프리즘의 측면 표면적. 안녕하세요! 이 간행물에서 우리는 입체 측정의 일련의 문제를 분석할 것입니다. 프리즘과 원통이라는 물체의 조합을 생각해 봅시다. ~에 지금은이 기사는 입체 측정의 작업 유형 고려와 관련된 전체 기사 시리즈를 완성합니다.
작업 은행에 새로운 내용이 나타나면 물론 앞으로 블로그에 추가 내용도 있을 것입니다. 하지만 이미 존재하는 것만으로도 시험의 일부로 짧은 답안으로 모든 문제를 해결하는 방법을 배우기에 충분합니다. 앞으로 몇 년 동안 충분한 자료가 있을 것입니다(수학 프로그램은 고정되어 있습니다).
제시된 작업에는 프리즘 면적을 계산하는 작업이 포함됩니다. 아래에서는 직선 프리즘(및 그에 따른 직선 실린더)을 고려합니다.
공식을 몰라도 우리는 측면프리즘은 모두 그녀의 것 옆면. 직선 프리즘은 직사각형 측면을 가지고 있습니다.
이러한 프리즘의 측면 표면적은 모든 측면(즉, 직사각형)의 면적의 합과 같습니다. 원통이 새겨진 일반 프리즘에 대해 이야기하고 있다면 이 프리즘의 모든 면이 동일한 직사각형이라는 것이 분명합니다.
공식적으로 정 프리즘의 측면 표면적은 다음과 같이 반영될 수 있습니다.
27064. 밑면 반지름과 높이가 1인 원통 주위에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적을 구합니다.
이 프리즘의 측면은 면적이 동일한 4개의 직사각형으로 구성됩니다. 면의 높이는 1이고 프리즘 밑면의 가장자리는 2입니다(원통의 두 반경). 따라서 측면의 면적은 다음과 같습니다.
측면 표면적:
73023. 밑면 반지름이 √0.12이고 높이가 3인 원통에 외접하는 정삼각기둥의 옆면적을 구합니다.
주어진 프리즘의 측면 면적은 세 측면(직사각형)의 면적의 합과 같습니다. 옆면의 넓이를 구하려면 옆면의 높이와 밑변의 길이를 알아야 합니다. 높이는 3입니다. 밑변의 길이를 구해 봅시다. 투영을 고려하십시오(평면도).
반지름이 √0.12인 원이 내접된 정삼각형이 있습니다. 직각 삼각형 AOC에서 AC를 찾을 수 있습니다. 그리고 AD(AD=2AC)입니다. 탄젠트의 정의에 따르면:
이는 AD = 2AC = 1.2를 의미합니다. 따라서 측면 표면적은 다음과 같습니다.
27066. 밑면 반지름이 √75이고 높이가 1인 원통에 외접하는 정육각형 프리즘의 옆면적을 구합니다.
필요한 면적은 모든 측면의 면적을 합한 것과 같습니다. 정육각형 프리즘은 동일한 직사각형의 측면을 가지고 있습니다.
얼굴의 넓이를 구하려면 얼굴의 높이와 밑변의 길이를 알아야 합니다. 높이는 알려져 있으며 1과 같습니다.
밑변의 길이를 구해 봅시다. 투영을 고려하십시오(평면도).
반지름이 √75인 원이 새겨진 정육각형이 있습니다.
고려해 봅시다 직각삼각형 ABO. 우리는 다리 OB(원통의 반경)를 알고 있습니다. 우리는 또한 각도 AOB를 결정할 수 있는데, 이는 300과 같습니다(삼각형 AOC는 등변이고 OB는 이등분선입니다).
직각 삼각형의 접선 정의를 사용해 보겠습니다.
AC = 2AB, OB가 중앙값이므로, 즉 AC를 반으로 나눈 것이므로 AC = 10입니다.
따라서 측면의 면적은 1∙10=10이고 측면의 면적은 다음과 같습니다.
76485. 밑면 반지름이 8√3이고 높이가 6인 원통에 내접된 정삼각기둥의 측면적을 구합니다.
동일한 크기의 3개 면(직사각형)으로 구성된 지정된 프리즘의 측면 표면적입니다. 면적을 찾으려면 프리즘 밑면의 가장자리 길이를 알아야 합니다(우리는 높이를 알고 있습니다). 투영(평면도)을 고려하면 원 안에 내접된 정삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 변은 반경으로 다음과 같이 표현됩니다.
이 관계의 세부정보입니다. 그럼 평등해지겠지
그러면 옆면의 면적은 24∙6=144가 됩니다. 그리고 필요한 영역은 다음과 같습니다.
245354. 밑면 반지름이 2인 원통에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적은 48입니다. 원기둥의 높이를 구합니다.
정의.
이것은 밑면이 두 개의 동일한 정사각형이고 측면이 동일한 직사각형인 육각형입니다.
사이드 리브- 인접한 두 측면의 공통 측면입니다.
프리즘 높이- 이것은 프리즘의 밑면에 수직인 부분입니다.
프리즘 대각선- 같은 면에 속하지 않는 두 꼭지점을 연결하는 선분
대각선 평면- 프리즘의 대각선과 측면 모서리를 통과하는 평면
대각선 부분- 프리즘과 대각선 평면의 교차점의 경계. 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형이다
수직 단면(직교 단면)- 이것은 프리즘과 측면 가장자리에 수직으로 그려진 평면의 교차점입니다.
정사각형 프리즘의 요소
그림은 해당 문자로 표시된 두 개의 정사각형 프리즘을 보여줍니다.
- 염기 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 서로 동일하고 평행합니다.
- 측면 AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C 및 CC 1 D 1 D(각각 직사각형임)
- 측면 - 프리즘의 모든 측면 면적의 합
- 총면적 - 모든 밑면과 측면의 면적의 합(측면과 밑면의 면적의 합)
- 사이드 리브 AA 1, BB 1, CC 1 및 DD 1.
- 대각선 B 1 D
- 기본 대각선 BD
- 대각선 단면 BB 1 D 1 D
- 수직 단면 A 2 B 2 C 2 D 2.
정사각형 프리즘의 특성
- 밑변은 두 개의 동일한 정사각형입니다.
- 베이스는 서로 평행하다.
- 옆면은 직사각형이다.
- 측면 가장자리가 서로 동일합니다.
- 측면은 베이스에 수직입니다.
- 측면 갈비뼈는 서로 평행하고 동일합니다.
- 모든 측면 리브에 수직이고 베이스에 평행한 수직 단면
- 수직 단면의 각도 - 직선
- 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형이다
- 베이스에 평행한 수직(직교 단면)
정사각형 프리즘의 공식
문제 해결 지침
"라는 주제에 대한 문제를 해결할 때 정사각기둥"는 다음을 의미합니다.올바른 프리즘- 밑면에 정다각형이 있고 측면 가장자리가 밑면에 수직인 프리즘입니다. 즉, 정사각형 프리즘은 밑면에 다음을 포함합니다. 정사각형. (위의 정사각형 프리즘의 특성 참조) 메모. 이것은 기하학 문제(단면 입체 측정 - 프리즘)에 대한 수업의 일부입니다. 해결하기 어려운 문제는 다음과 같습니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 한다면 포럼에 글을 써주세요.. 검색 작업을 나타냅니다. 제곱근기호는 문제를 해결하는 데 사용됩니다.√ .
일.
정사각기둥의 밑면적은 144 cm 2 이고 높이는 14 cm 입니다. 프리즘의 대각선과 전체 표면적을 구하십시오.해결책.
정사각형은 정사각형입니다.
따라서 밑면의 측면은 동일합니다.
일반 직사각형 프리즘 밑면의 대각선은 다음과 같습니다.
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
정기둥의 대각선은 밑면의 대각선과 프리즘의 높이와 직각삼각형을 이룹니다. 따라서 피타고라스 정리에 따르면 주어진 정사각형 프리즘의 대각선은 다음과 같습니다.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm
답변: 22cm
일
대각선이 5 cm이고 옆면의 대각선이 4 cm인 정사각기둥의 전체 표면을 구하십시오.해결책.
정사각기둥의 밑면은 정사각형이므로 피타고라스 정리를 사용하여 밑변(a로 표시됨)을 찾습니다.
에이 2 + 에이 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5
그러면 측면의 높이(h로 표시됨)는 다음과 같습니다.
H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5
전체 표면적은 측면 표면적과 밑면적의 두 배를 합한 것과 같습니다.
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
에스 = 25 + 4√43.75
에스 = 25 + 4√(175/4)
에스 = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≒ 51.46cm 2.
답: 25 + 10√7 ≒ 51.46cm 2.
다면체
입체 측정 연구의 주요 목표는 공간 몸체입니다. 몸특정 표면에 의해 제한된 공간의 일부를 나타냅니다.
다면체유한한 수의 평면 다각형으로 표면이 구성된 몸체입니다. 다면체는 표면에 있는 모든 평면 다각형의 평면의 한쪽에 위치하는 경우 볼록하다고 합니다. 그러한 평면과 다면체 표면의 공통 부분을 이라고 합니다. 가장자리. 볼록다면체의 면은 편평하다 볼록 다각형. 얼굴의 측면을 측면이라고 합니다. 다면체의 가장자리, 정점은 다음과 같습니다. 다면체의 꼭지점.
예를 들어, 정육면체는 면인 정사각형 6개로 구성됩니다. 여기에는 12개의 모서리(정사각형의 측면)와 8개의 꼭지점(정사각형의 상단)이 포함됩니다.
가장 단순한 다면체는 프리즘과 피라미드인데, 이에 대해서는 더 자세히 연구하겠습니다.
프리즘
프리즘의 정의와 특성
프리즘평행 이동에 의해 결합된 평행 평면에 놓인 두 개의 평평한 다각형과 이러한 다각형의 해당 점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 다면체입니다. 다각형이 호출됩니다. 프리즘 베이스, 다각형의 해당 꼭지점을 연결하는 선분은 다음과 같습니다. 프리즘의 측면 가장자리.
프리즘 높이베이스 평면 사이의 거리 ()라고합니다. 같은 면에 속하지 않는 프리즘의 두 꼭지점을 연결하는 선분을 선분이라고 합니다. 프리즘 대각선(). 프리즘이라고 불리는 n-탄소, 베이스에 n각형이 포함된 경우.
모든 프리즘은 프리즘의 베이스가 평행 이동에 의해 결합된다는 사실로 인해 다음과 같은 특성을 갖습니다.
1. 프리즘의 밑면은 동일합니다.
2. 프리즘의 측면 가장자리는 평행하고 동일합니다.
프리즘의 표면은 베이스와 베이스로 구성됩니다. 측면. 프리즘의 측면은 평행사변형으로 구성됩니다(이는 프리즘의 특성에 따라 결정됩니다). 프리즘의 측면 면적은 측면 면적의 합입니다.
직선 프리즘
프리즘이라고 불리는 직접, 측면 모서리가 베이스에 수직인 경우. 그렇지 않으면 프리즘이 호출됩니다. 기울어진.
직각기둥의 면은 직사각형입니다. 직선 프리즘의 높이는 측면과 같습니다.
풀 프리즘 표면옆면적과 밑면적의 합이라고 합니다.
올바른 프리즘 사용밑면에 정다각형이 있는 직각기둥이라고 합니다.
정리 13.1. 직선 프리즘의 측면 면적은 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다(또는 측면 가장자리와 동일).
증거. 직각 프리즘의 측면은 직사각형이며, 밑면은 프리즘 밑면에 있는 다각형의 측면이고 높이는 프리즘의 측면 가장자리입니다. 그러면 정의에 따라 측면 표면적은 다음과 같습니다.
,
직선 프리즘 밑면의 둘레는 어디에 있습니까?
평행육면체
평행사변형이 프리즘의 밑면에 있으면 이를 평행사변형이라고 합니다. 평행 육면체의. 평행육면체의 모든 면은 평행사변형입니다. 이 경우, 평행육면체의 반대면은 평행하고 동일합니다.
정리 13.2. 평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 교차점에 의해 반으로 나뉩니다.
증거. 예를 들어 및 와 같은 두 개의 임의 대각선을 고려하십시오. 왜냐하면 평행육면체의 면은 평행사변형이고 , 이는 To에 따르면 세 번째 직선과 평행한 두 개의 직선이 있음을 의미합니다. 또한 이는 직선과 동일한 평면(plane)에 놓여 있다는 뜻이다. 이 평면은 평행선과 평행선을 따라 교차합니다. 따라서 사각형은 평행사변형이고, 평행사변형의 특성상 대각선이 교차하고 교차점을 기준으로 반으로 나뉘는 것이 증명되어야 합니다.
밑면이 직사각형인 직육면체라고 한다. 직육면체. 직육면체의 모든 면은 직사각형입니다. 직육면체의 평행하지 않은 모서리의 길이를 선형 치수(치수)라고 합니다. 이러한 크기에는 세 가지(너비, 높이, 길이)가 있습니다.
정리 13.3. 직육면체에서 임의의 대각선의 제곱은 합계와 동일 3차원의 제곱 
(피타고라스 T를 두 번 적용하여 증명됨)
모든 모서리가 동일한 직육면체라고 합니다. 입방체.
작업
13.1 대각선은 몇 개인가요? N-카본 프리즘
13.2 기울어진 삼각기둥에서 측면 가장자리 사이의 거리는 37, 13, 40입니다. 더 큰 측면 가장자리와 반대쪽 가장자리 사이의 거리를 구하십시오.
13.3 정삼각형 프리즘의 아래쪽 밑면을 통해 평면이 그려지며, 측면 사이에 각도를 두고 세그먼트를 따라 측면과 교차합니다. 프리즘 밑면에 대한 이 평면의 경사각을 구하십시오.
정의. 프리즘는 다면체이며, 모든 꼭지점은 두 개의 평행한 평면에 위치하고, 이 동일한 두 평면에는 프리즘의 두 면이 있습니다. 동일한 다각형대응하는 변이 평행하고 이 평면에 있지 않은 모든 모서리는 평행합니다.
두 개의 동일한 얼굴이 호출됩니다. 프리즘 베이스(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
프리즘의 다른 모든 면은 다음과 같습니다. 옆면(AA 1B 1B, BB 1C 1C, CC 1D 1D, DD 1E 1E, EE 1A 1A).
모든 측면이 형성됨 프리즘의 측면 .
프리즘의 모든 측면은 평행사변형입니다. .
밑면에 있지 않은 가장자리를 프리즘의 측면 가장자리( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
프리즘 대각선 같은 면(AD 1)에 있지 않은 프리즘의 두 꼭지점을 끝으로 가지는 세그먼트입니다.
프리즘의 밑면을 연결하고 동시에 두 밑면에 수직인 세그먼트의 길이를 호출합니다. 프리즘 높이 .
지정:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (먼저 순회 순서에 따라 한 베이스의 정점이 표시된 다음 동일한 순서로 다른 베이스의 정점이 표시됩니다. 각 베이스의 끝은 옆갈비뼈동일한 문자로 표시되며 한 베이스에 있는 꼭지점만 색인이 없는 문자로 표시되고 다른 베이스에는 색인이 있는 문자로 표시됩니다)
프리즘의 이름은 밑면에 있는 그림의 각도 수와 연관되어 있습니다. 예를 들어 그림 1에서는 밑면에 오각형이 있으므로 프리즘이라고 합니다. 오각형 프리즘. 하지만 왜냐하면 그런 프리즘은 7개의 면을 가지고 있습니다. 칠면체(2면 - 프리즘의 밑면, 5면 - 평행사변형, - 측면)
직선 프리즘 중에서 눈에 띄는 것은 개인 보기: 올바른 프리즘.
직선 프리즘이라 불린다. 옳은,밑면이 정다각형인 경우.
평행육면체
평행육면체밑면에 평행사변형(경사 평행육면체)이 있는 사각형 프리즘입니다. 직육면체- 측면 모서리가 밑면에 수직인 평행 육면체.직육면체- 밑면이 직사각형인 직육면체.
속성과 정리:
평행육면체의 일부 특성은 평행사변형의 알려진 특성과 유사합니다. 동일한 측정, 라고 불린다 입방체
.정육면체의 모든 면은 정사각형입니다. 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다. 
,
여기서 d는 정사각형의 대각선입니다.
a는 정사각형의 측면입니다.
프리즘에 대한 아이디어는 다음과 같습니다.
- 다양한 건축 구조;
- 어린이 장난감;
- 포장 상자;
- 디자이너 아이템 등
프리즘의 전체 표면과 측면의 면적
프리즘의 전체 표면적모든 면의 면적의 합입니다 측면 표면적옆면의 넓이의 합이라고 합니다. 프리즘의 밑면은 동일한 다각형이고 면적은 동일합니다. 그렇기 때문에S 전체 = S 측 + 2S 메인,
어디 S 가득- 총 표면적, S측- 측면 표면적, S 베이스- 기본 면적
직선 프리즘의 측면 표면적은 밑면 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다.
S측= P 기본 * h,
어디 S측-직선 프리즘의 측면 표면적,
P 메인 -직선 프리즘 밑면의 둘레,
h는 직선 프리즘의 높이이며 측면 가장자리와 같습니다.
프리즘 볼륨
프리즘 볼륨 제품과 동일기본 면적에서 높이까지.
정의 1. 프리즘 표면
정리 1. 프리즘 표면의 평행 단면
정의 2. 프리즘 표면의 수직 단면
정의 3. 프리즘
정의 4. 프리즘 높이
정의 5. 직각 프리즘
정리 2. 프리즘 측면의 면적
평행육면체:
정의 6. 평행육면체
정리 3. 평행 육면체의 대각선 교차점
정의 7. 직육면체
정의 8. 직육면체
정의 9. 평행육면체의 측정
정의 10. 큐브
정의 11. 능면체
정리 4. 직육면체의 대각선
정리 5. 프리즘의 부피
정리 6. 직선 프리즘의 부피
정리 7. 직육면체의 부피
프리즘는 두 면(밑면)이 평행한 평면에 있고 이 면에 있지 않은 모서리가 서로 평행한 다면체입니다.
베이스 이외의 면을 호출합니다. 옆쪽.
측면과 밑면의 측면을 호출합니다. 프리즘 갈비, 가장자리의 끝을 호출합니다. 프리즘의 꼭지점. 측면 갈비뼈베이스에 속하지 않는 모서리가 호출됩니다. 측면 결합이라고합니다. 프리즘의 측면, 모든 면의 결합을 호출합니다. 프리즘의 전체 표면. 프리즘 높이상부 밑면에서 하부 밑면까지 떨어지는 수직선 또는 이 수직선의 길이라고 합니다. 
다이렉트 프리즘측면 모서리가 밑면에 수직인 프리즘이라고 합니다. 
옳은직선 프리즘(그림 3)이라고 하며 그 밑면에는 정다각형이 있습니다.
명칭:
내가 - 측면 갈비뼈;
P - 기본 둘레;
S o - 기본 면적;
H - 높이;
P^ - 수직 단면 둘레;
Sb - 측면 표면적;
V - 볼륨;
S p는 프리즘의 전체 표면적입니다.
|
V=SH |
*연속된 두 평면은 모두 교차하고 마지막 평면이 첫 번째 평면과 교차한다고 가정합니다.
정리 1 . 서로 평행한(그러나 가장자리와 평행하지 않은) 평면에 의한 프리즘 표면의 단면은 동일한 다각형입니다.
ABCDE와 A"B"C"D"E"를 두 평행 평면으로 이루어진 프리즘 표면의 단면이라고 가정합니다. 이 두 다각형이 동일한지 확인하려면 삼각형 ABC와 A"B"C"가 다음과 같다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 동일하고 동일한 회전 방향을 가지며 삼각형 ABD 및 A"B"D", ABE 및 A"B"E"에도 동일하게 적용됩니다. 그러나 이 삼각형의 해당 변은 특정 평면과 두 평행 평면의 교차선과 같이 평행합니다(예: AC는 AC와 평행합니다). 평행사변형의 반대쪽 변처럼 이들 변은 동일하며(예를 들어 AC는 A"C"와 같습니다), 이들 변이 이루는 각도는 동일하고 동일한 방향을 갖습니다.
정의 2 . 프리즘 표면의 수직 단면은 모서리에 수직인 평면에 의한 이 표면의 단면입니다. 이전 정리에 따르면 동일한 프리즘 표면의 모든 수직 단면은 동일한 다각형이 됩니다.
정의 3
. 프리즘은 프리즘 표면과 서로 평행한 두 평면(그러나 프리즘 표면의 가장자리와 평행하지 않음)으로 둘러싸인 다면체입니다.
이 마지막 평면에 누워 있는 얼굴을 프리즘 베이스; 프리즘 표면에 속하는 면 - 옆면; 프리즘 표면의 가장자리 - 프리즘의 측면 갈비뼈. 이전 정리에 따라 프리즘의 밑면은 다음과 같습니다. 동일한 다각형. 프리즘의 모든 측면 - 평행사변형; 모든 측면 갈비뼈는 서로 동일합니다.
분명히, 프리즘의 밑면 ABCDE와 모서리 AA" 중 하나의 크기와 방향이 주어지면 모서리 BB", CC", ...를 모서리 AA"와 동일하고 평행하게 그려 프리즘을 구성하는 것이 가능합니다. .
정의 4 . 프리즘의 높이는 밑면 사이의 거리(HH")입니다.
정의 5
. 프리즘의 밑면이 프리즘 표면의 수직 단면인 경우 프리즘을 직선이라고 합니다. 이 경우 프리즘의 높이는 물론 옆갈비; 측면 가장자리는 직사각형.
프리즘은 측면의 개수에 따라 분류할 수 있으며, 같은 수기본 역할을 하는 다각형의 측면입니다. 따라서 프리즘은 삼각형, 사각형, 오각형 등이 될 수 있습니다.
정리 2
. 프리즘의 측면 표면적은 측면 가장자리와 수직 단면의 둘레의 곱과 같습니다.
ABCDEA"B"C"D"E" - 이 프리즘 abcde는 수직 단면이므로 세그먼트 ab, bc, ..는 측면 모서리에 수직입니다. 면 ABA"B"는 평행사변형입니다. 그 면적은 밑면 AA"와 ab와 일치하는 높이의 곱과 같습니다. 면 BCB"C"의 면적은 밑면 BB"와 높이 bc의 곱과 같습니다. 결과적으로 , 측면(즉, 측면 면적의 합)은 제품 측면 가장자리와 같습니다. 즉, 합계 ab+bc에 대해 세그먼트 AA", BB", ..의 전체 길이입니다. +CD+DE+EA.