Konvex ponthalmaz egy síkon.
Sok pont egy síkon vagy bent háromdimenziós tér hívott konvex, ha ennek a halmaznak bármely két pontja összekapcsolható egy olyan szakaszsal, amely teljes egészében ebben a halmazban található.
1. tétel. Véges számú konvex halmaz metszéspontja egy konvex halmaz.
Következmény. Véges számú konvex halmaz metszéspontja egy konvex halmaz.
Sarokpontok.
A konvex halmaz határpontját ún szögletes, ha lehet rajta olyan szakaszt rajzolni, amelynek minden pontja nem tartozik az adott halmazba.
A különböző alakú halmazoknak véges vagy végtelen számú sarokpontja lehet.
Konvex sokszög.
Poligon hívott konvex, ha a két szomszédos csúcson áthaladó minden vonal egyik oldalán fekszik.
Tétel: Egy konvex n-szög szögeinek összege 180˚ *(n-2)
6) M lineáris egyenlőtlenség rendszereinek megoldása két változóval
Adott egy kétváltozós lineáris egyenlőtlenségrendszer
Néhány vagy az összes egyenlőtlenség előjele ≥ lehet.
Tekintsük az első egyenlőtlenséget az X1OX2 koordinátarendszerben. Építsünk egy egyenest
amely a határvonal.
Ez az egyenes a síkot két 1-es és 2-es félsíkra osztja (19.4. ábra).
Az 1. félsík tartalmazza az origót, a 2. félsík nem tartalmazza az origót.
Annak meghatározásához, hogy a határvonal melyik oldalán található egy adott félsík, fel kell venni egy tetszőleges pontot a síkon ( jobb kezdés koordináták), és ennek a pontnak a koordinátáit behelyettesítjük az egyenlőtlenségbe. Ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a félsík e pont felé néz, ha nem igaz, akkor a ponttal ellentétes irányba.
A félsík iránya az ábrákon nyíllal látható.
15. definíció. A rendszer minden egyenlőtlenségének megoldása egy félsík, amely a határvonalat tartalmazza és annak egyik oldalán helyezkedik el.
Definíció 16. A félsíkok metszéspontját, amelyek mindegyikét a rendszer megfelelő egyenlőtlensége határozza meg, a rendszer megoldási tartományának (SO) nevezzük.
Definíció 17. Egy olyan rendszer megoldási területét, amely teljesíti a nem-negatívitási feltételeket (xj ≥ 0, j =), nemnegatív vagy megengedhető megoldások területének (ADS) nevezzük.
Ha az egyenlőtlenségek rendszere konzisztens, akkor az OR és az ODR lehet poliéder, korlátlan poliéder régió vagy egyetlen pont.
Ha az egyenlőtlenségek rendszere inkonzisztens, akkor az OR és az ODR egy üres halmaz.
1. példa Keresse meg az egyenlőtlenségrendszer VAGY és ODE-jét, és határozza meg az ODE sarokpontjainak koordinátáit
Megoldás. Határozzuk meg az első egyenlőtlenség VAGY értékét: x1 + 3x2 ≥ 3. Szerkesszük meg az x1 + 3x2 – 3 = 0 határvonalat (19.5. ábra). Helyettesítsük be a (0,0) pont koordinátáit az egyenlőtlenségbe: 1∙0 + 3∙0 > 3; mivel a (0,0) pont koordinátái nem elégítik ki, így a (19.1) egyenlőtlenség megoldása egy olyan félsík, amely nem tartalmazza a (0,0) pontot.
Hasonlóképpen keressünk megoldást a rendszer fennmaradó egyenlőtlenségeire is. Azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer OR és ODE egy konvex ABCD poliéder.
Keressük meg a poliéder sarokpontjait. Az A pontot az egyenesek metszéspontjaként határozzuk meg
A rendszert megoldva A(3/7, 6/7) kapjuk.
A B pontot az egyenesek metszéspontjaként találjuk
A rendszerből megkapjuk a B(5/3, 10/3). Hasonlóképpen megtaláljuk a C és D pont koordinátáit: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
2. példa Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer VAGY és ODE-jét!
Megoldás. Építsünk egyeneseket és határozzunk meg megoldásokat a (19.5)-(19.7) egyenlőtlenségekre. Az OR és az ODR korlátlan poliéderes ACFM és ABDEKM régiók (19.6. ábra).
3. példa. Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer VAGY és ODE-jét!
Megoldás. Keressünk megoldásokat a (19.8)-(19.10) egyenlőtlenségekre (19.7. ábra). Az OR a korlátlan ABC poliéder régiót jelenti; ODR – B pont.
4. példa Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer OP és ODP értékét!
Megoldás. Egyenesek megszerkesztésével megoldást találunk a rendszer egyenlőtlenségeire. Az OR és az ODR nem kompatibilis (19.8. ábra).
FELADATOK
Keresse meg az egyenlőtlenségi rendszerek VAGY és ODE-ját
Tétel. Ha xn ® a, akkor .
Bizonyíték. Az xn ® a-ból az következik, hogy . Eközben:
, azaz , azaz . A tétel bebizonyosodott.
Tétel. Ha xn ® a, akkor az (xn) sorozat korlátos.
Megjegyzendő, hogy a fordított állítás nem igaz, i.e. egy sorozat határoltsága nem jelenti a konvergenciáját.
Például a sorozat 
bár nincs határa
A függvények hatványsorokká bővítése.
A funkciók bővítése ben teljesítmény sorozat Megvan nagyon fontos a függvénytanulmányozás, a differenciálás, az integráció, a differenciálegyenletek megoldása, a határértékek kiszámítása, a függvény közelítő értékeinek kiszámítása különböző problémáinak megoldására.
1. definíció. A szaggatott vonal szegmensek véges sorozata úgy, hogy az első szegmens egyik vége a második, a második szegmens másik vége a harmadik végeként szolgál stb.
A szaggatott vonalat alkotó szakaszokat linkeknek nevezzük. A szomszédos szegmensek nem ugyanazon az egyenes vonalon fekszenek. Ha egy szaggatott vonal végei egybeesnek, akkor ún zárva. A vonallánc metszi önmagát, megérintheti önmagát, és magára támaszkodhat. Ha egy szaggatott vonal nem rendelkezik ilyen jellemzőkkel, akkor hívják egyszerű.
2. definíció. Az egyszerű zárt szaggatott vonalat a sík általa határolt részével együtt sokszögnek nevezzük.
Magát a szaggatott vonalat a sokszög határának, a szaggatott vonal linkjeit nevezzük a felek sokszög, a linkek végei a sokszög csúcsai. Egy sokszög két szomszédos oldala szöget alkot. A sokszögben lévő szögek száma megegyezik az oldalak számával. Minden sokszögnek 180°-nál kisebb szögei vannak. A sokszög oldalait és szögeit ún elemeket poligon.
A sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakaszt átlónak nevezzük. Bármely n-szögnek n-2 átlója lehet.
3. definíció. A sokszög ún konvex, ha az oldalát tartalmazó minden sor egyik oldalán fekszik. Azokat a sokszögeket, amelyek nem felelnek meg ennek a feltételnek, nem konvexnek nevezzük.
Konvex sokszögek tulajdonságai.
1. tulajdonság. U konvex sokszög minden szög 180°-nál kisebb.
Bizonyítás: Vegyünk egy P konvex sokszög tetszőleges A szögét és annak a oldalát az A csúcsból. Legyen l egy a oldalt tartalmazó egyenes. Mivel a P sokszög konvex, az l egyenes egyik oldalán fekszik. Ezért az A szög az l egyenes egyik oldalán fekszik. Következésképpen az A szög kisebb, mint a kibontott, azaz ÐA< 180°.
2. tulajdonság. Egy konvex sokszög tetszőleges két pontját összekötő szakasz benne van abban a sokszögben.
Bizonyítás: Vegyünk egy P konvex sokszög bármely két M és N pontját. A P sokszög több félsík metszéspontja. Az MN szakasz mindegyik félsíkban található. Ezért az R sokszögben is benne van.
3. tulajdonság. Egy konvex sokszög szögeinek összege (n – 2)∙180°.
Bizonyítás: Vegyünk egy tetszőleges O pontot a P konvex sokszögen belül, és kössük össze a sokszög összes csúcsával. N darab háromszög keletkezik, amelyek szögeinek összege 180°. Az O csúcsnál lévő szögek összeadódnak 360° = 2∙180°. Ezért egy sokszög szögeinek összege n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
A paralelogramma fogalma. A paralelogramma tulajdonságai.
1. definíció. Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.
Minden paralelogrammának négy csúcsa, négy oldala és négy sarka van. Két közös végű oldalt nevezünk szomszédos. Minden paralelogrammának két átlója van - a paralelogramma ellentétes csúcsait összekötő szegmensek. Egy paralelogramma szögeinek összege 360°.
A paralelogramma tulajdonságai.
1. tulajdonság. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, a szemközti szögei pedig páronként egyenlők.
Bizonyítás: Rajzoljuk meg az AC átlót. AC – általános;
РВАС = РАСD (belső keresztben fekvő AB II BC és szekáns AC);
РВСА = РСАD (belső keresztben fekve a Kr. e. II. pontban és szekáns AC);
Þ DABC = DADC (2 jellemző alapján).
AB = CD; BC = Kr. u. РВ = РD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
2. tulajdonság. A paralelogrammában az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°.
Bizonyíték:
РВ + РА =180° (belső egyoldalas BC II AD-vel és AB metszővel).
ÐB + ÐС =180° (belső egyoldalas AB II CD-vel és szekáns BC-vel).
ÐD + ÐC =180° (belső egyoldalas BC II AD-vel és szekáns CD-vel).
ÐA + ÐD =180° (belső egyoldalas AB II CD-vel és szekáns AD-vel).
3. tulajdonság. A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.
Bizonyítás: Rajzoljunk AC és BD átlókat, amelyek az O pontban metszik egymást.
AB = CD (az első paralelogramma szerint);
ÐABO = ÐODC (belső keresztben fekvő AB II CD és szekáns BD);
РБАО = РОСD (belső keresztben fekvő AB II CD és szekáns AC);
Þ DABO = DODC (2 jellemző alapján).
BO = OD; AO = OC.
A paralelogramma jelei.
1. jel. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.
Adott: ABCD – négyszög; Kr. e. II.
Sokszög domborúságának meghatározása.
A Kirus–Back algoritmus egy ablakként használt konvex sokszög jelenlétét feltételezi.
A gyakorlatban azonban nagyon gyakran felmerül a sokszög levágásának feladata, és kezdetben nem adnak információt arról, hogy konvex-e vagy sem. Ebben az esetben a vágási eljárás megkezdése előtt meg kell határozni, hogy melyik sokszög adott - konvex vagy sem.
Adjunk néhány definíciót a sokszög konvexitására
Egy sokszög akkor tekinthető konvexnek, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) egy konvex sokszögben minden csúcs az élt hordozó vonal egyik oldalán található belső oldal adott élhez képest);
2) a sokszög minden belső szöge kisebb, mint 180°;
3) a sokszög csúcsait összekötő összes átló ezen a sokszögön belül van;
4) a sokszög minden sarkát ugyanabban az irányban kell bejárni (3.3-1. ábra).
Az utolsó konvexitási feltétel analitikus reprezentációjának kidolgozásához a vektorszorzatot használjuk.
vektoros alkotás W két vektor a És b (3.3-2. ábra a) ként meghatározott:
A x ,a y ,a z és b x ,b y,b z vetületek a faktorvektorok X ,Y ,Z koordinátatengelyeire. aÉs b,
- én, j, k– egységvektorok az X, Y, Z koordinátatengelyek mentén.
 |
Rizs.3.3 ‑ 1
Rizs.3.3 ‑ 2
Ha egy sokszög kétdimenziós ábrázolását tekintjük a benne való ábrázolásnak Koordináta sík XY háromdimenziós koordinátarendszer X,Y,Z (3.3-2. ábra b), majd a vektorok vektorszorzatának a kifejezése UÉs V, ahol a vektorok UÉs V szomszédos élek, amelyek egy sokszög sarkát alkotják, determinánsként írhatók fel:
A keresztszorzat vektora merőleges arra a síkra, amelyben a faktorvektorok találhatók. A szorzatvektor irányát a kardánszabály vagy a jobb oldali csavarszabály határozza meg.
ábrán bemutatott esetre. 3,3-2 b ), vektor W, amely a vektorok vektorszorzatának felel meg V, U, ugyanolyan irányvonalú lesz, mint a Z koordináta tengelyének iránya.
Tekintettel arra, hogy a faktorvektorok vetületei a Z tengelyre ebben az esetben nullával egyenlőek, a vektorszorzat a következőképpen ábrázolható:
(3.3-1)
Egységvektor k mindig pozitív, ezért a vektor előjele w A vektorterméket csak a D determináns előjele határozza meg a fenti kifejezésben. Vegye figyelembe, hogy a faktorvektorok felcserélésekor a vektorszorzat tulajdonsága alapján UÉs V vektor jele w az ellenkezőjére fog változni.
Ebből következik, hogy ha vektorként VÉs U tekintsünk egy sokszög két szomszédos élét, akkor a vektorok vektorszorzatban való felsorolásának sorrendje a vizsgált sokszög sarkának vagy az ezt a szöget alkotó éleknek a bejárásával összhangba tehető. Ez lehetővé teszi, hogy a következő szabályt használja kritériumként egy sokszög konvexitásának meghatározásához:
ha a sokszög összes élpárjára teljesül a következő feltétel:
 |
Ha az egyes szögekre vonatkozó vektorszorzatok előjelei nem esnek egybe, akkor a sokszög nem konvex.
Mivel a sokszög élei végpontjaik koordinátáiban vannak megadva, kényelmesebb determinánst használni a vektorszorzat előjelének meghatározásához.
Ebben a leckében egy új témát kezdünk, és egy új fogalmat vezetünk be számunkra: „sokszög”. Megnézzük a sokszögekhez kapcsolódó alapfogalmakat: oldalak, csúcsszögek, konvexitás és nemkonvexitás. Aztán bebizonyítjuk a legfontosabb tényeket mint például az összegtétel belső sarkok sokszög, összegtétel külső sarkok poligon. Ennek eredményeként közel kerülünk a sokszögek speciális eseteinek tanulmányozásához, amelyekről a további leckékben szó lesz.
Téma: Négyszögek
Tanulság: Sokszögek
A geometria tanfolyamon a geometriai alakzatok tulajdonságait tanulmányozzuk, és már megvizsgáltuk a legegyszerűbbeket: a háromszögeket és a köröket. Ugyanakkor tárgyaltuk ezen alakzatok speciális speciális eseteit is, mint például a jobb oldali, az egyenlő szárú és a szabályos háromszögek. Itt az ideje, hogy általánosabb és összetettebb számokról beszéljünk - sokszögek.
Speciális tokkal sokszögek már ismerjük – ez egy háromszög (lásd 1. ábra).
Rizs. 1. Háromszög
Már maga a név is hangsúlyozza, hogy ez egy háromszögű figura. Ezért be poligon sok lehet belőlük, pl. több mint három. Például rajzoljunk egy ötszöget (lásd 2. ábra), azaz. öt sarkú figura.
Rizs. 2. Pentagon. Konvex sokszög
Meghatározás.Poligon- több pontból (kettőnél több) és megfelelő számú szegmensből álló ábra, amelyek egymás után összekötik őket. Ezeket a pontokat ún csúcsok sokszög, és a szakaszok a felek. Ebben az esetben nincs két szomszédos oldal ugyanazon az egyenesen, és nincs két nem szomszédos oldal sem metszi egymást.
Meghatározás.Szabályos sokszög egy konvex sokszög, amelyben minden oldal és szög egyenlő.
Bármi poligon két részre osztja a síkot: belső és külső. A belső területet más néven poligon.
Más szóval, amikor például egy ötszögről beszélnek, akkor a teljes belső régióját és a határát is jelentik. A belső régió pedig magában foglalja az összes olyan pontot, amely a sokszög belsejében található, azaz. a pont az ötszögre is utal (lásd 2. ábra).
A sokszögeket néha n-szögeknek is nevezik, hogy hangsúlyozzák, hogy bizonyos ismeretlen számú szög (n darab) előfordulásának általános esetét vesszük figyelembe.
Meghatározás. Sokszög kerülete- a sokszög oldalai hosszának összege.
Most meg kell ismerkednünk a sokszögek típusaival. Osztva vannak konvexÉs nem domború. Például az ábrán látható sokszög. A 2. ábra konvex, és a 2. ábrán látható. 3 nem domború.
Rizs. 3. Nem konvex sokszög
1. definíció. Poligon hívott konvex, ha bármelyik oldalán keresztül egyenes vonal húzásakor a teljes poligon ennek az egyenesnek csak az egyik oldalán fekszik. Nem domború mindenki más sokszögek.
Könnyen elképzelhető, hogy az ötszög bármely oldalának meghosszabbításakor a 1. ábrán. 2 mindez ennek az egyenesnek az egyik oldalán lesz, azaz. domború. Ám amikor egyenes vonalat húzunk egy négyszögön keresztül az ábrán. 3 már látjuk, hogy két részre osztja, i.e. nem domború.
De van egy másik definíció is a sokszög konvexitásáról.
2. definíció. Poligon hívott konvex, ha bármely két belső pontjának kiválasztásakor és egy szegmenssel összekötve a szakasz minden pontja egyben a sokszög belső pontja is.
Ennek a definíciónak a használatának szemléltetése látható a szegmensek felépítésének példáján az ábrán. 2. és 3.
Meghatározás. Átlós A sokszög bármely szakasza, amely két nem szomszédos csúcsot köt össze.
A sokszögek tulajdonságainak leírására két legfontosabb tétel van a szögeikről: tétel egy konvex sokszög belső szögeinek összegérőlÉs tétel egy konvex sokszög külső szögeinek összegéről. Nézzük meg őket.
Tétel. Egy konvex sokszög belső szögeinek összegéről (n-gon).
Hol van a szögeinek (oldalainak) száma.
1. bizonyítás. Ábrázoljuk az ábrán. 4 konvex n-szög.
Rizs. 4. Konvex n-szög
A csúcsból kirajzoljuk az összes lehetséges átlót. Egy n-szöget háromszögekre osztanak, mert a sokszög minden oldala egy háromszöget alkot, kivéve a csúcsgal szomszédos oldalakat. Az ábrán jól látható, hogy ezen háromszögek szögeinek összege pontosan egyenlő lesz az n-szög belső szögeinek összegével. Mivel bármely háromszög szögeinek összege , akkor egy n-szög belső szögeinek összege:
Q.E.D.
2. bizonyítás. Ennek a tételnek egy másik bizonyítása is lehetséges. Rajzoljunk egy hasonló n-szöget az ábrán. 5, és csatlakoztassa bármelyik belső pontját az összes csúcshoz.
Rizs. 5.
Megkaptuk az n-szög n háromszögre való felosztását (annyi oldala van a háromszögeknek). Az összes szögük összege egyenlő a sokszög belső szögeinek összegével és a belső pont szögeinek összegével, és ez a szög. Nekünk van:
Q.E.D.
Igazolt.
A bizonyított tétel szerint világos, hogy egy n-szög szögeinek összege függ oldalainak számától (n-en). Például egy háromszögben, és a szögek összege . Egy négyszögben, és a szögek összege stb.
Tétel. Egy konvex sokszög külső szögeinek összegéről (n-gon).
Hol van a szögeinek (oldalainak) száma, és , …, a külső szögek.
Bizonyíték. Ábrázoljunk egy konvex n-szöget az ábrán. 6, és jelölje ki belső és külső szögeit.
Rizs. 6. Konvex n-szög meghatározott külső szögekkel
Mert A külső sarok tehát szomszédosként csatlakozik a belsőhöz 
és hasonlóan a fennmaradó külső sarkokhoz. Akkor:
A transzformációk során az n-szög belső szögeinek összegére vonatkozó, már bevált tételt alkalmaztuk.
Igazolt.
A bizonyított tételből az következik Érdekes tény, hogy egy konvex n-szög külső szögeinek összege egyenlő 
szögeinek (oldalainak) számáról. Egyébként a belső szögek összegével ellentétben.
Bibliográfia
- Alexandrov A.D. és mások geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Házi feladat
Sokszög koncepció
1. definíció
Poligon hívott geometriai alakzat egy páronként összekapcsolt szakaszokból álló síkban a szomszédosak nem ugyanazon az egyenesen fekszenek.
Ebben az esetben a szegmenseket ún a sokszög oldalaiés a végeik - a sokszög csúcsai.
2. definíció
A $n$-gon egy sokszög $n$ csúcsokkal.
A sokszögek típusai
3. definíció
Ha egy sokszög mindig az oldalain áthaladó egyenes ugyanazon az oldalán fekszik, akkor a sokszöget hívjuk konvex(1. ábra).
1. ábra Konvex sokszög
4. definíció
Ha egy sokszög legalább egy, az oldalain áthaladó egyenes ellentétes oldalain fekszik, akkor a sokszöget nem konvexnek nevezzük (2. ábra).
2. ábra Nem konvex sokszög
Sokszög szögeinek összege
Vezessünk be egy tételt a háromszög szögeinek összegére.
1. tétel
Egy konvex háromszög szögeinek összegét a következőképpen határozzuk meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Bizonyíték.
Adjunk egy $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ konvex sokszöget. Kössük össze a $A_1$ csúcsát ennek a sokszögnek az összes többi csúcsával (3. ábra).
3. ábra.
Ezzel az összefüggéssel $n-2$ háromszöget kapunk. Szögeik összegzésével egy adott -gon szögeinek összegét kapjuk. Mivel egy háromszög szögeinek összege $(180)^0,$ azt kapjuk, hogy egy konvex háromszög szögeinek összegét a képlet határozza meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
A tétel bebizonyosodott.
A négyszög fogalma
A $2$ definíciójával könnyen bevezethető a négyszög definíciója.
5. definíció
A négyszög egy sokszög, amelynek csúcsai $4 $ (4. ábra).
4. ábra Négyszög
Négyszög esetén a konvex négyszög és a nem konvex négyszög fogalma hasonlóképpen definiált. A konvex négyszögek klasszikus példái a négyzet, a téglalap, a trapéz, a rombusz, a paralelogramma (5. ábra).
5. ábra Konvex négyszögek
2. tétel
Egy konvex négyszög szögeinek összege $(360)^0$
Bizonyíték.
A $1$ tételből tudjuk, hogy egy konvex -gon szögeinek összegét a képlet határozza meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Ezért egy konvex négyszög szögeinek összege egyenlő
\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]
A tétel bebizonyosodott.