Prisma. Paralelepípedo

Prisma es un poliedro cuyas dos caras son n-gonos iguales (bases) , que se encuentran en planos paralelos, y las n caras restantes son paralelogramos (caras laterales) . costilla lateral El lado de un prisma que no pertenece a la base se llama lado del prisma.

Un prisma cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases se llama derecho prisma (Fig. 1). Si los bordes laterales no son perpendiculares a los planos de las bases, entonces el prisma se llama inclinado . Correcto Un prisma es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.

Altura prisma es la distancia entre los planos de las bases. Diagonal Un prisma es un segmento que conecta dos vértices que no pertenecen a la misma cara. sección diagonal Se llama sección de un prisma a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara. sección perpendicular Se llama sección de un prisma por un plano perpendicular al borde lateral del prisma.

Superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total se llama suma de las áreas de todas las caras del prisma (es decir, la suma de las áreas de las caras laterales y las áreas de las bases).

Para un prisma arbitrario las siguientes fórmulas son verdaderas::

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG

q

lado S

S lleno

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un prisma recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura.

paralelepípedo Se llama prisma cuya base es un paralelogramo. Un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a las bases se llama directo (Figura 2). Si los bordes laterales no son perpendiculares a las bases, entonces el paralelepípedo se llama inclinado . Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama rectangular. Un paralelepípedo rectangular con todas las aristas iguales se llama cubo

Las caras de un paralelepípedo que no tienen vértices comunes se llaman opuesto . Las longitudes de las aristas que emanan de un vértice se llaman mediciones paralelepípedo. Dado que un paralelepípedo es un prisma, sus elementos principales se definen de la misma manera que se definen para los prismas.

Teoremas.

1. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y son atravesadas por él.

2. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de la longitud de la diagonal igual a la suma cuadrados de sus tres dimensiones:

3. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí.

Para un paralelepípedo arbitrario son válidas las siguientes fórmulas:

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG– perímetro de sección perpendicular;

q– Área de sección transversal perpendicular;

lado S– superficie lateral;

S lleno- superficie total;

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un paralelepípedo recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h– altura de un paralelepípedo recto.

Para un paralelepípedo rectangular las siguientes fórmulas son correctas:

(3)

Dónde pag– perímetro de la base;

h- altura;

d– diagonal;

a B C– medidas de un paralelepípedo.

Las siguientes fórmulas son correctas para un cubo:

Dónde a– longitud de las costillas;

d- diagonal del cubo.

Ejemplo 1. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es de 33 dm y sus dimensiones están en la proporción 2: 6: 9. Calcula las dimensiones del paralelepípedo.

Solución. Para encontrar las dimensiones del paralelepípedo utilizamos la fórmula (3), es decir por el hecho de que el cuadrado de la hipotenusa de un cuboide es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Denotemos por k factor de proporcionalidad. Entonces las dimensiones del paralelepípedo serán iguales a 2. k, 6k y 9 k. Escribamos la fórmula (3) para los datos del problema:

Resolviendo esta ecuación para k, obtenemos:

Esto quiere decir que las dimensiones del paralelepípedo son 6 dm, 18 dm y 27 dm.

Respuesta: 6dm, 18dm, 27dm.

Ejemplo 2. Encuentre el volumen de un prisma triangular inclinado, cuya base es un triángulo equilátero con un lado de 8 cm, si costilla lateral igual al lado de la base e inclinado en un ángulo de 60º con respecto a la base.

Solución . Hagamos un dibujo (Fig. 3).

Para encontrar el volumen de un prisma inclinado, necesitas saber el área de su base y su altura. El área de la base de este prisma es el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado Calculémoslo:

La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Desde la parte superior A 1 de la base superior, baje la perpendicular al plano de la base inferior A 1 D. Su longitud será la altura del prisma. Considere D A 1 ANUNCIO: ya que este es el ángulo de inclinación del borde lateral A 1 A al plano base, A 1 A= 8 cm. De este triángulo encontramos. A 1 D:

Ahora calculamos el volumen usando la fórmula (1):

Respuesta: 192cm3.

Ejemplo 3. El borde lateral de un prisma hexagonal regular mide 14 cm y el área de la sección diagonal más grande es 168 cm 2. Encuentra el área de superficie total del prisma.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.4)

La sección diagonal más grande es un rectángulo. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 DD 1 desde diagonal ANUNCIO hexágono regular A B C D E F es el más grande. Para calcular el área de la superficie lateral del prisma, es necesario conocer el lado de la base y la longitud del borde lateral.

Conociendo el área de la sección diagonal (rectángulo), encontramos la diagonal de la base.

Desde entonces

Desde entonces AB= 6 cm.

Entonces el perímetro de la base es:

Encontremos el área de la superficie lateral del prisma:

El área de un hexágono regular de 6 cm de lado es:

Encuentra el área de superficie total del prisma:

Respuesta:

Ejemplo 4. La base de un paralelepípedo recto es un rombo. Las áreas de las secciones transversales diagonales son 300 cm2 y 875 cm2. Encuentra el área de la superficie lateral del paralelepípedo.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5).

Denotemos el lado del rombo por A, diagonales de un rombo d 1 y d 2, altura paralelepípedo h. Para encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo recto es necesario multiplicar el perímetro de la base por la altura: (fórmula (2)). Perímetro de la base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, porque A B C D- rombo norte = aa 1 = h. Eso. Necesito encontrar A Y h.

Consideremos secciones diagonales. Automóvil club británico 1 SS 1 – un rectángulo, uno de cuyos lados es la diagonal de un rombo C.A. = d 1, segundo – borde lateral Automóvil club británico 1 = h, Entonces

Lo mismo para la sección CAMA Y DESAYUNO 1 DD 1 obtenemos:

Usando la propiedad de un paralelogramo tal que la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados, obtenemos la igualdad Obtenemos lo siguiente.

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Información general sobre el prisma recto.

La superficie lateral de un prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma y las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. Resulta que superficie lateral prisma es igual

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. El teorema ha sido demostrado.

tarea practica

Problema (22) . En un prisma inclinado se realiza sección, perpendicular a las nervaduras laterales e intersectando todas las nervaduras laterales. Encuentre la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección es igual a p y los bordes laterales son iguales a l.

Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a traslación paralela, combinando las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, cuya base es la sección transversal del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Resumen del tema tratado.

Ahora intentemos resumir el tema que cubrimos sobre los prismas y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

En primer lugar, un prisma tiene todas sus bases. polígonos iguales;
En segundo lugar, en un prisma todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, cabe recordar que los poliedros como los prismas pueden ser rectos o inclinados.

¿Qué prisma se llama prisma recto?

Si el borde lateral de un prisma se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama recto.

No estaría de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?

Pero si el borde lateral de un prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que es un prisma inclinado.

¿Qué prisma se llama correcto?

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

Primero, siempre razones. prisma correcto sirven polígonos regulares;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en un prisma regular siempre son iguales.
En cuarto lugar, un prisma correcto es siempre recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, esa figura suele denominarse polígono semirregular.

Sección transversal del prisma

Ahora veamos la sección transversal del prisma:

Tarea

Ahora intentemos consolidar el tema que hemos aprendido resolviendo problemas.

Dibujemos una inclinación prisma triangular, en el que la distancia entre sus aristas será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Teniendo estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.

Lo sabes figuras geometricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino también en La vida cotidiana Hay objetos que se parecen a una u otra figura geométrica.

Todo el mundo tiene en casa, en la escuela o en el trabajo un ordenador cuya unidad de sistema tiene la forma de un prisma recto.

Si tomas un lápiz simple, verás que la parte principal del lápiz es un prisma.

Caminando por la calle central de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies se encuentra un azulejo que tiene forma de prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas