블라디미르 2002
블라디미르 주립대학교 일반 및 응용물리학과
소개
적분 기호는 1675년에 도입되었으며, 적분 계산에 관한 문제는 1696년부터 연구되었습니다. 적분은 주로 수학자에 의해 연구되지만 물리학자들도 이 과학에 기여했습니다. 미분 및 적분 미적분 없이는 물리학 공식이 거의 불가능합니다. 그러므로 나는 적분과 그 적용을 탐구하기로 결정했습니다.
적분학의 역사
적분 개념의 역사는 구적법을 찾는 문제와 밀접하게 연결되어 있습니다. 고대 그리스와 로마의 수학자들은 면적을 계산하기 위해 특정 평면 도형의 구적법 문제를 불렀습니다. 라틴어 콰드라투라(quadratura)는 “제곱하다”로 번역됩니다. 특별한 용어의 필요성은 고대(그리고 이후 18세기까지)에는 실수에 대한 아이디어가 아직 충분히 개발되지 않았다는 사실로 설명됩니다. 수학자들은 곱할 수 없는 기하학적 유사성 또는 스칼라 수량을 사용하여 작업했습니다. 따라서 영역을 찾는 문제는 예를 들어 "주어진 원과 크기가 같은 정사각형을 구성합니다."와 같이 공식화되어야 했습니다. ('원의 제곱에 관한' 이 고전적인 문제는 알려진 바와 같이 나침반과 자를 사용하여 해결할 수 없습니다.)
기호 ò는 라이프니츠(1675)에 의해 도입되었습니다. 이 기호는 라틴 문자 S(단어 summ a의 첫 글자)를 변형한 것입니다. 적분이라는 단어 자체는 J. Bernulli(1690)에 의해 만들어졌습니다.
이는 아마도 이전 상태로 가져오다, 복원하다로 번역되는 라틴어 인테그로(integro)에서 유래했을 것입니다. (실제로 적분 연산은 미분을 통해 피적분 함수를 "복원"합니다.) 아마도 적분이라는 용어의 유래는 다를 것입니다. 정수라는 단어는 전체를 의미합니다.
적분법과 관련된 다른 잘 알려진 용어는 훨씬 나중에 나타났습니다. 현재 사용 중인 "원시 함수"라는 이름은 Lagrange(1797)가 도입한 이전의 "원시 함수"를 대체했습니다. 라틴어 primitivus는 "초기"로 번역됩니다. F(x) = ò f(x)dx - 미분을 통해 F(x)에서 얻은 f(x)에 대한 초기(또는 원본 또는 원시)입니다.
현대 문헌에서는 함수 f(x)에 대한 모든 역도함수 집합을 부정적분이라고도 합니다. 이 개념은 라이프니츠에 의해 강조되었는데, 그는 모든 역도함수는 임의의 상수에 따라 다르다는 점을 발견했습니다. 비
정적분이라고 합니다(이 명칭은 C. Fourier(1768-1830)에 의해 도입되었지만 적분의 한계는 이미 오일러에 의해 표시되었습니다).
평면 도형의 구적법(즉, 면적 계산)과 신체의 입방체(부피 계산)를 찾는 문제를 해결하는 데 있어 고대 그리스 수학자들이 이룬 많은 중요한 업적은 Cnidus의 Eudoxus가 제안한 소진 방법의 사용과 관련이 있습니다. .408-기원전 355년.e.) 예를 들어, Eudoxus는 이 방법을 사용하여 두 원의 면적이 지름의 제곱과 관련이 있으며 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 동일한 원통 부피의 1/3과 같다는 것을 증명했습니다.
Eudoxus의 방법은 아르키메데스에 의해 개선되었습니다. 아르키메데스의 방법을 특징짓는 주요 단계: 1) 원의 면적은 주변에 설명된 정다각형의 면적보다 작지만 모든 내접면적보다 크다는 것이 증명되었습니다. 2) 변의 수를 무제한으로 두 배로 늘리면 이러한 다각형 영역의 차이가 0이 되는 경향이 있음이 입증되었습니다. 3) 원의 면적을 계산하려면 정다각형의 변의 수를 무제한으로 두 배로 늘렸을 때 면적의 비율이 어느 정도 되는 값을 찾아야 합니다.
탈진 방법과 기타 여러 가지 독창적인 고려 사항(역학 모델 사용 포함)을 사용하여 아르키메데스는 많은 문제를 해결했습니다. 그는 숫자 p(3.10/71)에 대한 추정치를 제시했습니다.
아르키메데스는 적분학의 많은 아이디어를 예상했습니다. (실제로 극한에 관한 첫 번째 정리는 그에 의해 증명되었다고 덧붙입니다.) 그러나 이러한 아이디어가 명확하게 표현되고 미적분학 수준에 도달하기까지는 1500년 이상이 걸렸습니다.
많은 새로운 결과를 얻은 17세기 수학자들은 아르키메데스의 작품에서 배웠습니다. 또 다른 방법, 즉 고대 그리스에서 시작된 분할 불가능 방법도 적극적으로 사용되었습니다(주로 데모크리토스의 원자론적 견해와 관련됨). 예를 들어, 그들은 길이 f(x)의 수직 세그먼트로 구성된 곡선 사다리꼴(그림 1, a)을 상상했지만 그럼에도 불구하고 극소 값 f(x)dx와 동일한 영역을 할당했습니다. 이러한 이해에 따라 필요한 면적은 합계와 동일한 것으로 간주되었습니다.
무한히 많은 수의 무한히 작은 영역. 때로는 이 합계의 개별 항이 0이지만 무한한 수에 더해지면 잘 정의된 양의 합계를 제공하는 특수한 종류의 0이라는 점도 강조되었습니다.
J. Kepler(1571-1630)는 그의 저서 "New Astronomy"에서 지금은 적어도 모호해 보이는 근거를 가지고 있습니다.
(1609) 및 "와인 통의 입체 측정"(1615)은 여러 면적(예: 타원으로 둘러싸인 도형의 면적)과 부피(몸체가 6개의 유한 얇은 판으로 절단됨)를 정확하게 계산했습니다. 이러한 연구는 이탈리아 수학자 B. Cavalieri(1598-1647)와 E. Torricelli(1608-1647)에 의해 계속되었습니다. B. Cavalieri가 공식화하고 몇 가지 추가 가정을 통해 도입한 원칙은 우리 시대에도 그 중요성을 유지하고 있습니다.
그림 1,b에 표시된 그림의 영역을 찾아야 합니다. 여기서 위와 아래의 그림을 경계하는 곡선은 방정식 y = f(x) 및 y=f(x)+c를 갖습니다.
Cavalieri의 용어로 무한히 얇은 기둥으로 구성된 "분할할 수 없는" 도형을 상상해 보면 모두 전체 길이가 c임을 알 수 있습니다. 수직 방향으로 이동하면 밑면이 b-a이고 높이가 c인 직사각형으로 만들 수 있습니다. 따라서 필요한 면적은 결과 직사각형의 면적과 같습니다.
S = S1 = c(b – a).
평면 도형의 영역에 대한 Cavalieri의 일반 원리는 다음과 같이 공식화됩니다. 특정 평행선 연필의 선이 동일한 길이의 세그먼트를 따라 도형 Ф1 및 Ф2와 교차하도록 합니다(그림 1c). 그러면 그림 F1과 F2의 면적은 동일합니다.
유사한 원리가 입체 측정에서 작동하며 볼륨을 찾는 데 유용합니다.
17세기에 적분법과 관련된 많은 발견이 이루어졌습니다. 따라서 P. Fermat는 이미 1629년에 모든 곡선 y = xn의 구적법 문제를 풀었습니다. 여기서 n은 정수입니다(즉, 그는 본질적으로 공식 ò xndx = (1/n+1)xn+1을 도출했습니다). 이를 바탕으로 무게 중심을 찾는 일련의 문제를 해결했습니다. I. 케플러는 그의 유명한 행성 운동 법칙을 추론할 때 실제로 근사 적분 개념에 의존했습니다. 뉴턴의 스승인 I. Barrow(1630-1677)는 통합과 차별화 사이의 연관성을 거의 이해하는 데 이르렀습니다. 멱급수 형태로 함수를 표현하는 작업은 매우 중요했습니다.
그러나 17세기의 매우 창의적인 수학자들이 얻은 결과의 중요성에도 불구하고 미적분학은 아직 존재하지 않았습니다. 많은 특정 문제의 해결에 기초가 되는 일반적인 아이디어를 강조하고, 상당히 일반적인 알고리즘을 제공하는 차별화와 통합 작업 간의 연결을 설정하는 것이 필요했습니다. 이것은 뉴턴-라이프니츠 공식으로 알려진 사실을 독립적으로 발견한 뉴턴과 라이프니츠에 의해 이루어졌습니다. 그리하여 최종적으로 일반적인 방법이 형성되었다. 그는 여전히 많은 함수의 역도함수를 찾고, 새로운 논리 미적분학을 제공하는 방법을 배워야 했습니다. 그러나 가장 중요한 일은 이미 완료되었습니다. 미분 및 적분 미적분학이 만들어졌습니다.
수학적 분석 방법은 다음 세기에 활발히 발전했습니다 (우선 초등 함수 통합에 대한 체계적인 연구를 마친 L. Euler와 I. Bernoulli의 이름을 언급해야합니다). 러시아 수학자 M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894)가 적분 계산에 참여했습니다. 특히 기본 함수를 통해 표현될 수 없는 적분이 있음을 증명한 체비쇼프의 결과가 근본적으로 중요했습니다.
통합 이론의 엄격한 제시는 지난 세기에만 나타났습니다. 이 문제에 대한 해결책은 가장 위대한 수학자 중 한 명인 O. Cauchy, 독일 과학자 B. Riemann (1826-1866), 프랑스 수학자 G. Darboux (1842-1917)의 이름과 관련이 있습니다.
면적 및 수치의 존재와 관련된 많은 질문에 대한 답은 C. Jordan(1838-1922)의 측정 이론을 창안하여 얻었습니다.
이미 금세기 초에 프랑스 수학자 A. Lebesgue(1875-1941)와 A. Denjoy(1884-1974)가 소련 수학자 A. Khinchinchin(1894-1894-1974)과 함께 적분 개념에 대한 다양한 일반화를 제안했습니다. 1959).
적분의 정의와 속성
F(x)가 구간 J에서 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 경우 이 구간의 역도함수는 F(x)+C 형식을 갖습니다. 여기서 CОR입니다.
정의. 구간 J에서 함수 f(x)의 모든 역도함수 집합을 이 구간에서 함수 f(x)의 정적분이라고 하며 ò f(x)dx로 표시합니다.
ò f(x)dx = F(x)+C, 여기서 F(x)는 구간 J에 대한 역도함수입니다.
f – 적분 함수, f(x) – 적분 표현식, x – 적분 변수, C – 적분 상수.
부정 적분의 속성.
(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx ,
ò f(x)dx = F(x)+C, 여기서 F ¢(x) = f(x)
(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)
ò f ¢(x)dx = f(x)+C – 정의에서 따옴.
ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx
k가 상수이고 F ¢(x)=f(x)인 경우,
ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =
= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, 여기서 C=C1+C2+C3+...+Cn.
완성
표 형식 방법.
대체 방법.
피적분 함수가 테이블 적분이 아닌 경우 이 방법을 적용하는 것이 (항상 그런 것은 아님) 가능합니다. 이렇게 하려면 다음이 필요합니다.
피적분 함수를 두 가지 요소로 나눕니다.
새로운 변수의 요인 중 하나를 지정합니다.
새로운 변수를 통해 두 번째 요소를 표현합니다.
적분을 구성하고 그 값을 찾아 역치환을 수행합니다.
참고: 새 변수를 나머지 표현식과 연결된 함수로 지정하는 것이 좋습니다.
1. xÖ(3x2–1)dx;
3x2–1=t (t³0)라고 하고 양변의 미분을 구합니다.
ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø
ô- t 2 = - ô t 2dt = – ---– + C = -Ö 3x2–1 +C
ò 죄 x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C
cos x = t라고 하자
피적분함수를 합이나 차이로 변환하는 방법:
ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C
ó x4+3x2+1 ó 1 1
ô---- dx = ô(x2+2 – ---–) dx = - x2 + 2x – 아크탄 x + C
õ x2+1 õ x2+1 3
참고: 이 예제를 풀 때는 "각도"로 다항식을 만드는 것이 좋습니다.
부분적으로
주어진 형식에서 적분을 취하는 것이 불가능하지만 동시에 한 요소의 역도함수와 다른 요소의 도함수를 찾는 것이 매우 쉬운 경우 공식을 사용할 수 있습니다.
(유(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)
유^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)
양쪽을 통합하자
ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx
ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx
ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C
곡선 사다리꼴
정의. 연속적인 상수 부호 함수 f(x), 가로축 및 직선 x=a, x=b의 그래프로 둘러싸인 도형을 곡선 사다리꼴이라고 합니다.
곡선 사다리꼴의 면적을 구하는 방법
정리. f(x)가 세그먼트에서 연속적이고 음이 아닌 함수인 경우 해당 곡선 사다리꼴의 면적은 역도함수의 증가분과 같습니다.
주어진: f(x) – 연속 indef. 기능, xО.
증명: S = F(b) – F(a), 여기서 F(x)는 f(x)의 역도함수입니다.
증거:
S(a)가 f(x)의 역도함수임을 증명해 보겠습니다.
D(f) = D(S) =
S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), Dx®0 DS – 직사각형
측면 Dx 및 f(x0)가 있는 Dx®0
S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): 왜냐하면 x0은 점이고 S(x) –
Dx®0 Dx®0은 f(x)의 역도함수입니다.
그러므로 역도함수의 일반형에 관한 정리에 따르면 S(x)=F(x)+C가 됩니다.
왜냐하면 S(a)=0이면 S(a) = F(a)+C
S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)
이 합의 극한을 정적분이라고 합니다.
한계 이하의 합을 적분합이라고 합니다.
정적분은 n®\ 구간의 적분합의 극한입니다. 적분합은 이 간격의 임의 지점에서 함수 정의 영역을 나누어 얻은 세그먼트 길이의 곱의 합의 극한으로 구해집니다.
a는 적분의 하한입니다.
b - 상단.
뉴턴-라이프니츠 공식.
곡선 사다리꼴 영역의 공식을 비교하여 다음과 같은 결론을 내립니다.
F가 b on 에 대한 역도함수라면,
ò f(x)dx = F(b)–F(a)
ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)
정적분의 속성.
ò f(x)dx = ò f(z)dz
ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0
ò f(x)dx = – ò f(x)dx
ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))
a, b 및 c가 연속 함수 f(x)가 역도함수를 갖는 구간 I의 임의의 점인 경우,
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx
F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)
(이것은 정적분의 가산성 속성입니다)
l과 m이 일정한 양이라면,
ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –
는 정적분의 선형성 속성입니다.
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –
– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =
F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=
= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
표준 사진 세트
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S=ò f(x)dx + ò g(x)dx |
적분의 적용
I. 물리학에서.
힘의 작용(A=FScosa, cosa no. 1)
입자에 힘 F가 작용하면 운동 에너지는 일정하게 유지되지 않습니다. 이 경우에 따르면
시간 dt에 따른 입자의 운동 에너지 증가는 스칼라 곱 Fds와 같습니다. 여기서 ds는 시간 dt에 따른 입자의 움직임입니다. 크기
힘 F가 한 일이라고 한다.
점이 힘의 영향을 받아 OX 축을 따라 이동한다고 가정하면, OX 축에 대한 투영은 함수입니다. f(x) (f는 연속 함수입니다). 힘의 영향으로 점이 S1(a)에서 S2(b)로 이동했습니다. 세그먼트를 동일한 길이의 n 세그먼트로 나눕니다. Dx = (b – a)/n. 힘이 한 일은 결과 세그먼트에 힘이 한 일의 합과 같습니다. 왜냐하면 f(x)는 연속적이므로 작은 경우 이 부분에 힘이 한 일은 f(a)(x1–a)와 같습니다. 마찬가지로, 두 번째 세그먼트 f(x1)(x2–x1), n 번째 세그먼트 - f(xn–1)(b–xn–1). 따라서 작업은 다음과 같습니다.
A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))
대략적인 동등성은 n®\로 정확해집니다.
A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx(정의에 따라)
강성이 C이고 길이가 l인 스프링을 길이의 절반으로 압축한다고 가정합니다. 힘 –F(s)가 압축되는 동안 스프링의 탄성에 의해 수행된 일 A와 동일한 위치 에너지 Ep의 값을 결정한 다음,
Ep = A= – ò (–F(s)) dx
역학 과정에서 F(s) = –Cs로 알려져 있습니다.
여기에서 우리는 찾습니다
Ep= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4
답: Cl2/8.
질량 중심 좌표
질량 중심은 신체의 모든 공간 배열에 대해 중력의 합력이 통과하는 지점입니다.
재료가 균질한 판 o가 곡선 사다리꼴 모양(x;y |a£x£b; 0£y£f(x))이고 함수 y=f(x)가 에서 연속이라고 가정하면 면적은 이 곡선 사다리꼴은 S와 같고 중심 좌표는 다음 공식을 사용하여 판 o의 질량을 구합니다.
x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;
질량 중심
반지름이 R인 균일한 반원의 질량중심을 구합니다.
OXY 좌표계에서 반원을 그려보겠습니다.
y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =
= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p
답: M(0; 4R/3p)
물질점이 이동한 경로
물질 점이 속도 u=u(t)로 직선으로 이동하고 시간 T= t2–t1(t2>t1) 동안 경로 S를 통과한 경우
기하학에서
볼륨은 공간체의 양적 특성입니다. 모서리가 1mm(1di, 1m 등)인 입방체를 부피 측정 단위로 사용합니다.
주어진 몸체에 놓인 단위 부피의 큐브 수는 몸체의 부피입니다.
볼륨의 공리:
볼륨은 음수가 아닌 수량입니다.
물체의 부피는 그것을 구성하는 물체의 부피의 합과 같습니다.
부피 계산 공식을 찾아보겠습니다.
이 몸체의 위치 방향으로 OX 축을 선택하십시오.
OX를 기준으로 신체 위치의 경계를 결정합니다.
다음 대응 관계를 지정하는 보조 함수 S(x)를 소개합니다. 세그먼트의 각 x에 대해 이 그림의 단면적을 OX 축에 수직인 주어진 점 x를 통과하는 평면과 연관시킵니다.
세그먼트를 n개의 동일한 부분으로 나누고 파티션의 각 지점을 통해 OX 축에 수직인 평면을 그리면 신체가 여러 부분으로 나뉩니다. 공리에 따르면
V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
Dx®0, Sk®Sk+1, 인접한 두 평면 사이에 둘러싸인 부품의 부피는 원통의 부피 Vc=SmainH와 같습니다.
우리는 분할 단계별로 분할 지점에서 함수 값의 곱의 합을 얻습니다. 즉, 적분합. 정적분의 정의에 따라, 이 합의 n®\의 극한을 적분 a라고 합니다.
V= ò S(x)dx, 여기서 S(x)는 통과하는 평면의 단면입니다.
b OX 축에 수직인 선택된 점.
필요한 볼륨을 찾으려면:
1). 편리한 방법으로 OX 축을 선택하십시오.
2). 축을 기준으로 이 몸체 위치의 경계를 결정합니다.
3). OX 축에 수직이고 해당 점을 통과하는 평면을 사용하여 이 몸체의 단면을 구성합니다.
4). 주어진 단면의 면적을 표현하는 함수를 알려진 수량으로 표현합니다.
5). 적분을 구성합니다.
6). 적분을 계산한 후 부피를 구합니다.
회전 수치의 양
일부 축을 기준으로 평면 도형을 회전하여 얻은 몸체를 회전 도형이라고 합니다.
회전 도형의 함수 S(x)는 원입니다.
S초(x)=p f 2(x)
평면 커브의 호 길이
세그먼트의 함수 y = f(x)가 연속 도함수 y^ = f ^(x)를 갖는다고 가정합니다. 이 경우 함수 y = f(x), xО 그래프의 "조각"의 호 길이 l은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
l = ò Ö(1+f^(x)2)dx
참고자료
M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburd, "대수학 및 수학적 분석", 모스크바, 1993.
"수학적 분석에 관한 문제 모음", 모스크바, 1996.
I.V. Savelyev, "일반 물리학 과정", 1권, 모스크바, 1982.
이 작업을 준비하기 위해 웹 사이트 http://referatovbank.ru/의 자료가 사용되었습니다.
적분을 푸는 것은 쉬운 일이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 글은 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 아무것도 모르거나 거의 모르는 사람들을 위한 것입니다. 일체형... 왜 필요한가요? 어떻게 계산하나요? 정적분과 부정적분은 무엇인가요? 당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 후크를 사용하여 접근하기 어려운 곳에서 유용한 것을 얻는 것이라면 환영합니다! 적분을 푸는 방법과 적분 없이는 할 수 없는 이유를 알아보세요.
우리는 "적분"의 개념을 연구합니다
통합은 고대 이집트에서도 알려졌습니다. 물론 현대적인 형태는 아니지만 여전히 그렇습니다. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 관해 많은 책을 썼습니다. 특히 두각을 나타내는 뉴턴 그리고 라이프니츠 , 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다. 적분을 처음부터 이해하는 방법은 무엇입니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 수학적 분석의 기본에 대한 기본 지식이 필요합니다. 우리 블로그에는 적분을 이해하는 데 필요한 에 대한 정보가 이미 나와 있습니다.
부정 적분
어떤 기능을 해보자 에프엑스(f(x)) .
부정 적분 함수 에프엑스(f(x)) 이 함수는 호출됩니다 에프엑스(F(x)) , 그 파생물은 다음 함수와 같습니다. 에프엑스(f(x)) .
즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽어보십시오.
모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한, 상수만큼 다른 함수의 도함수가 일치하기 때문에 역도함수에 상수 부호가 추가되는 경우가 많습니다. 적분을 구하는 과정을 적분이라고 합니다.
간단한 예:
기본 함수의 역도함수를 지속적으로 계산하지 않으려면 이를 테이블에 넣어서 기성 값을 사용하는 것이 편리합니다.
학생들을 위한 전체 적분표
정적분
적분의 개념을 다룰 때 우리는 무한한 양을 다루고 있습니다. 적분은 그림의 면적, 균일하지 않은 몸체의 질량, 고르지 않은 움직임 동안 이동한 거리 등을 계산하는 데 도움이 됩니다. 적분은 무한히 많은 수의 극미한 항의 합이라는 것을 기억해야 합니다.
예를 들어, 어떤 함수의 그래프를 상상해 보세요. 함수 그래프로 둘러싸인 그림의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까?
적분을 사용합니다! 좌표축과 함수 그래프에 의해 제한되는 곡선 사다리꼴을 무한소 세그먼트로 나누어 보겠습니다. 이렇게 하면 그림이 얇은 기둥으로 나누어집니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 더 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 될 정도로 길이를 줄이면 세그먼트 면적의 합이 그림의 면적과 비슷해집니다. 이것은 다음과 같이 작성된 명확한 적분입니다.
점 a와 b를 적분 한계라고 합니다.
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인형의 적분 계산 규칙
부정 적분의 속성
부정 적분을 푸는 방법은 무엇입니까? 여기에서는 예제를 풀 때 유용할 부정적분의 속성을 살펴보겠습니다.
- 적분의 도함수는 피적분 함수와 같습니다.
- 상수는 적분 부호 아래에서 꺼낼 수 있습니다.
- 합의 적분은 적분의 합과 같습니다. 이는 차이점에도 해당됩니다.
정적분의 속성
- 선형성:
- 적분 한계가 바뀌면 적분의 부호가 변경됩니다.
- ~에 어느전철기 에이, 비그리고 와 함께:
우리는 정적분이 합의 극한이라는 것을 이미 알아냈습니다. 하지만 예제를 풀 때 특정 값을 얻는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.
적분 풀이의 예
아래에서는 부정 적분을 구하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 솔루션의 복잡성을 직접 파악하고, 불분명한 부분이 있으면 댓글로 질문해 주시기 바랍니다.
자료를 강화하려면 실제로 적분이 어떻게 해결되는지에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 즉시 제공되지 않더라도 절망하지 마십시오. 학생을 위한 전문 서비스에 문의하세요. 닫힌 표면 위의 삼중 또는 곡선 일체형은 귀하의 권한 내에 있습니다.
고멜시 교육부
집행위원회
주립 교육 기관
"고멜 71번 체육관"
경쟁 작품
“MATLab의 물리적 및 기하학적 문제를 해결하기 위한 미적분 및 미적분학 적용”
출연자: 오레호바 크세니아 이바노브나,
9B학년 학생
머리: Gorsky Sergey Mikhailovich,
컴퓨터 과학 교사
주립 교육 기관
"고멜 71번 체육관"
소개
1. 적분과 미분의 역사
2. 물리학의 미분
3. 역학 및 물리학의 일부 문제를 해결하기 위한 정적분의 적용
4. 미분방정식
5. MATLAB에서의 문제 해결 사례
사용된 소스 목록
소개
선택 과정 "물리적 및 기하학적 문제를 해결하기 위한 미분 및 적분 미적분학의 응용"은 기하학 문제를 해결하기 위해 이 수학 섹션의 방법을 사용하여 자료의 실제 적용 범위를 기반으로 한 수학적 분석 과정을 연구하는 것을 목표로 합니다. 그리고 물리학; 뿐만 아니라 컴퓨터에서 이러한 작업을 구현합니다(MATLAB 패키지 사용).
결과적으로 선택 과목의 주제와 목적에 대한 방대하고 비특이적 인 공식화를 통해 학교에서 구현할 수 있다고 말할 수 있습니다. 학교 대수학 및 분석 과정에서 "물리적 및 기하학적 문제를 해결하기 위한 미분 및 적분 미적분학의 응용" 과정은 정적분을 연구하는 것을 목표로 합니다.
학교 수학 과정에서 주제의 위치 .
선택 과목인 "물리적 및 기하학적 문제를 해결하기 위한 적분학의 응용"은 11학년의 대수학 및 기초 분석 과목의 내용을 심화시키고 학교 수학 과목에 포함된 주제에 대한 자료를 실질적으로 통합할 수 있는 기회를 보여줍니다. 대수학의 "함수 미분", "정적분" 주제, 기하학 및 물리학의 일부 주제가 있습니다. 결과적으로, 이 선택 과목은 대수학, 수학적 분석과 기하학, 컴퓨터 과학, 물리학의 학제간 연결을 구현합니다.
기하학과 물리학의 기본 요소에 대한 대수학의 반영과 과학 지식에서 수학적 모델링의 역할에 대한 학생들의 올바른 아이디어 개발은 컴퓨터에서 다양한 수학적 문제를 해결하고 시각화하는 방법에 익숙해짐으로써 촉진됩니다. 선택 과정의 프레젠테이션은 수학 및 공학 계산 MATLAB 패키지 버전 6.1의 주요 기능을 기반으로 하며, 이는 이제 많은 대학에서 고등 수학, 수치 분석 및 기타 교육 과정 연구를 지원하는 표준 수단이 되었습니다. 학생들은 MATLAB 시스템 커널과 해당 확장 패키지인 SymbolicMathToolbox에서 제공하는 수치 및 기호 계산, 프로그래밍 및 결과 시각화의 기본 기능을 소개합니다.
선택과목의 기본 개념: 정적분, 곡선 길이, 면적, 회전면, 원통면, 몸체부피 등
선택 과정의 목표.
1. 교육적: "정확한 적분"이라는 주제에 대한 실질적인 강화를 수행하고, 학생들에게 수학 및 엔지니어링 계산 패키지인 MATLAB 6.1을 소개하고, 기하학, 컴퓨터 과학 및 물리학과 수학적 분석의 학제간 연결 구현을 보여줍니다.
2. 교육자:컴퓨터를 사용하여 어려운 문제를 해결하고 수학에 대한 심층적인 연구를 통해 세계관과 다양한 개인적 자질을 함양함으로써 학생들의 성공적인 직업적 자기 결정을 위한 조건을 조성합니다.
3. 발달:학생들의 지평을 넓히고, 수학적 사고를 개발하고, 주제에 대한 적극적인 인지적 관심을 형성하고, 학생들의 전문적 관심을 개발하고, 독립적이고 연구 능력을 개발하고, 학생들의 성찰을 개발합니다(향후 전문 활동에 필요한 성향과 능력에 대한 인식).
프로그램:
천체의 건설
t=-2*pi:pi/20:2*pi;
h=300; Figure("단위","픽셀","위치",
xlabel("x"); ylabel("y");
축([-3, 3, -3, 3]);
% 회전 표면
t=-2*pi:pi/20:2*pi;
메쉬그리드(t,v);
set(hFigure,"색상",);
set(hAxes,"색상",);
xlabel("x"); ylabel("y"); zlabel("z");
hPlot=플롯(X,Y);
set(hPlot,"LineWidth",5)
set(hPlot,"색상",)
작업 5. 극좌표에서 Bernoulli lemniscate를 구성합니다. 
.
프로그램:
p=0:pi/60:2*pi의 경우
2*a^2*cos(2*p)>=0인 경우
set(hFigure,"색상",);
hP=극(phi,r);
set(hP,"LineWidth",2);
결과(그림 17):
작업 6. MATLAB에서 수치 및 기호 계산을 사용하여 다음을 찾습니다. a) 정적분; b) 이중 적분; c) 표면 적분(1종).
a) 수치해석의 고전적인 문제는 정적분을 계산하는 문제입니다. 정적분을 계산하는 모든 방법 중에서 가장 간단하지만 동시에 매우 성공적으로 사용되는 방법은 사다리꼴 방법입니다. MATLAB은 이 방법에 대한 함수인 Trapz(x,y)를 제공합니다(edit Trapz 명령을 사용하면 이 함수의 텍스트를 표시할 수 있습니다). 1차원 배열 x(벡터)에는 피적분 함수에 대한 인수의 이산 값이 포함됩니다. 이들 지점의 피적분함수 값은 1차원 배열 y에 집중되어 있습니다. 대부분의 경우 통합을 위해 균일한 그리드가 선택됩니다. 즉, 배열 요소 x의 값이 동일한 양(통합 단계)만큼 서로 간격을 두고 있습니다. 적분 계산의 정확도는 적분 단계의 크기에 따라 달라집니다. 이 단계가 작을수록 정확도는 높아집니다.
작업 7. 다양한 적분 단계를 통해 사다리꼴 방법을 사용하여 적분을 계산합니다(소수점 이하 14자리를 관찰하려면 먼저 formatlong 명령을 입력하고 실행해야 합니다).
프로그램: 결과:
함수t=trap(dx)
y=sin(x).*exp(-x);
t=trapz(x,y); >> 긴 형식
ans = 0.42255394026468
>> 함정(0.1)
ans = 0.50144886299125
>> 함정(0.01)
ans = 0.50226667654901
>> 트랩(0.001)
ans = 0.50227485744814
사다리꼴 방법은 매우 다양한 방법이며 너무 매끄럽지 않은 기능을 통합하는 데 매우 적합합니다. 적분 기호 아래의 함수가 매끄럽다면(여러 1차 도함수가 존재하고 연속적임) 정확도가 더 높은 적분 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 동일한 통합 단계에서 정확도가 높은 방법을 사용하면 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
MATLAB 시스템에서는 쿼드(심슨 방법) 및 쿼드8(8차 정확도의 뉴턴-코트 방법) 함수에 의해 더 높은 정확도의 적분 방법이 구현됩니다. 이 두 가지 방법 모두 또한 적응형. 후자는 사용자가 서로 다른 통합 단계에 해당하는 연속 값을 비교하여 결과의 정확도를 제어할 필요가 없음을 의미합니다. 이러한 모든 기능은 독립적으로 수행됩니다.
Quad8 함수는 쿼드 함수에 비해 정확도가 더 높으며, 이는 더 큰 통합 단계(감소 감소)로 결과의 더 높은 정확도를 제공하므로 부드러운 함수에 매우 좋습니다. 그러나 쿼드 함수는 너무 매끄럽지 않은 함수의 경우 그 이상이거나 더 빠를 수 없습니다(2차 또는 3차 도함수는 불연속적이거나 절대값이 큽니다). 어쨌든 기본적으로 이 두 함수는 모두 0.001과 동일한 결과의 상대 정확도를 제공합니다.
MATLAB 시스템의 다른 많은 함수와 마찬가지로, 쿼드 및 쿼드8 함수는 서로 다른 수의 매개변수를 사용할 수 있습니다. 이러한 함수를 호출하기 위한 최소 형식에는 피적분자 이름, 적분 하한 및 적분 상한의 세 가지 매개변수가 포함됩니다. 네 번째 매개변수를 사용하는 경우 이는 계산 결과에 필요한 상대 정확도입니다. 그런데 이러한 적응 함수 모두 필요한 정확도(발산 또는 적분에 가까운)를 제공할 수 없는 경우 기호 무한대 Inf를 반환합니다.
기호 방법을 사용하여 정적분을 계산하려면 직접 또는 단계적으로(기호 숫자 대체) 두 가지 해법 옵션을 사용할 수 있습니다.
작업 8. 정적분을 계산합니다.
프로그램: 결과:
a1=sym("0"); b1=sym("2");
% 방법 1: 기호 숫자 대체 작업
기호=int(w,"t",a,b)
Symbol2a=subs(기호,,)
숫자=vpa(symbol2a)
% 방법 2: 기호 숫자로 작업하기
기호2b=int(w,"t",a1,b1) 기호 =
2.6666666666666666667
문제 9. 별을 축을 중심으로 회전시켜 얻은 표면적을 계산하십시오. 황소
: 
. (작업 2에서 시각화된 표면) .
프로그램: 결과:
t1=sym("0"); t2=sym("pi/2"); a=sym("1");
x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;
f=y.*sqrt(차이(x)^2+차이(y)^2);
기호=단순화(int(4*pi*f,"t",t1,t2))
숫자=vpa(기호) 기호 =
b) 이중 적분은 반복 정적분의 계산으로 축소되며, 그 중 하나는 내부이고 다른 하나는 외부입니다. 내부 적분은 외부 적분의 피적분입니다. 수치 계산의 경우 피적분 함수의 반복 계산이 쿼드 함수에 대한 여러 호출로 축소되는 일부 계산 체인을 작성하는 것이 가능합니다. 그러나 MATLAB에는 이를 위한 특수 기능인 dblquad가 있으므로 이 작업을 직접 수행할 필요는 없습니다.
문제 8. 적분 계산 
, 어디 .
프로그램:
결과:
함수 z=fof(x,y)
z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> 긴 형식
>> dblquad("fof",0,1,1,2)
1.16777110966887
문제 9. 기호 계산을 사용하여 다음 적분을 구하십시오. 
, 
, 
, 
, 
, 어디 .
프로그램:
z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");
i2=int(z,"x",0,1)
i3=int(int(z,"x"),"y")
i4=int(int(z,"x",1,2),"y",0,1)
i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =
1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)
1/2*sin(y)-y*cos(1)+y
1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)
1/2*cos(2)-cos(1)+3/2
기호 계산은 계산 방법에 오류가 발생하지 않고 그 자체가 더 정확하므로 dblquad 함수를 사용하면 소수점 7자리까지 정확한 결과를 제공하는 것을 확인할 수 있습니다.
c) 다른 많은 유형의 적분, 예를 들어 1종 표면 적분은 정적분과 이중 적분으로 축소될 수 있다는 것이 고등 수학을 통해 알려져 있습니다. 그것을 찾으려면 적분 기호 아래의 미분을 사용하므로 수치 계산을 사용하는 것은 올바르지 않습니다.
문제 10. 제1종 표면 적분을 계산합니다. 에스– 첫 번째 팔분원에 있는 평면의 일부(정리 2에 따름).
프로그램: 결과:
재미=잠수(f2,z,f1)
d=1+차이(f1,x)^2+차이(f1,y)^2
심스 x1 x2 y1 y2
intpov1=int(int(fun*sqrt(d),"y",y1,y2),"x",x1,x2)
번호=vpa(intpov1) 재미 =
문제 11. 제1종 곡면적분 계산하기 
, 어디 에스- 구 
(정리 3에 의함)
먼저 통합이 발생하는 표면을 설명하는 함수를 만들어 보겠습니다.
함수 =pov;
기호 x y z u v a
x=a*sin(u)*cos(v);
y=a*sin(u)*sin(v);
프로그램:
기호 x y z u v a
f=sym("x^2+y^2");
E=diff(x0,"u")^2+diff(y0,"u")^2+diff(z0,"u")^2;
G=차이(x0,"v")^2+차이(y0,"v")^2+차이(z0,"v")^2;
F=차이(x0,"u")*차이(x0,"v")+차이(y0,"u")*
diff(y0,"v")+diff(z0,"u")*diff(z0,"v");
W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);
심스 u1 u2 v1 v2
intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)
intpov2=단순화(intpov)
번호=vpa(intpov2)
int=subs(intpov2,a,b) intpov =
4/3*a^2*파이*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)
8/3*a^4*pi*csgn(a^2)
8.377580412*a^4*csgn(a^2)
메모. csgn 함수는 MATLAB에만 해당됩니다. 사용자가 입력할 수 없으며 단순화 함수(기호식 단순화)로 동작할 때만 발생합니다. 예를 들어:
>>syms a t
>> t=csgn(a^2)*a^2
정의되지 않은 함수 또는 변수 "csgn".
>> 단순화((a^4)^(1/2))
>> 단순화((a^8)^(1/4))
>> 단순화((a^9)^(1/3))
1. Anufriev, I.E. 튜토리얼 MatLab 5.3/6.x / I.E. Anufriev. - 상트페테르부르크: BHV-Petersburg, 2002. - 736 p.
2. 버먼, G.N. 수학적 분석 과정에 대한 문제 수집 / G.N. 버먼, I.G. 아라마노비치, A.F. Bermant et al. - M.: Nauka, 1966. - 456p.
3. 버만트, A.F. 대학생을 위한 수학적 분석 단기 강좌 / A.F. 버먼트, I.G. Aramanovic. - M .: Nauka, 1966. - 736 p.
4. Gultyaev, A. MatLab 환경의 시각적 모델링 / A. Gultyaev. - 상트페테르부르크: Peter, 2001. - 553 p.
5. 데미도비치, B.P. 대학을 위한 수학적 분석의 문제와 연습 / B.P. 데미도비치, G.S. 바라넨코프, V.A. Efimenko et al. - M.: Nauka, 1966. - 472 p.
6. 라자레프, Yu.F. MatLab 5.x / Yu.F. 라자레프. - 키예프: BHV, 2000. - 388p.
7. Martynov, N.N. Matlab 5.x: 계산, 시각화, 프로그래밍 / N.N. 마르티노프, A.P. Ivanov. - M .: KUDITS-OBRAZ, 2000. - 336 p.
8. 쿠린노이, G.Ch. 수학: 핸드북 / G.Ch. 닭. - Kharkov: 폴리오; 로스토프나도누: 피닉스, 1997. - 463p.
9. 피스쿠노프, NS 대학을 위한 미적분 및 미적분학 2권 / N.S. Piskunov. - M .: Nauka, 1966. - 2 권 - 312 p.
10. Fikhtengolts, G.M. 3권으로 구성된 미분 및 적분 과정 / G.M. Fichtenholtz. - M.: 물리 및 수학 문학 국영 출판사, 1959. - vol.
11. 웹사이트 http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru.
그리고 물리 문제 해결을 위한 적분 미적분”은 수학적 분석을 바탕으로 한 물리학 과정을 공부하는 것을 목표로 합니다.
이 과정은 10학년과 11학년의 대수학 및 분석 과정의 내용을 심화시키고 학교 물리학 과정에 포함된 주제에 대한 자료를 실제로 통합할 수 있는 기회를 보여줍니다. 물리학의 "역학", "정전기학", "열역학" 주제와 대수학 및 분석의 시작 주제가 있습니다. 결과적으로 이 선택 과목은 대수학, 수학적 분석과 물리학의 학제간 연결을 구현합니다.
선택 과정의 목표.
1. 교육: "역학", "정전기학", "열역학" 주제에 대한 실질적인 강화를 수행하고 수학적 분석과 물리학 간의 학제간 연결 구현을 보여줍니다.
2. 교육: 물리학에 대한 심층적인 연구를 통해 어려운 문제를 해결하고 세계관과 다양한 개인적 자질을 함양함으로써 학생들의 성공적인 직업적 자기 결정을 위한 조건을 조성합니다.
3. 발달: 학생의 시야 확장, 수학적 사고 개발, 주제에 대한 적극적인 인지적 관심 형성, 학생의 전문적 관심 개발, 독립적이고 연구 기술 개발, 학생의 성찰 개발(향후 전문 활동에 필요한 성향 및 능력에 대한 인식) ).
수학적 도구를 사용하여 물리학 문제를 해결하는 예.
차등적용 역학의 일부 문제를 해결하기 위한 미적분학.
1. 직업.주어진 힘이 한 일을 구해보자 에프 축 세그먼트를 따라 이동할 때 엑스.힘이 들면 에프 일정하고 작동합니다. 에이제품과 동일 에프 경로의 길이 때문에. 힘이 변하면 이는 다음의 함수로 간주될 수 있습니다. 엑스:에프 = 에프(엑스). 작업 증분 에이세그먼트에 [엑스,엑스+ dx] 제품으로 정확하게 계산할 수 없습니다. 에프(엑스) dx, 이 부분에서 힘이 변하기 때문입니다. 그러나 작은 dx 힘이 약간 변하고 제품이 주요 부분을 나타낸다고 가정할 수 있습니다. 즉, 작업의 미분( 다 = = 에프(엑스) dx). 따라서 힘은 변위에 대한 작업의 파생물로 간주될 수 있습니다.
2. 요금.허락하다 큐 - 시간 동안 도체의 단면을 통해 전류에 의해 전달되는 전하 티. 현재 강도 /가 일정하면 시간이 지나면 dt 전류는 다음과 같은 전하를 운반합니다 모르겠어. / = /(/) 법칙에 따라 전류강도가 시간에 따라 변할 때, 나(티) dt 짧은 기간 동안 요금 증가의 주요 부분을 제공합니다 [ 티, 티+- dt], 즉 - 전하 차이는 다음과 같습니다. dq = 나(티) dt. 따라서 전류는 전하의 시간 미분입니다.
3. 얇은 막대의 질량.균일하지 않은 얇은 막대가 있다고 가정합니다. 그림과 같이 좌표를 입력하면 130, 다음 기능 t= t(1)- 한 지점에서 막대 조각의 질량 에 대한/를 가리킨다. 막대의 이질성은 선형 밀도가 일정하지 않고 점의 위치에 따라 달라지는 것을 의미합니다 / 일부 법칙 p = p(/)에 따르면. 막대의 작은 부분에 대해 밀도가 일정하고 p(/)와 같다고 가정하면 곱 p(/)d/는 질량 차이를 제공합니다. DM. 이는 선형 밀도가 길이에 대한 질량의 미분임을 의미합니다.
4. 열.물질이 가열되는 과정을 생각하고 열량을 계산해 봅시다 큐{ 티), 어떤 물질 1kg을 0°C에서 0°C로 가열하는 데 필요한 것입니다. 티.탐닉 큐= 큐(티) 매우 복잡하고 실험적으로 결정됩니다. 열용량이 있는 경우 와 함께이 물질은 온도에 의존하지 않았으며, 그 다음 생성물은 CDT 열량에 변화를 줄 것입니다. 작은 세그먼트에 의존 [ 티, 티+ dT] 열용량이 일정하므로 열의 미분량을 얻습니다. dQ = 기음(티) dT. 따라서 열용량은 온도에 대한 열의 미분입니다.
5. 다시 일하세요.일을 시간의 함수로 생각해보세요. 우리는 시간이 지남에 따라 속도를 결정하는 작업의 특성을 알고 있습니다. 이것이 바로 힘입니다. 일정한 전력으로 작동할 때 N시간에 맞춰 일하다 dt 같음 Ndt. 이 표현은 작업 차이를 나타냅니다. dA = N(티) dt, 그리고 권력은 시간과 관련하여 일의 파생물로 작용합니다.
주어진 모든 예는 물리학 과정에서 우리에게 친숙한 동일한 원리, 즉 일, 변위, 힘에 따라 구성되었습니다. 충전, 시간, 전류; 질량, 길이, 선형 밀도; 등등. 이 수량 중 하나가 다른 두 수량의 미분 사이의 비례 계수로 작용할 때마다, 즉 매번 dy = 형식의 관계가 발생합니다. 케이(엑스) dx. 이 관계는 가치를 결정하는 방법으로 볼 수 있습니다. 케이(엑스). 그 다음에 케이(엑스) 도함수로 발견(또는 정의)됩니다. ~에에 의해 엑스.우리는 각 예에서 이 결론을 기록했습니다. 질문의 역공식화도 가능합니다: 의존성을 찾는 방법 ~에~에서 엑스그들의 미분 사이의 주어진 관계로부터.
역학의 일부 문제를 해결하기 위해 정적분을 적용합니다.
1. 평면 곡선의 모멘트와 질량 중심. 곡선의 호가 방정식으로 주어지면 와이= 에프(엑스), 에이≤ 엑스≤ 비, 밀도를 갖는다 = (엑스) , 이 호의 정적 모멘트 MX그리고 나의좌표축을 기준으로 황소그리고 영형 y는 같다
https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">및 질량 중심의 좌표 및 - 공식에 따름 
어디 엘- 아크 질량, 즉
2. 육체적인 일. 물리적 문제를 해결하는 데 정적분을 적용하는 일부 방법이 아래 예에 설명되어 있습니다.
직선 신체 운동 속도공식(m/s)으로 표현됩니다. 동작이 시작된 후 5초 동안 몸이 이동한 경로를 찾아보세요.
몸으로 덮은 길은 속도( 티) 일정 기간 동안 적분으로 표현되면 다음과 같습니다. 
기계적 운동의 방정식.질량의 물질적 지점을 보자 티힘의 영향을 받아 움직인다 에프 축을 따라 엑스.나타내자 티 그 움직임의 시간, 그리고- 속도, 에이- 가속. 뉴턴의 제2법칙, 에이중 = 에프 가속도를 적으면 미분 방정식의 형태를 취하게 됩니다. 에이 2차 미분으로서: 에이= 엑스’’.
적분법은 적분, 그 속성, 계산 방법 및 적용을 연구하는 수학적 분석의 한 분야입니다. 미분 계산과 함께 수학적 분석 장치의 기초를 형성합니다.
일부 수학 기호의 유래 날짜
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의미 |
기호를 입력하면 해당 연도가 표시됩니다. |
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물체 표시 |
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무한대 |
J. 월리스 |
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원주 대 직경 비율 |
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의 제곱근 |
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알 수 없거나 가변적인 양 |
R. 데카르트 |
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작동 징후 |
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덧셈 |
독일의 수학자 |
15세기 말 |
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빼기 |
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곱셈 |
W. 오트레드 |
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곱셈 |
G. 라이프니츠 |
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G. 라이프니츠 |
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R. 데카르트 |
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X. 루돌프 |
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로그 |
I. 케플러 |
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B. 카발리에리 |
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아크사인 |
J. 라그랑주 |
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미분 |
G. 라이프니츠 |
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완전한 |
G. 라이프니츠 |
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유도체 |
G. 라이프니츠 |
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정적분 |
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계승 |
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W. 해밀턴 많은 수학자 |
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I. 베르누이 |
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관계 징후 |
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평등 |
R. 레코드 |
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T. 개리엇 |
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비교 가능성 |
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병행 |
W. 오트레드 |
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수직 |
P. 에리곤 |
||
적분법은 자연과학과 수학의 수많은 문제를 고려하여 탄생했습니다. 그 중 가장 중요한 것은 알려져 있지만 아마도 가변적인 이동 속도를 사용하여 주어진 시간에 이동한 경로를 결정하는 물리적 문제와 기하학적 도형의 면적과 부피를 계산하는 훨씬 더 오래된 문제입니다(기하학적 극단 문제 참조). .
적분 미적분학의 중심은 적분의 개념이지만, 이는 두 가지 다른 해석을 가지고 있으며 각각 부정 적분과 정적 적분의 개념으로 이어집니다.
미분학에서는 함수의 미분 연산이 도입되었습니다. 미분에 역수인 적분 계산에서 고려되는 수학적 연산을 적분, 보다 정확하게는 무한 적분이라고 합니다.
이 역연산은 무엇으로 구성되며 그 불확실성은 무엇입니까?
미분 연산은 주어진 함수를 그 도함수와 연관시킵니다. 주어진 함수를 기반으로 도함수가 함수인 함수를 찾고 싶다고 가정해 봅시다. 이러한 함수를 역도함수(antiderivative function)라고 합니다.
이는 미분의 역연산(무한 적분)이 주어진 함수의 역도함수를 찾는 것으로 구성됨을 의미합니다.
함수와 함께 함수의 역도함수도 분명히 임의의 함수일 것입니다. 
, 이는 상수 항과 다릅니다. 결국 
.
따라서 함수를 다른 단일 함수와 비교하는 미분(첫 번째 함수의 도함수)과 달리 무기한 통합은 하나의 특정 함수가 아니라 전체 함수 집합으로 이어지며 이는 불확실성입니다.
그러나 이러한 불확실성의 정도는 그리 크지 않습니다. 어떤 구간의 모든 지점에서 특정 함수의 도함수가 0과 같다면 이는 고려 중인 구간에서 일정한 함수입니다(변수의 변화율이 모든 곳에서 0인 구간에서, 변경되지 않습니다.) 이는 어떤 구간에서 함수가 이 구간에서 일정하다는 것을 의미합니다. 왜냐하면 함수의 도함수는 구간의 모든 지점에서 0과 같기 때문입니다.
따라서 동일한 함수의 두 역도함수는 일정 항만큼만 구간에서 다를 수 있습니다.
역도함수는 기호로 표시됩니다.
기호는 다음과 같습니다: 일체형. 이것이 소위 무한 적분입니다. 입증된 바에 따르면, 부정 적분은 고려 중인 구간에서 하나의 특정 함수가 아니라 다음 형식의 모든 함수를 나타냅니다.
, (1)
여기서 는 주어진 구간에서 함수의 일부 역도함수이고 는 임의의 상수입니다.
예를 들어 수직선 전체에서
;
; 
.
여기서 우리는 다양한 기호를 사용하여 피적분 함수의 인수를 구체적으로 표시했습니다. 인수를 표시하는 데 사용된 문자 선택의 함수로서 역도함수의 독립성에 주의를 기울이기 위함입니다.
서면 평등의 검증은 오른쪽의 간단한 미분으로 수행되며 그 결과 적분 기호 아래 왼쪽에 있는 함수 , ,가 각각 얻어집니다.
또한 역도함수, 도함수, 미분의 정의와 부정 적분의 관계 (1)에서 직접적으로 따르는 다음과 같은 명백한 관계를 염두에 두는 것도 유용합니다.
,
, 
, 
.
역도함수를 찾는 것은 종종 부정 적분의 일부 일반적인 속성에 의해 촉진됩니다:
(상수 승수 추가);
(합산); 만약에
,
(변수 교체).
이러한 관계는 적절한 미분 규칙을 사용하여 직접 검증되기도 합니다.
공기가 없을 때 지구 표면 근처의 자유 낙하 가속도는 일정하고 낙하하는 물체의 특성에 의존하지 않는다는 유일한 사실을 바탕으로 공허 속에서 자유 낙하하는 물체의 운동 법칙을 찾아 보겠습니다. 수직 좌표축을 고정합니다. 우리는 지구를 향한 축의 방향을 선택합니다. 현재 우리 몸의 좌표를 이라 하자. 그러므로 우리는 와 가 상수라는 것을 알고 있습니다. 운동의 법칙이라는 기능을 찾는 것이 필요합니다.
이후 , where , 그런 다음 순차적으로 통합하면
그래서 우리는 그것을 발견했습니다
, (3)
여기서 및 는 일부 상수입니다. 그러나 떨어지는 물체는 여전히 하나의 특정 운동 법칙을 따르며, 여기에는 더 이상 자의성이 없습니다. 이는 아직 사용하지 않은 다른 조건이 있음을 의미합니다. 그들은 모든 "경쟁하는" 법률(3) 중에서 특정 운동에 해당하는 법률을 선택할 수 있도록 허용합니다. 이러한 조건은 상수와 의 물리적 의미를 이해하면 쉽게 나타낼 수 있습니다. 에서 극단적인 관계항 (2)를 비교하면 이라는 것이 나오고, (3)에서 는 이라는 것이 나옵니다. 따라서 수학 자체는 우리에게 원하는 운동 법칙을 상기시켜주었습니다.
몸체의 초기 위치와 초기 속도를 지정하면 완전히 결정됩니다. 특히 , 이면 우리는 를 얻습니다.
이제 도함수를 찾는 작업(미분)과 역도함수를 찾는 작업(무한 적분) 사이에는 위의 내용 외에도 여러 가지 근본적인 차이점이 있음을 알아두겠습니다. 특히, 기본 함수 조합의 파생물 자체가 기본 함수의 관점에서 표현된다면, 즉 가 기본 함수인 경우 기본 함수의 역도함수는 더 이상 항상 기본 함수가 아닙니다. 예를 들어, 역도함수
증명할 수 있듯이 기본 함수(적분 사인이라고 하며 특수 기호로 표시됨)는 기본 함수로 표현되지 않습니다. 따라서 주어진 함수의 역도함수의 존재에 대한 근본적인 수학적 질문을 기본 함수 중에서 이 역도함수를 찾는 항상 해결 가능한 문제와 혼동해서는 안 됩니다. 통합은 종종 기본 기능 목록에 포함되지 않지만 "학교"기능보다 나쁘지 않은 것으로 연구되는 중요하고 널리 사용되는 특수 기능을 도입하는 소스입니다.
마지막으로, 기본 함수로 표현되는 경우에도 역도함수를 찾는 것은 미분 알고리즘과 같은 정식 계산 알고리즘보다는 예술에 더 가깝습니다. 이러한 이유로 가장 자주 발생하는 함수의 발견된 역도함수는 부정 적분의 조회 테이블 형식으로 수집됩니다. 이러한 종류의 다음 마이크로테이블은 해당 기본 기본 함수의 파생 마이크로테이블과 분명히 동일합니다.
미분 연산의 반전에 대해 이야기하는 동안 이와 관련하여 우리는 역도함수와 부정 적분의 개념에 도달하고 이러한 개념의 초기 정의를 제공했습니다.
이제 우리는 적분 미적분의 주요 초기 소스 역할을 하고 단어의 적절한 의미에서 명확한 적분 또는 적분의 개념을 이끌어낸 적분에 대한 훨씬 더 오래된 다른 접근 방식을 표시할 것입니다. 이 접근 방식은 이미 고대 그리스 수학자이자 천문학자인 Cnidus의 Eudoxus(기원전 약 408-355년)와 Archimedes에서 명확하게 볼 수 있습니다. 그것은 미분학의 출현과 미분의 작용이 일어나기 오래 전에 일어났습니다.
적분의 개념을 예상한 에우독소스와 아르키메데스가 이를 해결하기 위해 '소진법'을 만들어 고려한 문제는 곡선 도형의 면적을 계산하는 문제이다. 아래에서 우리는 이 질문을 고려할 것이지만 지금은 I. Newton에 따라 다음 작업을 설정하겠습니다. 일정 기간 중 어느 순간에 알려진 신체의 속도를 사용하여 이 기간 동안 신체의 움직임의 양을 구합니다. 시간의.
운동의 법칙이 알려진 경우, 즉 시간에 따른 신체 좌표의 의존성이라면 대답은 분명히 차이로 표현될 것입니다. 더욱이, 구간에 대한 함수의 역도함수를 알고 있다면 는 상수이기 때문에 차이와 일치하는 차이의 형태로 원하는 변위 값을 찾는 것이 가능할 것입니다. 이것은 매우 유용한 관찰이지만 주어진 함수의 역도함수를 표시하는 것이 불가능하다면 완전히 다르게 행동해야 합니다.
우리는 다음과 같이 추론할 것입니다.
간격을 별도의 순간으로 나누어 매우 작은 시간 간격으로 나누면 이러한 짧은 간격 각각에서 신체 속도가 눈에 띄게 변할 시간이 없습니다. 순간을 임의로 고정하면 일정 시간 동안 움직임이 일정한 속도로 발생한다고 대략적으로 가정할 수 있습니다. 이 경우 일정 기간 동안 이동한 거리에 대해 대략적인 값을 얻습니다. 이 값을 더하면 대략적인 값을 얻습니다.
간격의 모든 움직임에 대해.
발견된 대략적인 값은 더 정확할수록 간격을 더 세밀하게 분할할 수 있습니다. 간격을 나누는 간격 중 가장 큰 간격의 값이 작을수록
이는 우리가 찾고 있는 변위량이 한계라는 것을 의미합니다.
(5)
값이 0이 되는 경향이 있는 경우 (4) 형식의 합계입니다.
특별한 형식의 합(4)은 구간 의 함수에 대한 적분합이라고 하며, 분할을 무제한으로 세분화하여 얻은 극한(5)을 구간 의 함수의 적분(또는 정적분)이라고 합니다. 간격 . 적분은 기호로 표시됩니다.
여기서 숫자는 통합 한계라고 불리며, - 통합의 하한 및 - 통합의 상한입니다. 적분 부호 아래의 함수를 피적분 함수라고 합니다. - 피적분 표현; - 통합 변수.
따라서 정의에 따르면,
. (6)
이는 알려진 운동 속도에서 시간 간격에 걸쳐 원하는 신체 움직임의 양이 간격에 대한 함수의 적분(6)으로 표현된다는 것을 의미합니다.
이 결과를 이 예를 고려할 때 역도함수 언어로 표시된 결과와 비교하면 다음과 같은 유명한 관계에 도달합니다.
만약에 . 평등(7)을 뉴턴-라이프니츠 공식이라고 합니다. 왼쪽에는 극한(6)으로 이해되는 적분이 있고 오른쪽에는 피적분 함수의 역도함수인 함수 값의 차이(끝과 적분 간격)가 있습니다. 따라서 Newton-Leibniz 공식은 적분(6)과 역도함수를 연결합니다. 따라서 이 공식은 두 가지 반대 방향으로 사용될 수 있습니다. 역도함수를 구하여 적분을 계산하거나 관계식 (6)에서 적분을 구하여 역도함수의 증분을 구하는 것입니다. 우리는 뉴턴-라이프니츠 공식의 이러한 두 가지 용도가 모두 매우 중요하다는 것을 아래에서 볼 수 있습니다.
적분(6)과 공식(7)은 원칙적으로 우리 예에서 제기된 문제를 해결합니다. 따라서 (휴식 상태에서 시작하는 자유 낙하의 경우와 같이, 즉 ), 그러면 역도함수를 찾은 것입니다. 
공식 (7)에 따라 함수를 사용하면 값을 얻습니다.
순간순간의 시간 동안의 움직임.
방금 분석한 물리적 문제를 바탕으로 적분과 뉴턴-라이프니츠 공식으로 이어졌고 관찰 결과를 일반화했습니다. 이제 함수가 특정 구간에 주어지면 구간을 점으로 나누어 다음과 같이 말할 수 있습니다. 적분합
여기서 , , 그리고 극한으로 전달되는 , 여기서 , 우리는 정의에 의해 적분을 얻습니다.
(6")
간격에 걸쳐 함수에서. 동시에 에 있는 경우, 즉 는 구간에 있는 함수의 역도함수이며 Newton-Leibniz 공식은 다음과 같습니다.
. (7)
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레너드 오일러
18세기 최고의 수학자 오일러는 스위스에서 태어났습니다. 1727년에 그는 상트페테르부르크 과학 아카데미의 초청으로 러시아에 왔습니다. 상트페테르부르크에서 오일러는 수학자, 물리학자, 천문학자 등 뛰어난 과학자 집단에 속해 있으며 자신의 작품을 만들고 출판할 수 있는 좋은 기회를 얻었습니다. 그는 열정적으로 일했고, 동시대 사람들의 만장일치로 인정받은 바에 따르면 곧 세계 최초의 수학자였습니다. 오일러의 과학적 유산은 그 규모와 다양성 면에서 놀랍습니다. 그의 작품 목록에는 800개 이상의 타이틀이 포함되어 있습니다. 과학자의 전체 수집 작품은 72 권을 차지합니다. 그의 작품 중에는 미분과 적분에 관한 최초의 교과서가 있습니다. 정수론에서 오일러는 프랑스 수학자 P. 페르마(P. Fermat)의 작업을 이어가며 페르마의 소정리, 지수 3과 4에 대한 페르마의 대정리(페르마의 마지막 정리 참조) 등 여러 가지 진술을 증명했습니다. 그는 수십 년 동안 정수론의 지평을 정의한 문제를 공식화했습니다. 오일러는 정수론에서 수학적 분석 도구를 사용할 것을 제안하고 이 길을 따라 첫 걸음을 내디뎠습니다. 그는 더 나아가 를 초과하지 않는 소수의 수를 추정하는 것이 가능하다는 것을 깨달았고, 19세기에 증명될 진술의 윤곽을 잡았습니다. 수학자 P. L. Chebyshev와 J. Hadamard. 오일러는 수학적 분석 분야에서 많은 일을 했습니다. 여기서 그는 끊임없이 복소수를 사용합니다. 그 공식은 그의 이름을 딴 것입니다 과학자는 0을 제외한 모든 복소수가 로그를 가지며 각 숫자는 무한한 수의 로그 값에 해당하는 로그 함수에 대한 일반적인 교리를 처음으로 개발했습니다. 기하학에서 오일러는 완전히 새로운 연구 분야의 토대를 마련했으며 나중에 독립적인 과학 토폴로지로 성장했습니다. 오일러의 이름은 볼록 다면체의 꼭지점(B), 모서리(P), 면(G)의 수를 연결하는 공식에 주어집니다. 오일러의 과학 활동의 주요 결과조차 나열하기 어렵습니다. 여기에는 곡선과 표면의 기하학이 있으며 수많은 새로운 구체적인 결과가 포함된 변형 미적분학의 첫 번째 프레젠테이션이 있습니다. 그는 수력학, 조선, 포병, 기하학적 광학, 심지어 음악 이론에 관한 작품을 썼습니다. 그는 처음으로 뉴턴의 기하학적 표현 대신 역학에 대한 분석적 표현을 제시하고 강체 점이나 강판의 역학을 구성합니다. 오일러의 가장 주목할만한 업적 중 하나는 천문학 및 천체 역학과 관련이 있습니다. 그는 지구뿐만 아니라 태양의 인력도 고려하여 달의 움직임에 대한 정확한 이론을 구축했습니다. 이것은 매우 어려운 문제를 해결한 예입니다. 오일러의 생애 마지막 17년은 거의 완전한 시력 상실로 인해 손상되었습니다. 그러나 그는 젊었을 때와 마찬가지로 계속해서 강렬하게 창조했습니다. 이제 그는 더 이상 스스로 글을 쓰지 않고 그를 위해 가장 번거로운 계산을 수행한 학생들에게 지시했습니다. 여러 세대의 수학자에게 오일러는 교사였습니다. 여러 세대가 그의 수학 매뉴얼, 역학 및 물리학에 관한 책을 통해 공부했습니다. |
, 복소수를 사용할 때 발생하는 삼각 함수와 지수 함수 간의 연결을 설정합니다.이 책들의 주요 내용은 현대 교과서에 포함되어 있습니다.
이로써 적분법의 가장 중요한 개념이 정의되었고, 적분과 미분을 연결하는 뉴턴-라이프니츠 공식이 얻어졌다.
미분학에서 미분의 개념이 순간 이동 속도를 결정하는 문제뿐만 아니라 접선을 그리는 문제에 의해서도 파생된 것처럼, 적분학에서도 적분의 개념은 다음에 의해서만 이끌어지는 것이 아닙니다. 주어진 이동 속도에서 이동한 거리를 결정하는 물리적 문제뿐만 아니라 다른 많은 문제에 의해서도 발생하며 그중에는 면적과 부피 계산에 관한 고대 기하학적 문제가 있습니다.
그림 1에 표시된 영역을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. 1개의 그림(곡선 사다리꼴이라고 함), 위쪽 "측면"은 세그먼트에 지정된 함수의 그래프입니다. 우리는 점을 사용하여 세그먼트를 작은 세그먼트로 나누고 각 세그먼트에서 특정 포인트를 고정합니다. 세그먼트 위에 있는 좁은 곡선 사다리꼴의 영역을 밑변과 높이가 있는 해당 직사각형의 영역으로 대체해 보겠습니다. 이 경우 전체 그림의 면적에 대한 대략적인 값은 친숙한 적분 합으로 제공되며 원하는 면적의 정확한 값은 가장 큰 세그먼트의 길이가 파티션은 0이 되는 경향이 있습니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다:
.
이제 아르키메데스를 따라 포물선이 그림에 표시된 영역을 어떤 비율로 나누는지 알아보겠습니다. 2개 단위 정사각형. 이를 위해 공식 (8)을 기반으로 아래쪽 포물선 삼각형의 면적을 간단히 계산합니다. 우리의 경우와 . 우리는 함수의 역도함수를 알고 있습니다. 이는 Newton-Leibniz 공식(7")을 사용하여 쉽게 얻을 수 있음을 의미합니다.
따라서 포물선은 정사각형의 면적을 2:1의 비율로 나눕니다.
적분을 다룰 때, 특히 Newton-Leibniz 공식을 사용하여, 기사 시작 부분에 명명된 부정 적분의 일반적인 속성을 사용할 수 있습니다. 특히, 뉴턴-라이프니츠 공식을 고려하여 무한 적분에서 변수를 변경하는 규칙을 통해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
. (9)
몸체의 부피도 적분을 사용하여 계산됩니다. 그림에 표시하면 1 축을 중심으로 곡선 사다리꼴을 회전하면 대략적으로 좁은 원통으로 구성된 것으로 간주될 수 있는 회전체를 얻을 수 있습니다(그림 3). 해당 직사각형을 회전하여 얻습니다. 동일한 표기법을 유지하면서 각 원통의 부피를 (바닥 면적과 높이의 곱) 형식으로 씁니다. 합계는 고려되는 회전체 부피의 대략적인 값을 제공합니다. 정확한 값은 에서 해당 금액의 한도로 얻어집니다. 수단,
. (10)
특히, 그림 1에 표시된 부피를 계산하려면 다음과 같이 하십시오. 4개의 원뿔을 식 (10)에 넣으면 충분합니다. , 는 회전된 직선의 각도 계수입니다. 함수의 역도함수를 찾고 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.
원뿔의 밑면에 있는 원의 면적은 어디입니까?
분석된 예에서 우리는 계산할 수 있는 면적이나 부피와 같은 수치로 기하학적 도형을 소진한 다음 한계까지 통과시켰습니다. Eudoxus에서 유래하고 아르키메데스가 개발한 이 기술을 탈진 방법이라고 합니다. 이것은 대부분의 적분 적용에서 가장 일반적인 추론 방법입니다.
"통은 원, 원뿔 및 원통과 같은 일반적인 모양으로 연결되어 있기 때문에 기하학적 변화가 가능합니다." I. 케플러
의미는 일체형 뱀이 있는 곳이다. 숫자와 문자 사이, 그리고 사이! V.Ya.
