Érdekes, hogy sok évvel ezelőtt a matematika olyan ágát, mint a „geometria”, „földmérésnek” nevezték. A kerület és a terület megtalálásának módja pedig régóta ismert. Például azt mondják, hogy ennek a két mennyiségnek a legelső számítói Egyiptom lakói. Ilyen tudásnak köszönhetően tudták megépíteni a ma ismert építményeket.
A terület és kerület megtalálásának képessége hasznos lehet Mindennapi élet. A mindennapi életben ezeket az értékeket akkor használják, ha valamit festeni kell, kertet kell telepíteni vagy művelni, tapétát kell ragasztani a helyiségbe stb.
Kerület
Leggyakrabban meg kell találnia a sokszögek vagy háromszögek kerületét. Ennek az értéknek a meghatározásához elegendő csak ismerni az összes oldal hosszát, és a kerület az összegük. A kerület meghatározása is lehetséges, ha a terület ismert.
Háromszög
Ha tudnia kell egy háromszög kerületét, annak kiszámításához használja a következő képletet: P = a + b + c, ahol a, b, c a háromszög oldalai. Ebben az esetben a síkon egy közönséges háromszög minden oldalát összegezzük.
Kör
A kör kerületét általában kerületnek nevezik. Ennek az értéknek a meghatározásához a következő képletet kell használnia: L = π*D = 2*π*r, ahol L a kerület, r a sugár, D az átmérő, és a π szám, mint ismeretes, megközelítőleg egyenlő 3,14-gyel.
Négyzet, rombusz
A négyzet és a rombusz kerületének képlete megegyezik, mert az egyik és a másik alakzatnak minden oldala egyenlő. Mivel egy négyzetnek és egy rombusznak egyenlő oldala van, ezeket (az oldalakat) ugyanazzal az „a” betűvel jelölhetjük. Kiderül, hogy a négyzet és a rombusz kerülete egyenlő:
- P = a + a + a + a vagy P = 4a
Téglalap, paralelogramma
A téglalapnak és a paralelogrammának ugyanaz a szemközti oldala, így két különböző „a” és „b” betűvel jelölhetők. A képlet így néz ki:
- P = a + b + a + b = 2a + 2b. A kettőt ki lehet venni a zárójelből, és a következő képletet kapjuk: P = 2 (a+b)
Trapéz alakú
A trapéz minden oldala eltérő, ezért a latin ábécé különböző betűivel vannak jelölve. Ebben a tekintetben a trapéz kerületének képlete így néz ki:
- P = a + b + c + d Itt az összes oldalt összeadjuk.
Négyzet
A terület az ábra azon része, amely a körvonalán belül van.
Téglalap
A téglalap területének kiszámításához meg kell szorozni az egyik oldal értékét (hosszát) a másik értékével (szélesség). Ha a hosszúság és a szélesség értékeit „a” és „b” betűk jelölik, akkor a terület kiszámítása a következő képlettel történik:
- S = a*b
Négyzet
Amint azt már tudod, a négyzet oldalai egyenlőek, így a terület kiszámításához egyszerűen be kell venni a négyzet egyik oldalát:
- S = a*a = a 2
Rombusz
A rombusz területének meghatározásának képlete kissé eltérő formában van: S = a*h a, ahol h a az oldalra húzott rombusz magasságának hossza.
Ezenkívül a rombusz területét a következő képletekkel találhatja meg:
- S = a 2 *sin α, míg a az ábra oldala, az α szög pedig az oldalak közötti szög;
- S = 4r 2 /sin α, ahol r a rombuszba írt kör sugara, az α szög pedig az oldalak közötti szög.
Kör
A kör területe is könnyen meghatározható. Ehhez használhatja a következő képletet:
- S = πR 2, ahol R a sugár.
Trapéz alakú
A trapéz területének kiszámításához használhatja ezt a képletet:
- S = 1/2*a*b*h, ahol a, b a trapéz alapjai, h a magassága.
Háromszög
A háromszög területének meghatározásához használja a több képlet egyikét:
- S = 1/2*a*b sin α (ahol a, b a háromszög oldalai, α pedig a köztük lévő szög);
- S = 1/2 a*h (ahol a a háromszög alapja, h a hozzá süllyesztett magasság);
- S = abc/4R (ahol a, b, c a háromszög oldalai, R pedig a körülírt kör sugara);
- S = p*r (ahol p a fél kerülete, r a beírt kör sugara);
- S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (ahol p a fél kerülete, a, b, c a háromszög oldalai).
Paralelogramma
Egy adott ábra területének kiszámításához be kell cserélnie az értékeket az egyik képletbe:
- S = a*b*sin α (ahol a, b a paralelogramma alapjai, α az oldalak közötti szög);
- S = a*h a (ahol a a paralelogramma oldala, h a az a oldalra süllyesztett paralelogramma magassága);
- S = 1/2 *d*D* sin α (ahol d és D a paralelogramma átlói, α a köztük lévő szög).
Óra és előadás a témában: "Téglalap kerülete és területe"
Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.
Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 3. osztályosoknak
Oktató 3. osztályos "Szabályok és gyakorlatok a matematikában"
Elektronikus tankönyv 3. osztályos "Matek 10 percben"
Mi a téglalap és a négyzet
Téglalap négyszög minden derékszöggel. Ez azt jelenti, hogy az ellentétes oldalak egyenlőek egymással.
Négyzet egy téglalap egyenlő oldalakkal és egyenlő szögekkel. Szabályos négyszögnek nevezzük.
A négyszögeket, beleértve a téglalapokat és a négyzeteket is, 4 betű jelöli - csúcsok. A latin betűket a csúcsok jelölésére használják: A, B, C, D...
Példa. 
Így hangzik: ABCD négyszög; négyzetes EFGH.
Mekkora a téglalap kerülete? Képlet a kerület kiszámításához
Egy téglalap kerülete a téglalap összes oldalának hosszának összege vagy a hosszúság és a szélesség összege szorozva 2-vel.A kerületet latin betű jelzi P. Mivel a kerület a téglalap összes oldalának hossza, a kerületet hosszegységekben írjuk: mm, cm, m, dm, km.
Például az ABCD téglalap kerületét a következőképpen jelöljük P ABCD, ahol A, B, C, D a téglalap csúcsai.
Írjuk fel az ABCD négyszög kerületének képletét:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Példa.
Adott egy ABCD téglalap, melynek oldalai: AB=CD=5 cm és AD=BC=3 cm.
Definiáljuk a P ABCD-t.
Megoldás:
1. Rajzoljunk egy ABCD téglalapot az eredeti adatokkal! 
2. Írjunk egy képletet egy adott téglalap kerületének kiszámításához:
P ABCD = 2 * (AB + BC)
P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm
Válasz: P ABCD = 16 cm.
Képlet a négyzet kerületének kiszámításához
Van egy képletünk a téglalap kerületének meghatározására.P ABCD = 2 * (AB + BC)
Határozzuk meg vele egy négyzet kerületét. Figyelembe véve, hogy a négyzet minden oldala egyenlő, a következőt kapjuk:
P ABCD = 4 * AB
Példa.
Adott egy ABCD négyzet, amelynek oldala egyenlő 6 cm-rel. Határozzuk meg a négyzet kerületét.
Megoldás.
1. Rajzoljunk egy ABCD négyzetet az eredeti adatokkal!
2. Emlékezzünk vissza a négyzet kerületének kiszámítására szolgáló képletre:
P ABCD = 4 * AB
3. Helyettesítsük be adatainkat a képletbe:
P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm
Válasz: P ABCD = 24 cm.
Feladatok a téglalap kerületének meghatározásához
1. Mérje meg a téglalapok szélességét és hosszát! Határozza meg a kerületüket. 
2. Rajzolj egy ABCD téglalapot, melynek oldalai 4 cm és 6 cm. Határozd meg a téglalap kerületét!
3. Rajzoljon egy négyzet alakú SEOM-et, amelynek oldala 5 cm. Határozza meg a négyzet kerületét!
Hol használják a téglalap kerületének kiszámítását?
1. Egy telek adott, azt kerítéssel kell körülvenni. Milyen hosszú lesz a kerítés?
Ebben a feladatban pontosan ki kell számítani a telek kerületét, hogy ne vásároljon felesleges anyagot a kerítés építéséhez.
2. A szülők úgy döntöttek, hogy felújítják a gyerekszobát. A tapéta mennyiségének helyes kiszámításához ismernie kell a szoba kerületét és területét.
Határozza meg annak a helyiségnek a hosszát és szélességét, amelyben él. Határozza meg a szoba kerületét.
Mekkora egy téglalap területe?
Négyzet az ábra numerikus jellemzője. A területet a hossz négyzetegységében mérik: cm 2, m 2, dm 2 stb. (centiméter négyzet, méter négyzet, deciméter négyzet stb.)A számításokban latin betűvel jelöljük S.
A téglalap területének meghatározásához szorozza meg a téglalap hosszát a szélességével. 
A téglalap területét úgy számítjuk ki, hogy az AC hosszát megszorozzuk a CM szélességével. Ezt írjuk fel képletként.
S AKMO = AK * KM
Példa.
Mekkora az AKMO téglalap területe, ha oldalai 7 cm és 2 cm?
S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.
Válasz: 14 cm 2.
Képlet egy négyzet területének kiszámításához
A négyzet területe úgy határozható meg, hogy az oldalt önmagával megszorozzuk.Példa. 
BAN BEN ebben a példában A négyzet területét úgy számítjuk ki, hogy megszorozzuk az AB oldalt a BC szélességgel, de mivel egyenlők, az eredmény az AB oldal AB oldalának szorzata.
S ABCO = AB * BC = AB * AB
Példa.
Határozza meg egy négyzet alakú AKMO területét, amelynek oldala 8 cm.
S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2
Válasz: 64 cm 2.
A téglalap és a négyzet területének megtalálásának problémái
1. Adott egy téglalap, melynek oldalai 20 mm és 60 mm. Számítsa ki a területét. Válaszát írja le négyzetcentiméterben!2. Vásároltunk egy 20 x 30 m méretű nyaralót. Határozzuk meg a területet nyári lak, válaszát írja le négyzetcentiméterben.
Meghatározás.
Téglalap olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala egyenlő, és mind a négy szöge egyenlő.A téglalapok csak a hosszú oldal és a rövid oldal arányában térnek el egymástól, de mind a négy sarok derékszögű, azaz 90 fokos.
A téglalap hosszú oldalát ún téglalap hossza, és a rövid - téglalap szélesség.
A téglalap oldalai egyben a magassága is.
A téglalap alapvető tulajdonságai
A téglalap lehet paralelogramma, négyzet vagy rombusz.
1. A téglalap szemközti oldalai azonos hosszúságúak, azaz egyenlők:
AB = CD, BC = AD
2. A téglalap szemközti oldalai párhuzamosak:
3. A téglalap szomszédos oldalai mindig merőlegesek:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. A téglalap mind a négy sarka egyenes:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Egy téglalap szögeinek összege 360 fok:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Egy téglalap átlói azonos hosszúságúak:
7. Egy téglalap átlójának négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzeteinek összegével:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Egy téglalap minden átlója a téglalapot két azonos figurára, nevezetesen derékszögű háromszögekre osztja.
9. A téglalap átlói metszik egymást, és a metszéspontban kettéosztjuk:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Az átlók metszéspontját a téglalap középpontjának nevezzük, és egyben a körülírt kör középpontja is
11. Egy téglalap átlója a körülírt kör átmérője
12. Mindig leírhatsz egy téglalap körüli kört, mivel a szemközti szögek összege 180 fok:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Nem írható kör olyan téglalapba, amelynek hossza nem egyenlő a szélességével, mivel a szemközti oldalak összegei nem egyenlőek egymással (kör csak különleges eset téglalap – négyzet).
Egy téglalap oldalai
Meghatározás.
Téglalap hossza a hosszabb oldalpár hossza. Téglalap szélessége a rövidebb oldalpár hossza.Képletek a téglalap oldalai hosszának meghatározásához
1. A téglalap oldalának képlete (a téglalap hossza és szélessége) az átlón és a másik oldalon:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Képlet egy téglalap oldalának (a téglalap hossza és szélessége) a területen és a másik oldalon keresztül:
| b = dcos | β |
| 2 |
Egy téglalap átlója
Meghatározás.
Átlós téglalap A téglalap két szemközti sarkának két csúcsát összekötő szakaszt nevezzük.Képletek a téglalap átlójának hosszának meghatározásához
1. Egy téglalap átlójának képlete a téglalap két oldalát használva (a Pitagorasz-tételen keresztül):
d = √ a 2 + b 2
2. Egy téglalap átlójának képlete a terület és bármely oldal felhasználásával:
4. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör sugarában:
d = 2R
5. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör átmérője alapján:
d = D o
6. A téglalap átlójának képlete az átlóval szomszédos szög szinuszának és az ezzel a szöggel ellentétes oldal hosszának felhasználásával:
8. Egy téglalap szinuszos átlójának képlete hegyesszög az átlók és a téglalap területe között
d = √2S: bűn β
Egy téglalap kerülete
Meghatározás.
Egy téglalap kerülete egy téglalap minden oldalának hosszának összege.Képletek a téglalap kerülete hosszának meghatározásához
1. A téglalap kerületének képlete a téglalap két oldalával:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. A téglalap kerületének képlete területtel és bármely oldallal:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. A téglalap kerületének képlete az átló és bármely oldal használatával:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör sugarát és bármely oldalát felhasználva:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérőjének felhasználásával:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Egy téglalap területe
Meghatározás.
Egy téglalap területe a téglalap oldalai által határolt teret nevezzük, vagyis a téglalap kerületén belül.Képletek a téglalap területének meghatározásához
1. Egy téglalap területének képlete két oldal használatával:
S = a b
2. A téglalap területének képlete a kerület és bármely oldal használatával:
5. A téglalap területének képlete a körülírt kör sugarát és bármely oldalát felhasználva:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. A téglalap területének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérőjének felhasználásával:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Téglalap körül körülírt kör
Meghatározás.
Egy téglalap köré körülírt kör A téglalap négy csúcsán áthaladó kör, amelynek középpontja a téglalap átlóinak metszéspontjában van.A téglalap köré körülírt kör sugarának meghatározására szolgáló képletek
1. Egy téglalap köré két oldalról körülírt kör sugarának képlete:
A téglalap a négyszög speciális esete. Ez azt jelenti, hogy a téglalapnak négy oldala van. Ellentétes oldalai egyenlőek: ha például az egyik oldala 10 cm, akkor a szemközti oldal is egyenlő lesz 10 cm-rel. A téglalap speciális esete a négyzet. A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő. A négyzet területének kiszámításához ugyanazt az algoritmust használhatja, mint a téglalap területének kiszámításához.
Hogyan lehet megtudni egy téglalap területét két oldal alapján
A téglalap területének meghatározásához meg kell szorozni a hosszát a szélességével: Terület = hossz × szélesség. Az alábbi esetben: Terület = AB × BC.
Hogyan lehet megtudni a téglalap területét az oldal és az átló hossza szerint
Egyes problémák megkövetelik a téglalap területét az átló és az egyik oldal hosszával. A téglalap átlója két egyenlő részre osztja derékszögű háromszög. Ezért a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározhatjuk a téglalap második oldalát. Ezt követően a feladat az előző pontra redukálódik.
Hogyan lehet megtudni a téglalap területét a kerülete és az oldala alapján
A téglalap kerülete az összes oldalának összege. Ha ismeri a téglalap és az egyik oldal kerületét (például a szélességét), akkor a következő képlet segítségével kiszámíthatja a téglalap területét:
Terület = (Kerület × szélesség – szélesség^2)/2.
Egy téglalap területe az átlók hegyesszögének szinuszán keresztül és az átló hossza
A téglalap átlói egyenlőek, ezért a terület kiszámításához az átló hossza és a köztük lévő hegyesszög szinusza alapján a következő képletet kell használni: Terület = Átló^2 × sin(az átlók hegyesszöge )/2.
Megoldáskor figyelembe kell venni, hogy a téglalap területének megtalálásának problémáját csak az oldalak hosszából kell megoldani. ez tiltott.
Ezt könnyű ellenőrizni. Legyen a téglalap kerülete 20 cm. Ez igaz, ha az oldalai 1 és 9, 2 és 8, 3 és 7 cm-esek. (1 + 9) * 2 = 20 pontosan megegyezik a (2 + 8) * 2 = 20 cm-rel.
Amint látja, választhatunk végtelen számú lehetőség a téglalap oldalainak méretei, amelyek kerülete megegyezik a megadott értékkel.
Az adott 20 cm-es kerületű, de különböző oldalakkal rendelkező téglalapok területe eltérő lesz. A megadott példában - 9, 16 és 21 négyzetcentiméter.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Amint látja, egy adott kerületen végtelen számú lehetőség van egy alakzat területének meghatározására.
Így ahhoz, hogy a téglalap területét a kerületéből számíthassa ki, ismernie kell az oldalak arányát vagy az egyik hosszát. Az egyetlen alak, amelynek területe egyértelműen függ a kerületétől, a kör. Csak körhözés egy lehetséges megoldás.
Ebben a leckében:
- 4. feladat Az oldalak hosszának megváltoztatása a téglalap területének megtartása mellett
1. feladat Keresse meg a területből egy téglalap oldalait!
A téglalap kerülete 32 centiméter, az oldalára épített négyzetek területeinek összege 260 négyzetcentiméter. Keresse meg a téglalap oldalait.Megoldás.
2(x+y)=32
A feladat feltételei szerint az egyes oldalaira szerkesztett négyzetek (négy négyzet) területeinek összege egyenlő lesz
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16 év
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4 év 2 -64 év+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Most vegyük figyelembe, hogy abból kiindulva, hogy x+y=16 (lásd fent) x=9-nél, akkor y=7 és fordítva, ha x=7, akkor y=9
Válasz: A téglalap oldalai 7 és 9 centiméterek
2. feladat Keresse meg egy téglalap oldalait a kerületéből!
A téglalap kerülete 26 cm, a két szomszédos oldalára épített négyzetek területeinek összege 89 négyzetméter. cm keresse meg a téglalap oldalait.
Megoldás.
Jelöljük a téglalap oldalait x és y alakban.
Ekkor a téglalap kerülete:
2(x+y)=26
Az egyes oldalaira épített négyzetek területeinek összege (két négyzet van, ezek pedig szélességűek és magasságúak, mivel az oldalak szomszédosak) egyenlő lesz
x 2 +y 2 =89
Megoldjuk a kapott egyenletrendszert. Az első egyenletből arra következtetünk
x+y=13
y=13-év
Most végrehajtunk egy helyettesítést a második egyenletben, és az x-et a megfelelőjére cseréljük.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Most vegyük figyelembe, hogy abból kiindulva, hogy x+y=13 (lásd fent) x=5-nél, akkor y=8 és fordítva, ha x=8, akkor y=5
Válasz: 5 és 8 cm
3. feladat Határozza meg egy téglalap területét az oldalai arányából!
Határozzuk meg egy téglalap területét, ha a kerülete 26 cm, és az oldalai 2-3-mal arányosak.
Megoldás.
Jelöljük a téglalap oldalait x arányossági együtthatóval.
Ezért az egyik oldal hossza 2x, a másik pedig 3x lesz.
Akkor:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Most a kapott adatok alapján meghatározzuk a téglalap területét:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2
4. probléma. Az oldalak hosszának megváltoztatása a téglalap területének megtartása mellett
A téglalap hossza 25%-kal nő. Hány százalékkal kell csökkenteni a szélességet, hogy a területe ne változzon?Megoldás.
A téglalap területe a
S = ab
Esetünkben az egyik tényező 25%-kal nőtt, ami 2 = 1,25a-t jelent. Tehát a téglalap új területének egyenlőnek kell lennie
S2 = 1,25ab
Így a téglalap területének visszaállításához kezdő érték, Azt
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25
Mert a új méret de akkor nem tudsz rajta változtatni
S2 = (1,25a) b/1,25
1 / 1,25 = 0,8
Így a második oldal értékét csökkenteni kell (1 - 0,8) * 100% = 20%
Válasz: a szélességet 20%-kal csökkenteni kell.