I. Cantidades directamente proporcionales.
deja que el valor y depende del tamaño X. Si al aumentar X varias veces el tamaño en aumenta en la misma cantidad, entonces tales valores X Y en se llaman directamente proporcionales.
Ejemplos.
1 . La cantidad de bienes adquiridos y el precio de compra (con un precio fijo por unidad de bienes: 1 pieza o 1 kg, etc.) Cuantas más veces se compraron bienes, más veces más pagaron.
2 . La distancia recorrida y el tiempo empleado en ella (con velocidad constante).Cuantas veces camino más largo, dedicaremos muchas veces más tiempo a repasarlo.
3 . El volumen de un cuerpo y su masa. ( Si una sandía es 2 veces más grande que otra, entonces su masa será 2 veces mayor.)
II. Propiedad de proporcionalidad directa de cantidades.
Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos valores correspondientes de la segunda cantidad.
Tarea 1. Para mermelada de frambuesa han tomado 12 kilos frambuesas y 8 kilos Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? 9 kilos frambuesas?
Solución.
Razonamos así: que sea necesario. x kilos azúcar para 9 kilos frambuesas La masa de frambuesas y la masa de azúcar son cantidades directamente proporcionales: cuantas veces menos frambuesas hay, tantas veces menos azúcar se necesita. Por lo tanto, la proporción de frambuesas tomadas (en peso) ( 12:9 ) será igual a la proporción de azúcar tomada ( 8:x). Obtenemos la proporción:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Respuesta: en 9 kilos es necesario tomar frambuesas 6 kilogramos Sáhara.
La solución del problema Se podría hacer así:
Dejar en 9 kilos es necesario tomar frambuesas x kilos Sáhara.
(Las flechas en la figura están dirigidas en una dirección y no importa hacia arriba o hacia abajo. Significado: ¿cuántas veces el número 12 mas numero 9 , el mismo número de veces 8 mas numero X, es decir, aquí hay una relación directa).
Respuesta: en 9 kilos necesito tomar algunas frambuesas 6 kilogramos Sáhara.
Tarea 2. Coche para 3 horas viajó la distancia 264 kilometros. ¿Cuánto tiempo le llevará viajar? 440 kilometros, si conduce a la misma velocidad?
Solución.
dejar por x horas el coche cubrirá la distancia 440 kilometros.
Respuesta: el auto pasará 440 kilómetros en 5 horas.
Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si cuando uno de ellos aumenta varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad. En consecuencia, cuando uno de ellos disminuye varias veces, el otro disminuye en la misma cantidad.
La relación entre tales cantidades es una relación proporcional directa. Ejemplos de dependencia proporcional directa:
1) a velocidad constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo;
2) el perímetro de un cuadrado y su lado son cantidades directamente proporcionales;
3) el costo de un producto comprado a un precio es directamente proporcional a su cantidad.
Para distinguir una relación proporcional directa de una inversa, se puede utilizar el proverbio: "Cuanto más se adentra en el bosque, más leña".
Es conveniente resolver problemas que involucran cantidades directamente proporcionales usando proporciones.
1) Para hacer 10 piezas necesitas 3,5 kg de metal. ¿Cuánto metal se necesitará para fabricar 12 de esas piezas?
(Razonamos así:
1. En la columna llena, coloque una flecha en la dirección desde más a menos.
2. Cuantas más piezas, más metal se necesita para fabricarlas. Esto significa que se trata de una relación directamente proporcional.
Sean necesarios x kg de metal para hacer 12 piezas. Hacemos la proporción (en la dirección desde el principio de la flecha hasta su final):
12:10=x:3.5
Para encontrar , necesitas dividir el producto de los términos extremos por el término medio conocido:
Esto significa que se necesitarán 4,2 kg de metal.
Respuesta: 4,2 kg.
2) Por 15 metros de tela pagaron 1680 rublos. ¿Cuánto cuestan 12 metros de esa tela?
(1. En la columna llena, coloque una flecha en la dirección del número más grande al más pequeño.
2. Cuanta menos tela compres, menos tendrás que pagar por ella. Esto significa que se trata de una relación directamente proporcional.
3. Por lo tanto, la segunda flecha está en la misma dirección que la primera).
Supongamos que x rublos cuestan 12 metros de tela. Hacemos una proporción (desde el principio de la flecha hasta su final):
15:12=1680:x
Para encontrar el término extremo desconocido de la proporción, divida el producto de los términos medios por el término extremo conocido de la proporción:
Esto significa que 12 metros cuestan 1344 rublos.
Respuesta: 1344 rublos.
Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve una gráfica de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede resultarle útil no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de la escuela.
Proporciones tan diferentes
Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.
La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen mediante una línea recta y proporcionalidad inversa.
Proporcionalidad directa– se trata de una relación entre dos cantidades en la que un aumento o disminución de una de ellas conduce a un aumento o disminución de la otra. Aquellos. su actitud no cambia.
Por ejemplo, cuanto más te esfuerces en estudiar para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas lleves contigo de excursión, más pesada será tu mochila. Aquellos. La cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones obtenidas. Y la cantidad de cosas que caben en una mochila es directamente proporcional a su peso.
Proporcionalidad inversa– esta es una dependencia funcional en la que una disminución o un aumento varias veces en un valor independiente (se llama argumento) causa un aumento o disminución proporcional (es decir, el mismo número de veces) en un valor dependiente (se llama argumento). función).
Ilustremos ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están en proporción inversa. Aquellos. Cuantas más manzanas compres, menos dinero te quedará.
Función y su gráfica.
La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. En el cual X≠ 0 y k≠ 0.
Esta función tiene las siguientes propiedades:
- Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
- No tiene valores máximos ni mínimos.
- Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
- No PERIODICO.
- Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
- No tiene ceros.
- Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- A medida que el argumento aumenta ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:
Problemas de proporcionalidad inversa
Para que quede más claro, veamos varias tareas. No son demasiado complicados y resolverlos te ayudará a visualizar qué es la proporcionalidad inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida diaria.
Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?
Podemos empezar escribiendo una fórmula que describa la relación entre tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que pasa un coche en la carretera y la velocidad a la que se desplaza son inversamente proporcionales.
Para comprobarlo, encontremos V 2, que según la condición es 2 veces mayor: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora no es difícil averiguar el tiempo t 2 que se nos exige según las condiciones del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.
Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.
La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero hagamos este diagrama:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Las flechas indican una relación inversamente proporcional. También sugieren que al elaborar proporciones lado derecho los registros deben entregarse: 60/120 = x/6. ¿De dónde obtenemos x = 60 * 6/120 = 3 horas?
Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que pueden completar una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo les tomará a los trabajadores restantes completar la misma cantidad de trabajo?
Anotemos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:
↓ 6 trabajadores – 4 horas
↓ 3 trabajadores – x h
Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.
Tarea número 3. Hay dos tuberías que conducen a la piscina. Por una tubería fluye agua a una velocidad de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿A qué velocidad entra el agua a la piscina por este tubo?
Para empezar, reduzcamos todas las cantidades que se nos dan según las condiciones del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la velocidad de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Dado que la condición implica que la piscina se llena más lentamente a través de la segunda tubería, esto significa que la tasa de flujo de agua es menor. La proporcionalidad es inversa. Expresemos la velocidad desconocida a través de x y tracemos el siguiente diagrama:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.
Tarea número 4. Una pequeña imprenta privada imprime tarjetas de visita. Un empleado de una imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de visita por hora y trabaja un día completo: 8 horas. Si trabajara más rápido e imprimiera 48 tarjetas de presentación en una hora, ¿cuánto antes podría regresar a casa?
Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:
↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas
↓ 48 tarjetas de visita/h – x h
Tenemos una relación inversamente proporcional: la cantidad de veces más tarjetas de presentación que imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de veces menos tiempo que necesitará para completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, creemos una proporción:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.
Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.
Conclusión
Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también pienses en ellos de esa manera. Y lo principal es que el conocimiento sobre la dependencia inversamente proporcional de las cantidades puede resultarle útil más de una vez.
No sólo en las lecciones y exámenes de matemáticas. Pero incluso entonces, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.
Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de relaciones proporcionales inversas y directas notas a tu alrededor. Que sea un juego así. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo en en las redes sociales para que tus amigos y compañeros de clase también puedan jugar.
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La proporcionalidad es una relación entre dos cantidades, en la que un cambio en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad.
La proporcionalidad puede ser directa o inversa. En esta lección veremos cada uno de ellos.
Contenido de la lecciónProporcionalidad directa
Supongamos que el coche se mueve a una velocidad de 50 km/h. Recordemos que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo (1 hora, 1 minuto o 1 segundo). En nuestro ejemplo, el coche circula a una velocidad de 50 km/h, es decir, en una hora recorrerá una distancia igual a cincuenta kilómetros.
Representemos en la figura la distancia recorrida por el automóvil en 1 hora.
Deje que el coche circule durante una hora más a la misma velocidad de cincuenta kilómetros por hora. Entonces resulta que el coche recorrerá 100 km.
Como puede verse en el ejemplo, duplicar el tiempo provocó un aumento de la distancia recorrida en la misma cantidad, es decir, el doble.
Magnitudes como el tiempo y la distancia se llaman directamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad directa.
La proporcionalidad directa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva un aumento de la otra en la misma cantidad.
y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra disminuye la misma cantidad de veces.
Supongamos que el plan original era conducir un coche 100 km en 2 horas, pero después de recorrer 50 km, el conductor decidió descansar. Entonces resulta que al reducir la distancia a la mitad, el tiempo disminuirá en la misma cantidad. En otras palabras, reducir la distancia recorrida conducirá a una disminución del tiempo en la misma cantidad.
Una característica interesante de las cantidades directamente proporcionales es que su relación es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades directamente proporcionales, su relación permanece sin cambios.
En el ejemplo considerado, la distancia era inicialmente de 50 km y el tiempo de una hora. La relación entre la distancia y el tiempo es el número 50.
Pero aumentamos el tiempo de viaje 2 veces, haciéndolo igual a dos horas. Como resultado, la distancia recorrida aumentó en la misma cantidad, es decir, llegó a ser igual a 100 km. La relación entre cien kilómetros y dos horas vuelve a ser 50
El numero 50 se llama coeficiente de proporcionalidad directa. Muestra cuánta distancia hay por hora de movimiento. En este caso, el coeficiente desempeña el papel de la velocidad de movimiento, ya que la velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo.
Se pueden hacer proporciones a partir de cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo, las razones forman la proporción:
Cincuenta kilómetros equivalen a una hora, como cien kilómetros equivalen a dos horas.
Ejemplo 2. El costo y la cantidad de bienes comprados son directamente proporcionales. Si 1 kg de dulces cuesta 30 rublos, entonces 2 kg de los mismos dulces costarán 60 rublos, 3 kg 90 rublos. A medida que aumenta el costo de un producto comprado, su cantidad aumenta en la misma cantidad.
Dado que el costo de un producto y su cantidad son cantidades directamente proporcionales, su relación es siempre constante.
Anotemos cuál es la proporción de treinta rublos por kilogramo.
Ahora anotemos cuál es la proporción de sesenta rublos por dos kilogramos. Esta relación volverá a ser igual a treinta:
Aquí el coeficiente de proporcionalidad directa es el número 30. Este coeficiente muestra cuántos rublos hay por kilogramo de dulces. EN en este ejemplo el coeficiente desempeña el papel del precio de un kilogramo de bienes, ya que el precio es la relación entre el costo de los bienes y su cantidad.
Proporcionalidad inversa
Considere el siguiente ejemplo. La distancia entre las dos ciudades es de 80 km. El motociclista salió de la primera ciudad y, a una velocidad de 20 km/h, llegó a la segunda ciudad en 4 horas.
Si la velocidad de un motociclista era de 20 km/h, esto significa que cada hora recorría una distancia de veinte kilómetros. Representemos en la figura la distancia recorrida por el motociclista y el tiempo de su movimiento:
En el camino de regreso, la velocidad del motociclista fue de 40 km/h y tardó 2 horas en el mismo trayecto.
Es fácil notar que cuando cambia la velocidad, el tiempo de movimiento cambia en la misma cantidad. Además, cambió en la dirección opuesta, es decir, la velocidad aumentó, pero el tiempo, por el contrario, disminuyó.
Magnitudes como la velocidad y el tiempo se llaman inversamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad inversa.
La proporcionalidad inversa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva una disminución de la otra en la misma cantidad.
y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra aumenta la misma cantidad de veces.
Por ejemplo, si en el camino de regreso la velocidad del motociclista fuera de 10 km/h, entonces recorrería los mismos 80 km en 8 horas:
Como puede verse en el ejemplo, una disminución de la velocidad condujo a un aumento del tiempo de movimiento en la misma cantidad.
La peculiaridad de las cantidades inversamente proporcionales es que su producto es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades inversamente proporcionales, su producto permanece sin cambios.
En el ejemplo considerado, la distancia entre ciudades era de 80 km. Cuando la velocidad y el tiempo de movimiento del motociclista cambiaron, esta distancia siempre se mantuvo sin cambios.
Un motociclista podría recorrer esta distancia a una velocidad de 20 km/h en 4 horas, a una velocidad de 40 km/h en 2 horas y a una velocidad de 10 km/h en 8 horas. En todos los casos, el producto de la velocidad por el tiempo fue igual a 80 km.
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