니다. 완전한 세트회원. 계수를 사용한 X 제곱 에이, x의 계수를 사용한 1차 거듭제곱 비그리고 무료 회원 s.

이러한 이차 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 가득한.

만약에 비= 0, 우리는 무엇을 얻나요? 우리는 X는 첫 번째 전력에서 손실됩니다.이는 0을 곱하면 발생합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

등. 그리고 두 계수가 모두 비그리고 기음 0과 같으면 훨씬 더 간단합니다.

2x2 =0,

-0.3x2 =0

무언가가 누락된 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식.이는 매우 논리적입니다.) x 제곱은 모든 방정식에 존재합니다.

그런데 왜 에이 0과 같을 수 없나요? 그리고 당신은 대신 대체 에이 0.) X 제곱이 사라질 것입니다! 방정식은 선형이 됩니다. 그리고 해결책은 완전히 다릅니다 ...

그게 다 주요 유형이야 이차 방정식. 완전하고 불완전합니다.

이차 방정식 풀기.

완전한 이차방정식을 푼다.

이차방정식은 풀기가 쉽습니다. 공식과 명확하고 간단한 규칙에 따라. 첫 번째 단계에서는 주어진 방정식을 표준 형식으로 가져와야 합니다. 다음 형식으로:

방정식이 이미 이 형식으로 제공된 경우 첫 번째 단계를 수행할 필요가 없습니다.) 가장 중요한 것은 모든 계수를 올바르게 결정하는 것입니다. 에이, 비그리고 기음.

이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래의 표현식은 다음과 같습니다. 판별력이 있는. 그러나 그에 대한 자세한 내용은 아래에서 확인하세요. 보시다시피 X를 찾기 위해 다음을 사용합니다. a, b, c만. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b, c우리는 이 공식으로 계산합니다. 대체하자 당신만의 간판으로! 예를 들어 방정식에서 다음과 같습니다.

에이 =1; 비 = 3; 기음= -4. 여기에 적어보겠습니다.

예제는 거의 해결되었습니다.

이것이 답입니다.

매우 간단합니다. 그리고 실수하는 것이 불가능하다고 생각하십니까? 응, 응, 어떻게...

가장 흔한 실수는 부호 값과의 혼동입니다. a, b, c. 또는 오히려 기호 (혼란스러워야 할 부분)가 아니라 근 계산 공식에 음수 값을 대체합니다. 여기서 도움이 되는 것은 특정 숫자로 수식을 자세히 기록하는 것입니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그렇게 해라!

다음 예제를 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

여기 에이 = -6; 비 = -5; 기음 = -1

처음에는 답변을 얻는 경우가 거의 없다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.

글쎄, 게으르지 마십시오. 한 줄을 추가로 작성하는데 30초 정도 소요됩니다. 급격히 줄어들 것이다. 따라서 우리는 모든 괄호와 기호를 사용하여 자세히 작성합니다.

이렇게 세심하게 글을 쓴다는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 하지만 그럴 것 같습니다. 한번 시도해 보세요. 글쎄, 아니면 선택하세요. 빠르거나 옳은 것 중 무엇이 더 낫나요?

게다가 나는 당신을 행복하게 해줄 것입니다. 시간이 지나면 모든 것을 그렇게 주의 깊게 기록할 필요가 없게 됩니다. 그것은 저절로 잘 될 것입니다. 특히 아래에 설명된 실용적인 기술을 사용하는 경우 더욱 그렇습니다. 단점이 많은 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 풀 수 있습니다!

그러나 종종 이차 방정식은 약간 다르게 보입니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 알아보셨나요?) 네! 이것.

불완전한 이차 방정식

불완전한 이차방정식을 푼다. a, b, c.

일반 공식을 사용하여 풀 수도 있습니다. 여기서 동일한 것이 무엇인지 정확하게 이해하면 됩니다. 알아냈나요? 첫 번째 예에서는 a = 1; b = -4; 기음에이 ? 전혀 거기에 없습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하세요.기음, 그리고 우리는 성공할 것입니다. 두 번째 예와 동일합니다. 여기에는 0이 없습니다와 함께 비 !

, 에이 그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 더 간단하게 풀 수 있습니다. 공식이 없습니다. 첫 번째를 생각해 봅시다. 아니다완전한 방정식

. 왼쪽에서는 무엇을 할 수 있나요? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 그것을 꺼내자.
그럼 이건 어떡하지? 그리고 인수 중 하나라도 0인 경우에만 곱이 0이라는 사실! 나를 믿지 못합니까? 좋아요, 그러면 곱하면 0이 되는 0이 아닌 숫자 두 개를 생각해 보세요!
작동하지 않나요? 그게 다야 ... 그러므로 우리는 자신있게 다음과 같이 쓸 수 있습니다., x 1 = 0.

모두. 이것이 우리 방정식의 근본이 될 것입니다. 둘 다 적합합니다. 이들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 해법은 일반 공식을 사용하는 것보다 훨씬 간단합니다. 그건 그렇고, 어느 X가 첫 번째가 되고 어느 것이 두 번째가 될지는 전혀 무관심합니다. 순서대로 작성하면 편하고, x 1- 무엇이 더 작고 x 2- 더 큰 것.

두 번째 방정식도 간단하게 풀 수 있습니다. 9를 다음으로 이동 오른쪽. 우리는 다음을 얻습니다:

남은 것은 9에서 근을 추출하는 것뿐입니다. 결과는 다음과 같습니다.

뿌리도 2개 . x 1 = -3, x 2 = 3.

이것이 모든 불완전한 이차방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호 안에 X를 넣거나 단순히 숫자를 오른쪽으로 이동한 다음 루트를 추출하면 됩니다.
이러한 기술을 혼동하는 것은 극히 어렵습니다. 단순히 첫 번째 경우에는 X의 근을 추출해야 하는데, 이는 다소 이해할 수 없는 일이고, 두 번째 경우에는 괄호에서 빼낼 것이 아무것도 없기 때문입니다...

판별자. 판별식.

마법의 단어 판별력이 있는 ! 이 단어를 들어보지 못한 고등학생은 거의 없습니다! “우리는 판별식을 통해 해결합니다”라는 문구는 자신감과 확신을 불러일으킵니다. 판별식에서 트릭을 기대할 필요가 없기 때문입니다! 사용이 간단하고 문제가 없습니다.) 문제를 해결하는 가장 일반적인 공식을 상기시켜 드리겠습니다. 어느이차 방정식:

루트 기호 아래의 표현식을 판별식이라고 합니다. 일반적으로 판별식은 문자로 표시됩니다. 디. 판별식:

D = b 2 - 4ac

그리고 이 표현에서 그토록 놀라운 점은 무엇입니까? 왜 특별한 이름을 가질 자격이 있었습니까? 무엇 판별자의 의미는?결국 -비,또는 2a이 공식에서는 특별히 아무것도 부르지 않습니다... 글자와 글자.

여기에 문제가 있습니다. 이 공식을 이용하여 이차방정식을 풀면, 경우는 딱 세 개.

1. 판별식은 양수입니다.이는 뿌리가 추출될 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 뽑혔는지, 못 뽑혔는지는 다른 문제입니다. 중요한 것은 원칙적으로 무엇을 추출하느냐이다. 그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식이 0입니다.그러면 하나의 해결책이 있을 것입니다. 분자에 0을 더하거나 빼도 아무 것도 바뀌지 않기 때문입니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 단순화 된 버전에서는 다음과 같이 이야기하는 것이 일반적입니다. 하나의 솔루션.

3. 판별식은 음수입니다.음수의 제곱근은 취할 수 없습니다. 아 글쎄. 즉, 해결책이 없습니다.

솔직히 말하면 언제쯤 간단한 해결책이차 방정식에서는 판별식의 개념이 특별히 필요하지 않습니다. 계수의 값을 공식에 ​​대입하고 계산합니다. 모든 것은 그 자체로 두 개의 뿌리, 하나, 그리고 아무것도 발생하지 않습니다. 하지만 더 복잡한 작업을 해결할 때에는 지식 없이도 판별식의 의미와 공식지나갈 수 없습니다. 특히 매개변수가 있는 방정식에서는 더욱 그렇습니다. 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 곡예 비행국가고시와 통합국가고시를 위해!)

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법당신이 기억한 판별식을 통해. 아니면 나쁘지 않은 것을 배웠습니다.) 올바르게 결정하는 방법을 알고 있습니다. a, b, c. 방법을 아시나요? 주의 깊게이를 루트 공식으로 대체하고 주의 깊게결과를 계산해 보세요. 여기서 핵심 단어는 다음과 같습니다. 주의 깊게?

이제 오류 수를 획기적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목해 보세요. 부주의로 인해 발생하는 동일한 것들... 나중에는 고통스럽고 공격적이 됩니다...

첫 번째 약속 . 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 말고 표준 형식으로 가져오세요. 이것은 무엇을 의미합니까?
모든 변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정해 보겠습니다.

루트 공식을 작성하기 위해 서두르지 마십시오! 거의 확실하게 확률이 헷갈릴 것입니다. a, b, c.예제를 올바르게 구성하십시오. 먼저 X 제곱, 그 다음 무제곱, 그 다음 자유 항입니다. 이와 같이:

그리고 다시 한 번 말하지만, 서두르지 마세요! X 제곱 앞에 마이너스가 있으면 정말 당황스러울 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스를 없애세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 가르친 대로입니다! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

하지만 이제 안전하게 근에 대한 공식을 작성하고 판별식을 계산한 후 예제 풀이를 마칠 수 있습니다. 스스로 결정하십시오.

이제 루트 2와 -1이 있어야 합니다. 2차 접수. 뿌리를 확인해보세요! Vieta의 정리에 따르면. 두려워하지 마십시오. 모든 것을 설명해 드리겠습니다! 확인 중마지막 방정식. 저것들. 우리가 근본 공식을 기록하는 데 사용한 것입니다. (이 예에서와 같이) 계수가 a = 1 , 뿌리를 확인하는 것은 쉽습니다. 그것들을 곱하면 충분합니다. 결과는 무료 회원이어야 합니다. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2라는 점에 유의하세요! 무료 회원 당신의 간판으로

. 문제가 해결되지 않으면 이미 어딘가에서 문제가 발생한 것입니다. 오류를 찾아보세요. 비작동하는 경우 루트를 추가해야 합니다. 마지막이자 최종 확인입니다. 계수는 다음과 같아야 합니다. 와 함께 반대 비친숙한. 우리의 경우에는 -1+2 = +1입니다. 계수
X 앞의 는 -1과 같습니다. 그래서 모든 것이 정확합니다! x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 이것이 너무 간단하다는 것은 유감입니다. a = 1.

하지만 적어도 그러한 방정식을 확인해보세요! 오류는 점점 줄어들 것입니다. 리셉션 3번째 . 방정식에 분수 계수가 있으면 분수를 제거하세요! 방정식에 다음을 곱합니다.공통분모

, "방정식을 푸는 방법? 동일한 변환" 단원에 설명된 대로입니다. 분수로 작업할 때 어떤 이유로든 오류가 계속해서 발생합니다...

마이너스로 인해 혼동되지 않도록 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

그게 다야! 해결은 즐거움입니다!

그럼 주제를 요약해 보겠습니다.

실용적인 조언:

1. 풀기 전에 이차 방정식을 표준 형식으로 가져와서 작성합니다. 오른쪽.

2. X 제곱 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 이를 제거합니다.

3. 계수가 분수인 경우 전체 방정식에 해당 요소를 곱하여 분수를 제거합니다.

4. x 제곱이 순수하면 그 계수는 다음과 같습니다. 1과 같다, Vieta의 정리를 사용하여 해를 쉽게 검증할 수 있습니다. 하세요!

이제 결정할 수 있습니다.)

방정식 풀기:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

답변(혼란):

그러므로 우리는 자신있게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - 임의의 숫자

x 1 = -3
x 2 = 3

해결책이 없다

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

모든 것이 적합합니까? 엄청난! 이차방정식은 골칫거리가 아닙니다. 처음 세 개는 작동했지만 나머지는 작동하지 않았나요? 그렇다면 문제는 이차방정식에 있는 것이 아닙니다. 문제는 방정식의 동일한 변환에 있습니다. 링크를 살펴보시면 도움이 될 것입니다.

별로 효과가 없나요? 아니면 전혀 작동하지 않습니까? 그러면 섹션 555가 도움이 될 것입니다. 표시됨 기본솔루션의 오류. 물론 용도에 대해서도 이야기합니다. 정체성 변화다양한 방정식을 풀 때 많은 도움이 됩니다!

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5x (x - 4) = 0

5 x = 0 또는 x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

물론 1차 방정식을 푸는 방법을 배운 후에는 특히 2차 방정식이라고 불리는 2차 방정식을 사용하여 다른 사람들과 함께 작업하고 싶습니다.

2차 방정식은 ax² + bx + c = 0과 같은 방정식입니다. 여기서 변수는 x이고 숫자는 a, b, c입니다. 여기서 a는 0이 아닙니다.

2차 방정식에서 하나 또는 다른 계수(c 또는 b)가 0이면 이 방정식은 불완전한 2차 방정식으로 분류됩니다.

학생들이 지금까지 1차 방정식만 풀 수 있었다면 불완전한 이차 방정식을 어떻게 푸나요? 불완전한 2차 방정식을 고려하세요. 다른 유형그리고 간단한 방법그들의 결정.

a) 계수 c가 0이고 계수 b가 0이 아닌 경우 ax ² + bx + 0 = 0은 ax ² + bx = 0 형식의 방정식으로 감소됩니다.

이러한 방정식을 풀려면 불완전한 이차 방정식을 풀기 위한 공식을 알아야 합니다. 이 방정식은 왼쪽을 인수분해하고 나중에 곱이 0이라는 조건을 사용하는 것으로 구성됩니다.

예를 들어, 5x² - 20x = 0입니다. 일반적인 수학 연산을 수행하면서 방정식의 왼쪽을 인수분해합니다. 즉, 괄호에서 공통 인수를 빼냅니다.

5x (x - 4) = 0

우리는 제품이 0과 같다는 조건을 사용합니다.

5 x = 0 또는 x - 4 = 0

대답은 다음과 같습니다. 첫 번째 루트는 0입니다. 두 번째 루트는 4입니다.

b) b = 0이고 자유 항이 0이 아닌 경우 방정식 ax ² + 0x + c = 0은 ax ² + c = 0 형식의 방정식으로 축소됩니다. 방정식은 두 가지 방법으로 해결됩니다. : a) 왼쪽에 있는 방정식의 다항식을 인수분해하여 ; b) 산술 제곱근의 속성을 사용합니다. 이러한 방정식은 다음 방법 중 하나를 사용하여 풀 수 있습니다.

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. 대답은 다음과 같습니다: 첫 번째 근은 5/2입니다. 두 번째 루트는 - 5/2와 같습니다.

c) b가 0이고 c가 0이면 ax ² + 0 + 0 = 0은 ax ² = 0 형식의 방정식으로 감소됩니다. 이러한 방정식에서 x는 0과 같습니다.

보시다시피, 불완전한 이차 방정식은 근을 2개 이상 가질 수 없습니다.

더 간단한 방법으로. 이렇게 하려면 대괄호 안에 z를 넣으세요. 다음을 얻게 됩니다: z(аz + b) = 0. 인자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: z=0 및 аz + b = 0, 둘 다 0이 될 수 있기 때문입니다. az + b = 0 표기법에서는 다른 부호를 사용하여 두 번째 것을 오른쪽으로 이동합니다. 여기에서 z1 = 0 및 z2 = -b/a를 얻습니다. 이것이 원본의 뿌리입니다.

az² + c = 0 형식의 불완전한 방정식이 있는 경우, 이 경우 방정식의 오른쪽으로 자유 항을 이동하면 방정식을 찾을 수 있습니다. 또한 기호를 변경하십시오. 결과는 az² = -с입니다. z² = -c/a를 표현합니다. 근을 취하고 양수와 음수 제곱근이라는 두 가지 해를 적습니다.

참고하세요

방정식에 분수 계수가 있는 경우 전체 방정식에 적절한 계수를 곱하여 분수를 제거합니다.

이차 방정식을 푸는 방법에 대한 지식은 학생과 학생 모두에게 필요합니다. 때로는 성인에게도 도움이 될 수 있습니다. 평범한 삶. 몇 가지 구체적인 해결 방법이 있습니다.

이차 방정식 풀기

a*x^2+b*x+c=0 형태의 2차 방정식. 계수 x는 원하는 변수이고, a, b, c는 수치 계수입니다. "+" 기호가 "-" 기호로 바뀔 수 있다는 점을 기억하세요.

이 방정식을 풀기 위해서는 비에타의 정리를 이용하거나 판별식을 구하는 것이 필요합니다. 가장 일반적인 방법은 a, b, c의 일부 값에 대해 Vieta의 정리를 사용할 수 없기 때문에 판별식을 찾는 것입니다.

판별식(D)을 찾으려면 D=b^2 - 4*a*c 공식을 작성해야 합니다. D 값은 0보다 크거나 작거나 같을 수 있습니다. D가 0보다 크거나 작으면 두 개의 근이 있고, D = 0이면 단 하나의 근만 남습니다. 이 경우 D에는 두 개의 등가 근이 있다고 말할 수 있습니다. 알려진 계수 a, b, c를 공식에 대입하고 값을 계산합니다.

판별식을 찾은 후 공식을 사용하여 x를 찾습니다. x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, 여기서 sqrt는 주어진 숫자의 제곱근을 취하는 것을 의미하는 함수입니다. 이러한 표현식을 계산하면 방정식의 두 근을 찾을 수 있으며 그 후에 방정식이 해결된 것으로 간주됩니다.

D가 0보다 작으면 여전히 근이 있습니다. 이 섹션은 실제로 학교에서 공부하지 않습니다. 대학생들은 루트 아래에 음수가 표시된다는 점을 주의해야 합니다. 즉, 루트 아래의 -1은 항상 동일한 양수를 루트에 곱한 허수 요소 "i"와 같습니다. 예를 들어 D=sqrt(-20)인 경우 변환 후 D=sqrt(20)*i를 얻습니다. 이 변환 후에 방정식을 푸는 것은 위에서 설명한 것과 동일한 근 찾기로 축소됩니다.

비에타의 정리는 x(1)과 x(2)의 값을 선택하는 것으로 구성됩니다. 두 개의 동일한 방정식이 사용됩니다: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. 그리고 아주 중요한 점는 계수 b 앞의 부호입니다. 이 부호는 방정식의 부호와 반대라는 점을 기억하십시오. 얼핏 x(1)과 x(2)를 계산하는 것은 매우 간단해 보이지만, 풀다 보면 숫자를 선택해야 한다는 사실에 직면하게 됩니다.

이차 방정식을 푸는 요소

수학 규칙에 따라 일부는 인수분해될 수 있습니다: (a+x(1))*(b-x(2))=0, 수학 공식을 사용하여 비슷한 방식으로 이 이차 방정식을 변환했다면 자유롭게 다음을 수행하십시오. 답을 적어보세요. x(1) 및 x(2)는 괄호 안의 인접 계수와 동일하지만 부호는 반대입니다.

또한 불완전한 이차 방정식을 잊지 마십시오. 일부 항이 누락되었을 수 있습니다. 그렇다면 모든 계수는 단순히 0과 같습니다. x^2 또는 x 앞에 아무것도 없으면 계수 a와 b는 1과 같습니다.

이 주제는 단순하지 않은 공식이 많기 때문에 처음에는 복잡해 보일 수 있습니다. 이차방정식 자체에는 긴 표기법이 있을 뿐만 아니라, 판별식을 통해서도 근을 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 얻어졌습니다. 기억하기가 쉽지 않습니다. 이는 이러한 방정식을 자주 풀어야만 가능합니다. 그러면 모든 공식이 자동으로 기억됩니다.

이차 방정식의 일반적인 견해

여기서 우리는 그들의 노골적인 녹음을 제안합니다. 높은 수준먼저 쓴 다음 내림차순으로 씁니다. 용어가 일치하지 않는 경우가 종종 있습니다. 그렇다면 변수의 차수를 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.

몇 가지 표기법을 소개하겠습니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 받아들이면 모든 이차 방정식은 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1번으로 지정하겠습니다.

방정식이 주어지면 답에 근이 몇 개인지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 답은 하나의 숫자가 될 것입니다.
• 방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.

그리고 결정이 확정될 때까지 특정 경우에 어떤 옵션이 나타날지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 기록 유형

작업에 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 일반적인 이차 방정식 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 누락될 수도 있습니다. 위에 쓴 내용은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 내용이 표시됩니다. 이러한 기록은 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.

또한 계수가 "b"와 "c"인 항만 사라질 수 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 경우에도 0이 될 수 없습니다. 이 경우 공식은 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 불완전한 형태의 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 유형 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 공식을 2번, 두 번째 공식을 3번으로 설정합니다.

그 가치에 대한 뿌리 수의 판별 및 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 상관없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 작성된 등식을 사용해야 하며, 이는 4번째 숫자가 됩니다.

이 공식에 계수 값을 대입하면 다음과 같은 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 표시. 대답이 '예'라면 방정식에 대한 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. ~에 음수이차 방정식의 근이 누락됩니다. 0과 같으면 답은 하나뿐입니다.

완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?

사실 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 나면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 다음 공식을 적용해야 합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 표현식이 판별식입니다. 따라서 수식을 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

공식 번호 5입니다. 동일한 기록에서 판별식이 0이면 두 근이 모두 동일한 값을 취한다는 것이 분명합니다.

이차 방정식을 푸는 것이 아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간에는 어려움이 발생하지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?

여기에서는 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 수식도 필요하지 않습니다. 그리고 판별자와 미지의 것에 대해 이미 기록된 것들은 필요하지 않을 것입니다.

먼저, 불완전한 방정식 2를 살펴보겠습니다. 이 등식에서는 괄호 안에 있는 알 수 없는 수량을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 가지 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 승수가 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻어집니다.

불완전한 방정식 3번은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 이동하여 해결됩니다. 그런 다음 미지의 계수로 나누어야합니다. 남은 것은 제곱근을 추출하고 이를 반대 기호로 두 번 적어 두는 것입니다.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 방정식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 학생이 부주의로 인한 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다. 이러한 단점이 원인입니다 나쁜 성적광범위한 주제인 "2차 방정식(8학년)"을 공부하는 동안. 이후에는 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 스킬이 나타나기 때문이죠.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 정도가 가장 큰 용어를 사용한 다음, 정도가 없는 용어, 마지막으로 숫자만 사용합니다.

• 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 이차 방정식을 공부하는 초보자의 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해서는 전체 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이는 모든 용어의 부호가 반대 방향으로 변경됨을 의미합니다.

• 같은 방법으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 풀어야 합니다.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식: x 2 − 7x = 0. 불완전하므로 두 번째 공식에 설명된 대로 풀립니다.

괄호에서 꺼내면 x (x - 7) = 0이 됩니다.

첫 번째 근은 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 선형 방정식: x - 7 = 0에서 구됩니다. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 방정식: 5x 2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로만 해결됩니다.

30을 방정식의 오른쪽으로 이동한 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 다음과 같습니다: x 2 = 6. 답은 숫자입니다: x 1 = √6, x 2 = - √6.

세 번째 방정식: 15 − 2х − x 2 = 0. 여기에서 더 나아가 이차 방정식을 푸는 것은 다음에서 다시 작성하는 것으로 시작됩니다. 표준보기: − x 2 − 2x + 15 = 0. 이제 두 번째를 사용할 차례입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. 결과는 x 2 + 2x - 15 = 0입니다. 네 번째 공식을 사용하여 판별식을 계산해야 합니다. D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64입니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 뿌리가 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식을 사용하여 계산해야 합니다. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 = 3, x 2 = - 5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x = 0은 x 2 + 3x + 8 = 0으로 변환됩니다. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 대답은 "뿌리가 없습니다."라는 항목이 됩니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성되어야 합니다: x 2 + 12x + 36 = 0. 판별식에 공식을 적용하면 숫자 0이 얻어집니다. 즉, x = -12/ (2 * 1) = -6이라는 하나의 루트를 갖게 됩니다.

여섯 번째 방정식 (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)에는 변환이 필요합니다. 비슷한 용어, 괄호를 열기 전에. 첫 번째 대신 다음 표현식이 사용됩니다: x 2 + 2x + 1. 동등 후에는 다음 항목이 나타납니다: x 2 + 3x + 2. 유사한 용어를 계산한 후 방정식은 x 2 형식을 취합니다. - x = 0. 불완전해졌습니다. 이와 유사한 내용이 이미 조금 더 높은 수준에서 논의되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이차 방정식 문제는 다음에서도 연구됩니다. 학교 커리큘럼그리고 대학에서. 이는 a*x^2 + b*x + c = 0 형식의 방정식을 의미합니다. 엑스-변수, a, b, c – 상수; 에이<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.

이차 방정식의 기하학적 의미

이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 2차 방정식의 해(근)는 포물선과 가로좌표(x) 축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선에는 가로축과 교차점이 없습니다. 이는 가지가 위로 향하는 상부 평면에 있거나 가지가 아래로 향하는 바닥에 있음을 의미합니다. 그러한 경우, 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(두 개의 복소근이 있음).

2) 포물선은 Ox 축과 하나의 교차점을 갖습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭지점이라고 하며, 이 점의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식에는 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다.

3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 군데 있습니다. 이는 방정식의 실제 근이 두 개 있다는 것을 의미합니다.

변수의 거듭제곱 계수 분석을 기반으로 포물선 배치에 대한 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.

1) 계수가 a인 경우 0보다 큼그러면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고, 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다.

2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭지점은 왼쪽 절반 평면에 있고, 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.

이차 방정식을 풀기 위한 공식 유도

이차방정식의 상수를 옮겨보자

등호에 대해서는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

양변에 4a를 곱하세요

왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 양쪽에 b^2를 더하고 변환을 수행하십시오.

여기에서 우리는 찾습니다

이차 방정식의 판별식과 근에 대한 공식

판별식은 근호식의 값입니다. 양수이면 방정식에는 다음 공식으로 계산된 두 개의 실수 근이 있습니다. 판별식이 0인 경우 이차 방정식에는 하나의 해(두 개의 일치하는 근)가 있으며 이는 D=0에 대한 위 공식에서 쉽게 얻을 수 있습니다. 판별식이 음수인 경우 방정식에는 실수 근이 없습니다. 그러나 이차 방정식의 해는 복소 평면에서 찾을 수 있으며 해당 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

비에타의 정리

이차 방정식의 두 가지 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성해 보겠습니다. Vieta의 정리 자체는 표기법에서 쉽게 따릅니다. 그 근의 합은 반대 부호를 취한 계수 p와 같고 방정식 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식적 표현은 다음과 같습니다. 고전 방정식에서 상수 a가 0이 아닌 경우 전체 방정식을 이것으로 나눈 다음 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.

인수분해 이차 방정식 일정

작업을 설정하십시오. 이차 방정식을 인수분해합니다. 이를 위해 먼저 방정식을 풉니다(근을 찾습니다). 다음으로, 찾은 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 문제가 해결됩니다.

이차방정식 문제

작업 1. 이차 방정식의 근을 찾아보세요

x^2-26x+120=0 .

해결 방법: 계수를 기록하고 이를 판별식에 대입합니다.

루트 주어진 값는 14와 같으며 계산기로 쉽게 찾을 수 있거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의상 기사 끝 부분에서 이러한 문제에서 자주 발생할 수 있는 숫자의 제곱 목록을 제공합니다.
찾은 값을 루트 공식으로 대체합니다.

그리고 우리는 얻습니다

작업 2. 방정식을 풀어보세요

2x2 +x-3=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있고, 계수를 작성하고 판별식을 구합니다.


알려진 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾습니다.

작업 3. 방정식을 풀어보세요

9x2 -12x+4=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정

뿌리가 일치하는 경우가 있습니다. 공식을 사용하여 근의 값을 찾으십시오.

작업 4. 방정식을 풀어보세요

x^2+x-6=0 .

해결 방법: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta의 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 그 조건에 따라 우리는 두 가지 방정식을 얻습니다.

두 번째 조건에서 곱은 -6과 같아야 함을 알 수 있습니다. 이는 근 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다 (-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은 같습니다.

문제 5. 둘레가 18cm이고 넓이가 77cm 2인 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.

해결책: 직사각형 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x –를 나타내자 큰 면, 그 다음에는 작은 쪽의 18-x입니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18-x)=77;
또는
x 2 -18x+77=0.
방정식의 판별식을 구해보자

방정식의 근을 계산

만약에 x=11,저것 18세=7 ,그 반대도 마찬가지입니다(x=7이면 21's=9).

문제 6. 2차 방정식 10x 2 -11x+3=0을 인수분해합니다.

해결책: 방정식의 근을 계산해 보겠습니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.

찾은 값을 루트 공식에 대입하고 계산합니다.

근으로 이차 방정식을 분해하는 공식을 적용합니다.

괄호를 열면 신원을 알 수 있습니다.

매개변수가 있는 이차 방정식

예 1. 어떤 매개변수 값에서 에이,방정식 (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0은 근이 하나입니까?

해결책: a=3 값을 직접 대체하면 해결책이 없음을 알 수 있습니다. 다음으로, 판별식이 0인 방정식에는 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 적어보자

단순화해서 0과 동일시하자

우리는 매개변수 a에 대한 2차 방정식을 얻었으며, 그 해는 Vieta의 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 그 곱은 12입니다. 간단한 검색을 통해 숫자 3,4가 방정식의 근이 될 것임을 확인합니다. 계산 시작 시 이미 a=3이라는 해를 거부했기 때문에 유일한 올바른 해는 다음과 같습니다. a=4.따라서 a=4에 대해 방정식은 하나의 근을 갖습니다.

예 2. 어떤 매개변수 값에서 에이,방정식 에(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0루트가 두 개 이상인가요?

해결 방법: 먼저 특이점을 고려해 보겠습니다. 이는 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 루트는 하나입니다. a= -3에 대해 항등식 0=0을 얻습니다.
판별식을 계산해보자

그리고 a가 양수인 값을 찾으세요.

첫 번째 조건에서 a>3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 방정식의 판별식과 근을 찾습니다.


함수가 수행하는 간격을 정의해 보겠습니다. 양수 값. 점 a=0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0 . 따라서 간격(-3;1/3) 외부에서는 함수가 음수입니다. 요점을 잊지 마세요 a=0,이는 원래 방정식에 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다.

실제로는 유사한 작업이 많이 있으므로 작업을 직접 파악하려고 노력하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요한 이차 방정식을 푸는 공식을 잘 연구하십시오.