Võrrandite lahendamine liitmise abil võrgus. Liitmismeetod võrrandisüsteemide lahendamisel

Analüüsime kahte tüüpi võrrandisüsteemide lahendusi:

1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise (lahutamise) teel.

Selleks, et lahendada võrrandisüsteemi asendusmeetodil peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Ekspress. Mis tahes võrrandist väljendame ühe muutuja.
2. Asendus. Asendame saadud väärtuse väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.

Lahendada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) meetodil vaja:
1. Vali muutuja, millele teeme identsed koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandeid, mille tulemuseks on ühe muutujaga võrrand.
3. Lahendage saadud lineaarvõrrand. Leiame süsteemile lahenduse.

Süsteemi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktid.

Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.

Näide nr 1:

Lahendame asendusmeetodil

Võrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil

2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)

1. Ekspress
Näha on, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, mis tähendab, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a

2.Pärast seda, kui oleme selle väljendanud, asendame esimesse võrrandisse muutuja x asemel 3+10y.
2(3+10a)+5a=1

3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga.
2(3+10a)+5a=1 (avage sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seetõttu tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x-st ja y-st Leiame x, esimeses punktis, kus seda väljendasime, asendame y.
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1

Punkte on tavaks kirjutada esiteks muutuja x ja teiseks muutuja y järgi.
Vastus: (1; -0,2)

Näide nr 2:

Lahendame terminikaupa liitmise (lahutamise) meetodil.

Võrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodil

3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)

1. Valime muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame koefitsiendiks 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2

2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30

2. Muutuja x vabanemiseks lahutage esimesest võrrandist teine.
__6x-4a = 2

5a=32 | :5
y = 6,4

3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)

Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus tasuta. Ilma naljata.

Väga sageli on õpilastel raske valida võrrandisüsteemide lahendamise viisi.

Käesolevas artiklis vaatleme üht süsteemide lahendamise viisi – asendusmeetodit.

Kui kahele võrrandile leitakse ühine lahendus, siis öeldakse, et need võrrandid moodustavad süsteemi. Võrrandisüsteemis tähistab iga tundmatu kõigis võrrandites sama arvu. Näitamaks, et antud võrrandid moodustavad süsteemi, kirjutatakse need tavaliselt üksteise alla ja ühendatakse näiteks lokkis suludega

Märgime, et x = 15 ja y = 5 korral on süsteemi mõlemad võrrandid õiged. See arvupaar on võrrandisüsteemi lahendus. Iga tundmatute väärtuste paari, mis rahuldab samaaegselt süsteemi mõlemat võrrandit, nimetatakse süsteemi lahenduseks.

Süsteemil võib olla üks lahendus (nagu meie näites), lõpmatult palju lahendusi või mitte ühtegi lahendust.

Kuidas lahendada süsteeme asendusmeetodil? Kui mõne tundmatu koefitsiendid on mõlemas võrrandis absoluutväärtuses võrdsed (kui mitte võrdsed, siis võrdsustame), siis mõlema võrrandi liitmisel (või lahutades üksteisest) saate võrrandi ühe tundmatuga. Seejärel lahendame selle võrrandi. Määrame ühe tundmatu. Asendame saadud tundmatu väärtuse ühte süsteemivõrrandisse (esimesse või teise). Leiame veel ühe tundmatu. Vaatame selle meetodi rakendamise näiteid.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

Siin on y koefitsiendid absoluutväärtuses võrdsed, kuid märgilt vastupidised. Proovime liita süsteemi võrrandid termini kaupa.

Asendame saadud väärtuse x = 4 süsteemi mõne võrrandiga (näiteks esimesega) ja leiame väärtuse y:

2 *4 +y = 11, y = 11–8, y = 3.

Meie süsteemis on lahendus x = 4, y = 3. Või võib vastuse kirjutada sulgudesse punkti koordinaatidena, x esikohal, y teisel.

Vastus: (4; 3)

Näide 2. Lahenda võrrandisüsteem

Võrdlustame muutuja x koefitsiendid, selleks korrutame esimese võrrandi 3-ga ja teise võrrandiga (-2), saame

Olge võrrandite lisamisel ettevaatlik

Siis y = - 2. Asendage esimesse võrrandisse y asemel arv (-2) ja saame

4x + 3(-2) = - 4. Lahendage see võrrand 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½.

Vastus: (1/2; - 2)

Näide 3. Lahenda võrrandisüsteem

Korrutage esimene võrrand arvuga (-2)

Süsteemi lahendamine

saame 0 = -13.

Süsteemil pole lahendusi, kuna 0 ei ole võrdne (-13).

Vastus: lahendusi pole.

Näide 4. Lahenda võrrandisüsteem

Märkame, et kõik teise võrrandi koefitsiendid jaguvad 3-ga,

jagame teise võrrandi kolmega ja saame süsteemi, mis koosneb kahest identsest võrrandist.

Sellel süsteemil on lõpmata palju lahendeid, kuna esimene ja teine ​​võrrand on samad (saime ainult ühe kahe muutujaga võrrandi). Kuidas me kujutame ette selle süsteemi lahendust? Avaldame muutuja y võrrandist x + y = 5. Saame y = 5 – x.

Siis vastama kirjutatakse nii: (x; 5-x), x – suvaline arv.

Vaatlesime võrrandisüsteemide lahendamist liitmismeetodi abil. Kui teil on küsimusi või midagi jääb arusaamatuks, registreeruge tundi ja me lahendame teiega kõik probleemid.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Võrrandisüsteeme kasutatakse majandussektoris laialdaselt erinevate protsesside matemaatiliseks modelleerimiseks. Näiteks tootmise juhtimise ja planeerimise, logistikamarsruutide (transpordiprobleem) või seadmete paigutuse probleemide lahendamisel.

Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.

Lineaarvõrrandisüsteem on kaks või enam mitme muutujaga võrrandit, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.

Lineaarvõrrand

Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c on võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine joonestamise teel näeb välja nagu sirgjoon, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.

Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid

Lihtsaimateks näideteks peetakse kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteeme.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.

Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab väärtuste (x, y) leidmist, mille juures süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastamist, et x ja y sobivaid väärtusi ei eksisteeri.

Väärtuste paari (x, y), mis on kirjutatud punkti koordinaatidena, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.

Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid parem osa mis on võrdne nulliga. Kui võrdusmärgi järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, on selline süsteem heterogeenne.

Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.

Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla nii palju kui soovitakse.

Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks

Selliste süsteemide lahendamiseks puudub üldine analüütiline meetod, kõik meetodid põhinevad numbrilistel lahendustel. IN koolikursus Matemaatika kirjeldab üksikasjalikult selliseid meetodeid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafilised ja maatriksmeetodid, lahendamine Gaussi meetodil.

Lahendusmeetodite õpetamisel on põhiülesanne õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja iga näite jaoks optimaalse lahendusalgoritmi leidmiseks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi kasutamise põhimõtete mõistmine.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine 7. klassi üldhariduse õppekavas on üsna lihtne ja väga detailselt lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil õpitakse põhjalikumalt kõrghariduse esimestel aastatel.

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil

Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise järgi. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutujaga vormiks. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis

Anname 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemi näitele lahenduse asendusmeetodil:

Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Lahendus see näide ei tekita raskusi ja võimaldab saada Y-väärtust. Viimane samm on saadud väärtuste kontrollimine.

Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, ei ole ka asendamise teel lahendamine asjakohane.

Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:

Lahendus algebralise liitmise abil

Süsteemidele liitmismeetodiga lahendusi otsides teostavad nad termini kaupa liitmist ja võrrandite korrutamist erinevad numbrid. Matemaatiliste tehete lõppeesmärk on võrrand ühes muutujas.

Rakenduste jaoks seda meetodit on vaja harjutada ja jälgida. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodiga, kui muutujaid on 3 või enam, ei ole lihtne. Algebralist liitmist on mugav kasutada, kui võrrandid sisaldavad murd- ja kümnendkohti.

Lahenduse algoritm:

1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled teatud arvuga. Aritmeetilise tehte tulemusena peaks muutuja üks koefitsient olema võrdne 1-ga.
2. Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
3. Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.

Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteem nõuab lahenduse leidmist mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.

Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu jaoks ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.

Näide näitab, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardseks. ruuttrinoom. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.

Diskriminandi väärtus on vaja leida tuntud valemi abil: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitav diskriminant, b, a, c polünoomi tegurid. Antud näites a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskrimineerija Üle nulli, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on üks lahend: x = -b / 2*a.

Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.

Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks

Sobib 3 võrrandisüsteemi jaoks. Meetod seisneb iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikute koostamises koordinaatteljel. Süsteemi üldlahenduseks saab kõverate lõikepunktide koordinaadid.

Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatame mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.

Nagu näitest näha, konstrueeriti iga rea ​​jaoks kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.

Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.

Järgmine näide nõuab leidmist graafiline lahendus lineaarvõrrandisüsteemid: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.

Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati ei ole võimalik öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graafik.

Maatriks ja selle sordid

Lineaarvõrrandisüsteemi kokkuvõtlikuks kirjutamiseks kasutatakse maatrikseid. Maatriks on tabel eritüüp täidetud numbritega. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.

Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriksvektor on ühest veerust koosnev maatriks, millel on lõpmatult võimalik arv ridu. Maatriksit, mille diagonaalis on ühed ja teised nullelemendid, nimetatakse identiteediks.

Pöördmaatriks on maatriks, millega algne maatriks muutub ühikmaatriksiks, selline maatriks eksisteerib ainult algse ruutmaatriksi jaoks.

Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks

Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksarvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.

Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole null. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.

Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.

Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.

Valikud pöördmaatriksi leidmiseks

Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 on pöördmaatriks ja |K| on maatriksi determinant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.

Determinant on kergesti arvutatav kaks korda kaks maatriksi jaoks, peate lihtsalt korrutama diagonaalelemendid üksteisega. Valiku „kolm korda kolm” jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et veergude ja elementide ridade arv töös ei korduks.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil

Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab süsteemide lahendamisel vähendada tülikaid kirjeid suur summa muutujad ja võrrandid.

Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.

Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Kõrgemas matemaatikas uuritakse Gaussi meetodit koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduste leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse suure hulga lineaarvõrranditega süsteemide muutujate leidmiseks.

Gaussi meetod on väga sarnane lahendustele, mis kasutavad asendusi ja algebraline liitmine, kuid süsteemsem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi meetodil lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide puhul. Meetodi eesmärk on taandada süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Kõrval algebralised teisendused ja asendusi, leitakse ühe muutuja väärtus süsteemi ühest võrrandist. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga, samas kui 3 ja 4 on vastavalt 3 ja 4 muutujaga.

Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.

7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi meetodi lahenduse näidet järgmiselt:

Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit: 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendamine võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.

Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.

Gaussi meetodit on õpilastel raske mõista Keskkool, kuid on üks kõige enam huvitavaid viise arendada matemaatika-füüsikaklassi süvaõppekavadesse sattunud laste leidlikkust.

Salvestamise hõlbustamiseks tehakse arvutused tavaliselt järgmiselt:

Võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast. Rooma numbrid näitavad võrrandite numbreid süsteemis.

Kõigepealt kirjutage üles maatriks, millega töötate, seejärel kõik toimingud, mida ühe reaga tehakse. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja vajalikke algebralisi toiminguid jätkatakse kuni tulemuse saavutamiseni.

Tulemuseks peaks olema maatriks, milles üks diagonaalidest on võrdne 1-ga ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühikuvormiks. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlemal poolel olevate numbritega.

See salvestusmeetod on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.

Mis tahes lahendusmeetodi tasuta kasutamine nõuab hoolt ja teatavat kogemust. Kõik meetodid ei ole rakendusliku iseloomuga. Mõned lahenduste leidmise meetodid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga hariduslikel eesmärkidel.

Selle videoga alustan võrrandisüsteemidele pühendatud õppetundide sarja. Täna räägime lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest lisamise meetod- see on üks kõige enam lihtsaid viise, kuid samal ajal üks tõhusamaid.

Lisamismeetod koosneb kolm lihtsat sammud:

1. Vaadake süsteemi ja valige muutuja, millel on igas võrrandis samad (või vastupidised) koefitsiendid;
2. Tehke võrrandite üksteisest algebraline lahutamine (vastandarvude puhul - liitmine) ja seejärel andke sarnased terminid;
3. Lahendage pärast teist sammu saadud uus võrrand.

Kui kõik on õigesti tehtud, saame väljundis ühe võrrandi ühe muutujaga- selle lahendamine pole keeruline. Siis jääb üle vaid asendada leitud juur algsüsteemiga ja saada lõplik vastus.

Praktikas pole aga kõik nii lihtne. Sellel on mitu põhjust:

• Võrrandite lahendamine liitmismeetodiga eeldab, et kõik read peavad sisaldama võrdsete/vastandkoefitsientidega muutujaid. Mida teha, kui see nõue ei ole täidetud?
• Mitte alati pärast võrrandite liitmist/lahutamist näidatud viisil saame ilus disain, mis on kergesti lahendatav. Kas on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja arvutusi kiirendada?

Nendele küsimustele vastuse saamiseks ja samal ajal mõne täiendava nüansi mõistmiseks, mida paljud õpilased ei suuda, vaadake minu videotundi:

Selle õppetunniga alustame võrrandisüsteemidele pühendatud loengute sarja. Ja me alustame neist kõige lihtsamast, nimelt neist, mis sisaldavad kahte võrrandit ja kahte muutujat. Igaüks neist on lineaarne.

Süsteemid on 7. klassi materjal, kuid see tund on kasulik ka keskkooliõpilastele, kes soovivad oma teadmisi sellel teemal värskendada.

Üldiselt on selliste süsteemide lahendamiseks kaks meetodit:

1. Lisamise meetod;
2. Meetod ühe muutuja väljendamiseks teisega.

Täna käsitleme esimest meetodit - kasutame lahutamise ja liitmise meetodit. Kuid selleks peate mõistma järgmist tõsiasja: kui teil on kaks või enam võrrandit, võite võtta neist kaks ja lisada need üksteisele. Neid lisatakse liikme haaval, s.o. X-le liidetakse “X” ja antakse sarnased, “Y-d” koos “Y-ga” on jälle sarnased ja võrdusmärgist paremal olev liidetakse samuti omavahel ja sinna antakse ka sarnased. .

Selliste mahhinatsioonide tulemuseks on uus võrrand, mis, kui sellel on juured, on kindlasti algse võrrandi juurte hulgas. Seetõttu on meie ülesanne teha lahutamine või liitmine nii, et kas $x$ või $y$ kaoks.

Kuidas seda saavutada ja millist tööriista selleks kasutada - sellest räägime nüüd.

Lihtsate probleemide lahendamine lisamise abil

Niisiis õpime kasutama liitmismeetodit kahe lihtsa avaldise näitel.

Ülesanne nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(joonda) \right.\]

Pange tähele, et $y$ koefitsient on esimeses võrrandis $-4$ ja teises võrrandis $+4$. Need on vastastikku vastandlikud, seega on loogiline eeldada, et kui need kokku liidame, siis tulemuseks olevas summas hävivad “mängud” vastastikku. Lisage see ja saate:

Lahendame lihtsaima konstruktsiooni:

Suurepärane, leidsime "x"-i. Mida me sellega nüüd tegema peaksime? Meil on õigus asendada see mis tahes võrrandiga. Asendame esimesega:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Vastus: $\left(2;-3 \right)$.

Probleem nr 2

\[\left\( \begin(joona)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(joonda) \right.\]

Siin on olukord täiesti sarnane, ainult "X-iga". Liidame need kokku:

Meil on lihtsaim lineaarvõrrand, lahendame selle:

Nüüd leiame $x$:

Vastus: $\left(-3;3 \right)$.

Olulised punktid

Niisiis, oleme just liitmismeetodi abil lahendanud kaks lihtsat lineaarvõrrandisüsteemi. Peamised punktid jälle:

1. Kui ühe muutuja puhul on vastupidised koefitsiendid, siis on vaja kõik võrrandis olevad muutujad liita. Sel juhul üks neist hävitatakse.
2. Teise leidmiseks asendame leitud muutuja mis tahes süsteemivõrrandiga.
3. Lõplikku vastusekirjet saab esitada erineval viisil. Näiteks nii - $x=...,y=...$ või punktide koordinaatidena - $\left(...;... \right)$. Teine võimalus on eelistatavam. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et esimene koordinaat on $x$ ja teine ​​on $y$.
4. Punktkoordinaatide kujul vastuse kirjutamise reegel ei kehti alati. Näiteks ei saa seda kasutada, kui muutujad ei ole $x$ ja $y$, vaid näiteks $a$ ja $b$.

Järgmistes ülesannetes käsitleme lahutamise tehnikat, kui koefitsiendid ei ole vastupidised.

Lihtsate ülesannete lahendamine lahutamise meetodil

Ülesanne nr 1

\[\left\( \begin(joonda)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(joonda) \right.\]

Pange tähele, et siin pole vastandkoefitsiente, kuid on identsed. Seetõttu lahutame esimesest võrrandist teise:

Nüüd asendame väärtuse $x$ mis tahes süsteemivõrrandis. Lähme kõigepealt:

Vastus: $\left(2;5\right)$.

Probleem nr 2

\[\left\( \begin (joonda)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\lõpp(joonda) \right.\]

Esimeses ja teises võrrandis näeme jällegi sama koefitsienti $ 5 $ $ x $ jaoks. Seetõttu on loogiline eeldada, et peate esimesest võrrandist teise lahutama:

Oleme välja arvutanud ühe muutuja. Nüüd leiame teise, näiteks asendades väärtuse $y$ teise konstruktsiooniga:

Vastus: $\left(-3;-2 \right)$.

Lahenduse nüansid

Mida me siis näeme? Sisuliselt ei erine skeem varasemate süsteemide lahendusest. Ainus erinevus on see, et me ei liida võrrandeid, vaid lahutame. Teeme algebralise lahutamise.

Teisisõnu, niipea, kui näete süsteemi, mis koosneb kahest võrrandist kahes tundmatus, on esimene asi, mida peate vaatama koefitsiente. Kui need on kuskil ühesugused, siis võrrandid lahutatakse ja kui need on vastupidised, kasutatakse liitmismeetodit. Seda tehakse alati nii, et üks neist kaob ja lõppvõrrandisse, mis jääb pärast lahutamist alles, jääb alles ainult üks muutuja.

See pole muidugi veel kõik. Nüüd vaatleme süsteeme, milles võrrandid on üldiselt ebajärjekindlad. Need. Nendes pole muutujaid, mis oleksid kas samad või vastupidised. Sel juhul kasutame selliste süsteemide lahendamiseks täiendav annus, nimelt iga võrrandi korrutamine spetsiaalse koefitsiendiga. Kuidas seda leida ja kuidas selliseid süsteeme üldiselt lahendada, räägime sellest nüüd.

Ülesannete lahendamine koefitsiendiga korrutamisega

Näide nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(joonda) \right.\]

Näeme, et ei $x$ ega $y$ puhul ei ole koefitsiendid mitte ainult vastastikku vastandlikud, vaid ka mitte kuidagi korrelatsioonis teise võrrandiga. Need koefitsiendid ei kao mingil moel, isegi kui me võrrandid üksteisest liidame või lahutame. Seetõttu on vaja rakendada korrutamist. Proovime muutujast $y$ lahti saada. Selleks korrutame esimese võrrandi teise võrrandi $y$ koefitsiendiga ja teise võrrandi esimese võrrandi $y$ koefitsiendiga, märki puudutamata. Korrutame ja saame uue süsteemi:

\[\left\( \begin(joona)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(joonda) \right.\]

Vaatame seda: $y$ juures on koefitsiendid vastupidised. Sellises olukorras on vaja kasutada lisamismeetodit. Lisame:

Nüüd peame leidma $y$. Selleks asendage $x$ esimeses avaldises:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Vastus: $\left(4;-2 \right)$.

Näide nr 2

\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(joonda) \right.\]

Jällegi ei ole ühegi muutuja koefitsiendid järjepidevad. Korrutame $y$ koefitsientidega:

\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(joonda) \paremale .\]

\[\left\( \begin(joona)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(joonda) \right.\]

Meie uus süsteem on samaväärne eelmisega, kuid $y$ koefitsiendid on vastastikku vastupidised ja seetõttu on siin lihtne liitmismeetodit rakendada:

Nüüd leiame $y$, asendades esimeses võrrandis $x$:

Vastus: $\left(-2;1 \right)$.

Lahenduse nüansid

Põhireegel on siin järgmine: me korrutame alati ainult arvuga positiivsed numbrid- see säästab teid märkide muutmisega seotud rumalate ja solvavate vigade eest. Üldiselt on lahendusskeem üsna lihtne:

1. Vaatame süsteemi ja analüüsime iga võrrandit.
2. Kui näeme, et ei $y$ ega $x$ ei ole koefitsiendid järjepidevad, s.t. need ei ole võrdsed ega vastandlikud, siis teeme järgmist: valime muutuja, millest peame vabanema, ja siis vaatame nende võrrandite koefitsiente. Kui korrutame esimese võrrandi koefitsiendiga teisest ja teise vastavalt esimesest koefitsiendiga, siis lõpuks saame süsteemi, mis on eelmisega täiesti samaväärne ja koefitsiendid $ y$ on järjepidev. Kõik meie tegevused või teisendused on suunatud ainult ühe muutuja saamisele ühes võrrandis.
3. Leiame ühe muutuja.
4. Asendame leitud muutuja ühega kahest süsteemi võrrandist ja leiame teise.
5. Vastuse kirjutame punktide koordinaatide kujul, kui meil on muutujad $x$ ja $y$.

Kuid isegi sellisel lihtsal algoritmil on omad nüansid, näiteks $x$ või $y$ koefitsiendid võivad olla murded ja muud “koledad” numbrid. Vaatleme neid juhtumeid nüüd eraldi, sest neis saate toimida mõnevõrra teisiti kui standardse algoritmi järgi.

Ülesannete lahendamine murdudega

Näide nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(joonda) \right.\]

Esiteks pange tähele, et teine ​​võrrand sisaldab murde. Kuid pange tähele, et saate 4 dollarit jagada 0,8 dollariga. Me saame $5 $. Korrutame teise võrrandi 5 dollariga:

\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(joonda) \right.\]

Lahutame üksteisest võrrandid:

Leidsime $n$, nüüd loendame $m$:

Vastus: $n=-4;m=5$

Näide nr 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(joonda )\ õige.\]

Siin, nagu ka eelmises süsteemis, on osakoefitsiendid, kuid ühegi muutuja puhul ei sobi koefitsiendid üksteisesse täisarv korda. Seetõttu kasutame standardne algoritm. Vabane $p$-st:

\[\left\( \begin(joonda)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(joonda) \right.\]

Kasutame lahutamise meetodit:

Leiame $p$, asendades teise konstruktsiooniga $k$:

Vastus: $p=-4;k=-2$.

Lahenduse nüansid

See on kõik optimeerimine. Esimeses võrrandis me ei korrutanud üldse mitte millegagi, vaid korrutasime teise võrrandi 5$-ga. Selle tulemusena saime esimese muutuja jaoks järjepideva ja isegi identse võrrandi. Teises süsteemis järgisime standardset algoritmi.

Aga kuidas leida numbreid, millega võrrandeid korrutada? Lõppude lõpuks, kui korrutada murdarvud, saame uued murded. Seetõttu tuleb murded korrutada arvuga, mis annaks uue täisarvu ja pärast seda tuleb muutujad standardalgoritmi järgi korrutada koefitsientidega.

Kokkuvõtteks tahaksin juhtida teie tähelepanu vastuse salvestamise vormingule. Nagu ma juba ütlesin, kuna siin ei ole $x$ ja $y$, vaid muud väärtused, kasutame vormi mittestandardset tähistust:

Keeruliste võrrandisüsteemide lahendamine

Viimase märkusena tänasele videoõpetusele vaatame paari tõelist keerulised süsteemid. Nende keerukus seisneb selles, et neil on muutujad nii vasakul kui ka paremal. Seetõttu peame nende lahendamiseks rakendama eeltöötlust.

Süsteem nr 1

\[\left\( \begin (joonda)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(joonda) \parem.\]

Igal võrrandil on teatud keerukus. Seetõttu käsitleme iga avaldist tavalise lineaarse konstruktsioonina.

Kokku saame lõpliku süsteemi, mis on samaväärne algse süsteemiga:

\[\left\( \begin (joonda)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]

Vaatame $y$ koefitsiente: $3$ mahub $6$-sse kaks korda, seega korrutame esimese võrrandi $2$-ga:

\[\left\( \begin (joonda)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]

$y$ koefitsiendid on nüüd võrdsed, seega lahutame esimesest võrrandist teise: $$

Nüüd leiame $y$:

Vastus: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Süsteem nr 2

\[\left\( \begin(joona)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(joonda) \parem.\]

Teisendame esimese avaldise:

Tegeleme teisega:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kokkuvõttes on meie esialgne süsteem järgmine:

\[\left\( \begin(joona)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]

Vaadates $a$ koefitsiente, näeme, et esimene võrrand tuleb korrutada $2$-ga:

\[\left\( \begin(joona)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]

Lahutage esimesest konstruktsioonist teine:

Nüüd leiame $a$:

Vastus: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

See on kõik. Loodan, et see videoõpetus aitab teil mõista seda keerulist teemat, nimelt lihtsate lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist. Sellel teemal on veel palju õppetunde: vaatame rohkem keerulised näited, kus muutujaid on rohkem ja võrrandid ise on juba mittelineaarsed. Kohtumiseni jälle!

Algebraline liitmise meetod

Saate lahendada kahe tundmatuga võrrandisüsteemi erinevatel viisidel- graafiline meetod või muutuja asendusmeetod.

Selles õppetükis tutvume veel ühe süsteemide lahendamise meetodiga, mis teile tõenäoliselt meeldib - see on algebralise liitmise meetod.

Kust tuli idee midagi süsteemidesse panna? Süsteemide lahendamisel on põhiprobleemiks kahe muutuja olemasolu, sest me ei oska kahe muutujaga võrrandeid lahendada. See tähendab, et üks neist tuleb mingil seaduslikul viisil välistada. Ja sellised seaduslikud viisid on matemaatilised reeglid ja omadused.

Üks neist omadustest on: vastandarvude summa on null. See tähendab, et kui ühel muutujatest on vastupidised koefitsiendid, siis on nende summa võrdne nulliga ja me saame selle muutuja võrrandist välja jätta. On selge, et meil ei ole õigust lisada ainult meile vajaliku muutujaga termineid. Peate liitma kogu võrrandid, st. lisage sarnased terminid eraldi vasakule küljele, seejärel paremale. Selle tulemusena saame uue võrrandi, mis sisaldab ainult ühte muutujat. Vaatame öeldut konkreetsete näidetega.

Näeme, et esimeses võrrandis on muutuja y ja teises vastupidine number-y. See tähendab, et seda võrrandit saab lahendada liitmise teel.

Üks võrranditest jäetakse nii, nagu ta on. Igaüks, kes sulle kõige rohkem meeldib.

Kuid teine ​​võrrand saadakse, kui liita need kaks võrrandit termini haaval. Need. 2x-ga liidame 3x, -y-ga liidame y, 7-ga liidame 8.

Saame võrrandisüsteemi

Selle süsteemi teine ​​võrrand on ühe muutujaga lihtne võrrand. Sellest leiame x = 3. Asendades leitud väärtuse esimesse võrrandisse, leiame y = -1.

Vastus: (3; - 1).

Disaini näidis:

Lahendage võrrandisüsteem algebralise liitmise meetodil

Selles süsteemis ei ole vastupidise koefitsiendiga muutujaid. Kuid me teame, et võrrandi mõlemat poolt saab korrutada sama arvuga. Korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga.

Siis saab esimene võrrand järgmise kuju:

Nüüd näeme, et muutujal x on vastupidised koefitsiendid. See tähendab, et teeme sama, mis esimeses näites: jätame ühe võrrandi muutmata. Näiteks 2y + 2x = 10. Ja teise saame liitmise teel.

Nüüd on meil võrrandisüsteem:

Leiame kergesti teisest võrrandist y = 1 ja seejärel esimesest võrrandist x = 4.

Disaini näidis:

Teeme kokkuvõtte:

Õppisime lahendama kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteeme algebralise liitmise meetodil. Seega teame nüüd kolme peamist meetodit selliste süsteemide lahendamiseks: graafiline, muutuv asendusmeetod ja liitmismeetod. Nende meetoditega saab lahendada peaaegu iga süsteemi. Keerulisematel juhtudel kasutatakse nende tehnikate kombinatsiooni.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klass 2 osas, 1. osa, Õpik üldharidusasutustele / A.G. Mordkovitš. – 10. väljaanne, parandatud – Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klass 2 osas, 2. osa, Probleemiraamat haridusasutustele / [A.G. Mordkovitš ja teised]; toimetanud A.G. Mordkovitš - 10. väljaanne, muudetud - Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
3. TEMA. Tultšinskaja, Algebra 7. klass. Blitz-uuring: käsiraamat üldharidusasutuste õpilastele, 4. trükk, parandatud ja täiendatud, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klass. Temaatiline testimistööd V uus vormüldharidusasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. klass. Iseseisev tööüldharidusasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš - 6. trükk, stereotüüpne, Moskva, “Mnemosyne”, 2010.