Una declaración es una formación más compleja que un nombre. Cuando descomponemos declaraciones en partes más simples, siempre obtenemos un nombre u otro. Digamos que la afirmación “El sol es una estrella” incluye los nombres “Sol” y “estrella” como partes.
Declaración - una oración gramaticalmente correcta, tomada junto con el significado (contenido) que expresa y siendo verdadera o falsa.
El concepto de enunciado es uno de los conceptos clave iniciales de la lógica moderna. Como tal no permite definición precisa, igualmente aplicable en sus diferentes apartados.
Una afirmación se considera verdadera si la descripción que da se corresponde con la situación real, y falsa si no se corresponde con ella. "Verdadero" y "falso" se denominan "valores de verdad de las declaraciones".
De declaraciones individuales diferentes caminos puedes construir nuevas declaraciones. Por ejemplo, a partir de las afirmaciones “El viento sopla” y “Está lloviendo”, se pueden formar afirmaciones más complejas “El viento sopla y está lloviendo”, “O sopla el viento o está lloviendo”, “Si está lloviendo, luego sopla el viento”, etc.
La declaración se llama simple, a menos que incluya otras declaraciones como partes del mismo.
La declaración se llama complejo, si se obtiene utilizando conectivos lógicos de otros más declaraciones simples.
Veamos las formas más importantes de construir. declaraciones complejas.
Declaración negativa Consta de una afirmación inicial y una negación, generalmente expresada por las palabras “no”, “no es cierto que”. Un enunciado negativo es, pues, un enunciado complejo: incluye como parte un enunciado diferente de él. Por ejemplo, la negación del enunciado “10 es un número par” es el enunciado “10 no es un número par” (o: “No es cierto que 10 es un número par”).
Denotemos las declaraciones con letras. A B C,... El significado completo del concepto de negación de un enunciado viene dado por la condición: si el enunciado A es verdadera, su negación es falsa, y si A es falsa, su negación es verdadera. Por ejemplo, dado que la afirmación “1 es un número entero positivo” es verdadera, su negación “1 no es un número entero positivo” numero positivo” es falso, y como “1 es un número primo” es falso, su negación “1 no es un número primo” es verdadera.
Conectar dos declaraciones usando la palabra "y" produce una declaración compleja llamada conjunción. Los enunciados conectados de esta manera se denominan "miembros de una conjunción".
Por ejemplo, si se combinan de esta forma las afirmaciones “Hoy hace calor” y “Ayer hizo frío”, se obtiene la conjunción “Hoy hace calor y ayer hizo frío”.
Una conjunción es verdadera sólo si ambas afirmaciones incluidas en ella son verdaderas; si al menos uno de sus miembros es falso, entonces toda la conjunción es falsa.
En el lenguaje ordinario, dos afirmaciones están conectadas por la conjunción “y” cuando están relacionadas entre sí en contenido o significado. La naturaleza de esta conexión no está del todo clara, pero está claro que no consideraríamos la conjunción “Él caminaba con un abrigo y yo caminaba hacia la universidad” como una expresión que tiene significado y puede ser verdadera o falsa. Aunque las afirmaciones “2 es un número primo” y “Moscú es una gran ciudad” son ciertas, no nos inclinamos a considerar cierta su conjunción “2 es un número primo y Moscú es una gran ciudad”, ya que los componentes de estas declaraciones no están interconectadas en significado. Al simplificar el significado de conjunción y otros conectivos lógicos y, para este propósito, abandonar el concepto poco claro de “conexión de enunciados por significado”, la lógica hace que el significado de estos conectivos sea a la vez más amplio y más específico.
Conectar dos declaraciones usando la palabra "o" da disyunción estas afirmaciones. Los enunciados que forman una disyunción se denominan "miembros de la disyunción".
La palabra "o" tiene dos significados diferentes en el lenguaje cotidiano. A veces significa "uno o el otro o ambos" y otras veces "uno o el otro, pero no ambos". Por ejemplo, la afirmación “Esta temporada quiero ir a la Reina de Picas o Aida” permite la posibilidad de visitar la onera dos veces. La afirmación “Estudia en la Universidad de Moscú o de Yaroslavl” implica que la persona mencionada estudia sólo en una de estas universidades.
El primer sentido de "o" se llama no exclusivo. Tomado en este sentido, la disyunción de dos enunciados significa que al menos uno de ellos es verdadero, independientemente de si ambos son verdaderos o no. Tomada en el segundo exclusivo o en sentido estricto, la disyunción de dos enunciados establece que uno de los enunciados es verdadero y el segundo es falso.
Una disyunción no exclusiva es verdadera cuando al menos uno de sus enunciados constitutivos es verdadero, y falsa sólo cuando ambos de sus miembros son falsos.
Una disyunción exclusiva es verdadera cuando sólo uno de sus términos es verdadero y es falsa cuando ambos términos son verdaderos o ambos son falsos.
En lógica y matemáticas, la palabra "o" casi siempre se utiliza con un significado no exclusivo.
Sentencia condicional - una declaración compleja, generalmente formulada usando el conectivo “si..., entonces...” y estableciendo ese evento, estado, etc. es en un sentido u otro la base o condición para otro.
Por ejemplo: “Si hay fuego, entonces hay humo”, “Si un número es divisible por 9, es divisible por 3”, etc.
Una declaración condicional se compone de dos declaraciones más simples. El que va precedido de la palabra “si” se llama base, o antecedente(anterior), la declaración que viene después de la palabra "eso" se llama consecuencia, o consecuente(subsecuente).
Al afirmar un enunciado condicional, queremos decir en primer lugar que no puede ser que lo que se dice en su base tenga lugar y lo que se dice en la consecuencia esté ausente. En otras palabras, no puede ocurrir que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.
En términos de un enunciado condicional, los conceptos de condiciones suficientes y necesarias generalmente se definen: el antecedente (motivo) es una condición suficiente para el consecuente (consecuencia), y el consecuente es condición necesaria para el antecedente. Por ejemplo, la verdad del enunciado condicional “Si la elección es racional, entonces se elige la mejor de las alternativas disponibles” significa que la racionalidad es una razón suficiente para elegir la mejor de las opciones disponibles y que la elección de tal opción es una condición necesaria para su racionalidad.
Una función típica de una declaración condicional es justificar una declaración por referencia a otra declaración. Por ejemplo, el hecho de que la plata sea conductora de electricidad puede justificarse haciendo referencia al hecho de que es un metal: "Si la plata es un metal, es conductora de electricidad".
La conexión entre lo fundamentado y lo justificado (fundamento y consecuencia) expresado por un enunciado condicional es difícil de caracterizar en vista general, y sólo a veces su naturaleza es relativamente clara. Esta conexión puede ser, en primer lugar, una conexión de consecuencia lógica que tiene lugar entre las premisas y la conclusión de una conclusión correcta (“Si todos los seres multicelulares vivientes son mortales, y la medusa es una criatura así, entonces es mortal”); en segundo lugar, por la ley de la naturaleza (“Si un cuerpo es sometido a fricción, comenzará a calentarse”); en tercer lugar, una conexión causal (“Si la Luna está en el nodo de su órbita en la luna nueva, Eclipse solar"); en cuarto lugar, regularidad social, reglas, tradiciones, etc. (“Si la sociedad cambia, la persona también”, “Si el consejo es razonable, debe implementarse”).
La conexión expresada por un enunciado condicional suele ir acompañada de la creencia de que la consecuencia "sigue" con una cierta necesidad de la razón y que existe alguna ley general que, habiendo podido formular, podríamos deducir lógicamente la consecuencia de la razón. razón.
Por ejemplo, el enunciado condicional “Si el bismuto es un metal es plástico” parece presuponer la ley general “Ningún metal es plástico”, haciendo que el consecuente de este enunciado sea una consecuencia lógica de su antecedente.
Tanto en el lenguaje ordinario como en el lenguaje científico, un enunciado condicional, además de la función de justificación, también puede realizar una serie de otras tareas: formular una condición que no esté asociada con ninguna ley o regla general implícita (“Si quiero, me cortaré el manto”); registrar cualquier secuencia (“Si el verano pasado fue seco, este año lloverá”); expresar incredulidad de una forma peculiar (“Si resuelves este problema, demostraré el último teorema de Fermat”); oposición (“Si una baya de saúco crece en el jardín, entonces un hombre vive en Kiev”), etc. La multiplicidad y heterogeneidad de las funciones de un enunciado condicional complica significativamente su análisis.
El uso de declaraciones condicionales está asociado con ciertos factores psicológicos. Por lo tanto, normalmente formulamos tal afirmación sólo si no sabemos con certeza si su antecedente y su consecuente son verdaderos o falsos. Por lo demás, su uso parece antinatural (“Si el algodón es metal, es conductor eléctrico”).
El enunciado condicional encuentra una aplicación muy amplia en todas las áreas del razonamiento. En lógica suele estar representado por declaración implicativa, o trascendencia. Al mismo tiempo, la lógica aclara, sistematiza y simplifica el uso de “si..., entonces...”, liberándolo de la influencia de factores psicológicos.
La lógica se abstrae, en particular, del hecho de que la conexión entre razón y consecuencia, característica de un enunciado condicional, dependiendo del contexto, puede expresarse no sólo usando "si..., entonces...", sino también otros. medios lingüísticos. Por ejemplo, “Como el agua es un líquido, transmite la presión en todas direcciones de manera uniforme”, “Aunque la plastilina no es un metal, es plástico”, “Si la madera fuera metal, sería conductora de electricidad”, etc. Estas y otras afirmaciones similares se representan en el lenguaje de la lógica mediante implicaciones, aunque el uso de “si..., entonces...” en ellas no sería del todo natural.
Al afirmar una implicación, afirmamos que no puede suceder que su base esté presente y su consecuencia esté ausente. En otras palabras, una implicación es falsa sólo si su razón es verdadera y su consecuencia es falsa.
Esta definición supone, al igual que las definiciones anteriores de conectivos, que cada enunciado es verdadero o falso y que el valor de verdad de un enunciado complejo depende sólo de los valores de verdad de los enunciados constituyentes y de la forma en que están conectados.
Una implicación es verdadera cuando tanto su razón como su consecuencia son verdaderas o falsas; es verdadera si su razón es falsa y su consecuencia es verdadera. Sólo en el cuarto caso, cuando la razón es verdadera y la consecuencia falsa, la implicación es falsa.
No se da a entender que las declaraciones A Y EN están de alguna manera relacionados entre sí en contenido. Si es verdad EN declaración "si A, Eso EN" cierto independientemente de si A verdadero o falso y está conectado en significado con EN O no.
Por ejemplo, las siguientes afirmaciones se consideran verdaderas: "Si hay vida en el Sol, entonces dos más dos son cuatro", "Si el Volga es un lago, entonces Tokio es un gran pueblo", etc. Un enunciado condicional también es verdadero cuando A falso, y una vez más indiferentemente, verdadero EN o no y está relacionado en contenido con A O no. Las afirmaciones verdaderas incluyen: "Si el Sol es un cubo, entonces la Tierra es un triángulo", "Si dos y dos son cinco, entonces Tokio es una ciudad pequeña", etc.
En el razonamiento ordinario, es poco probable que todas estas afirmaciones sean consideradas significativas, y menos aún verdaderas.
Aunque la implicación es útil para muchos propósitos, no es del todo coherente con la comprensión habitual de la conexión condicional. La implicación cubre muchas características importantes del comportamiento lógico de un enunciado condicional, pero al mismo tiempo no es una descripción suficientemente adecuada del mismo.
En el último medio siglo ha habido vigorosos intentos de reformar la teoría de la implicación. Al mismo tiempo, no se trataba de abandonar el concepto descrito de implicación, sino de introducir junto con él otro concepto que tenga en cuenta no sólo los valores de verdad de los enunciados, sino también su conexión en el contenido.
Estrechamente relacionado con la implicación. equivalencia, A veces se le llama "doble implicación".
La equivalencia es un enunciado complejo “A si y sólo si B”, formado a partir de enunciados de Li B y descompuesto en dos implicaciones: “si A, entonces B", y "si B, entonces A". Por ejemplo: "Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiangular". El término "equivalencia" también denota el conectivo "..., si y sólo si...", con la ayuda del cual se forma un enunciado complejo determinado a partir de dos enunciados. En lugar de “si y sólo si”, se puede utilizar para este propósito “si y sólo si”, “si y sólo si”, etc.
Si los conectivos lógicos se definen en términos de verdad y falsedad, una equivalencia es verdadera si y sólo si ambos enunciados constituyentes tienen el mismo valor de verdad, es decir, cuando ambas son verdaderas o ambas falsas. En consecuencia, una equivalencia es falsa cuando una de las afirmaciones incluidas en ella es verdadera y la otra es falsa.
Declaraciones simples y complejas. Negación de una declaración
La lógica matemática, cuyas bases fueron puestas por G. Leibniz allá por el siglo XVII, no se formó como disciplina científica hasta mediados del siglo XIX gracias al trabajo de los matemáticos J. Boole y O. Morgan, quienes crearon el álgebra de la lógica.
1. Una declaración es cualquier oración declarativa, que se sabe que es verdadera o falsa. Las declaraciones se pueden expresar utilizando palabras, así como símbolos matemáticos, químicos y de otro tipo. Aquí hay unos ejemplos:
b) 2+6>8 (afirmación falsa),
c) la suma de los números 2 y 6 mas numero 8 (declaración falsa);
d) II + VI > VII (enunciado verdadero);
e) existen civilizaciones extraterrestres dentro de nuestra Galaxia (esta afirmación es indudablemente verdadera o falsa, pero aún no se sabe cuál de estas posibilidades es verdadera).
Está claro que los enunciados b) yc) significan lo mismo, pero se expresan de manera diferente. En general, escribiremos afirmaciones como ésta: a: (La Luna es un satélite de la Tierra); b:(existe un número real x tal que 2x+5=15); c: (todos los triángulos son isósceles).
No todas las oraciones son una declaración. Por ejemplo, las oraciones exclamativas e interrogativas no son declaraciones (“¿De qué color es esta casa?”, “Bebe jugo de tomate!", "¡Alto!", etc.). Las definiciones no son declaraciones, por ejemplo, "Llamemos mediana al segmento que conecta el vértice de un triángulo con el centro del lado opuesto". Así, las definiciones, aunque pueden ser verdaderas o falsas, sólo registran el uso aceptado de los términos. Las oraciones “Tiene un ojo gris” o “x 2 - 4x + 3 = 0” no son afirmaciones, no lo son. indicar cual persona. estamos hablando acerca de o para el cual se considera x igualdad. Estas oraciones con un miembro desconocido (variable) se llaman declaraciones vagas. Tenga en cuenta que la oración “Algunas personas tienen ojos grises” o “Para todo x la igualdad x 2 - 4x + 3 = 0” ya es una afirmación (la primera de ellas es verdadera y la segunda es falsa).
2. Una declaración que se puede descomponer en partes se llamará compleja y una declaración que no se puede descomponer más se llamará simple. Por ejemplo, la afirmación “Hoy a las 4 de la tarde estaba en la escuela y a las 6 de la tarde fui a la pista de patinaje” consta de dos partes: “Hoy a las 4 de la tarde tarde estuve en la escuela” y “Hoy a las 6 de la tarde fui a la pista de patinaje” ". O esta afirmación: "la función y = ax 2 + bx + c es continua y derivable para todos los valores X" consta de dos afirmaciones simples: “La función y = ax 2 + bx + c es continua para todos los valores de x” y “la función y = ax 2 + bx + c es diferenciable para todos los valores de x”.
Así como se pueden obtener otros números a partir de números dados usando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, a partir de declaraciones dadas se pueden obtener nuevos usando operaciones que tienen nombres especiales: conjunción, disyunción, implicación, equivalencia, negación. Aunque estos nombres suenen inusuales, sólo se refieren a las conocidas conexiones de oraciones individuales con conectivos “y”, “o”, “si...entonces...”, “si y sólo si...”, así como como la adición de la partícula "no" a la declaración.
3. La negación de un enunciado a es un enunciado a tal que a es falso si a es verdadero y a es verdadero si a es falso. La notación a dice así: "No a" o "No es cierto que a". Intentemos entender esta definición con ejemplos. Considere las siguientes declaraciones:
a: (Hoy a las 12 de la tarde estuve en la pista de patinaje);
b: (Hoy estuve en la pista de patinaje no a las 12 del mediodía);
s: (yo estaba en la pista de patinaje a las 12 del mediodía, hoy no);
d:(Hoy a las 12 del mediodía estaba en la escuela);
e: (Hoy estuve en la pista de patinaje a las 3 de la tarde);
f:(Hoy a las 12 del mediodía no estaba en la pista de patinaje);
A primera vista, todos los enunciados b - f niegan el enunciado a. Pero en realidad no lo es. Si lee atentamente el significado de la afirmación b, notará que ambas afirmaciones a y b pueden resultar falsas simultáneamente; esto sucederá si hoy no estuviera en la pista de patinaje. Lo mismo se aplica a las declaraciones a y c, a y a. Y las afirmaciones a y e pueden resultar verdaderas (si, por ejemplo, estuve patinando de 11 a 4 de la tarde) y al mismo tiempo falsas (si hoy no estuve en la pista de patinaje). ). Y solo el enunciado f tiene la siguiente propiedad: es verdadero en el caso de que el enunciado a sea falso, y falso en el caso de que el enunciado a sea verdadero. Esto significa que el enunciado f es la negación del enunciado a, es decir, f = a. La siguiente tabla muestra la relación entre las declaraciones a y ;
Las letras "i" y "l" son abreviaturas de las palabras "verdadero" y "falso", respectivamente. Estas palabras en lógica se llaman valores de verdad. La tabla se llama tabla de verdad.
Te queremos mucho dichos sabios buena gente. Aquellos cuyos nombres están escritos con letras de oro en la historia del mundo. Pero también la gente común, nuestros amigos, compañeros, compañeros de clase, a veces hacen algo como esto, incluso si estás ahí parado, incluso si te caes. En esta página hemos recopilado para usted una combinación de los más, en nuestra opinión, declaraciones interesantes sobre la vida, el destino, el amor. Creativo, divertido, sabio, impresionante, conmovedor, conmovedor, positivo... para todos los colores y gustos)
1. Sobre trabajo y salario
2. Sobre mentiras y verdad
La mentira... tiene un camino ancho... La verdad... tiene un camino angosto... La mentira... tiene muchas lenguas... Pero la verdad... es tacaña con las palabras... La mentira... palabras resbaladizas... pero se deslizan en cualquier oído... Pero la verdad... es un hilo fino... pero atraviesa las almas!!!
3. Misteriosos son los Caminos del Señor...
Dios no te da las personas que quieres. Él te brinda las personas que necesitas. Te lastiman, te aman, te enseñan, te rompen para moldearte y convertirte en quien debes ser.
4. ¡¡¡Genial!!!
¡Muy guay! ¡Trabajar sólo después de 20 años!)
5. Sistema de cálculo...
Parece que todo lo pagan con dinero. Por todo lo verdaderamente importante lo pagan con pedazos del alma...
6. Necesitas ver lo positivo en todo)
Si el destino te ha regalado un limón agrio, piensa dónde conseguir tequila y pásalo genial.
7. De Erich María Observación
Quien quiera aguantar pierde. Intentan retener a aquellos que están dispuestos a dejarse llevar con una sonrisa.
8. La diferencia entre un perro y una persona...
Si recoges a un perro hambriento y le llenas la vida, nunca te morderá. Ésta es la diferencia fundamental entre un perro y una persona.
9. ¡Sólo de ESTA manera!
10. Camino del destino
Cada persona debe pasar por esto en su vida. Rompe el corazón de otra persona. Rompe el tuyo. Y luego aprenda a tratar con cuidado tanto el corazón propio como el de los demás.
11. ¿Cuál es la fuerza del carácter?
La fuerza del carácter no reside en la capacidad de atravesar paredes, sino en la capacidad de encontrar puertas.
12. Tu bebé se está desarrollando bien)
Chicas, la felicidad no es una calada de un cigarrillo y un sorbo de cerveza, la felicidad es cuando vas al médico y te dicen: “¡Tu bebé se está desarrollando bien, no hay desviaciones!”
13. De la Madre Teresa, un pensamiento vital...
Para formar una familia basta con amar. Y para preservar, es necesario aprender a soportar y perdonar.
14. Parecía)
De niño parecía que después de los treinta era la vejez... ¡Gracias a Dios así parecía!
15. Separar el trigo de la paja...
Aprenda a distinguir entre lo importante y lo que no lo es. Educación más alta- no es un indicador de inteligencia. Hermosas palabras- no es un indicador de amor. La buena apariencia no es un indicador. hombre guapo. Aprenda a valorar su alma, crea en sus acciones y observe sus hechos.
16. De la gran Faina Ranevskaya
Cuida a tus amadas mujeres. Al fin y al cabo, mientras ella regaña, se preocupa y se asusta, ella ama, pero en cuanto empieza a sonreír y a mostrarse indiferente, la has perdido.
17. Sobre los niños...
Decidir tener un hijo es un asunto serio. Esto significa decidir dejar que tu corazón camine fuera de tu cuerpo de ahora en adelante y para siempre.
18. Un proverbio portugués muy sabio
Vale más una choza donde ríen que un palacio donde lloran.
19. Escucha...
Necesitas tener uno en la vida. principio importante- siempre levanta el teléfono si alguien te llama persona cercana. Incluso si te sientes ofendido por él, incluso si no quieres hablar, y más si solo quieres darle una lección. Definitivamente necesitas levantar el teléfono y escuchar lo que quiere decirte. Quizás sea algo realmente importante. Pero la vida es demasiado impredecible y quién sabe si volverás a escuchar a esta persona.
20. Todo se puede sobrevivir
Todo se puede sobrevivir en esta vida siempre y cuando haya algo por qué vivir, alguien a quien amar, alguien a quien preocuparse y alguien en quien confiar.
21. Errores… ¿quién no los tiene?
Tus errores, tu fuerza. Los árboles se mantienen más fuertes sobre raíces torcidas.
22. Oración sencilla
Mi ángel de la guarda... Estoy cansado otra vez... Dame tu mano, por favor, y abrázame con tu ala... Abrázame fuerte para que no caiga... Y si tropiezo, tú me levantas. yo arriba...
23. De la magnífica Marilyn Monroe)
Por supuesto, mi personaje no es angelical, no todo el mundo puede soportarlo. Bueno, discúlpenme... ¡y no soy para todos!
24. Comunicar...
Es una estupidez no comunicarse con la persona que te importa. Y no importa lo que pasó. Puede que se haya ido en cualquier momento. ¿Puedes imaginar? Para siempre. Y no recibirás nada a cambio.
25. Dimensión de la vida
No puedes hacer nada con respecto a la duración de tu vida, pero puedes hacer mucho con respecto a su anchura y profundidad.
Declaraciones de negación
Entre los enunciados de negación, se hace una distinción entre enunciados con negación externa e interna. Dependiendo de los objetivos del estudio, una declaración de negación puede considerarse una declaración simple o compleja.
Al considerar un enunciado de negación como un enunciado simple, una tarea importante es determinar la forma lógica correcta del enunciado:
Una afirmación simple que contiene una negación interna suele clasificarse como afirmación negativa (ver “Tipos de afirmaciones atributivas por calidad”). Por ejemplo: " Algunos residentes de la República de Bielorrusia no utilizan préstamos bancarios”, “Ni una sola liebre es un depredador”;
La forma lógica correcta de un enunciado simple con una negación externa es un enunciado que contradice el enunciado dado (ver “Relaciones lógicas entre enunciados. Cuadrado lógico”). Por ejemplo: declaración "No todas las personas son codiciosas" corresponde a la declaración "Algunas personas no son codiciosas».
Considerando un enunciado de negación como un enunciado complejo, es necesario determinar su significado lógico.
Declaración original: El sol está brillando(R).
Declaración de negación: El sol no está brillando(┐р).
Doble afirmación negativa: No es cierto que el sol no brilla(┐┐r).
| R | ┐р | ┐┐r |
| Y | l | Y |
| l | Y | l |
| Arroz. dieciséis |
Un enunciado de negación es verdadero sólo si el enunciado original es falso y viceversa. La ley de la doble negación está asociada al enunciado de negación: la doble negación de un enunciado arbitrario equivale a este enunciado mismo. Las condiciones de verdad para un enunciado de negación se muestran en la figura. dieciséis.
Difícil se considera una declaración que consta de varias declaraciones simples conectadas mediante conjunciones lógicas "y", "o", "si..., entonces...", etc. Las declaraciones complejas incluyen declaraciones de conexión, separación, condicionales, equivalentes, así como negación de declaraciones.
Declaración conectiva (conjunción) es un enunciado complejo que consta de enunciados simples conectados mediante el conectivo lógico "y". La conjunción lógica “y” (conjunción) puede expresarse en lenguaje natural mediante las conjunciones gramaticales “y”, “pero”, “sin embargo”, “y también”, etc. Por ejemplo: “Se acercaron las nubes y empezó a llover”, “Grandes y pequeños se alegran que tenga un lindo día» . En lenguaje simbólico Lógicamente estas declaraciones se escriben de la siguiente manera: p∧q. Una conjunción es verdadera sólo si todos los enunciados simples que la constituyen son verdaderos (figura 17).
Enunciado divisorio (disyunción). Hay disyunciones débiles y fuertes. disyunción débil Corresponde al uso de la conjunción “o” en sentido conectivo-disyuntivo (ya sea uno o el otro, o ambos juntos). Por ejemplo: "Este estudiante es un atleta o un excelente estudiante". (p⋁q), “Los factores hereditarios, la mala ecología y malos hábitos son las causas de la mayoría de las enfermedades"(p⋁q⋁r). Una disyunción débil es verdadera cuando al menos una de las afirmaciones simples incluidas en su composición es verdadera (ver Fig. 17).
Fuerte disyunción Corresponde al uso de la conjunción “o” en sentido exclusivo-de separación (o uno o el otro, pero no ambos). Por ejemplo: “Por la noche estaré en clase o iré a una discoteca”, “Una persona está viva o muerta”. Notación simbólica p⊻q. Una disyunción fuerte es verdadera cuando sólo una de las afirmaciones simples incluidas en su composición es verdadera (ver Fig. 17).
Declaración condicional (implicación) es una afirmación compleja que consta de dos partes conectadas mediante la conjunción lógica “si..., entonces...”. La afirmación que viene después de la partícula "si" se llama base, y la afirmación que viene después de "entonces" se llama consecuencia. En el análisis lógico de enunciados condicionales, la base de la implicación siempre se sitúa en primer lugar. En el lenguaje natural esta regla muchas veces no se sigue. Ejemplo de declaración condicional: “Si las golondrinas vuelan bajo, lloverá” (p→q). Una implicación es falsa sólo en un caso, cuando su base es verdadera y su consecuencia es falsa (ver Fig. 17).
Declaración equivalente es un enunciado que consta de enunciados simples conectados mediante la conjunción lógica “si y sólo si” (“si y sólo si..., entonces...). Una afirmación equivalente implica la presencia o ausencia simultánea de dos situaciones. En el lenguaje natural, la equivalencia se puede expresar mediante conjunciones gramaticales “si..., entonces...”, “sólo si...”, etc. Por ejemplo: “Nuestro equipo sólo ganará si se prepara bien» ( p↔q). Un enunciado equivalente será verdadero cuando sus enunciados constituyentes sean simultáneamente verdaderos o simultáneamente falsos (ver figura 17).
Para formalizar el razonamiento es necesario:
1) encontrar y designar afirmaciones simples que formen parte de una afirmación compleja utilizando pequeñas consonantes del alfabeto latino. Las variables se asignan arbitrariamente, pero si la misma declaración simple ocurre varias veces, entonces la variable correspondiente se usa la misma cantidad de veces;
2) encontrar y designar conjunciones lógicas (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐) mediante constantes lógicas;
3) si es necesario, colocar señales técnicas [...], (...).
En la Fig. La Figura 18 muestra un ejemplo de formalización de una declaración compleja. .
ya soy libre (pag) y (∧), Si a mí No será detenido (┐q) o (⋁)no el auto se descompone (┐r), entonces(→) vendré pronto (s) .
p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s
Arroz. 18
Una vez escrita la declaración en forma simbólica, se puede determinar el tipo de fórmula. En lógica, existen fórmulas idénticamente verdaderas, idénticamente falsas y neutrales. Las fórmulas idénticamente verdaderas, independientemente de los valores de las variables incluidas en ellas, siempre toman el valor "verdadero", y las fórmulas idénticamente falsas siempre toman el valor "falso". Las fórmulas neutrales aceptan valores tanto verdaderos como falsos.
Para determinar el tipo de fórmula, se utiliza un método tabular, un método abreviado para verificar la verdad de la fórmula mediante el método de "reducción al absurdo" y reducir la fórmula a su forma normal. La forma normal de una fórmula es su expresión, que corresponde a siguientes condiciones:
No contiene signos de implicación, equivalencia, disyunción estricta y doble negación;
Los signos negativos se encuentran sólo para las variables.
Un método tabular para determinar el tipo de fórmula:
1. Construir columnas valores de entrada para cada una de las variables disponibles. Estas columnas se denominan libres (independientes); tienen en cuenta todas las combinaciones posibles de valores de variables. Si hay dos variables en la fórmula, se construyen dos columnas libres, si hay tres variables, tres columnas, etc.
2. Para cada subfórmula, es decir, parte de la fórmula que contiene al menos una conjunción, cree una columna con sus valores. En este caso, se tienen en cuenta los valores de las columnas libres y las características de la unión lógica (ver Fig. 17).
3. Construya una columna de valores de salida para toda la fórmula. En base a los valores obtenidos en la columna de salida se determina el tipo de fórmula. Entonces, si la columna de salida contiene solo el valor "verdadero", entonces la fórmula será idénticamente verdadera, etc.
| Tabla de verdad para la fórmula.(p^q) → r | ||||
| pag | q | r | p^q | (p^q) → r |
| Y | Y | Y | Y | Y |
| l | Y | l | l | Y |
| l | l | Y | l | Y |
| Y | l | l | l | Y |
| Y | Y | l | Y | l |
| Y | l | Y | l | Y |
| l | Y | Y | l | Y |
| l | l | l | l | Y |
| Arroz. 19 |
El número de columnas de la tabla es igual a la suma de las variables incluidas en la fórmula y las conjunciones presentes en la misma. (Por ejemplo: la fórmula de la Fig. 18 tiene cuatro variables y cinco conjunciones, por lo tanto la tabla tendrá nueve columnas).
El número de filas de la tabla se calcula mediante la fórmula C = 2n, Dónde norte– número de variables. (La tabla según la fórmula de la Fig. 18 debe tener dieciséis líneas).
En la Fig. La Figura 19 muestra un ejemplo de una tabla de verdad.
Una forma abreviada de probar la verdad de una fórmula reduciéndola al absurdo:
((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))
1. Supongamos que esta fórmula no es idénticamente cierto. Por lo tanto, para un determinado conjunto de valores, se evalúa como "falso".
2. Esta fórmula puede tomar el valor "falso" sólo si la base de la implicación (p⋁q)⋁r es "verdadera" y la consecuencia p⋁(q⋁r) es "falsa".
3. La implicación p⋁(q⋁r) será falsa en el caso de que p sea “falso” y q⋁r sea “falso” (consulte el significado de la disyunción débil en la Fig. 17).
4. Si q⋁r es "falso", entonces tanto q como r son "falso".
5. Hemos establecido que p es “falso”, q es “falso” y r es “falso”. La base de la implicación (p⋁q)⋁r (p⋁q)⋁r es una disyunción débil de estas variables. Dado que una disyunción débil toma el valor "falso" cuando todos sus componentes son falsos, entonces la base de la implicación (p⋁q)⋁r (p⋁q)⋁r también será "falsa".
6. En el párrafo 2 se estableció que el fundamento de la implicación (p⋁q)⋁r es “verdadero”, y en el párrafo 5 que es “falso”. La contradicción que ha surgido indica que la suposición que hicimos en el párrafo 1 es errónea.
7. Dado que esta fórmula no toma el valor “falso” para ningún conjunto de valores de sus variables, es idénticamente verdadera.
3.8. Relaciones lógicas entre declaraciones.
(cuadrado lógico)
Se establecen conexiones entre declaraciones que tienen un significado similar. Consideremos la relación entre declaraciones simples y complejas.
En lógica, todo el conjunto de afirmaciones se divide en comparables e incomparables. Incomparables entre los enunciados simples son los enunciados que tienen diferentes sujetos o predicados. Por ejemplo: “Todos los estudiantes son excelentes estudiantes” y “Algunos estudiantes son excelentes estudiantes”.
Los enunciados comparables son enunciados con los mismos sujetos y predicados y que difieren en conectivo y cuantificador. Por ejemplo: "Todos los ciudadanos de la República de Bielorrusia tienen derecho al descanso" y "Ningún ciudadano de la República de Bielorrusia tiene derecho al descanso".
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Entre declaraciones comparables, se distinguen compatibles e incompatibles.
Relación de compatibilidad
1.Equivalencia ( compatibilidad total) – enunciados que tienen las mismas características lógicas: los mismos sujetos y predicados, el mismo tipo de conectivo afirmativo o negativo, la misma característica lógica. Las declaraciones equivalentes difieren en la expresión verbal del mismo pensamiento. Las relaciones entre estas declaraciones no se ilustran mediante un cuadrado lógico.
2. Compatibilidad parcial (subcontraria, subcontraria). En esta relación hay afirmaciones parciales afirmativas y parciales negativas (I y O). Esto significa que dos de estas afirmaciones pueden ser verdaderas al mismo tiempo, pero no pueden ser falsas al mismo tiempo. Si una de ellas es falsa, entonces la segunda es necesariamente verdadera. Si una de ellas es cierta, la segunda es incierta.
3. Subordinación (subordinación). En esta relación existen afirmaciones generalmente afirmativas y afirmativas particulares (A e I), así como afirmaciones generalmente negativas y negativas particulares (E y O).
La verdad de un enunciado particular siempre se deriva de la verdad de un enunciado general. Mientras que la verdad de una afirmación particular indica la incertidumbre de la afirmación general.
La falsedad de un enunciado particular implica siempre la falsedad de un enunciado general, pero no al revés.
Relación de incompatibilidad. Son incompatibles las afirmaciones que no pueden ser ciertas al mismo tiempo:
1. Opuesto (oposición, contrariedad)– en esta relación hay afirmaciones generalmente afirmativas y generalmente negativas (A y E). Esta relación significa que dos de estas afirmaciones no pueden ser simultáneamente verdaderas, pero pueden ser falsas al mismo tiempo. Si una de ellas es verdadera, entonces la segunda es necesariamente falsa. Si una de ellas es falsa, la segunda es incierta.
2.Contradicción (contradicción)– contiene afirmaciones generales afirmativas y particulares negativas (A y O), así como afirmaciones generales negativas y particulares afirmativas (E e I). Dos afirmaciones contradictorias no pueden ser al mismo tiempo falsas y verdaderas. Una es necesariamente verdadera y la otra es falsa.
Comparables entre declaraciones complejas son declaraciones que tienen al menos un componente idéntico. De lo contrario, las expresiones complejas son incomparables.
Declaraciones complejas comparables pueden ser compatibles o incompatibles.
Relación de compatibilidad significa que las afirmaciones pueden ser verdaderas al mismo tiempo:
| pag | q | p→q | q→p |
| Y | Y | Y | Y |
| Y | l | l | Y |
| l | Y | Y | l |
| l | l | Y | Y |
| Arroz. 22 |
| 3.Relación de sucesión (subordinación)) significa que la verdad de un enunciado implica la verdad de otro, pero no al revés (Fig. 23). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Relación de embrague significa que la verdad (falsedad) de una afirmación no excluye la falsedad (verdad) de otra (Fig. 24). |
|
Relación de incompatibilidad significa que las afirmaciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo:
| pag | q | p→q | p∧┐q |
| Y | Y | Y | l |
| Y | l | l | Y |
| l | Y | Y | l |
| l | l | Y | l |
| Arroz. 26 |
Lógica proposicional , también llamada lógica proposicional, es una rama de las matemáticas y la lógica que estudia las formas lógicas de enunciados complejos construidos a partir de enunciados simples o elementales mediante operaciones lógicas.
La lógica proposicional hace abstracción del contenido de los enunciados y estudia su valor de verdad, es decir, si el enunciado es verdadero o falso.
La imagen de arriba es una ilustración de un fenómeno conocido como la paradoja del mentiroso. Al mismo tiempo, en opinión del autor del proyecto, tales paradojas sólo son posibles en entornos no libres de problemas políticos, donde a priori alguien puede ser tildado de mentiroso. En el mundo natural de múltiples capas. el tema de "verdad" o "falso" sólo se evalúan declaraciones individuales . Y más adelante en esta lección se le presentará la oportunidad de evaluar usted mismo muchas declaraciones sobre este tema (y luego mire las respuestas correctas). Incluyendo declaraciones complejas en las que las más simples están interconectadas por signos de operaciones lógicas. Pero primero, consideremos estas operaciones sobre las declaraciones mismas.
La lógica proposicional se utiliza en informática y programación en forma de declarar variables lógicas y asignarles valores lógicos "falso" o "verdadero", de los cuales depende el curso de la ejecución posterior del programa. En programas pequeños donde solo interviene una variable booleana, a la variable booleana a menudo se le da un nombre como "bandera" y el significado es "bandera arriba" cuando el valor de la variable es "verdadero" y "bandera abajo", cuando el valor de la variable es "verdadero". el valor de esta variable es "falso". En programas grandes, en los que hay varias o incluso muchas variables lógicas, se requiere que los profesionales encuentren nombres para las variables lógicas que tengan una forma de enunciado y un significado semántico que las distinga de otras variables lógicas y que sea comprensible para otros profesionales que leerá el texto de este programa.
Por lo tanto, una variable lógica con el nombre "UserRegistered" (o su análogo en inglés) se puede declarar en forma de declaración, a la que se le puede asignar el valor lógico "verdadero" si se cumplen las condiciones de que se enviaron los datos de registro. por el usuario y estos datos son reconocidos como válidos por el programa. En cálculos posteriores, los valores de las variables pueden cambiar según el valor lógico (verdadero o falso) de la variable UserRegistered. En otros casos, a una variable, por ejemplo, con el nombre "Quedan más de tres días antes del día", se le puede asignar el valor "Verdadero" antes de un determinado bloque de cálculos, y durante la ejecución posterior del programa, este valor puede ser guardado o cambiado a "falso" y el progreso de la ejecución posterior depende del valor de esta variable del programa.
Si un programa utiliza varias variables lógicas, cuyos nombres tienen la forma de declaraciones, y a partir de ellas se construyen declaraciones más complejas, entonces es mucho más fácil desarrollar el programa si, antes de desarrollarlo, anotamos todas las operaciones de las declaraciones. en forma de fórmulas utilizadas en lógica de enunciados que durante Esta lección es lo que haremos.
Operaciones lógicas sobre declaraciones.
Para los enunciados matemáticos siempre se puede elegir entre dos alternativas diferentes, “verdadero” y “falso”, pero para los enunciados hechos en lenguaje “verbal”, los conceptos de “verdad” y “falso” son algo más vagos. Sin embargo, por ejemplo, formas verbales como “Vete a casa” y “¿Está lloviendo?” no son declaraciones. Por lo tanto es claro que Las declaraciones son formas verbales en las que se afirma algo. . No son declaraciones las oraciones interrogativas o exclamativas, las apelaciones, así como los deseos o demandas. No pueden evaluarse mediante los valores "verdadero" y "falso".
Los enunciados, por el contrario, pueden considerarse como cantidades que pueden adquirir dos significados: “verdadero” y “falso”.
Por ejemplo, se dan los siguientes juicios: “un perro es un animal”, “París es la capital de Italia”, “3
La primera de estas afirmaciones se puede evaluar con el símbolo “verdadero”, la segunda con “falso”, la tercera con “verdadero” y la cuarta con “falso”. Esta interpretación de enunciados es objeto de álgebra proposicional. Denotaremos declaraciones en letras mayúsculas. A, B, ..., y sus significados, es decir, verdadero y falso, respectivamente Y Y l. En el habla ordinaria, se utilizan conexiones entre las declaraciones "y", "o" y otras.
Estas conexiones permiten, al conectar diferentes declaraciones entre sí, formar nuevas declaraciones: declaraciones complejas . Por ejemplo, el conectivo "y". Que se den las declaraciones: " π más de 3" y la declaración " π menos de 4". Puede organizar una nueva declaración compleja " π más de 3 y π menos de 4". Declaración "si π irracional entonces π "² también es irracional" se obtiene conectando dos enunciados con el conectivo "si - entonces". Finalmente, podemos obtener de cualquier enunciado uno nuevo -un enunciado complejo- negando el enunciado original.
Considerar los enunciados como cantidades que adquieren significados. Y Y l, definiremos más operaciones lógicas en declaraciones , que nos permiten obtener nuevas declaraciones complejas a partir de estas declaraciones.
Dejemos que se den dos declaraciones arbitrarias. A Y B.
1 . La primera operación lógica en estos enunciados, la conjunción, representa la formación de un nuevo enunciado, que denotaremos A ∧ B y que es verdadera si y sólo si A Y B son verdaderas. En el habla ordinaria, esta operación corresponde a la conexión de enunciados con el conectivo "y".
Tabla de verdad para la conjunción:
| A | B | A ∧ B |
| Y | Y | Y |
| Y | l | l |
| l | Y | l |
| l | l | l |
2 . Segunda operación lógica sobre declaraciones. A Y B- disyunción expresada como A ∨ B, se define de la siguiente manera: es verdadera si y sólo si al menos una de las afirmaciones originales es verdadera. En el habla ordinaria, esta operación corresponde a conectar enunciados con el conectivo “o”. Sin embargo, aquí tenemos un “o” que no divide, que se entiende en el sentido de “cualquiera o” cuando A Y B ambas cosas no pueden ser ciertas. Al definir la lógica proposicional A ∨ B verdadero tanto si solo una de las afirmaciones es verdadera como si ambas afirmaciones son verdaderas A Y B.
Tabla de verdad para la disyunción:
| A | B | A ∨ B |
| Y | Y | Y |
| Y | l | Y |
| l | Y | Y |
| l | l | l |
3 . La tercera operación lógica sobre declaraciones. A Y B, expresado como A → B; la afirmación así obtenida es falsa si y sólo si A cierto, pero B FALSO. A llamado por paquete , B - consecuencia , y la declaración A → B - siguiente , también llamado implicación. En el habla ordinaria, esta operación corresponde al conectivo “si-entonces”: “si A, Eso B". Pero en la definición de lógica proposicional, este enunciado siempre es verdadero independientemente de si el enunciado es verdadero o falso. B. Esta circunstancia se puede formular brevemente de la siguiente manera: “de lo falso se sigue todo”. A su vez, si A cierto, pero B es falso, entonces toda la declaración A → B FALSO. Será cierto si y sólo si A, Y B son verdaderas. Brevemente, esto se puede formular de la siguiente manera: “lo falso no puede derivarse de lo verdadero”.
Tabla de verdad a seguir (implicación):
| A | B | A → B |
| Y | Y | Y |
| Y | l | l |
| l | Y | Y |
| l | l | Y |
4 . La cuarta operación lógica sobre enunciados, más precisamente sobre un enunciado, se llama negación de un enunciado. A y se denota por ~ A(también puede encontrar el uso no del símbolo ~, sino del símbolo ¬, así como un sobrepuntuación arriba A). ~ A hay una afirmación que es falsa cuando A cierto, y verdadero cuando A FALSO.
Tabla de verdad para la negación:
| A | ~ A |
| l | Y |
| Y | l |
5 . Y finalmente, la quinta operación lógica sobre enunciados se llama equivalencia y se denota A ↔ B. La declaración resultante A ↔ B un enunciado es verdadero si y sólo si A Y B ambas son verdaderas o ambas son falsas.
Tabla de verdad para equivalencia:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| Y | Y | Y | Y | Y |
| Y | l | l | Y | l |
| l | Y | Y | l | l |
| l | l | Y | Y | Y |
La mayoría de los lenguajes de programación tienen símbolos especiales para indicar los significados lógicos de las declaraciones; en casi todos los lenguajes están escritos como verdadero y falso;
Resumamos lo anterior. Lógica proposicional estudia las conexiones que están completamente determinadas por la forma en que unos enunciados se construyen a partir de otros, lo que se denomina elemental. En este caso, los enunciados elementales se consideran como un todo, no descomponibles en partes.
Sistematicemos en la siguiente tabla los nombres, notaciones y significado de las operaciones lógicas sobre enunciados (pronto los necesitaremos nuevamente para resolver ejemplos).
| Racimo | Designación | Nombre de la operación |
| No | negación | |
| Y | conjunción | |
| o | disyunción | |
| si... entonces... | implicación | |
| entonces y sólo entonces | equivalencia |
Verdadero para operaciones lógicas leyes de la lógica del álgebra, que se puede utilizar para simplificar expresiones booleanas. Cabe señalar que en lógica proposicional uno hace abstracción del contenido semántico de un enunciado y se limita a considerarlo desde la posición de que es verdadero o falso.
Ejemplo 1.
1) (2 = 2) Y (7 = 7);
2) No(15;
3) ("Pino" = "Roble") O ("Cerezo" = "Arce");
4) No("Pino" = "Roble");
5) (No(15 20) ;
6) (“Los ojos están dados para ver”) y (“Debajo del tercer piso está el segundo piso”);
7) (6/2 = 3) O (7*5 = 20).
1) El significado de la afirmación entre corchetes es “verdadero”, el significado de la expresión entre corchetes también es verdadero. Ambas declaraciones están conectadas por la operación lógica "Y" (consulte las reglas para esta operación más arriba), por lo tanto, el valor lógico de esta declaración completa es "verdadero".
2) El significado de la afirmación entre paréntesis es “falso”. Ante este enunciado hay una operación lógica de negación, por lo tanto el significado lógico de todo este enunciado es “verdadero”.
3) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es "falso", el significado de la afirmación entre los segundos corchetes también es "falso". Las declaraciones están conectadas por la operación lógica "O" y ninguna de las declaraciones tiene el valor "verdadero". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "falso".
4) El significado de la afirmación entre paréntesis es “falso”. Esta afirmación está precedida por la operación lógica de negación. Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "verdadero".
5) La afirmación entre corchetes interiores se niega en los primeros corchetes. Esta afirmación entre paréntesis interiores tiene el significado "falso", por lo tanto su negación tendrá el significado lógico "verdadero". La afirmación entre corchetes significa "falso". Estas dos declaraciones están conectadas por la operación lógica "Y", es decir, se obtiene "verdadero Y falso". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "falso".
6) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es “verdadero”, el significado de la afirmación entre los segundos corchetes también es “verdadero”. Estas dos afirmaciones están conectadas por la operación lógica "Y", es decir, se obtiene "verdadero Y verdadero". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "verdadero".
7) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es “verdadero”. El significado de la afirmación entre corchetes es "falso". Estas dos declaraciones están conectadas por la operación lógica "O", es decir, "verdadero O falso". Por lo tanto, el significado lógico de toda la afirmación dada es "verdadero".
Ejemplo 2. Escriba las siguientes declaraciones complejas usando operaciones lógicas:
1) "El usuario no está registrado";
2) “Hoy es domingo y algunos empleados están trabajando”;
3) “El usuario queda registrado si y sólo si los datos aportados por el usuario se consideran válidos”.
1) pag- declaración única “El usuario está registrado”, operación lógica: ;
2) pag- declaración única "Hoy es domingo", q- "Algunos empleados están en el trabajo", operación lógica: ;
3) pag- declaración única "El usuario está registrado", q- “Se encontraron válidos los datos enviados por el usuario”, operación lógica: .
Resuelva usted mismo ejemplos de lógica proposicional y luego observe las soluciones.
Ejemplo 3. Calcule los valores lógicos de las siguientes afirmaciones:
1) (“Hay 70 segundos en un minuto”) O (“Un reloj en marcha indica la hora”);
2) (28 > 7) Y (300/5 = 60);
3) ("TELEVISOR - aparato eléctrico") Y ("Vidrio - madera");
4) Not((300 > 100) OR ("Puedes saciar tu sed con agua"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Ejemplo 4. Escriba las siguientes declaraciones complejas usando operaciones lógicas y calcule sus valores lógicos:
1) “Si el reloj marca la hora incorrectamente, es posible que llegues a clase a la hora equivocada”;
2) “En el espejo puedes ver tu reflejo y París, la capital de Estados Unidos”;
Ejemplo 5. Determinar el valor booleano de una expresión
(pag → q) ↔ (r → s) ,
pag = "278 > 5" ,
q= "Manzana = Naranja",
pag = "0 = 9" ,
s= "El sombrero cubre la cabeza".
Fórmulas de lógica proposicional
El concepto de forma lógica de un enunciado complejo se aclara utilizando el concepto. fórmulas lógicas proposicionales .
En los ejemplos 1 y 2 aprendimos a escribir declaraciones complejas usando operaciones lógicas. En realidad, se llaman fórmulas de lógica proposicional.
Para denotar declaraciones, como en el ejemplo mencionado, continuaremos usando las letras
pag, q, r, ..., pag 1 , q 1 , r 1 , ...
Estas letras desempeñarán el papel de variables que toman como valores los valores de verdad “verdadero” y “falso”. Estas variables también se denominan variables proposicionales. Los llamaremos más fórmulas elementales o átomos .
Para construir fórmulas lógicas proposicionales, además de las letras indicadas anteriormente, se utilizan signos de operaciones lógicas.
~, ∧, ∨, →, ↔,
así como símbolos que brindan la posibilidad de una lectura inequívoca de fórmulas: corchetes izquierdo y derecho.
Concepto fórmulas lógicas proposicionales vamos a definirlo de la siguiente manera:
1) las fórmulas elementales (átomos) son fórmulas de lógica proposicional;
2) si A Y B- fórmulas lógicas proposicionales, entonces ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) también son fórmulas de lógica proposicional;
3) sólo aquellas expresiones son fórmulas de lógica proposicional para las cuales esto se deduce de 1) y 2).
La definición de fórmula lógica proposicional contiene una lista de las reglas para la formación de estas fórmulas. Según la definición, toda fórmula lógica proposicional es un átomo o está formada a partir de átomos como resultado de la aplicación coherente de la regla 2).
Ejemplo 6. Dejar pag- declaración única (átomo) "Todos los números racionales son reales", q- "Algunos números reales son números racionales" r- "algunos números racionales son reales". Traduzca las siguientes fórmulas de lógica proposicional a forma de enunciados verbales:
6) 
.
1) “no existen números reales que sean racionales”;
2) "si no todos los números racionales son reales, entonces no numeros racionales, que son válidos";
3) “si todos los números racionales son reales, entonces algunos números reales son números racionales y algunos números racionales son reales”;
4) “todos los números reales son números racionales y algunos números reales son números racionales y algunos números racionales son números reales”;
5) “todos los números racionales son reales si y sólo si no se da el caso de que no todos los números racionales sean reales”;
6) “no es cierto que no todos los números racionales son reales y no hay números reales que sean racionales o no hay números racionales que sean reales”.
Ejemplo 7. Crea una tabla de verdad para la fórmula de lógica proposicional. 
, que en la tabla se puede designar F
.
Solución. Comenzamos a compilar una tabla de verdad registrando valores ("verdadero" o "falso") para declaraciones individuales (átomos) pag , q Y r. Todos los valores posibles están escritos en ocho filas de la tabla. Además, al determinar los valores de la operación de implicación y movernos hacia la derecha en la tabla, recordamos que el valor es igual a "falso" cuando "falso" se deriva de "verdadero".
| pag | q | r | F | ||||
| Y | Y | Y | Y | Y | Y | Y | Y |
| Y | Y | l | Y | Y | Y | l | Y |
| Y | l | Y | Y | l | l | l | l |
| Y | l | l | Y | l | l | Y | Y |
| l | Y | Y | l | Y | l | Y | Y |
| l | Y | l | l | Y | l | Y | l |
| l | l | Y | Y | Y | Y | Y | Y |
| l | l | l | Y | Y | Y | l | Y |
Tenga en cuenta que ningún átomo tiene la forma ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Las fórmulas complejas tienen este tipo.
El número de paréntesis en fórmulas de lógica proposicional se puede reducir si aceptamos que
1) en una fórmula compleja omitiremos el par exterior de corchetes;
2) dispongamos los signos de las operaciones lógicas “en orden de precedencia”:
↔, →, ∨, ∧, ~ .
En esta lista, el signo ↔ tiene más área grande acciones, y el signo ~ es el más pequeño. El ámbito de acción de un signo de operación se refiere a aquellas partes de la fórmula de la lógica proposicional a las que se aplica la aparición de este signo en cuestión (sobre las que actúa). Así, es posible omitir en cualquier fórmula aquellos pares de corchetes que puedan restablecerse, teniendo en cuenta el “orden de precedencia”. Y al restaurar los paréntesis, primero se colocan todos los paréntesis relacionados con todas las apariciones del signo ~ (nos movemos de izquierda a derecha), luego con todas las apariciones del signo ∧, y así sucesivamente.
Ejemplo 8. Restaurar los paréntesis en la fórmula de lógica proposicional. B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Solución. Los brackets se restauran paso a paso de la siguiente manera:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))
No todas las fórmulas de lógica proposicional pueden escribirse sin paréntesis. Por ejemplo, en fórmulas A → (B → C) y ~( A → B) no es posible una mayor exclusión de corchetes.
Tautologías y contradicciones
Las tautologías lógicas (o simplemente tautologías) son fórmulas de lógica proposicional tales que si las letras se reemplazan arbitrariamente por enunciados (verdaderos o falsos), el resultado siempre será un enunciado verdadero.
Dado que la verdad o falsedad de enunciados complejos depende únicamente de los significados y no del contenido de los enunciados, cada uno de los cuales corresponde a una determinada letra, entonces la prueba de si un enunciado determinado es una tautología puede sustituirse por de la siguiente manera. En la expresión en estudio, los valores 1 y 0 (respectivamente “verdadero” y “falso”) se sustituyen por las letras de todas las formas posibles, y los valores lógicos de las expresiones se calculan mediante operaciones lógicas. Si todos estos valores son iguales a 1, entonces la expresión en estudio es una tautología, y si al menos una sustitución da 0, entonces no es una tautología.
Así, una fórmula lógica proposicional que toma el valor “verdadero” para cualquier distribución de los valores de los átomos incluidos en esta fórmula se llama idéntica a la verdadera fórmula o tautología .
El significado opuesto es una contradicción lógica. Si todos los valores de las declaraciones son iguales a 0, entonces la expresión es una contradicción lógica.
Así, una fórmula lógica proposicional que toma el valor “falso” para cualquier distribución de los valores de los átomos incluidos en esta fórmula se llama fórmula idénticamente falsa o contradicción .
Además de las tautologías y las contradicciones lógicas, existen fórmulas de lógica proposicional que no son ni tautologías ni contradicciones.
Ejemplo 9. Construya una tabla de verdad para una fórmula lógica proposicional y determine si es una tautología, una contradicción o ninguna de las dos.
Solución. Creemos una tabla de verdad:
| Y | Y | Y | Y | Y |
| Y | l | l | l | Y |
| l | Y | l | Y | Y |
| l | l | l | l | Y |
En los significados de la implicación no encontramos una línea en la que “falso” se siga de “verdadero”. Todos los valores de la declaración original son iguales a "verdadero". En consecuencia, esta fórmula de lógica proposicional es una tautología.