Prisma. Parallelepiped

Prisma on hulktahukas, mille kaks tahku on võrdsed n-nurgaga (alused) , mis asub paralleelsetes tasandites ja ülejäänud n tahku on rööpkülikukujulised (külgmised näod) . Külgmised ribid Prisma külge, mis ei kuulu alusele, nimetatakse prisma küljeks.

prisma, külgmised ribid mis on risti aluste tasapindadega nimetatakse sirge prisma (joon. 1). Kui külgservad ei ole risti aluste tasanditega, siis nimetatakse prismat kaldu . Õige Prisma on sirge prisma, mille alused on korrapärased hulknurgad.

Kõrgus prisma on aluste tasandite vaheline kaugus. Diagonaal Prisma on segment, mis ühendab kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku. Diagonaalne lõige nimetatakse prisma lõiguks tasapinnaga, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku. Perpendikulaarne lõige nimetatakse prisma lõiguks prisma külgservaga risti oleva tasapinnaga.

Külgmine pindala Prisma on kõigi külgpindade pindalade summa. Kogupindala nimetatakse prisma kõigi tahkude pindalade summaks (ehk külgpindade ja aluste pindalade summaks).

Suvalise prisma puhul kehtivad järgmised valemid::

Kus l– külgribi pikkus;

H- kõrgus;

P

K

S pool

S täis

S alus– aluste pindala;

V– prisma maht.

Sirge prisma jaoks on õiged järgmised valemid:

Kus lk– baasi perimeeter;

l– külgribi pikkus;

H- kõrgus.

rööptahukas nimetatakse prismaks, mille alus on rööpkülik. Nimetatakse rööptahukat, mille külgmised servad on alustega risti otsene (Joonis 2). Kui külgservad ei ole alustega risti, siis nimetatakse rööptahukaks kaldu . Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline. Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik

Nimetatakse rööptahuka tahkusid, millel pole ühiseid tippe vastupidine . Nimetatakse ühest tipust lähtuvate servade pikkusi mõõdud rööptahukas. Kuna rööptahukas on prisma, defineeritakse selle põhielemendid samamoodi nagu prismade puhul.

Teoreemid.

1. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja poolitavad selle.

2. Ristkülikukujulises rööptahukas diagonaali pikkuse ruut võrdne summaga selle kolmemõõtmelised ruudud:

3. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik neli diagonaali on üksteisega võrdsed.

Suvalise rööptahuka puhul kehtivad järgmised valemid:

Kus l– külgribi pikkus;

H- kõrgus;

P– risti lõigu ümbermõõt;

K– risti asetsev ristlõikepindala;

S pool– külgpindala;

S täis– kogupindala;

S alus– aluste pindala;

V– prisma maht.

Parempoolse rööptahuka jaoks on õiged järgmised valemid:

Kus lk– baasi perimeeter;

l– külgribi pikkus;

H– parempoolse rööptahuka kõrgus.

Ristkülikukujulise rööptahuka jaoks on õiged järgmised valemid:

(3)

Kus lk– baasi perimeeter;

H- kõrgus;

d- diagonaal;

a,b,c– rööptahuka mõõtmised.

Kuubi jaoks sobivad järgmised valemid:

Kus a- ribi pikkus;

d- kuubi diagonaal.

Näide 1. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal on 33 dm ja selle mõõtmed on vahekorras 2: 6: 9. Leidke rööptahuka mõõtmed.

Lahendus. Rööptahuka mõõtmete leidmiseks kasutame valemit (3), s.o. sellega, et risttahuka hüpotenuusi ruut on võrdne selle mõõtmete ruutude summaga. Tähistagem poolt k proportsionaalsustegur. Siis on rööptahuka mõõtmed 2 k, 6k ja 9 k. Kirjutame probleemiandmete jaoks valemi (3):

Selle võrrandi lahendamine jaoks k, saame:

See tähendab, et rööptahuka mõõtmed on 6 dm, 18 dm ja 27 dm.

Vastus: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Näide 2. Leidke kalde helitugevus kolmnurkne prisma, mille aluseks on võrdkülgne kolmnurk, mille külg on 8 cm, kui külgserv on võrdne aluse küljega ja on aluse suhtes 60º nurga all.

Lahendus . Teeme joonise (joon. 3).

Kaldprisma ruumala leidmiseks peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust. Selle prisma aluse pindala on võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 8 cm.

Prisma kõrgus on selle aluste vaheline kaugus. Algusest A 1, langetage risti alumise aluse tasapinnaga A 1 D. Selle pikkus on prisma kõrgus. Mõelge D A 1 AD: kuna see on külgserva kaldenurk A 1 A baastasandile, A 1 A= 8 cm sellest kolmnurgast leiame A 1 D:

Nüüd arvutame mahu valemi (1) abil:

Vastus: 192 cm 3.

Näide 3. Tavalise kuusnurkse prisma külgserv on 14 cm, suurima diagonaallõike pindala on 168 cm 2. Leidke prisma kogupindala.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 4)

Suurim diagonaallõik on ristkülik A.A. 1 DD 1 alates diagonaalist AD korrapärane kuusnurk ABCDEF on suurim. Prisma külgpinna arvutamiseks on vaja teada aluse külge ja külgserva pikkust.

Teades diagonaalosa (ristküliku) pindala, leiame aluse diagonaali.

Sellest ajast

Sellest ajast AB= 6 cm.

Siis on aluse ümbermõõt:

Leiame prisma külgpinna pindala:

Tavalise kuusnurga pindala küljega 6 cm on:

Leidke prisma kogupindala:

Vastus:

Näide 4. Parempoolse rööptahuka alus on romb. Diagonaalsed ristlõikepinnad on 300 cm2 ja 875 cm2. Leidke rööptahuka külgpinna pindala.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 5).

Tähistame rombi külge tähisega A, rombi diagonaalid d 1 ja d 2, rööptahuka kõrgus h. Parempoolse rööptahuka külgpinna pindala leidmiseks on vaja aluse ümbermõõt korrutada kõrgusega: (valem (2)). Aluse ümbermõõt p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sest ABCD- romb H = AA 1 = h. See. Vaja leida A Ja h.

Vaatleme diagonaalseid lõike. AA 1 SS 1 – ristkülik, mille üks külg on rombi diagonaal AC = d 1, teine ​​– külgserv AA 1 = h, Siis

Samamoodi sektsiooni kohta BB 1 DD 1 saame:

Kasutades rööpküliku omadust nii, et diagonaalide ruutude summa on võrdne selle kõigi külgede ruutude summaga, saame võrdsuse Saame järgmise.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ja eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmeanalüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetlusele ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kadumise, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus
Definitsioon 5. Paremprisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala

Parallelepiped:
Definitsioon 6. Parallelepped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmised
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalidel
Teoreem 5. Prisma ruumala
Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

Prisma on hulktahukas, mille kaks tahku (põhja) asetsevad paralleelsetes tasapindades ja servad, mis nendel tahkudel ei asu, on üksteisega paralleelsed.
Muid nägusid peale aluste nimetatakse külgmine.
Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma ribid, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servi, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. Otsene prisma nimetatakse prismaks, mille külgmised ribid on risti aluste tasanditega. Õige nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.

Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P^ - risti lõigu ümbermõõt;
S b - külgpindala;
V - maht;
S p on prisma kogupinna pindala.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definitsioon 1 . Prismaatiline pind on kujund, mis on moodustatud mitme tasandi osadest, mis on paralleelsed ühe sirgjoonega ja mida piiravad need sirged, mida mööda need tasandid üksteisega ristuvad*; need sirged on üksteisega paralleelsed ja neid nimetatakse prismaatilise pinna servad.
*Eeldatakse, et iga kaks järjestikust tasapinda lõikuvad ja viimane tasand lõikub esimesega

1. teoreem . Prismaatilise pinna lõiked üksteisega paralleelsete (kuid mitte selle servadega paralleelsete) tasapindade järgi on võrdne hulknurk Ja.
Olgu ABCDE ja A"B"C"D"E prismaatilise pinna lõiked kahe paralleelse tasandiga. Et veenduda, et need kaks hulknurka on võrdsed, piisab, kui näidata, et kolmnurgad ABC ja A"B"C" on võrdsed ja sama pöörlemissuunaga ning sama kehtib kolmnurkade ABD ja A"B"D", ABE ja A"B"E kohta. Kuid nende kolmnurkade vastavad küljed on paralleelsed (näiteks AC on paralleelne AC-ga) nagu teatud tasandi ja kahe paralleelse tasandi lõikejoon; sellest järeldub, et need küljed on võrdsed (näiteks AC on võrdne A"C"), nagu rööpküliku vastasküljed ja et nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed ja sama suunaga.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelneva teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. määratlus . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised ribid. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alus võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgmised pinnad - rööpkülikuid; kõik külgmised ribid on üksteisega võrdsed.
Ilmselgelt kui on antud prisma ABCDE alus ja üks servadest AA" suuruselt ja suunast, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", ... võrdsed ja paralleelsed servaga AA" .

4. määratlus . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismapinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad saavad olema ristkülikud.
Prismad saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, võrdne arv selle aluseks oleva hulknurga küljed. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpinna pindala on võrdne külgserva ja ristlõike perimeetri korrutisega.
Olgu ABCDEA"B"C"D"E" - see prisma ja abcde on selle ristilõige, nii et segmendid ab, bc, .. on risti selle külgmiste servadega. Esikülg ABA"B" on rööpkülik; selle pindala on võrdne aluse AA" ja kõrgusega, mis langeb kokku ab-ga; näo BCB"C" pindala on võrdne aluse BB" ja kõrguse bc korrutisega jne. Järelikult , on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne toote külgservaga, teisisõnu segmentide AA", BB", .. kogupikkusega summa ab+ korral bc+cd+de+ea.

Definitsioon. Prisma on hulktahukas, mille kõik tipud paiknevad kahel paralleelsel tasapinnal ja neil samadel kahel tasapinnal asuvad prisma kaks tahku, mis on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Kõik prisma külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Neid servi, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal on segment, mille otsad on prisma kaks tippu, mis ei asu samal pinnal (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse läbimise järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise aluse tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, tähistatakse ainult ühes aluses asuvad tipud tähtede järgi ilma indeksita ja teises - indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on aluses viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga sest sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku - prisma alused, 5 tahku - rööpkülikukujulised tahud, - selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab see silma privaatne vaade: õiged prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Tavalise prisma kõik külgpinnad on võrdsed ristkülikud. Prisma erijuhtum on rööptahukas.

Parallelepiped

Parallelepiped on nelinurkne prisma, mille põhjas asub rööpkülik (kald rööptahukas). Parempoolne rööptahukas- rööptahukas, mille külgservad on risti aluse tasapindadega.

Ristkülikukujuline rööptahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

Mõned rööptahuka omadused on sarnased ristkülikukujulise rööptahuka tuntud omadustega võrdsed mõõdud, kutsutakse kuubik .Kõik kuubi tahud on võrdsed ruudud. Diagonaali ruut on võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga

,

kus d on ruudu diagonaal;
a on ruudu külg.

Prismast annab ettekujutuse:

• mitmesugused arhitektuurilised struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkekarbid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpinna pindala

Prisma kogupindala on selle kõigi tahkude pindalade summa Külgmine pindala nimetatakse selle külgpindade pindalade summaks. Prisma alused on võrdsed hulknurgad, siis on nende pindalad võrdsed. Sellepärast

S täis = S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S alus- baaspindala

Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool= P põhi * h,

Kus S pool- sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma maht võrdne tootega aluspind kõrgusele.

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on ruumilised kehad. Keha kujutab teatud pinnaga piiratud ruumi osa.

Polühedron on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest. Polüeedrit nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka pinnad on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud on hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. Sellel on 12 serva (ruutude küljed) ja 8 tippu (ruutude tipud).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

Prisma on hulktahukas, mis koosneb kahest paralleeltasandil paiknevast tasapinnalisest hulknurgast, mis on kombineeritud paralleeltranslatsiooniga, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-süsinik, kui selle alus sisaldab n-nurka.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlke abil:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Külgpind prisma koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

Sirge prisma

Prismat nimetatakse sirge, kui selle külgmised servad on alustega risti. Muidu nimetatakse prismat kaldu.

Parempoolse prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

Täisprisma pind nimetatakse külgpinna ja aluste pindalade summaks.

Õige prismaga nimetatakse täisprismaks, mille põhjas on korrapärane hulknurk.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või, mis on sama, külgserva võrra).

Tõestus. Täisprisma külgmised tahud on ristkülikud, mille alusteks on prisma alustel olevate hulknurkade küljed ja kõrgusteks prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööpkülikukujulised, siis ja , mis tähendab, et vastavalt To on kaks sirget paralleelselt kolmandaga. Lisaks tähendab see, et sirgjooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja jagatakse pooleks lõikepunktiga, mida oli vaja tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline rööptahukas. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik tahud on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmeteks). Selliseid suurusi on kolm (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul on iga diagonaali ruut võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali sellel on? n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgserva ja vastaskülje serva vahel.

13.3 Tasapind tõmmatakse läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje, mis lõikub külgpinnad piki segmente, mille vahel on nurk. Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.