Ecuaciones cuadráticas con seno y coseno. Ecuaciones trigonométricas

Concepto de solución ecuaciones trigonométricas.

• Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. En última instancia, resolver una ecuación trigonométrica se reduce a resolver las cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.

Resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

• Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
• pecado x = a; porque x = a
• tanx = a; ctg x = a
• Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica observar diferentes posiciones de x en el círculo unitario, así como usar una tabla de conversión (o calculadora).
• Ejemplo 1. sen x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = π/3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π/3. Recuerde: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Por lo tanto la respuesta se escribe de la siguiente manera:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Ejemplo 2. cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora) obtendrás la respuesta: x = 2π/3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Ejemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
• Respuesta: x = π/4 + πn.
• Ejemplo 4. ctg 2x = 1,732.
• Respuesta: x = π/12 + πn.

Transformaciones utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

• Para transformar ecuaciones trigonométricas, use transformaciones algebraicas(factorización, reducción miembros homogéneos etc.) e identidades trigonométricas.
• Ejemplo 5: Usando identidades trigonométricas, la ecuación sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se convierte en la ecuación 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Por lo tanto, las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas necesita ser resuelto: cos x = 0; pecado(3x/2) = 0; porque(x/2) = 0.

• Encontrar ángulos por valores conocidos funciones.

  • Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes aprender a encontrar ángulos utilizando valores de funciones conocidas. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
  • Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos suplementarios, cuyo coseno también es 0,732.

• Reserva la solución en el círculo unitario.

  • Puedes trazar soluciones a una ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de una ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/3 + πn/2 en el círculo unitario representan los vértices del cuadrado.
  • Ejemplo: Las soluciones x = π/4 + πn/3 en el círculo unitario representan los vértices de un hexágono regular.

• Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

  • Si una ecuación trigonométrica determinada contiene solo una función trigonométrica, resuelva esa ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si una ecuación dada incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (según la posibilidad de su transformación).
    • Método 1.
  • Transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, donde f(x), g(x), h(x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
  • Ejemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución. Usando la fórmula del doble ángulo sin 2x = 2*sin x*cos x, reemplaza sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sen x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sen x + 1) = 0.
  • Ejemplo 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
  • Ejemplo 8. sen x - sen 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ahora resuelve las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sin x + 1) = 0 .
    • Método 2.
  • Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna desconocida, por ejemplo, t (sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Ejemplo 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Solución. En esta ecuación, reemplace (cos^2 x) con (1 - sin^2 x) (según la identidad). La ecuación transformada es:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Reemplaza sen x con t. Ahora la ecuación se ve así: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esto es ecuación cuadrática, teniendo dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de función (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Ejemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solución. Reemplace tg x con t. Reescribe la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ahora encuentra t y luego encuentra x para t = tan x.

Ecuaciones trigonométricas más complejas

Ecuaciones

pecado x = un,
porque x = un,
tg x = un,
ctg x = un

son las ecuaciones trigonométricas más simples. En este párrafo sobre ejemplos específicos Veremos ecuaciones trigonométricas más complejas. Su solución, por regla general, se reduce a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples.

Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación

pecado 2 X= porque X pecado 2 X.

Transfiriendo todos los términos de esta ecuación al lado izquierdo y factorizando la expresión resultante, obtenemos:

pecado 2 X(1 - porque X) = 0.

El producto de dos expresiones es igual a cero si y sólo si al menos uno de los factores es igual a cero y el otro toma cualquier valor numérico, siempre y cuando esté definido.

Si pecado 2 X = 0 , entonces 2 X= norte π ; X = π / 2n.

Si 1 - porque X = 0 , entonces porque X = 1; X = 2kπ .

Entonces, tenemos dos grupos de raíces: X = π / 2n; X = 2kπ . El segundo grupo de raíces está obviamente contenido en el primero, ya que para n = 4k la expresión X = π / 2n se convierte
X = 2kπ .

Por tanto, la respuesta se puede escribir en una fórmula: X = π / 2n, Dónde norte- cualquier número entero.

Tenga en cuenta que esta ecuación no se puede resolver reduciendo por sen 2 X. De hecho, después de la reducción obtendríamos 1 - cos x = 0, de donde X= 2k π . Entonces perderíamos algunas raíces, por ejemplo. π / 2 , π , 3π / 2 .

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Una fracción es igual a cero sólo si su numerador es igual a cero.
Es por eso pecado 2 X = 0 , de donde 2 X= norte π ; X = π / 2n.

De estos valores X es necesario descartar como extraños aquellos valores en los que pecadoX va a cero (las fracciones con denominadores cero no tienen significado: la división por cero no está definida). Estos valores son números que son múltiplos de π . en la formula
X = π / 2n se obtienen incluso norte. Por lo tanto, las raíces de esta ecuación serán los números.

X = π / 2 (2k + 1),

donde k es cualquier número entero.

Ejemplo 3 . Resuelve la ecuación

2 pecado 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

vamos a expresar pecado 2 X a través de porqueX : pecado 2 X = 1 - porque 2X . Entonces esta ecuación se puede reescribir como

2 (1 - porque 2 X) + 7cos X - 5 = 0 , o

2cos 2 X- 7 porque X + 3 = 0.

Designando porqueX a través de en, llegamos a la ecuación cuadrática

2у 2 - 7у + 3 = 0,

cuyas raíces son los números 1/2 y 3. Esto significa que ya sea cos X= 1/2, o cos X= 3. Sin embargo, esto último es imposible, ya que el coseno de cualquier ángulo no supera 1 en valor absoluto.

Falta admitir que porque X = 1 / 2 , dónde

X = ± 60° + 360° n.

Ejemplo 4 . Resuelve la ecuación

2 pecado X+ 3cos X = 6.

desde el pecado X y porque X en valor absoluto no excede 1, entonces la expresión
2 pecado X+ 3cos X no puede tomar valores mayores que 5 . Por tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Ejemplo 5 . Resuelve la ecuación

pecado X+porque X = 1

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, obtenemos:

pecado 2 X+ 2 pecado X porque X+ porque 2 X = 1,

Pero pecado 2 X + porque 2 X = 1 . Es por eso 2 pecado X porque X = 0 . Si pecado X = 0 , Eso X = norteπ ; si
porque X , Eso X = π / 2 + kπ . Estos dos grupos de soluciones se pueden escribir en una fórmula:

X = π / 2n

Dado que elevamos al cuadrado ambos lados de esta ecuación, es posible que haya raíces extrañas entre las raíces que obtuvimos. Es por eso que en este ejemplo, a diferencia de todos los anteriores, es necesario hacer una verificación. Todos los significados

X = π / 2n se puede dividir en 4 grupos

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(norte = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(norte = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(norte = 4k + 3)

En X = 2kπ pecado X+porque X= 0 + 1 = 1. Por lo tanto, X = 2kπ son las raíces de esta ecuación.

En X = π / 2 + 2kπ. pecado X+porque X= 1 + 0 = 1 Entonces X = π / 2 + 2kπ- también las raíces de esta ecuación.

En X = π + 2kπ pecado X+porque X= 0 - 1 = - 1. Por lo tanto, los valores X = π + 2kπ no son raíces de esta ecuación. De igual manera se demuestra que X = 3π / 2 + 2kπ. no son raíces.

Por tanto, esta ecuación tiene las siguientes raíces: X = 2kπ Y X = π / 2 + 2mπ., Dónde k Y metro- cualquier número entero.

Las ecuaciones trigonométricas no son un tema fácil. Son demasiado diversos). Por ejemplo, estos:

sen 2 x + cos3x = ctg5x

pecado(5x+π /4) = cuna(2x-π /3)

senx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos cosas en común: características obligatorias. Primero, no lo creerás, hay funciones trigonométricas en las ecuaciones). Segundo: se encuentran todas las expresiones con x. dentro de estas mismas funciones.¡Y sólo allí! Si X aparece en alguna parte afuera, Por ejemplo, pecado2x + 3x = 3, esta ya será una ecuación de tipo mixto. Tales ecuaciones requieren enfoque individual. No los consideraremos aquí.

Tampoco resolveremos ecuaciones malignas en esta lección). Aquí nos ocuparemos de las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Si porque la solución cualquier Las ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante una variedad de transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.

Entonces, si tienes problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).

¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?

sen x = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Aquí A representa cualquier número. Cualquier.

Por cierto, dentro de una función puede que no haya una X pura, sino algún tipo de expresión, como:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Esto complica la vida, pero no afecta el método para resolver una ecuación trigonométrica.

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?

Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos formas. La primera forma: usando la lógica y el círculo trigonométrico. Veremos este camino aquí. La segunda forma, utilizar la memoria y las fórmulas, se analizará en la próxima lección.

La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos complicados no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!)

Resolver ecuaciones usando un círculo trigonométrico.

Incluimos lógica elemental y la capacidad de utilizar el círculo trigonométrico. ¿No sabes cómo? Sin embargo... Te resultará difícil en trigonometría...) Pero no importa. Echa un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico... ¿Qué es?" y “Medir ángulos en un círculo trigonométrico”. Allí todo es sencillo. A diferencia de los libros de texto...)

¿¡Oh tú sabes!? ¿¡E incluso dominaste el “Trabajo práctico con el círculo trigonométrico”!? Felicidades. Este tema le resultará cercano y comprensible). Lo que es especialmente agradable es que círculo trigonométrico no importa qué ecuación resuelvas. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es igual para él. Sólo hay un principio de solución.

Entonces tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:

cosx = 0,5

Necesitamos encontrar X. Hablando en lenguaje humano, necesitas Encuentra el ángulo (x) cuyo coseno es 0,5.

¿Cómo usábamos anteriormente el círculo? Le dibujamos un ángulo. En grados o radianes. Y de inmediato sierra Funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibujemos un coseno en el círculo igual a 0,5 e inmediatamente ya veremos esquina. Sólo queda escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!

Dibuja un círculo y marca el coseno igual a 0,5. Por supuesto, en el eje del coseno. Como esto:

Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en su tableta) y verás este mismo rincón X.

¿El coseno de qué ángulo es 0,5?

x = π/3

porque 60°= porque( π/3) = 0,5

Algunas personas se reirán con escepticismo, sí... Como si valiera la pena hacer un círculo cuando ya todo está claro... Puedes, por supuesto, reírte...) Pero el hecho es que esta es una respuesta errónea. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores de los círculos entienden que aquí hay muchos ángulos que también dan un coseno de 0,5.

Si gira el lado móvil OA vuelta completa, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Aquellos. el ángulo cambiará por 360° o 2π radianes, y coseno - no. El nuevo ángulo 60° + 360° = 420° también será una solución a nuestra ecuación, porque

Se puede hacer un número infinito de revoluciones tan completas... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones de nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos deben escribirse de alguna manera en respuesta. Todo. En caso contrario, la decisión no cuenta, sí...)

Las matemáticas pueden hacer esto de manera simple y elegante. Escribe en una respuesta corta. conjunto infinito decisiones. Así es como se ve nuestra ecuación:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Lo descifraré. Todavía escribo significativamente Es más agradable que dibujar estúpidamente unas letras misteriosas, ¿verdad?)

π/3 - este es el mismo rincón que nosotros sierra en el círculo y determinado según la tabla de cosenos.

2π es una revolución completa en radianes.

norte - este es el número de completos, es decir entero rpm Está claro que norte puede ser igual a 0, ±1, ±2, ±3.... y así sucesivamente. Como lo indica la breve entrada:

norte ∈ Z

norte pertenece ( ∈ ) conjunto de números enteros ( z ). Por cierto, en lugar de la carta. norte bien se pueden usar letras k, m, t etc.

Esta notación significa que puedes tomar cualquier número entero. norte . Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Lo que quieras. Si sustituyes este número en la respuesta, obtendrás un ángulo específico, que definitivamente será la solución a nuestra dura ecuación).

O, en otras palabras, x = π/3 es la única raíz de un conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, basta con sumar cualquier número de revoluciones completas a π /3 ( norte ) en radianes. Aquellos. 2πn radián.

¿Todo? No. Prolongo deliberadamente el placer. Para recordar mejor.) Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución así:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - no sólo una raíz, sino toda una serie de raíces, escritas de forma breve.

¡Pero también hay ángulos que también dan un coseno de 0,5!

Volvamos a nuestra imagen de la que escribimos la respuesta. Aqui esta ella:

Pase el mouse sobre la imagen y vemos otro ángulo que también da un coseno de 0,5.¿A qué crees que es igual? Los triángulos son iguales... ¡Sí! es igual al angulo X , sólo se retrasa en la dirección negativa. esta es la esquina -X. Pero ya hemos calculado x. π /3 o 60°. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:

x 2 = - π /3

Pues claro, sumamos todos los ángulos que se obtienen mediante revoluciones completas:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Eso es todo ahora.) En el círculo trigonométrico tenemos sierra(quién entiende, por supuesto)) Todoángulos que dan un coseno de 0,5. Y escribimos estos ángulos en una breve forma matemática. La respuesta resultó en dos series infinitas de raíces:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Esta es la respuesta correcta.

Esperanza, principio general para resolver ecuaciones trigonométricas usar un círculo es claro. Marcamos el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada en un círculo, dibujamos los ángulos correspondientes y anotamos la respuesta. Por supuesto, necesitamos descubrir en qué rincones estamos. sierra en el círculo. A veces no es tan obvio. Bueno, dije que aquí se requiere lógica).

Por ejemplo, veamos otra ecuación trigonométrica:

¡Tenga en cuenta que el número 0,5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Simplemente me resulta más conveniente escribirlo que las raíces y las fracciones.

Trabajamos según el principio general. Dibujamos un círculo, marcamos (¡en el eje sinusoidal, por supuesto!) 0,5. Dibujamos todos los ángulos correspondientes a este seno a la vez. Obtenemos esta imagen:

Tratemos primero con el ángulo. X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. Es una cuestión sencilla:

x = π/6

Recordamos las revoluciones completas y, con conciencia limpia, anotamos la primera serie de respuestas:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

La mitad del trabajo está hecho. Pero ahora necesitamos determinar segunda esquina... Es más complicado que usar cosenos, sí... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo. a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos en la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X . Solo se cuenta desde el ángulo π en dirección negativa. Por eso es rojo.) Y para la respuesta necesitamos un ángulo, medido correctamente, desde el semieje positivo OX, es decir. desde un ángulo de 0 grados.

Pasamos el cursor sobre el dibujo y vemos todo. Quité la primera esquina para no complicar el cuadro. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:

π-x

X sabemos esto π/6 . Por tanto, el segundo ángulo será:

π - π /6 = 5π /6

Nuevamente recordamos lo de sumar revoluciones completas y anotamos la segunda serie de respuestas:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Eso es todo. Una respuesta completa consta de dos series de raíces:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Las ecuaciones tangentes y cotangentes se pueden resolver fácilmente utilizando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. Si, por supuesto, sabes cómo dibujar tangente y cotangente en un círculo trigonométrico.

En los ejemplos anteriores, utilicé el valor de la tabla de seno y coseno: 0,5. Aquellos. uno de esos significados que el alumno conoce debe. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, entonces decide!)

Entonces, digamos que necesitamos resolver esta ecuación trigonométrica:

Tal valor de coseno en tablas breves No. Ignoramos fríamente este terrible hecho. Dibuja un círculo, marca 2/3 en el eje del coseno y dibuja los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.

Veamos, primero, el ángulo del primer cuarto. Si supiéramos a qué es igual x, ¡escribiríamos inmediatamente la respuesta! No lo sabemos... ¿¡Fracaso!? ¡Calma! ¡Las matemáticas no dejan en problemas a su propia gente! Se le ocurrieron arcos cosenos para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que crees. No hay ni un solo hechizo engañoso sobre “funciones trigonométricas inversas” en este enlace... Esto es superfluo en este tema.

Si lo sabe, dígase a sí mismo: "X es un ángulo cuyo coseno es igual a 2/3". E inmediatamente, puramente por la definición de arco coseno, podemos escribir:

Recordamos las revoluciones adicionales y anotamos tranquilamente la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La segunda serie de raíces para el segundo ángulo se escribe casi automáticamente. Todo es igual, solo X (arccos 2/3) estará con un menos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

¡Y eso es! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con los valores de la tabla. No es necesario recordar nada.) Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen muestra la solución a través del arco coseno. en esencia, no difiere de la imagen de la ecuación cosx = 0,5.

¡Exactamente! Principio general¡Por eso es común! Deliberadamente hice dos dibujos casi idénticos. El círculo nos muestra el ángulo. X por su coseno. Todos desconocen si es un coseno tabular o no. Qué tipo de ángulo es este, π /3, o qué arcocoseno es, eso lo decidimos nosotros.

La misma canción con seno. Por ejemplo:

Dibuja un círculo nuevamente, marca el seno igual a 1/3, dibuja los ángulos. Esta es la imagen que obtenemos:

Y nuevamente la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. De nuevo partimos desde la esquina en el primer cuarto. ¿A qué equivale X si su seno es 1/3? ¡Ningún problema!

Ahora el primer paquete de raíces está listo:

x 1 = arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ocupémonos del segundo ángulo. En el ejemplo con un valor de tabla de 0,5, era igual a:

π-x

¡Aquí también será exactamente igual! Sólo x es diferente, arcosen 1/3. ¿¡Así que lo que!? Puedes anotar con seguridad el segundo paquete de raíces:

x 2 = π - arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Esta es una respuesta completamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero está claro, espero).

Así se resuelven las ecuaciones trigonométricas utilizando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien guarda en ecuaciones trigonométricas con selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas- Estos generalmente se resuelven casi siempre en círculo. En definitiva, en cualquier tarea que sea un poco más difícil que las estándar.

¿Aplicamos el conocimiento en la práctica?)

Resolver ecuaciones trigonométricas:

Primero, más simple, sacado directamente de esta lección.

Ahora es más complicado.

Pista: aquí tendrás que pensar en el círculo. Personalmente.)

Y ahora son aparentemente simples... También se les llama casos especiales.

pecado = 0

pecado = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugerencia: aquí debes descubrir en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde hay una... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz de un número infinito!)

Pues muy sencillo):

pecado = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugerencia: aquí necesita saber qué son el arcoseno y el arcocoseno. ¿Qué es arcotangente, arcocotangente? Las definiciones más simples. ¡Pero no es necesario recordar ningún valor de la tabla!)

Las respuestas son, por supuesto, un desastre):

x1= arcosin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcosen0.3 + 2

¿No todo sale bien? Sucede. Lea la lección nuevamente. Solo pensativamente(existe tal palabra obsoleta...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin ella, la trigonometría es como cruzar la calle con los ojos vendados. A veces funciona.)

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

Introducción 2

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas 5.

Algebraico 5

Resolver ecuaciones usando la condición de igualdad de funciones trigonométricas del mismo nombre 7

Factorización 8

Reducción a ecuación homogénea 10

Introducción del ángulo auxiliar 11.

Convertir producto a suma 14

Sustitución universal 14

Conclusión 17

Introducción

Hasta el décimo grado, el orden de las acciones de muchos ejercicios que conducen a la meta está, por regla general, claramente definido. Por ejemplo, ecuaciones y desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones reducibles a cuadráticas, etc. Sin examinar en detalle el principio de resolución de cada uno de los ejemplos mencionados, señalamos los aspectos generales que son necesarios para su solución exitosa.

En la mayoría de los casos, es necesario establecer qué tipo de tarea es, recordar la secuencia de acciones que conducen a la meta y realizar estas acciones. Obviamente, el éxito o el fracaso de un estudiante en el dominio de las técnicas de resolución de ecuaciones depende principalmente de qué tan bien sea capaz de determinar correctamente el tipo de ecuación y recordar la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, esto supone que el estudiante tiene las habilidades para realizar transformaciones de identidad y computación.

Surge una situación completamente diferente cuando un escolar se enfrenta a ecuaciones trigonométricas. Además, no es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Las dificultades surgen al encontrar un curso de acción que conduzca a un resultado positivo. Y aquí el estudiante se enfrenta a dos problemas. Por apariencia Las ecuaciones son difíciles de determinar. Y sin conocer el tipo, es casi imposible seleccionar la fórmula deseada entre las decenas disponibles.

Para ayudar a los estudiantes a encontrar su camino a través del complejo laberinto de ecuaciones trigonométricas, primero se les presentan ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas cuando se introduce una nueva variable. Luego resuelven ecuaciones homogéneas y reducibles a ellas. Todo termina, por regla general, con ecuaciones, para cuya solución es necesario factorizar el lado izquierdo y luego igualar cada uno de los factores a cero.

Al darse cuenta de que la docena y media de ecuaciones discutidas en las lecciones claramente no son suficientes para poner al estudiante en un viaje independiente a través del "mar" trigonométrico, el maestro agrega algunas recomendaciones más.

Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:

Lleve todas las funciones incluidas en la ecuación a “los mismos ángulos”;

Reducir la ecuación a “funciones idénticas”;

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Pero a pesar de conocer los tipos básicos de ecuaciones trigonométricas y varios principios para encontrar sus soluciones, muchos estudiantes todavía se quedan perplejos ante cada ecuación que es ligeramente diferente de las resueltas antes. Aún no está claro a qué se debe aspirar cuando se tiene tal o cual ecuación, por qué en un caso es necesario utilizar fórmulas de doble ángulo, en otro, medio ángulo y en el tercero, fórmulas de suma, etc.

Definición 1. Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está contenida bajo el signo de las funciones trigonométricas.

Definición 2. Se dice que una ecuación trigonométrica tiene ángulos iguales si todas las funciones trigonométricas incluidas en ella tienen argumentos iguales. Se dice que una ecuación trigonométrica tiene funciones idénticas si contiene sólo una de las funciones trigonométricas.

Definición 3. La potencia de un monomio que contiene funciones trigonométricas es la suma de los exponentes de las potencias de las funciones trigonométricas incluidas en él.

Definición 4. Una ecuación se llama homogénea si todos los monomios incluidos en ella tienen el mismo grado. Este grado se llama orden de la ecuación.

Definición 5. Ecuación trigonométrica que contiene solo funciones. pecado Y porque, se llama homogéneo si todos los monomios con respecto a funciones trigonométricas tienen mismo grado, y las funciones trigonométricas mismas tienen ángulos iguales y el número de monomios por 1 más orden ecuaciones

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

Resolver ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas: transformar la ecuación para obtener su forma más simple y resolver la ecuación trigonométrica más simple resultante. Hay siete métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Método algebraico. Este método es bien conocido en álgebra. (Método de reemplazo y sustitución de variables).

Resolver ecuaciones.

1)

Introduzcamos la notación X=2 pecado3 t, obtenemos

Resolviendo esta ecuación, obtenemos:
o

aquellos. se puede escribir

Al registrar la solución resultante debido a la presencia de signos. grado
no tiene sentido escribirlo.

Respuesta:

denotemos

Obtenemos una ecuación cuadrática
. Sus raíces son números.
Y
. Por lo tanto, esta ecuación se reduce a las ecuaciones trigonométricas más simples.
Y
. Resolviendolos encontramos que
o
.

Respuesta:
;
.

denotemos

no cumple la condición

Medio

Respuesta:

Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:

Por tanto, esta ecuación inicial se puede escribir como:

, es decir.

habiendo designado
, obtenemos
Resolviendo esta ecuación cuadrática tenemos:

no cumple la condición

Anotamos la solución a la ecuación original:

Respuesta:

Sustitución
reduce esta ecuación a una ecuación cuadrática
. Sus raíces son números.
Y
. Porque
, entonces la ecuación dada no tiene raíces.

Respuesta: sin raíces.

II. Resolver ecuaciones utilizando la condición de igualdad de funciones trigonométricas del mismo nombre.

A)
, Si

b)
, Si

V)
, Si

Usando estas condiciones, considere resolver las siguientes ecuaciones:

6)

Usando lo dicho en el inciso a) encontramos que la ecuación tiene solución si y solo si
.

Resolviendo esta ecuación encontramos
.

Disponemos de dos grupos de soluciones:

.

7) Resuelve la ecuación:
.

Usando la condición del inciso b) deducimos que
.

Resolviendo estas ecuaciones cuadráticas, obtenemos:

.

8) Resuelve la ecuación
.

De esta ecuación deducimos que. Resolviendo esta ecuación cuadrática encontramos que

.

III. Factorización.

Consideramos este método con ejemplos.

9) Resuelve la ecuación
.

Solución. Movamos todos los términos de la ecuación hacia la izquierda: .

Transformemos y factoricemos la expresión del lado izquierdo de la ecuación:
.

.

.

1)
2)

Porque
Y
no acepte el valor cero

al mismo tiempo, luego dividimos ambas partes

ecuaciones para
,

Respuesta:

10) Resuelve la ecuación:

Solución.

o

Respuesta:

11) Resuelve la ecuación

Solución:

1)
2)
3)

,

Respuesta:

IV. Reducción a una ecuación homogénea.

Para resolver una ecuación homogénea necesitas:

Mueve todos sus miembros hacia el lado izquierdo;

Coloque todos los factores comunes fuera de paréntesis;

Igualar todos los factores y paréntesis a cero;

Los paréntesis iguales a cero dan una ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por
(o
) en el grado superior;

Resuelve el resultado ecuación algebraica relativamente
.

Veamos ejemplos:

12) Resuelve la ecuación:

Solución.

Dividamos ambos lados de la ecuación por
,

Introduciendo designaciones
, nombre

raíces de esta ecuación:

por lo tanto 1)
2)

Respuesta:

13) Resuelve la ecuación:

Solución. Usando fórmulas de doble ángulo y básicas. identidad trigonométrica, reducimos esta ecuación a medio argumento:

después de traer términos similares tenemos:

Dividiendo la última ecuación homogénea por
, obtenemos

voy a indicar
, obtenemos una ecuación cuadrática
, cuyas raíces son números

De este modo

Expresión
va a cero en
, es decir. en
,
.

La solución de la ecuación que obtuvimos no incluye estos números.

Respuesta:
, .

V. Introducción de un ángulo auxiliar.

Considere una ecuación de la forma

Dónde a B C- coeficientes, X- desconocido.

Dividamos ambos lados de esta ecuación por

Ahora los coeficientes de la ecuación tienen las propiedades del seno y el coseno, a saber: el módulo de cada uno de ellos no excede uno y la suma de sus cuadrados es 1.

Entonces podemos designarlos en consecuencia.
(Aquí - ángulo auxiliar) y nuestra ecuación toma la forma: .

Entonces

y su decisión

Tenga en cuenta que las notaciones introducidas son mutuamente intercambiables.

14) Resuelve la ecuación:

Solución. Aquí
, entonces dividimos ambos lados de la ecuación por

Respuesta:

15) Resuelve la ecuación

Solución. Porque
, entonces esta ecuación es equivalente a la ecuación

Porque
, entonces existe un ángulo tal que
,
(aquellos.
).

Tenemos

Porque
, entonces finalmente obtenemos:

.

Tenga en cuenta que las ecuaciones de la forma tienen solución si y sólo si

16) Resuelve la ecuación:

Para resolver esta ecuación agrupamos funciones trigonométricas con los mismos argumentos.

Divide ambos lados de la ecuación por dos.

Transformemos la suma de funciones trigonométricas en un producto:

Respuesta:

VI. Convertir un producto en una suma.

Aquí se utilizan las fórmulas correspondientes.

17) Resuelve la ecuación:

Solución. Transformemos el lado izquierdo en una suma:

VII.Sustitución universal.

,

estas fórmulas son ciertas para todos

Sustitución
llamado universal.

18) Resuelve la ecuación:

Solución: Reemplace y
a su expresión a través
y denotar
.

Obtenemos una ecuación racional.
, que se convierte en cuadrado
.

Las raíces de esta ecuación son los números.
.

Por tanto, el problema se redujo a resolver dos ecuaciones.
.

Encontramos eso
.

Ver valor
no satisface la ecuación original, que se verifica mediante verificación - sustitución valor dado t en la ecuación original.

Respuesta:
.

Comentario. La ecuación 18 podría haberse resuelto de otra manera.

Dividamos ambos lados de esta ecuación por 5 (es decir, por
):
.

Porque
, entonces existe tal número
, Qué
Y
. Por tanto la ecuación toma la forma:
o
. A partir de aquí encontramos que
Dónde
.

19) Resuelve la ecuación
.

Solución. Dado que las funciones
Y
tener valor más alto, igual a 1, entonces su suma es 2 si
Y
, simultáneamente, es decir
.

Respuesta:
.

Al resolver esta ecuación, se utilizó la acotación de las funciones y.

Conclusión.

Al trabajar en el tema "Resolver ecuaciones trigonométricas", es útil que cada profesor siga las siguientes recomendaciones:

Sistematizar métodos para la resolución de ecuaciones trigonométricas.

Elija usted mismo los pasos para realizar un análisis de la ecuación y signos de la conveniencia de utilizar un método de solución particular.

Piense en formas de autocontrolar sus actividades al implementar el método.

Aprenda a componer “sus propias” ecuaciones para cada uno de los métodos que se estudian.

Apéndice No. 1

Resolver ecuaciones homogéneas o reducibles a homogéneas.

1.	Reps.
	Reps.
	Reps.
5.	Reps.
	Reps.
7.	Reps.
	Reps.

Una lección de aplicación integrada del conocimiento.

Objetivos de la lección.

1. Considerar varios métodos Resolver ecuaciones trigonométricas.
2. Desarrollo creatividad estudiantes resolviendo ecuaciones.
3. Fomentar en los estudiantes el autocontrol, el control mutuo y el autoanálisis de sus actividades educativas.

Equipo: pantalla, proyector, material de referencia.

durante las clases

Conversación introductoria.

El método principal para resolver ecuaciones trigonométricas es reducirlas a su forma más simple. En este caso se aplican formas habituales, como la factorización, así como técnicas utilizadas únicamente para resolver ecuaciones trigonométricas. Existen muchas de estas técnicas, por ejemplo, diversas sustituciones trigonométricas, transformaciones de ángulos y transformaciones de funciones trigonométricas. La aplicación indiscriminada de cualquier transformación trigonométrica generalmente no simplifica la ecuación, pero la complica catastróficamente. Para hacer ejercicio en bosquejo general planifique para resolver la ecuación, describa una forma de reducir la ecuación a la más simple, primero debe analizar los ángulos: los argumentos de las funciones trigonométricas incluidas en la ecuación.

Hoy hablaremos sobre métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. El método elegido correctamente muchas veces puede simplificar significativamente la solución, por lo que siempre se deben tener en cuenta todos los métodos que hemos estudiado para poder resolver ecuaciones trigonométricas utilizando el método más adecuado.

II. (Usando un proyector, repetimos los métodos para resolver ecuaciones).

1. Método de reducción de una ecuación trigonométrica a algebraica.

Es necesario expresar todas las funciones trigonométricas mediante uno, con el mismo argumento. Esto se puede hacer usando la identidad trigonométrica básica y sus consecuencias. Obtenemos una ecuación con una función trigonométrica. Tomándola como nueva incógnita obtenemos una ecuación algebraica. Encontramos sus raíces y volvemos a la antigua incógnita resolviendo las ecuaciones trigonométricas más simples.

2. Método de factorización.

Para cambiar ángulos, las fórmulas de reducción, suma y diferencia de argumentos suelen ser útiles, así como fórmulas para convertir la suma (diferencia) de funciones trigonométricas en un producto y viceversa.

sen x + sen 3x = sen 2x + sen4x

3. Método de introducción de un ángulo adicional.

4. Método de utilización de la sustitución universal.

Las ecuaciones de la forma F(sinx, cosx, tanx) = 0 se reducen a algebraicas mediante una sustitución trigonométrica universal

Expresar seno, coseno y tangente en términos de la tangente de un medio ángulo. Esta técnica puede conducir a una ecuación de orden superior. Cuya solución es difícil.