Convertir la suma (diferencia) de cosenos de dos ángulos en un producto
Para la suma y diferencia de los cosenos de dos ángulos, las siguientes fórmulas son correctas:
La suma de los cosenos de dos ángulos es igual al doble del producto del coseno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia de estos ángulos.
La diferencia entre los cosenos de dos ángulos es igual a menos el doble del producto del seno de la semisuma por el seno de la semidiferencia de estos ángulos.
Ejemplos
Las fórmulas (1) y (2) se pueden obtener de muchas formas. Demostremos, por ejemplo, la fórmula (1).
porque α porque β = 1 / 2 .
creyendo en ella (α + β) = X , (α - β) = en, llegamos a la fórmula (1). Este método es similar a aquel con el que en el párrafo anterior se obtuvo la fórmula para la suma de los senos de dos ángulos.
2do método. En el párrafo anterior se demostró la fórmula
creyendo en ella α = X +π/2, β = en + π/2, obtenemos:
Pero según las fórmulas de reducción. pecado( X+ π / 2) == porque X, sen (y + π / 2) = cos y;
Por eso,
Q.E.D.
Invitamos a los estudiantes a probar la fórmula (2) por sí mismos. ¡Intenta encontrar al menos dos formas diferentes de demostrarlo!
Ejercicios
1. Calcula sin tablas, usando fórmulas para la suma y diferencia de los cosenos de dos ángulos:
A). cos 105° + cos 75°. GRAMO). porque 11π / 12-porque 5π/12..
b). cos 105° - cos 75°. d). cos 15° -sen 15°.
V). porque 11π / 12+porque 5π/12..f). pecado π/12+porque 11π / 12.
2 . Simplifica estas expresiones:
A). porque( π/3 + α ) + porque ( π/3 - α ).
b). porque( π/3 + α ) - porque ( π/3 - α ).
3. cada una de las identidades
pecado α +porque α = \/ 2 pecado( α + π/4)
pecado α -porque α = \/ 2 pecado( α - π/4)
demostrarlo al menos de dos maneras diferentes.
4. Presente estas expresiones en forma de productos:
A). \/ 2 + 2cos α . V). pecado X +porque y.
b). \/ 3 - 2cos α . GRAMO). pecado X -porque y.
5 . Simplifica la expresión pecado 2 ( α - π/8) - porque 2 ( α + π/8) .
6 .Factoriza estas expresiones (No. 1156-1159):
A). 1 + pecado α -porque α
b). pecado α + pecado (α + β) + pecado β .
V). porque α +porque 2α+porque 3α
GRAMO). 1 + pecado α +porque α
7. Demostrar estas identidades
8. Demostrar que los cosenos de los ángulos α Y β igual si y solo si
α = ± β + 2norteπ,
donde n es un número entero.
Fórmulas de reducción
Las fórmulas de reducción permiten encontrar los valores de funciones trigonométricas para cualquier ángulo (no solo los agudos). Con su ayuda, puedes realizar transformaciones que simplifiquen la apariencia de expresiones trigonométricas.
Foto 1.
Además de las fórmulas de reducción, se utilizan las siguientes fórmulas básicas para resolver problemas.
1) Fórmulas para un ángulo:
2) Expresar algunas funciones trigonométricas en términos de otras:
Comentario
En estas fórmulas, el signo radical debe ir precedido de un signo $"+"$ o $"-"$, según en qué cuadrante se encuentre el ángulo.
Suma y diferencia de senos, suma y diferencia de cosenos
Fórmulas para la suma y diferencia de funciones:
Además de las fórmulas para la suma y diferencia de funciones, las fórmulas para el producto de funciones pueden resultar útiles a la hora de resolver problemas:
Relaciones básicas entre los elementos de triángulos oblicuos.
Designaciones:
$a$, $b$, $c$ - lados del triángulo;
$A$, $B$, $C$ - ángulos opuestos a los lados enumerados;
$p=\frac(a+b+c)(2) $ - semiperímetro;
$S$ - área;
$R$ - radio del círculo circunscrito;
$r$ es el radio del círculo inscrito.
Ratios básicos:
1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - teorema del seno;
2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - teorema del coseno;
3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - teorema de la tangente;
4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-c\right)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - fórmulas de área.
Resolver triángulos oblicuos
Resolver triángulos oblicuos implica determinar todos sus elementos: lados y esquinas.
Ejemplo 1
Dados tres lados $a$, $b$, $c$:
1) en un triángulo, sólo se puede utilizar el teorema del coseno para calcular ángulos, ya que sólo el valor principal del arcocoseno está dentro de $0\le \arccos x\le +\pi $ correspondiente al triángulo;
3) encuentre el ángulo $B$ aplicando el teorema del coseno $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $, y luego la función trigonométrica inversa $B=\arccos \left(\cos B\right)$;
Ejemplo 2
Dados dos lados $a$, $b$ y el ángulo $C$ entre ellos:
1) encuentre el lado $c$ usando el teorema del coseno $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;
2) encuentre el ángulo $A$ aplicando el teorema del coseno $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, y luego la función trigonométrica inversa $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
3) encuentra el ángulo $B$ usando la fórmula $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$.
Ejemplo 3
Dados dos ángulos $A$, $B$ y el lado $c$:
1) encuentre el ángulo $C$ usando la fórmula $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;
2) encuentra el lado $a$ usando el teorema de los senos $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $;
3) encuentra el lado $b$ usando el teorema de los senos $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $.
Ejemplo 4
Dados los lados $a$, $b$ y el ángulo $B$ opuesto al lado $b$:
1) escribe el teorema del coseno $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, usando los valores dados; de aquí obtenemos la ecuación cuadrática $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)= 0$ con respecto a los lados $c$;
2) habiendo resuelto la ecuación cuadrática resultante, teóricamente podemos obtener uno de tres casos: dos valores positivos para el lado $c$, un valor positivo para el lado $c$, ningún valor positivo para el lado $c$; en consecuencia, el problema tendrá dos, una o cero soluciones;
3) usando un valor positivo específico del lado $c$, encontramos el ángulo $A$ aplicando el teorema del coseno $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2 ) )(2\cdot b\cdot c) $ y luego la función trigonométrica inversa $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
4) encuentra el ángulo $C$ usando la fórmula $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$.
Las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos para dos ángulos α y β nos permiten pasar de la suma de estos ángulos al producto de los ángulos α + β 2 y α - β 2. Notemos de inmediato que no se deben confundir las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos con las fórmulas para senos y cosenos de la suma y diferencia. A continuación enumeramos estas fórmulas, damos sus derivaciones y mostramos ejemplos de aplicación para tareas específicas.
Fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos.
Anotemos cómo se ven las fórmulas de suma y diferencia para senos y cosenos.
Fórmulas de suma y diferencia de senos.
sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2
Fórmulas de suma y diferencia de cosenos.
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β. Los ángulos α + β 2 y α - β 2 se denominan media suma y media diferencia de los ángulos alfa y beta, respectivamente. Demos la formulación para cada fórmula.
Definiciones de fórmulas para sumas y diferencias de senos y cosenos.
Suma de senos de dos ángulos es igual al doble del producto del seno de la semisuma de estos ángulos y el coseno de la semidiferencia.
Diferencia de senos de dos ángulos. es igual al doble del producto del seno de la semidiferencia de estos ángulos y el coseno de la semisuma.
Suma de cosenos de dos ángulos es igual al doble del producto del coseno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia de estos ángulos.
Diferencia de cosenos de dos ángulos. igual al doble del producto del seno de la semisuma y el coseno de la semidiferencia de estos ángulos, tomado con signo negativo.
Deducir fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos
Para derivar fórmulas para la suma y la diferencia del seno y el coseno de dos ángulos, se utilizan fórmulas de suma. Enumerémoslos a continuación
pecado (α + β) = pecado α · cos β + cos α · pecado β pecado (α - β) = pecado α · cos β - cos α · pecado β cos (α + β) = cos α · cos β - pecado α sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
Imaginemos también los ángulos mismos como una suma de mitades sumas y mitades diferencias.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Procedemos directamente a la derivación de las fórmulas de suma y diferencia para sen y cos.
Derivación de la fórmula para la suma de senos.
En la suma sen α + sen β, reemplazamos α y β con las expresiones para estos ángulos dadas anteriormente. Obtenemos
pecado α + pecado β = pecado α + β 2 + α - β 2 + pecado α + β 2 - α - β 2
Ahora aplicamos la fórmula de la suma a la primera expresión y a la segunda, la fórmula para el seno de diferencias de ángulos (ver fórmulas arriba)
pecado α + β 2 + α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 pecado α - β 2 pecado α + β 2 - α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Abra los corchetes, agregue términos similares y obtenga la fórmula requerida
sen α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sen α - β 2 + sen α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sen α - β 2 = = 2 sen α + β 2 porque α - β 2
Los pasos para derivar las fórmulas restantes son similares.
Derivación de la fórmula para la diferencia de senos.
pecado α - pecado β = pecado α + β 2 + α - β 2 - pecado α + β 2 - α - β 2 pecado α + β 2 + α - β 2 - pecado α + β 2 - α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 porque α + β 2
Derivación de la fórmula para la suma de cosenos.
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sen α + β 2 sen α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sen α + β 2 sen α - β 2 = = 2 cos α + β 2 porque α - β 2
Derivación de la fórmula para la diferencia de cosenos.
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 pecado α - β 2
Ejemplos de resolución de problemas prácticos.
Primero, verifiquemos una de las fórmulas sustituyéndole valores de ángulos específicos. Sea α = π 2, β = π 6. Calculemos el valor de la suma de los senos de estos ángulos. Primero usaremos la tabla de valores básicos de funciones trigonométricas y luego aplicaremos la fórmula para la suma de senos.
Ejemplo 1. Verificar la fórmula para la suma de los senos de dos ángulos
α = π 2, β = π 6 pecado π 2 + pecado π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 pecado π 2 + pecado π 6 = 2 pecado π 2 + π 6 2 porque π 2 - π 6 2 = 2 pecado π 3 porque π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Consideremos ahora el caso en el que los valores de los ángulos difieren de los valores básicos presentados en la tabla. Sea α = 165°, β = 75°. Calculemos la diferencia entre los senos de estos ángulos.
Ejemplo 2. Aplicación de la fórmula de diferencia de senos
α = 165°, β = 75° sen α - sen β = sen 165° - sen 75° sen 165 - sen 75 = 2 sen 165° - 75° 2 cos 165° + 75° 2 = = 2 sen 45° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Usando las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos, puedes pasar de la suma o diferencia al producto de funciones trigonométricas. A menudo, estas fórmulas se denominan fórmulas para pasar de una suma a un producto. Las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones trigonométricas y convertir expresiones trigonométricas.
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Tema de la lección. Suma y diferencia de senos. Suma y diferencia de cosenos.
(Lección sobre cómo aprender nuevos conocimientos).
Objetivos de la lección.
Didáctico:
derivar fórmulas para la suma de senos y la suma de cosenos y facilitar su asimilación en la resolución de problemas;
continuar desarrollando habilidades y destrezas en el uso de fórmulas trigonométricas;
comprobar el grado de asimilación del material sobre el tema.
Educativo:
promover el desarrollo de la habilidad de aplicar el conocimiento de forma independiente;
desarrollar habilidades de autocontrol y control mutuo;
Continuar trabajando en el desarrollo del pensamiento lógico y del habla matemática oral en la búsqueda de una solución al problema planteado.
Educativo:
enseñar la capacidad de comunicarse y escuchar a los demás;
cultivar la atención y la observación;
Estimular la motivación y el interés por aprender trigonometría.
Equipo: presentación, pizarra interactiva, fórmulas.
Durante las clases:
Organizar el tiempo. - 2 minutos.
Actualización de conocimientos básicos. Repetición. – 12 min.
El establecimiento de metas. - 1 minuto.
Percepción y comprensión de nuevos conocimientos. - 3 min.
Aplicación de los conocimientos adquiridos. - 20 minutos.
Análisis de logros y corrección de actividades. - 5 minutos.
Reflexión. - 1 minuto.
Tarea. - 1 minuto.
1. Organizar el tiempo.(diapositiva 1)
- ¡Hola! La trigonometría es una de las secciones más interesantes de las matemáticas, pero por alguna razón la mayoría de los estudiantes la encuentran más difícil. Lo más probable es que esto se pueda explicar por el hecho de que hay más fórmulas en esta sección que en cualquier otra. La resolución exitosa de problemas de trigonometría requiere un conocimiento seguro de numerosas fórmulas. Ya se han estudiado muchas fórmulas, pero resulta que no todas. Por lo tanto, el lema de esta lección será el dicho de Pitágoras “El que camina domina el camino, pero el que piensa domina las matemáticas”. ¡Pensemos!
2. Actualización de conocimientos básicos. Repetición.
1) dictado matemático con verificación mutua(diapositivas 2-5)
Primera tarea. Usando las fórmulas aprendidas calcular:
1 opción
opcion 2
pecado 390 0
porque 420 0
1 – porque 2 30 0
1 – pecado 2 60 0
cos 120 0 ∙cos 30 0 + sen 120 0 ∙sen 30 0
sen 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sen 150 0
Respuestas: ; 1; -; ; - ; - 1 ; 1; ; ; 0; ; 3. - verificación mutua.
Criterios de calificación: (los trabajos se entregan al profesor)
"4" - 10 – 11
2) una tarea problemática(diapositiva 6) – informe del estudiante.
Simplifica la expresión usando fórmulas trigonométricas:
¿Es posible solucionar este problema de otra manera? (Sí, usando nuevas fórmulas).
3. Establecimiento de objetivos(diapositiva 7)
Tema de la lección:
Suma y diferencia de senos. Suma y diferencia de cosenos. - escribiendo en un cuaderno
Objetivos de la lección:
derivar fórmulas para la suma y diferencia de senos, suma y diferencia de cosenos;
poder aplicarlos en la práctica.
4. Percepción y comprensión de nuevos conocimientos. ( diapositiva 8-9)
Derivemos la fórmula para la suma de los senos: - maestro
Las fórmulas restantes se prueban de manera similar: (fórmulas para convertir una suma en un producto)
¡Reglas de memorización!
¿Qué otras fórmulas trigonométricas se utilizaron para probar fórmulas de suma?
5. Aplicación de los conocimientos adquiridos.(diapositivas 10-11)
Usando nuevas fórmulas:
1) Calcular: (en la pizarra) - ¿Cuál será la respuesta? (número)
Dictado con un profesor
6. Análisis de logros y corrección de actividades.(diapositiva 13)
Trabajo independiente diferenciado con autodiagnóstico.
Calcular:
7. Reflexión.(diapositiva 14)
¿Estás satisfecho con tu trabajo en clase?
¿Qué calificación te darías a ti mismo durante toda la lección?
¿Cuál fue el momento más interesante de la lección?
¿Dónde tuviste que concentrarte más?
8. Tarea: aprender fórmulas, tareas individuales en tarjetas.
). Estas fórmulas te permiten pasar de la suma o diferencia de senos y cosenos de ángulos al producto de senos y/o cosenos de ángulos y. En este artículo, primero enumeraremos estas fórmulas, luego mostraremos su derivación y finalmente consideraremos varios ejemplos de su aplicación.
Navegación de páginas.
Lista de fórmulas
Anotemos las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos. Como comprenderá, hay cuatro: dos para senos y dos para cosenos.
Ahora demos sus formulaciones. Al formular fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos, el ángulo se llama semisuma de ángulos y, y el ángulo se llama semidiferencia. Entonces,
Vale la pena señalar que las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos son válidas para cualquier ángulo y.
Derivar fórmulas
Para derivar fórmulas para la suma y diferencia de senos, puede utilizar fórmulas de suma, en particular, las fórmulas
seno de la suma,
diferencia sinusoidal,
coseno de la suma y
coseno de la diferencia.
También necesitamos una representación de ángulos en la forma. 
Y 
. Esta representación es válida, ya que para cualquier ángulo y .
Ahora veámoslo en detalle. derivación de la fórmula para la suma de los senos de dos ángulos amable .
Primero, reemplazamos el total por , y en , y obtenemos . Ahora a 
aplicar el seno de la fórmula de la suma, y para 
- fórmula para el seno de la diferencia: 
Después de reducir términos similares obtenemos 
. Como resultado, tenemos una fórmula para la suma de senos de la forma.
Para derivar las fórmulas restantes, sólo necesita seguir pasos similares. Aquí está la derivación de las fórmulas para la diferencia de senos, así como la suma y diferencia de cosenos: 
Para la diferencia de cosenos, hemos dado dos tipos de fórmulas o 
. Son equivalentes porque 
, que se deriva de las propiedades de los senos de ángulos opuestos.
Entonces, hemos examinado la prueba de todas las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos.
Ejemplos de uso
Veamos varios ejemplos del uso de fórmulas para la suma de senos y cosenos, así como la diferencia de senos y cosenos.
Por ejemplo, comprobemos la validez de la fórmula para la suma de senos de la forma , tomando y . Para hacer esto, calculemos los valores de los lados izquierdo y derecho de la fórmula para los ángulos dados. Desde y (si es necesario, consulte la tabla de valores básicos de senos y cosenos), entonces . cuando y tenemos 
Y 
, Entonces . Así, los valores de los lados izquierdo y derecho de la fórmula para la suma de los senos para y coinciden, lo que confirma la validez de esta fórmula.
En algunos casos, el uso de fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos permite calcular los valores de expresiones trigonométricas cuando los ángulos son diferentes de los ángulos básicos ( 
). Pongamos un ejemplo de solución que confirme esta idea.
Ejemplo.
Calcula el valor exacto de la diferencia entre los senos de 165 y 75 grados.
Solución.
No conocemos los valores exactos de los senos de 165 y 75 grados, por lo que no podemos calcular directamente el valor de una diferencia determinada. Pero la fórmula para la diferencia de senos nos permite responder la pregunta del problema. De hecho, la mitad de la suma de los ángulos de 165 y 75 grados es igual a 120, y la mitad de la diferencia es igual a 45, y se conocen los valores exactos del seno de 45 grados y del coseno de 120 grados.
Así tenemos 
Respuesta:
.
Sin duda, el principal valor de las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos es que permiten pasar de la suma y diferencia al producto de funciones trigonométricas (por esta razón, estas fórmulas a menudo se denominan fórmulas para pasar de suma al producto de funciones trigonométricas). Y esto a su vez puede resultar útil, por ejemplo, cuando convertir expresiones trigonométricas o cuando resolver ecuaciones trigonométricas. Pero estos temas requieren una discusión separada.
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