접선은 직선이다 , 한 지점에서 함수의 그래프에 닿고 모든 지점이 함수의 그래프에서 가장 작은 거리에 있습니다. 따라서 접선은 특정 각도에서 함수의 그래프에 접선을 통과하고 다른 각도의 여러 접선은 접선점을 통과할 수 없습니다. 함수의 그래프에 대한 접선 방정식과 법선 방정식은 도함수를 사용하여 구성됩니다.
접선 방정식은 직선 방정식에서 파생됩니다. .
우리는 접선의 방정식을 유도한 다음 함수의 그래프에 대한 법선의 방정식을 유도합니다.
와이 = kx + NS .
그 안에서 케이경사이다.
여기에서 다음 레코드를 얻습니다.
와이 - 와이 0 = 케이(NS - NS 0 ) .
파생 가치 NS "(NS 0 ) 기능 와이 = NS(NS) 그 시점에 NS0 기울기와 동일 케이= 티 φ 점을 통해 그린 함수의 그래프에 접함 미디엄0 (NS 0 , 와이 0 ) , 어디 와이0 = NS(NS 0 ) ... 이것은 파생 기하학적 의미 .
따라서 우리는 대체 할 수 있습니다 케이~에 NS "(NS 0 ) 그리고 다음을 얻는다 함수 그래프에 대한 탄젠트 방정식 :
와이 - 와이 0 = NS "(NS 0 )(NS - NS 0 ) .
함수의 그래프에 접선의 방정식을 그리는 문제에서 (그리고 우리는 곧 그것들로 돌아갈 것입니다), 위의 공식에 따라 얻은 방정식을 다음으로 줄여야합니다 일반 형태의 직선 방정식... 이렇게 하려면 모든 문자와 숫자를 방정식의 왼쪽으로 이동하고 오른쪽에 0을 남겨 두어야 합니다.
이제 정규 방정식에 대해 알아보겠습니다. 정상 는 접선에 수직인 함수의 그래프에 대한 접선 점을 지나는 직선입니다. 정규 방정식 :
(NS - NS 0 ) + NS "(NS 0 )(와이 - 와이 0 ) = 0
워밍업의 경우 첫 번째 예제는 독립적으로 해결한 다음 솔루션을 확인해야 합니다. 이 작업이 독자들에게 "찬물"이 되지 않기를 바라는 모든 이유가 있습니다.
예 0.한 점에서 함수의 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 쓰십시오. 미디엄 (1, 1) .
예 1.함수의 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식 쓰기 
접선점의 가로 좌표인 경우.
함수의 도함수를 구해 봅시다.
이제 우리는 탄젠트 방정식을 얻기 위해 이론적 참조에 제공된 항목에서 대체해야 하는 모든 것을 갖게 되었습니다. 우리는 얻는다
이 예에서 우리는 운이 좋았습니다. 기울기는 0과 같으므로 방정식을 일반 형식으로 별도로 가져올 필요가 없었습니다. 이제 정규 방정식을 작성할 수 있습니다.
아래 그림에서: 부르고뉴 함수 그래프, 녹색 탄젠트, 주황색 법선.
다음 예제도 복잡하지 않습니다. 이전 예제와 마찬가지로 함수도 다항식이지만 기울기는 0이 아니므로 한 단계가 더 추가되어 방정식을 일반 형식으로 가져옵니다.
예 2.
해결책. 터치 포인트의 좌표 찾기:
함수의 도함수를 구해 봅시다.
.
접선, 즉 접선의 기울기에서 미분 값을 찾으십시오.
얻은 모든 데이터를 "빈 공식"으로 대체하고 접선 방정식을 얻습니다.
방정식을 일반 형식으로 가져옵니다(왼쪽에 0이 아닌 모든 문자와 숫자를 수집하고 오른쪽에 0을 남겨둠).
정규 방정식을 작성합니다.
예 3.접선의 횡좌표인 경우 함수의 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 씁니다.
해결책. 터치 포인트의 좌표 찾기:
함수의 도함수를 구해 봅시다.
.
접선, 즉 접선의 기울기에서 미분 값을 찾으십시오.
.
접선의 방정식을 찾습니다.
방정식을 일반 형식으로 가져오기 전에 약간 "빗질"해야 합니다. 4를 곱합니다. 이렇게 하고 방정식을 일반 형식으로 가져옵니다.
정규 방정식을 작성합니다.
예 4.접선의 횡좌표인 경우 함수의 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 씁니다.
해결책. 터치 포인트의 좌표 찾기:
.
함수의 도함수를 구해 봅시다.
접선, 즉 접선의 기울기에서 미분 값을 찾으십시오.
.
접선 방정식을 얻습니다.
방정식을 일반 형식으로 가져옵니다.
정규 방정식을 작성합니다.
탄젠트와 법선의 방정식을 작성할 때 흔히 저지르는 실수는 예제에서 주어진 함수가 복잡하다는 것을 눈치채지 못하고 그 도함수를 간단한 함수의 도함수로 계산하는 것입니다. 다음 예는 이미 복잡한 기능(해당 강의는 새 창에서 열립니다).
예 5.접선의 횡좌표인 경우 함수의 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 씁니다.
해결책. 터치 포인트의 좌표 찾기:
주목! 이 함수는 접선 인수(2 NS) 자체가 함수입니다. 따라서 우리는 복소수 함수의 도함수로서 함수의 도함수를 찾을 것입니다.
이 기사는 그래픽 기호로 파생 상품의 기하학적 의미, 정의에 대한 자세한 설명을 제공합니다. 예를 들어 접선 방정식이 고려되고 2차 곡선에 대한 접선 방정식이 발견됩니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1
직선 y = k x + b의 경사각을 각도 α라고 하며 x축의 양의 방향에서 양의 방향으로 직선 y = k x + b까지 측정됩니다.
그림에서 o x 방향은 녹색 화살표로 녹색 호의 형태로 표시되고 경사각은 빨간색 호로 표시됩니다. 파란색 선은 직선을 나타냅니다.
정의 2
직선 y = k x + b의 기울기를 수치 계수 k라고 합니다.
기울기는 직선 기울기의 접선과 같습니다. 즉, k = t g α입니다.
- 직선의 경사각은 0의 접선이 0이기 때문에 x에 평행하고 기울기가 0인 경우에만 0입니다. 따라서 방정식의 형태는 y = b가 됩니다.
- 직선 y = k x + b의 경사각이 예각이면 조건 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0이고 그래프가 증가합니다.
- α = π 2이면 선의 위치는 x에 수직입니다. 같음은 c가 실수인 등식 x = c를 사용하여 지정됩니다.
- 직선 y = k x + b의 경사각이 둔각이면 조건 π 2에 해당합니다.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
시컨트는 함수 f(x)의 두 점을 지나는 직선이라고 합니다. 즉, 시컨트 라인은 주어진 함수의 그래프에서 임의의 두 점을 지나는 직선입니다.
그림에서 A B는 시컨트, f(x)는 검은색 곡선, α는 빨간색 호로 시컨트의 경사각을 의미합니다.
직선의 기울기가 경사각의 접선과 같을 때 직각 삼각형 ABC의 접선은 인접한 다리의 반대쪽 다리와 관련하여 찾을 수 있음을 알 수 있습니다.
정의 4
다음 형식의 시컨트를 찾는 공식을 얻습니다.
k = tan α = BCAC = f(x B) - fx A x B - x A, 여기서 점 A와 B의 가로 좌표는 x A, x B 및 f(x A), f(x B)는 이 지점에서의 값 함수입니다.
분명히, 시컨트의 기울기는 등식 k = f (x B) - f (x A) x B - x A 또는 k = f (x A) - f (x B) x A - x B를 사용하여 결정됩니다. 방정식은 y = f(x B) - f(x A) x B - x A x - x A + f(x A) 또는
y = f(x A) - f(x B) x A - x B x - x B + f(x B).
시컨트는 그래프를 시각적으로 세 부분으로 나눕니다: 점 A의 왼쪽, A에서 B, B의 오른쪽. 아래 그림은 일치하는 것으로 간주되는 세 개의 시컨트가 있음을 보여줍니다. 비슷한 방정식을 사용합니다.
정의에 따르면 이 경우 선과 시컨트가 일치하는 것이 분명합니다.
시컨트는 주어진 함수의 그래프와 여러 번 교차할 수 있습니다. 시컨트에 대해 y = 0 형식의 방정식이 있는 경우 사인 곡선과의 교차점 수는 무한합니다.
정의 5
점 x 0에서 함수 f(x)의 그래프에 대한 접선; f(x 0)는 주어진 점 x 0을 지나는 직선이라고 합니다. f (x 0), x 0에 가까운 x 값 세트가 있는 세그먼트가 있습니다.
실시예 1
아래의 예를 자세히 살펴보겠습니다. 그러면 함수 y = x + 1에 의해 정의된 선이 좌표(1; 2)가 있는 점에서 y = 2 x에 접하는 것으로 간주됨을 알 수 있습니다. 명확성을 위해 (1; 2)에 가까운 값을 가진 그래프를 고려할 필요가 있습니다. 함수 y = 2 x는 검은색으로 표시되고 파란색 선은 접선, 빨간색 점은 교차점입니다.
분명히 y = 2 x는 y = x + 1 라인과 병합됩니다.
접선을 결정하기 위해서는 점 B가 점 A에 무한히 접근할 때 접선 A B의 거동을 고려할 필요가 있습니다. 명확성을 위해 그림을 제시합니다.
파란색 선으로 표시된 시컨트 AB는 접선 자체의 위치로 향하는 경향이 있으며 시컨트 α의 경사각은 접선 자체의 경사각 α x로 경향이 시작됩니다.
정의 6
점 A에서 함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선은 B가 A로 향할 때, 즉 B → A일 때 시컨트 A B의 제한 위치입니다.
이제 우리는 한 점에서 함수의 도함수의 기하학적 의미를 고려합니다.
함수 f(x)에 대한 시컨트 А В를 고려해보자. 여기서 А와 В는 좌표 x 0, f(x 0) 및 x 0 + ∆ x, f(x 0 + ∆ x), 그리고 ∆ x는 인수의 증분으로 표시됩니다 ... 이제 함수는 ∆ y = ∆ f(x) = f(x 0 + ∆ x) - f(∆ x) 형식을 취합니다. 이해를 돕기 위해 그림의 예를 들어보겠습니다.
결과 직각 삼각형 A B C를 고려하십시오. 해에 대한 접선의 정의를 사용합니다. 즉, 비율 ∆ y ∆ x = t g α를 얻습니다. lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x인 접선의 정의를 따릅니다. 점에서 도함수의 규칙에 의해 점 x 0에서의 도함수 f(x)를 인수의 증분에 대한 함수 증분의 비율의 극한이라고 합니다. 여기서 ∆ x → 0, f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...
f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, 여기서 k x는 접선의 기울기로 표시됩니다.
즉, f '(x)는 점 x 0에 존재할 수 있고 x 0과 동일한 접선 점에서 함수의 주어진 그래프에 대한 접선처럼 f 0(x 0), 여기서 값은 점에서 접선의 기울기는 점 x 0에서의 도함수와 같습니다. 그러면 우리는 k x = f "(x 0)를 얻습니다.
한 점에서 함수의 도함수의 기하학적 의미는 같은 점에서 그래프에 접선이 존재한다는 개념이 주어진다는 것입니다.
평면에 있는 임의의 직선의 방정식을 작성하려면 통과하는 점과 함께 기울기가 있어야 합니다. 그 지정은 교차점에서 x 0으로 간주됩니다.
점 x 0, f 0 (x 0)에서 함수 y = f (x)의 그래프에 대한 접선 방정식은 y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) 형식을 취합니다. .
lim x → x 0 + 0 f"(x) = ∞ 및 lim x → x 0 - 인 경우 도함수 f "(x 0)의 유한 값이 접선의 위치, 즉 수직으로 제공되는 위치를 결정할 수 있음을 의미합니다. 0 f "(x ) = ∞ 또는 lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f"(x) 조건에서 전혀 없음.
접선의 위치는 기울기 값에 따라 달라집니다 kx = f "(x 0). ox 축에 평행할 때 kk = 0, oy - kx = ∞에 평행할 때 방정식의 형태 접선 x = x 0의 kx> 0에서 증가하고 kx에서 감소< 0 .
실시예 2
각도를 결정하여 좌표 (1; 3)가있는 점에서 함수 y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 기울기.
해결책
가설에 따르면 함수는 모든 실수에 대해 정의됩니다. 조건 (1; 3)에 의해 주어진 좌표를 가진 점은 접선의 점이고 x 0 = - 1, f (x 0) = - 3입니다.
값이 -1인 점에서 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 그것을 얻는다
y "= 예 + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = 예 + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = 예 + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
접선점에서 f '(x) 값은 접선의 기울기이며 기울기의 접선과 같습니다.
그러면 k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3
따라서 α x = a rc t g 3 3 = π 6
답변:접선 방정식은 다음 형식을 취합니다.
y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
명확성을 위해 그래픽 일러스트레이션으로 예를 들어보겠습니다.
검은색은 원래 함수의 그래프에 사용되며 파란색은 접선 이미지, 빨간색 점은 접선점입니다. 오른쪽 그림은 확대도입니다.
실시예 3
주어진 함수의 그래프에 대한 접선의 존재를 알아내십시오.
y = 3 x - 1 5 + 1 좌표가 있는 점에서 (1; 1). 방정식을 만들고 경사각을 결정하십시오.
해결책
가설에 따르면 주어진 함수의 정의 영역은 모든 실수의 집합입니다.
도함수를 찾는 것으로 넘어갑시다.
y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
x 0 = 1이면 f '(x)는 정의되지 않지만 한계는 lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5로 작성됩니다. 1 + 0 = + ∞ 및 lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞, 즉 존재하는 수직 접선 포인트 (1; 1).
답변:방정식은 x = 1 형식을 취하며 여기서 기울기는 π 2와 같습니다.
명확성을 위해 그래픽으로 표시하겠습니다.
실시예 4
함수 y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2의 그래프에서 점을 찾습니다. 여기서
- 접선이 존재하지 않습니다.
- 접선은 x에 평행합니다.
- 접선은 직선 y = 8 5 x + 4에 평행합니다.
해결책
정의 영역에 주의를 기울일 필요가 있습니다. 가설에 따르면 함수는 모든 실수 집합에 대해 정의됩니다. 모듈을 확장하고 x ∈ - ∞ 간격으로 시스템을 풉니다. 2 및 [-2; + ∞). 우리는 그것을 얻는다
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)
기능을 구분할 필요가 있습니다. 우리는 그것을 가지고
y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)
x = - 2이면 이 지점에서 단측 극한이 같지 않기 때문에 도함수가 존재하지 않습니다.
lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
우리는 점 x = - 2에서 함수의 값을 계산합니다. 여기서
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, 즉 점에서의 접선( - 2; - 2) 존재하지 않습니다.
- 기울기가 0일 때 접선은 x에 평행합니다. 그러면 kx = tan α x = f "(x 0). 즉, 함수의 미분이 0이 될 때 그러한 x의 값을 찾아야 합니다. 즉, f'의 값 (x)는 접선이 x에 평행한 접선 점이 될 것입니다 ...
x ∈ - ∞일 때; - 2, 그리고 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, 그리고 x ∈ (- 2; + ∞)에 대해 우리는 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0을 얻습니다.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞
함수의 해당 값 계산
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
따라서 - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 은 기능 그래프의 필수 포인트로 간주됩니다.
솔루션의 그래픽 표현을 고려하십시오.
검은색 선은 기능의 그래프이고 빨간색 점은 터치 포인트입니다.
- 선이 평행하면 기울기가 같습니다. 그런 다음 기울기가 8 5 값과 같을 함수의 그래프에서 점을 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 y "(x) = 8 5 형식의 방정식을 풀어야 합니다. 그런 다음 x ∈ - ∞; - 2이면 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, 그리고 x ∈ ( - 2; + ∞)이면 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5입니다.
판별식이 0보다 작기 때문에 첫 번째 방정식에는 근이 없습니다. 그거 쓰자
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
다른 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다.
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞
함수의 값을 찾는 과정으로 넘어갑시다. 우리는 그것을 얻는다
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
값이 1인 포인트; 4 15.5; 8 3은 접선이 직선 y = 8 5 x + 4에 평행한 점입니다.
답변:검은색 선 - 함수 그래프, 빨간색 선 - 그래프 y = 8 5 x + 4, 파란색 선 - 점에서의 접선 - 1; 4 15.5; 8 3.
주어진 함수에 대해 무한한 수의 접선이 있을 수 있습니다.
실시예 5
직선 y = - 2 x + 1 2 에 수직으로 위치한 사용 가능한 모든 접선 함수 y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3의 방정식을 작성하십시오.
해결책
접선 방정식을 작성하려면 직선의 직각도 조건을 기준으로 접선 점의 계수와 좌표를 찾아야 합니다. 정의는 다음과 같습니다. 직선에 수직인 기울기 계수의 곱은 -1과 같습니다. 즉, k x · k ⊥ = - 1로 작성됩니다. 조건에서 기울기는 직선에 수직이고 k ⊥ = - 2와 같으면 k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2입니다.
이제 접선 점의 좌표를 찾아야 합니다. 주어진 함수에 대한 값을 찾은 후 x를 찾아야 합니다. 점에서 도함수의 기하학적 의미에서
x 0 우리는 k x = y "(x 0)를 얻습니다. 이 평등에서 우리는 접선 점에 대한 x 값을 찾습니다.
우리는 그것을 얻는다
y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
이 삼각 방정식은 터치 포인트의 세로 좌표를 계산하는 데 사용됩니다.
3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk 또는 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk 또는 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk 또는 x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z
Z는 정수 집합입니다.
x개의 접선 점을 찾았습니다. 이제 y 값을 검색해야 합니다.
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 또는 y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 또는 y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 또는 y 0 = - 4 5 + 1 3
따라서 우리는 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk를 얻습니다. 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3은 터치 포인트입니다.
답변:필요한 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - 아크 사인 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + 아크 사인 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
시각적 표현을 위해 좌표선의 함수와 접선을 고려하십시오.
그림은 함수의 위치가 구간 [- 10; 10]에서 검은색 선은 함수의 그래프이고 파란색 선은 y = - 2 x + 1 2 형식의 주어진 선에 수직으로 위치한 접선입니다. 빨간색 점은 터치 포인트입니다.
차수가 2인 곡선의 정준 방정식은 단일 값 함수가 아닙니다. 접선의 방정식은 잘 알려진 계획에 따라 작성됩니다.
원 접선
점 x c e n t er에 중심을 둔 원을 정의하려면; y c e n t er 및 반지름 R x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 공식이 적용됩니다.
이 평등은 두 함수의 합집합으로 작성할 수 있습니다.
y = R 2 - x - x c e n t er 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
그림과 같이 첫 번째 기능은 상단에 있고 두 번째 기능은 하단에 있습니다.
점 x 0에서 원의 방정식을 작성하려면; 위 또는 아래 반원에 위치한 y 0, y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter 또는 y = - R 2 - x - xcenter 2 + 형식의 함수 그래프의 방정식을 찾아야 합니다. 표시된 점에서 ycenter.
점 x c e n t er에 있을 때; y c e n t er + R 및 x c e n t e r; y c e n t e r - R 접선은 방정식 y = y c e n t e r + R 및 y = y c e n t e r - R 및 점 x c e n t e r + R에 의해 제공될 수 있습니다. y c e n t er 및
x c e n t e r - R; y c e n t er는 y에 대해 평행할 것이며 x = x c e n t e r + R 및 x = x c e n t e r - R 형식의 방정식을 얻습니다.
타원 탄젠트
타원이 점 x c e n t er에 중심을 가질 때; y c e n t er 와 반축 a 및 b가 있는 경우 x - x c e n t er 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 방정식을 사용하여 지정할 수 있습니다.
타원과 원은 두 가지 기능, 즉 위쪽 및 아래쪽 반타원을 결합하여 표시할 수 있습니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다.
y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
접선이 타원의 꼭짓점에 있으면 x 또는 y에 대해 평행합니다. 아래에서 명확성을 위해 그림을 고려하십시오.
실시예 6
x 값이 x = 2인 점에서 타원 x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1에 대한 접선 방정식을 씁니다.
해결책
x = 2 값에 해당하는 터치 포인트를 찾아야 합니다. 우리는 타원의 기존 방정식으로 대체하고 다음을 얻습니다.
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
그런 다음 2; 5 3 2 + 5 및 2; - 5 3 2 + 5는 위쪽 및 아래쪽 반타원에 속하는 접선점입니다.
y에 대한 타원 방정식을 찾아 해결해 보겠습니다. 우리는 그것을 얻는다
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
분명히 위쪽 반타원은 y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 형식의 함수를 사용하여 지정되고 아래쪽 y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 형식의 함수를 사용하여 지정됩니다.
한 점에서 함수의 그래프에 대한 접선의 방정식을 형성하기 위해 표준 알고리즘을 적용해 봅시다. 우리는 점 2에서 첫 번째 접선에 대한 방정식을 씁니다. 5 3 2 + 5의 형식은 다음과 같습니다.
y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
우리는 점에서의 값과 두 번째 접선의 방정식을 얻습니다.
2; - 5 3 2 + 5 형식을 취합니다.
y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
그래픽으로 접선은 다음과 같이 지정됩니다.
쌍곡선에 접함
쌍곡선이 점 x c e n t er에 중심을 가질 때; y c e n t er 및 정점 x c e n t e r + α; y c e n t er 및 x c e n t e r - α; y c e n t er, 부등식은 지정됩니다 x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1(꼭짓점이 있는 경우) x c e n t e r; y c e n t er + b 및 x c e n t e r; y c e n t er - b, 다음은 부등식 x - x c e n t er 2 α 2 - y - y c e n t er 2 b 2 = - 1로 지정됩니다.
쌍곡선은 다음 형식의 두 가지 결합된 기능으로 나타낼 수 있습니다.
y = ba(x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery = - ba(x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter 또는 y = ba(x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery = - ba(x - xcenter ) 2 + a 2 + ycenter
첫 번째 경우에는 접선이 y에 평행하고 두 번째 경우에는 x에 평행합니다.
따라서 쌍곡선에 대한 접선의 방정식을 찾기 위해서는 접선점이 어떤 함수에 속하는지 알아야 합니다. 이를 확인하려면 방정식을 대입하고 동일성을 확인해야 합니다.
실시예 7
점 7에서 쌍곡선 x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1에 대한 접선의 방정식을 쓰십시오. - 3 3 - 3.
해결책
2개의 함수를 사용하여 쌍곡선을 찾는 해의 기록을 변환할 필요가 있습니다. 우리는 그것을 얻는다
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 및 l 및 y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
좌표가 7인 주어진 점이 어떤 기능에 속하는지 식별해야 합니다. - 3 3 - 3.
분명히 첫 번째 함수를 테스트하려면 y(7) = 3 2가 필요합니다.
두 번째 함수의 경우 y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3이며, 이는 해당 점이 주어진 그래프에 속한다는 것을 의미합니다. . 여기에서 경사를 찾아야 합니다.
우리는 그것을 얻는다
y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
답변:접선 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
다음과 같이 명확하게 표시됩니다.
포물선 접선
점 x 0, y(x 0)에서 포물선 y = ax 2 + bx + c에 대한 접선 방정식을 작성하려면 표준 알고리즘을 사용해야 하며 방정식은 y = y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) 꼭짓점에서의 이러한 접선은 x에 평행합니다.
포물선 x = a y 2 + b y + c는 두 함수의 합집합으로 지정해야 합니다. 따라서 y에 대한 방정식을 풀어야 합니다. 우리는 그것을 얻는다
x = y 2 + by + c ⇔ y 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
다음과 같이 그래픽으로 표현해 보겠습니다.
점 x 0, y(x 0)가 함수에 속하는지 여부를 알아내기 위해서는 표준 알고리즘에 따라 부드럽게 동작합니다. 이러한 접선은 포물선에 대해 약 y에 평행합니다.
실시예 8
접선의 경사각이 150 ° 일 때 그래프 x - 2 y 2 - 5 y + 3에 접선 방정식을 씁니다.
해결책
포물선을 두 개의 함수로 표현하여 솔루션을 시작합니다. 우리는 그것을 얻는다
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
기울기 값은 이 함수의 점 x 0에서의 도함수 값과 같으며 기울기 탄젠트와 같습니다.
우리는 다음을 얻습니다:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
여기에서 접선 점에 대한 x 값을 결정합니다.
첫 번째 함수는 다음과 같이 작성됩니다.
y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
음수 값을 얻었기 때문에 분명히 실제 뿌리는 없습니다. 우리는 그러한 함수에 대해 각도가 150°인 접선이 없다고 결론지었습니다.
두 번째 함수는 다음과 같이 작성됩니다.
y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y(x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
접점은 23 4입니다. - 5 + 3 4.
답변:접선 방정식은 다음 형식을 취합니다.
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
다음과 같이 그래픽으로 표현해 보겠습니다.
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인증 시험에서 "경사각의 접선으로서의 접선의 기울기"라는 주제에는 한 번에 여러 작업이 할당됩니다. 조건에 따라 졸업생은 완전한 답변 또는 짧은 답변 중 하나에 답변해야 할 수 있습니다. 수학에서 USE를 준비할 때 학생은 접선의 기울기를 계산하는 데 필요한 작업을 반드시 반복해야 합니다.
교육 포털 "Shkolkovo"가 이를 도와줄 것입니다. 우리 전문가들은 가능한 한 접근 가능한 이론적이고 실용적인 자료를 준비하고 제시했습니다. 그것에 익숙해지면 모든 수준의 교육을받은 졸업생은 접선 경사각의 탄젠트를 찾아야하는 파생 상품과 관련된 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.
기본적인 순간들
통합 상태 시험에서 이러한 작업에 대한 정확하고 합리적인 솔루션을 찾으려면 기본 정의를 상기해야 합니다. 미분은 함수의 변화율입니다. 그것은 특정 지점에서 함수의 그래프에 그려진 탄젠트의 경사각의 탄젠트와 같습니다. 그림을 완성하는 것도 마찬가지로 중요합니다. 접선 경사각의 탄젠트를 계산해야 하는 미분 시험 문제에 대한 올바른 솔루션을 찾을 수 있습니다. 명확성을 위해 OXY 평면에 플롯하는 것이 가장 좋습니다.
미분 주제에 대한 기본 자료에 이미 익숙해지고 시험 과제와 유사한 접선 경사각의 탄젠트 계산 문제를 풀 준비가 된 경우 온라인으로 수행할 수 있습니다. 각 작업에 대해(예: 주제에 대한 작업) "신체의 속도와 가속도와 미분의 관계", 우리는 정답과 솔루션 알고리즘을 처방했습니다. 동시에 학생들은 다양한 난이도의 과제를 완료하는 연습을 할 수 있습니다. 필요한 경우 나중에 교사와 해결 방법을 논의하기 위해 "즐겨찾기" 섹션에 운동을 저장할 수 있습니다.
교육 발전의 현재 단계에서 주요 임무 중 하나는 창의적으로 사고하는 성격을 형성하는 것입니다. 학생들의 창의적 능력은 연구 활동의 기초에 체계적으로 참여해야만 개발될 수 있습니다. 학생들이 자신의 창의적 능력, 능력 및 재능을 사용하는 기반은 형성된 본격적인 지식과 기술입니다. 그런 점에서 학교 수학 과목의 각 주제에 대한 기초지식과 기술의 체계를 형성하는 문제는 적지 않은 중요성을 갖는다. 동시에 본격적인 기술은 개별 작업이 아니라 신중하게 고려된 시스템의 교훈적인 목표여야 합니다. 가장 넓은 의미에서 시스템은 무결성과 안정적인 구조를 가진 상호 연결된 상호 작용 요소 집합으로 이해됩니다.
함수 그래프에 대한 탄젠트 방정식을 그리는 방법을 학생들에게 가르치는 방법론을 고려하십시오. 본질적으로, 접선 방정식을 찾는 모든 문제는 특정 요구 사항을 충족하는 직선 세트(묶음, 패밀리)에서 일부 함수의 그래프에 접하는 것을 선택해야 할 필요성으로 축소됩니다. 또한 선택이 수행되는 라인 세트는 두 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.
a) xOy 평면에 있는 점(직선의 중심 묶음)
b) 기울기(직선의 평행 묶음).
이와 관련하여 시스템 요소를 분리하기 위해 "함수 그래프에 접함" 주제를 연구할 때 두 가지 유형의 작업을 식별했습니다.
1) 접선이 통과하는 점에 의해 주어진 접선에 대한 문제;
2) 기울기에 의해 주어진 접선에 대한 문제.
접선에서 문제를 푸는 학습은 A.G.가 제안한 알고리즘을 사용하여 수행되었습니다. 모르드코비치. 이미 알려진 것들과의 근본적인 차이점은 접선의 방정식이
y = f (a) + f "(a) (x - a)
(y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)와 비교). 우리의 의견으로는 이 체계적인 기술을 통해 학생들은 현재 점의 좌표가 쓰여진 곳을 더 빠르고 쉽게 이해할 수 있습니다. 접선의 일반 방정식과 접점은 어디에 있습니다.
함수 y = f(x)의 그래프에 대한 탄젠트 방정식을 작성하는 알고리즘
1. 접선점의 가로 좌표를 문자 a로 지정합니다.
2. f(a)를 찾습니다.
3. f "(x) 및 f"(a)를 찾으십시오.
4. 발견된 숫자 a, f(a), f "(a)를 접선 y = f(a) = f"(a) (x - a)의 일반 방정식에 대입합니다.
이 알고리즘은 학생들이 스스로 선택한 작업과 구현 순서를 기반으로 컴파일할 수 있습니다.
실습에 따르면 알고리즘의 도움으로 각 주요 문제의 순차적 솔루션을 사용하면 접선 방정식을 함수 그래프에 단계적으로 작성하는 기술을 형성할 수 있으며 알고리즘의 단계는 참조 역할을 합니다. 행동에 대한 포인트. 이 접근 방식은 P.Ya가 개발한 정신 행동의 단계별 형성 이론에 해당합니다. 갈페린과 N.F. 탈지나.
첫 번째 유형의 작업에서 두 가지 주요 작업이 식별되었습니다.
- 접선은 곡선의 한 점을 통과합니다(작업 1).
- 접선은 곡선 위에 있지 않은 점을 통과합니다(문제 2).
작업 1. 함수의 그래프에 탄젠트 방정식 만들기 
지점 M (3; - 2)에서.
해결책. 점 M(3; - 2)은 접선의 점입니다.
1.a = 3 - 접선 점의 가로 좌표.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f"(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - 접선 방정식.
문제 2. 모든 접선의 방정식을 y = - x 2 - 4x + 2 점 M(-3, 6)을 통과하는 함수의 그래프에 쓰십시오.
해결책. 점 M(-3, 6)은 f(-3) 6(그림 2) 때문에 접선점이 아닙니다.
2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f"(a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a)는 접선의 방정식입니다.
접선은 점 M(-3, 6)을 통과하므로 좌표가 접선 방정식을 충족합니다.
6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
a = - 4인 경우 접선 방정식은 y = 4x + 18입니다.
a = - 2이면 접선 방정식의 형식은 y = 6입니다.
두 번째 유형에서 주요 작업은 다음과 같습니다.
- 접선이 어떤 직선에 평행합니다(문제 3).
- 접선은 주어진 직선에 대해 특정 각도로 통과합니다(작업 4).
문제 3. 직선 y = 9x + 1에 평행한 함수 y = x 3 - 3x 2 + 3의 그래프에 모든 접선의 방정식을 씁니다.
1.a - 접선 점의 가로 좌표.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f"(a) = 3a 2 - 6a.
그러나 한편 f"(a) = 9(평행도 조건). 따라서 방정식 3a 2 - 6a = 9를 풀 필요가 있습니다. 그 근은 a = - 1, a = 3입니다(그림 3 ).
4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);
y = 9x + 8 - 접선 방정식;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);
y = 9x - 24 - 접선 방정식.
문제 4. 함수 y = 0.5x 2 - 3x + 1의 그래프에 접선 방정식을 씁니다. 직선 y = 0에 대해 45° 각도로 지나갑니다(그림 4).
해결책. f "(a) = tan 45 ° 조건에서 a - 3 = 1 ^ a = 4를 찾습니다.
1.a = 4 - 접선 점의 가로 좌표.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1(x - 4).
y = x - 7 - 접선 방정식.
다른 문제를 해결하는 것이 하나 또는 여러 개의 핵심 문제를 해결하는 것으로 축소된다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 예를 들어 다음 두 가지 작업을 고려하십시오.
1. 접선이 직각으로 교차하고 그 중 하나가 가로 좌표가 3인 점에서 포물선에 닿으면 접선 방정식을 포물선 y = 2x 2 - 5x - 2에 씁니다(그림 5).
해결책. 터치 포인트의 가로 좌표가 주어지므로 솔루션의 첫 번째 부분은 핵심 작업 1로 축소됩니다.
1.a = 3 - 직각의 변 중 하나의 접선 점의 가로 좌표.
2.f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f"(3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20은 첫 번째 접선의 방정식입니다.
첫 번째 접선의 경사각을 라 하자. 접선이 수직이므로 다음은 두 번째 접선의 경사각입니다. 첫 번째 접선의 방정식 y = 7x - 20에서 tg a = 7을 얻습니다.
이것은 두 번째 접선의 기울기가 임을 의미합니다.
추가 솔루션은 핵심 작업 3으로 축소됩니다.
B(c; f(c))를 두 번째 직선의 접선점이라고 하면
1. - 두 번째 접점의 가로 좌표.
2. 
3. 
4. 
- 두 번째 접선의 방정식.
메모. 접선의 기울기는 학생들이 수직선 k 1 k 2 = - 1의 계수의 비율을 알면 더 쉽게 찾을 수 있습니다.
2. 함수의 그래프에 모든 공통 접선의 방정식을 씁니다.
해결책. 작업은 공통 접선의 접선 점의 가로 좌표를 찾는 것, 즉 일반적인 형식의 주요 문제 1을 해결하고 방정식 시스템과 후속 솔루션을 작성하는 것으로 축소됩니다(그림 6).
1. a를 함수 y = x 2 + x + 1의 그래프에 있는 접선점의 가로축이라고 합니다.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. c를 함수의 그래프에 있는 접선점의 가로좌표라고 하자. 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
접선이 공통이므로
따라서 y = x + 1 및 y = - 3x - 3은 공통 접선입니다.
고려되는 작업의 주요 목표는 특정 연구 기술(분석, 비교, 일반화, 가설 제시 등의 능력)을 요구하는 보다 복잡한 작업을 해결할 때 주요 작업 유형의 자기 인식을 위해 학생들을 준비시키는 것입니다. 이러한 작업에는 주요 작업이 구성 요소로 포함된 모든 작업이 포함됩니다. 접선의 가족에 의해 함수를 찾는 문제(문제 1의 반대)를 예로 생각해 보겠습니다.
3. 어떤 b와 c가 함수 y = x 2 + bx + c의 그래프에 접하는 선 y = x 및 y = - 2x입니까?
t를 포물선 y = x 2 + bx + c가 있는 직선 y = x의 접선 점의 가로 좌표라고 합시다. p는 포물선 y = x 2 + bx + c가 있는 직선 y = - 2x의 접선점의 가로 좌표입니다. 그러면 접선 y = x의 방정식은 y = (2t + b) x + c - t 2 형식을 취하고 접선 방정식 y = - 2x는 y = (2p + b) x + 형식을 취합니다 c - p 2.
연립방정식을 만들고 풀자
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