Huvitav on see, et aastaid tagasi nimetati sellist matemaatika haru nagu "geomeetria" "maamõõtmiseks". Ja kuidas perimeetrit ja pindala leida, on teada juba ammu. Näiteks ütlevad nad, et nende kahe koguse kõige esimesed kalkulaatorid on Egiptuse elanikud. Tänu sellistele teadmistele said nad ehitada tänapäeval tuntud konstruktsioone.
Võimalus leida pindala ja perimeetrit võib olla kasulik Igapäevane elu. Igapäevaelus kasutatakse neid väärtusi, kui on vaja midagi värvida, istutada või harida aeda, riputada tuppa tapeeti vms.
Perimeeter
Kõige sagedamini peate välja selgitama hulknurkade või kolmnurkade ümbermõõdu. Selle väärtuse määramiseks piisab kõigi külgede pikkuse teadmisest ja perimeeter on nende summa. Võimalik on ka perimeetri leidmine, kui pindala on teada.
Kolmnurk
Kui teil on vaja teada kolmnurga ümbermõõtu, peaksite selle arvutamiseks kasutama järgmist valemit P = a + b + c, kus a, b, c on kolmnurga küljed. Sel juhul liidetakse tasapinnal oleva tavalise kolmnurga kõik küljed.
Ring
Ringi ümbermõõtu nimetatakse tavaliselt ümbermõõduks. Selle väärtuse väljaselgitamiseks peate kasutama valemit: L = π*D = 2*π*r, kus L on ümbermõõt, r on raadius, D on läbimõõt ja arv π, nagu on teada, on ligikaudu võrdne 3,14-ga.
Ruut, romb
Ruudu ja rombi ümbermõõtude valemid on samad, sest nii ühe kui ka teise kujundi kõik küljed on võrdsed. Kuna ruudul ja rombil on võrdsed küljed, võib neid (külgi) tähistada sama tähega "a". Selgub, et ruudu ja rombi ümbermõõt on võrdne:
- P = a + a + a + a või P = 4a
Ristkülik, rööpkülik
Ristkülikul ja rööpkülikul on samad vastasküljed, nii et neid saab tähistada kahe erineva tähega "a" ja "b". Valem näeb välja selline:
- P = a + b + a + b = 2a + 2b. Need kaks saab sulgudest välja võtta ja saate järgmise valemi: P = 2 (a+b)
Trapets
Trapetsi kõik küljed on erinevad, seega on need tähistatud erinevate ladina tähestiku tähtedega. Sellega seoses näeb trapetsi perimeetri valem välja järgmine:
- P = a + b + c + d Siin liidetakse kõik küljed kokku.
Ruut
Pindala on kujundi osa, mis sisaldub selle kontuuris.
Ristkülik
Ristküliku pindala arvutamiseks peate korrutama ühe külje väärtuse (pikkus) teise väärtusega (laius). Kui pikkuse ja laiuse väärtused on tähistatud tähtedega "a" ja "b", arvutatakse pindala järgmise valemi abil:
- S = a*b
Ruut
Nagu te juba teate, on ruudu küljed võrdsed, nii et pindala arvutamiseks võite lihtsalt võtta ruudu ühe külje:
- S = a*a = a 2
Romb
Rombi pindala leidmise valem on veidi erineva kujuga: S = a*h a, kus h a on küljele tõmmatud rombi kõrguse pikkus.
Lisaks saab rombi pindala leida valemite abil:
- S = a 2 *sin α, samas kui a on joonise külg ja nurk α on külgede vaheline nurk;
- S = 4r 2 /sin α, kus r on rombi sisse kirjutatud ringi raadius ja nurk α on külgede vaheline nurk.
Ring
Ringi pindala on samuti lihtne teada saada. Selleks võite kasutada valemit:
- S = πR 2, kus R on raadius.
Trapets
Trapetsi pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
- S = 1/2*a*b*h, kus a, b on trapetsi alused, h on kõrgus.
Kolmnurk
Kolmnurga pindala leidmiseks kasutage ühte mitmest valemist:
- S = 1/2*a*b sin α (kus a, b on kolmnurga küljed ja α on nendevaheline nurk);
- S = 1/2 a*h (kus a on kolmnurga alus, h on sellele langetatud kõrgus);
- S = abc/4R (kus a, b, c on kolmnurga küljed ja R on piiritletud ringi raadius);
- S = p*r (kus p on poolperimeeter, r on sisse kirjutatud ringjoone raadius);
- S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (kus p on poolperimeeter, a, b, c kolmnurga küljed).
Paralleelogramm
Antud joonise pindala arvutamiseks peate väärtused asendama ühega järgmistest valemitest:
- S = a*b*sin α (kus a, b on rööpküliku alused, α on külgedevaheline nurk);
- S = a*h a (kus a on rööpküliku külg, h a on rööpküliku kõrgus, mis on langetatud küljele a);
- S = 1/2 *d*D* sin α (kus d ja D on rööpküliku diagonaalid, α on nendevaheline nurk).
Tund ja esitlus teemal: "Ristküliku ümbermõõt ja pindala"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 3. klassile
Treener 3. klassile "Reeglid ja harjutused matemaatikas"
Elektrooniline õpik 3. klassile "Matemaatika 10 minutiga"
Mis on ristkülik ja ruut
Ristkülik on nelinurk, millel on kõik täisnurgad. See tähendab, et vastasküljed on üksteisega võrdsed.
Ruut on võrdsete külgede ja võrdsete nurkadega ristkülik. Seda nimetatakse korrapäraseks nelinurgaks.
Nelinurgad, sealhulgas ristkülikud ja ruudud, on tähistatud 4 tähega - tipuga. Ladina tähti kasutatakse tippude tähistamiseks: A, B, C, D...
Näide. 
See kõlab järgmiselt: nelinurk ABCD; ruut EFGH.
Mis on ristküliku ümbermõõt? Perimeetri arvutamise valem
Ristküliku ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkuste summa või pikkuse ja laiuse summa, mis on korrutatud 2-ga.Ümbermõõt on tähistatud ladina tähega P. Kuna ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkus, kirjutatakse ümbermõõt pikkusühikutes: mm, cm, m, dm, km.
Näiteks ristküliku ABCD ümbermõõt on tähistatud kui P ABCD, kus A, B, C, D on ristküliku tipud.
Kirjutame üles nelinurga ABCD perimeetri valemi:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Näide.
Antud on ristkülik ABCD külgedega: AB=CD=5 cm ja AD=BC=3 cm.
Defineerime P ABCD.
Lahendus:
1. Joonistage algandmetega ristkülik ABCD. 
2. Kirjutame valemi antud ristküliku perimeetri arvutamiseks:
P ABCD = 2 * (AB + BC)
P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm
Vastus: P ABCD = 16 cm.
Ruudu ümbermõõdu arvutamise valem
Meil on valem ristküliku ümbermõõdu määramiseks.P ABCD = 2 * (AB + BC)
Kasutame seda ruudu ümbermõõdu määramiseks. Arvestades, et ruudu kõik küljed on võrdsed, saame:
P ABCD = 4 * AB
Näide.
Antud ruut ABCD, mille külg on 6 cm. Määrame ruudu ümbermõõdu.
Lahendus.
1. Joonistame algandmetega ruudu ABCD.
2. Tuletame meelde ruudu ümbermõõdu arvutamise valemit:
P ABCD = 4 * AB
3. Asendame oma andmed valemiga:
P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm
Vastus: P ABCD = 24 cm.
Ülesanded ristküliku perimeetri leidmiseks
1. Mõõtke ristkülikute laius ja pikkus. Määrake nende ümbermõõt. 
2. Joonistage ristkülik ABCD külgedega 4 cm ja 6 cm. Määrake ristküliku ümbermõõt.
3. Joonistage ruut SEOM, mille külg on 5 cm. Määrake ruudu ümbermõõt.
Kus kasutatakse ristküliku ümbermõõdu arvutamist?
1. On antud krunt, mis vajab aiaga ümbritsemist. Kui pikk on tara?
Selle ülesande täitmisel on vaja täpselt arvutada saidi ümbermõõt, et mitte osta tara ehitamiseks liigset materjali.
2. Vanemad otsustasid lastetoa renoveerida. Tapeedi koguse õigeks arvutamiseks peate teadma ruumi ümbermõõtu ja selle pindala.
Määrake ruumi pikkus ja laius, kus elate. Määrake oma ruumi ümbermõõt.
Mis on ristküliku pindala?
Ruut on figuuri arvuline tunnus. Pindala mõõdetakse pikkuse ruutühikutes: cm 2, m 2, dm 2 jne (sentimeeter ruudus, meeter ruudus, detsimeeter ruudus jne)Arvutustes tähistatakse seda ladina tähega S.
Ristküliku pindala määramiseks korrutage ristküliku pikkus selle laiusega. 
Ristküliku pindala arvutatakse vahelduvvoolu pikkuse korrutamisel CM laiusega. Kirjutame selle valemina üles.
S AKMO = AK * KM
Näide.
Kui suur on ristküliku AKMO pindala, kui selle küljed on 7 cm ja 2 cm?
S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.
Vastus: 14 cm 2.
Ruudu pindala arvutamise valem
Ruudu pindala saab määrata, korrutades külje endaga.Näide. 
IN selles näites Ruudu pindala arvutatakse, korrutades külje AB laiusega BC, kuid kuna need on võrdsed, on tulemuseks külje AB korrutamine AB-ga.
S ABCO = AB * BC = AB * AB
Näide.
Määrake ruudu AKMO pindala, mille külg on 8 cm.
S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2
Vastus: 64 cm 2.
Ülesanded ristküliku ja ruudu pindala leidmiseks
1. Antud ristkülik külgedega 20 mm ja 60 mm. Arvutage selle pindala. Kirjutage oma vastus ruutsentimeetrites.2. Osteti suvila mõõtmetega 20 m x 30 m Määra pindala suvila, kirjuta oma vastus ruutsentimeetrites.
Definitsioon.
Ristkülik on nelinurk, mille kaks vastaskülge on võrdsed ja kõik neli nurka on võrdsed.Ristkülikud erinevad üksteisest ainult pika külje ja lühikese külje suhte poolest, kuid kõik neli nurka on õiged, see tähendab 90 kraadi.
Ristküliku pikka külge nimetatakse ristküliku pikkus ja see lühike - ristküliku laius.
Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.
Ristküliku põhiomadused
Ristkülik võib olla rööpkülik, ruut või romb.
1. Ristküliku vastasküljed on ühepikkused, see tähendab, et need on võrdsed:
AB = CD, BC = AD
2. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed:
3. Ristküliku külgnevad küljed on alati risti:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Ristküliku kõik neli nurka on sirged:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Ristküliku nurkade summa on 360 kraadi:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Ristküliku diagonaalid on ühepikkused:
7. Ristküliku diagonaali ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Iga ristküliku diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks kujundiks, nimelt täisnurkseks kolmnurgaks.
9. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktis pooleks:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Diagonaalide lõikepunkti nimetatakse ristküliku keskpunktiks ja see on ka ümberringi keskpunkt
11. Ristküliku diagonaal on ümberringjoone läbimõõt
12. Ringi saab alati kirjeldada ristküliku ümber, kuna vastasnurkade summa on 180 kraadi:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Ringi ei saa kirjutada ristkülikusse, mille pikkus ei ole võrdne selle laiusega, kuna vastaskülgede summad ei ole üksteisega võrdsed (ringi saab kirjutada ainult erijuhtum ristkülik - ruut).
Ristküliku küljed
Definitsioon.
Ristküliku pikkus on selle külgede pikema paari pikkus. Ristküliku laius on selle külgede lühema paari pikkus.Valemid ristküliku külgede pikkuste määramiseks
1. Ristküliku diagonaali ja teise külje läbiva külje valem (ristküliku pikkus ja laius):
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) läbi ala ja teise külje valem:
| b = dcos | β |
| 2 |
Ristküliku diagonaal
Definitsioon.
Diagonaalne ristkülik Nimetatakse mis tahes lõiku, mis ühendab ristküliku kahte vastasnurkade tippu.Valemid ristküliku diagonaali pikkuse määramiseks
1. Ristküliku diagonaali valem, kasutades ristküliku kahte külge (Pythagorase teoreemi kaudu):
d = √ a 2 + b 2
2. Ristküliku diagonaali valem, kasutades pindala ja mis tahes külge:
4. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi raadiuse järgi:
d = 2R
5. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi läbimõõdu järgi:
d = D o
6. Ristküliku diagonaali valem, kasutades diagonaaliga külgneva nurga siinust ja selle nurga vastaskülje pikkust:
8. Siinuse läbiva ristküliku diagonaali valem teravnurk diagonaalide ja ristküliku pindala vahel
d = √2S: sin β
Ristküliku ümbermõõt
Definitsioon.
Ristküliku ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkuste summa.Valemid ristküliku perimeetri pikkuse määramiseks
1. Ristküliku perimeetri valem, kasutades ristküliku kahte külge:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Ristküliku perimeetri valem, kasutades pindala ja mis tahes külge:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Ristküliku ümbermõõdu valem, kasutades diagonaali ja mis tahes külge:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Ristküliku perimeetri valem, kasutades ümberringi raadiust ja mis tahes külge:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Ristküliku perimeetri valem, kasutades piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõtu:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Ristküliku pindala
Definitsioon.
Ristküliku pindala nimetatakse ruumiks, mida piiravad ristküliku küljed, see tähendab ristküliku perimeetri piires.Valemid ristküliku pindala määramiseks
1. Ristküliku pindala valem, kasutades kahte külge:
S = a b
2. Ristküliku pindala valem, kasutades perimeetrit ja mis tahes külge:
5. Ristküliku pindala valem, kasutades ümberpiiratud ringi raadiust ja mis tahes külge:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Ristküliku pindala valem, kasutades piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõtu:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber
Definitsioon.
Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber on ristküliku nelja tippu läbiv ringjoon, mille keskpunkt asub ristküliku diagonaalide ristumiskohas.Valemid ristküliku ümber piiratud ringjoone raadiuse määramiseks
1. Ristküliku ümber kahe küljega ümbritsetud ringi raadiuse valem:
Ristkülik on nelinurga erijuht. See tähendab, et ristkülikul on neli külge. Selle vastasküljed on võrdsed: näiteks kui selle üks külg on 10 cm, siis on ka vastaskülg 10 cm. Ristküliku erijuhtum on ruut. Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Ruudu pindala arvutamiseks võite kasutada sama algoritmi nagu ristküliku pindala arvutamisel.
Kuidas teada saada ristküliku pindala kahe külje põhjal
Ristküliku pindala leidmiseks peate korrutama selle pikkuse laiusega: pindala = pikkus × laius. Allpool toodud juhul: pindala = AB × BC.
Kuidas teada saada ristküliku pindala külje ja diagonaali pikkuse järgi
Mõned probleemid nõuavad ristküliku pindala leidmist diagonaali ja ühe külje pikkuse järgi. Ristküliku diagonaal jagab selle kaheks võrdseks osaks täisnurkne kolmnurk. Seetõttu saame Pythagorase teoreemi abil määrata ristküliku teise külje. Pärast seda taandatakse ülesanne eelmisele punktile.
Kuidas teada saada ristküliku pindala perimeetri ja külje järgi
Ristküliku ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Kui teate ristküliku ja ühe külje ümbermõõtu (näiteks laiust), saate ristküliku pindala arvutada järgmise valemi abil:
Pindala = (ümbermõõt × laius – laius^2)/2.
Ristküliku pindala läbi diagonaalide ja diagonaali pikkuse vahelise teravnurga siinuse
Ristküliku diagonaalid on võrdsed, nii et pindala arvutamiseks diagonaali pikkuse ja nendevahelise teravnurga siinuse põhjal peaksite kasutama järgmist valemit: pindala = diagonaal^2 × sin(diagonaalide vaheline teravnurk )/2.
Lahendamisel tuleb arvestada, et ristküliku pindala leidmise probleemi lahendamisel ainult selle külgede pikkuse järgi see on keelatud.
Seda on lihtne kontrollida. Olgu ristküliku ümbermõõt 20 cm. See on tõsi, kui selle küljed on 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7 cm. Kõik need kolm ristkülikut on ühesuguse ümbermõõduga. (1 + 9) * 2 = 20 on täpselt sama, mis (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Nagu näete, saame valida lõputu hulk võimalusi ristküliku külgede mõõtmed, mille ümbermõõt on võrdne määratud väärtusega.
Ristkülikute pindala, mille ümbermõõt on 20 cm, kuid millel on erinevad küljed, on erinev. Toodud näite puhul - vastavalt 9, 16 ja 21 ruutsentimeetrit.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Nagu näete, on antud perimeetri figuuri pindala jaoks lõpmatu arv võimalusi.
Seega, et arvutada ristküliku pindala selle perimeetri järgi, peate teadma kas selle külgede suhet või ühe neist pikkust. Ainus kujund, mille pindala sõltub üheselt perimeetrist, on ring. Ainult ringi jaoks ja lahendus on võimalik.
Selles õppetükis:
- Ülesanne 4. Külgede pikkuse muutmine, säilitades ristküliku pindala
Ülesanne 1. Leia alalt ristküliku küljed
Ristküliku ümbermõõt on 32 sentimeetrit ja selle mõlemale küljele ehitatud ruutude pindalade summa on 260 ruutsentimeetrit. Leidke ristküliku küljed.Lahendus.
2(x+y)=32
Vastavalt ülesande tingimustele on selle mõlemale küljele konstrueeritud ruutude pindalade summa (vastavalt neli ruutu) võrdne
2x2 +2y 2 =260
x+y=16
x = 16 aastat
2 (16-a) 2 + 2 a 2 = 260
2(256-32a+a 2)+2a 2 =260
512-64 a + 4 a 2 -260 = 0
4 a 2 -64 a + 252 = 0
D = 4096-16x252 = 64
x 1 =9
x 2 =7
Nüüd võtame arvesse, et lähtuvalt sellest, et x+y=16 (vt eespool) x=9, siis y=7 ja vastupidi, kui x=7, siis y=9
Vastus: ristküliku küljed on 7 ja 9 sentimeetrit
Ülesanne 2. Leia ristküliku perimeetri küljed
Ristküliku ümbermõõt on 26 cm ja selle kahele külgnevale küljele ehitatud ruutude pindalade summa on 89 ruutmeetrit. cm leidke ristküliku küljed.
Lahendus.
Tähistame ristküliku külgi kui x ja y.
Siis on ristküliku ümbermõõt:
2(x+y)=26
Selle mõlemale küljele ehitatud ruutude pindalade summa (välja on vastavalt kaks ja need on laiuse ja kõrgusega ruudud, kuna küljed on kõrvuti)
x 2 + y 2 =89
Lahendame saadud võrrandisüsteemi. Esimesest võrrandist järeldame selle
x+y=13
y = 13-a
Nüüd teostame asendus teises võrrandis, asendades x selle ekvivalendiga.
(13-a) 2 + a 2 =89
169-26 a+y 2 +y 2 -89=0
2a 2 -26a+80=0
Lahendame saadud ruutvõrrandi.
D = 676-640 = 36
x 1 =5
x 2 =8
Nüüd võtame arvesse, et lähtudes sellest, et x+y=13 (vt eespool) x=5, siis y=8 ja vastupidi, kui x=8, siis y=5
Vastus: 5 ja 8 cm
Ülesanne 3. Leidke ristküliku pindala selle külgede suhte järgi
Leidke ristküliku pindala, kui selle ümbermõõt on 26 cm ja küljed on võrdelised 2 kuni 3.
Lahendus.
Tähistame ristküliku külgi proportsionaalsuskoefitsiendiga x.
Seega on ühe külje pikkus 2x, teise külje pikkus 3x.
Seejärel:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x = 13/5
Nüüd määrame saadud andmete põhjal ristküliku pindala:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2
Probleem 4. Külgede pikkuse muutmine, säilitades samal ajal ristküliku pindala
Ristküliku pikkust suurendatakse 25%. Mitme protsendi võrra tuleks laiust vähendada, et selle pindala ei muutuks?Lahendus.
Ristküliku pindala on
S = ab
Meie puhul suurenes üks teguritest 25%, mis tähendab a 2 = 1,25a. Seega peaks ristküliku uus pindala olema võrdne
S2 = 1,25ab
Seega ristküliku pindala tagastamiseks Algne väärtus, See
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25
Kuna uus suurus aga sa ei saa seda siis muuta
S2 = (1,25a) b / 1,25
1 / 1,25 = 0,8
Seega tuleb teise külje väärtust vähendada (1 - 0,8) * 100% = 20%
Vastus: laiust tuleks vähendada 20%.